精品解析：江西省乐安县职业中学2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题

乐安县职业中学2024-2025学年第二学期2023级 数学期中测试卷 考试时间：120分钟 总分: 150分 一、是非选择题：(本小题共10小题，每小题3分，共30分。对每小题的命题做出选择，正确的填“正确”，错误的填“错误”) 1. “”是“”的充分不必要条件. （ ） 2. 与 的焦距相等. （ ） 3. 的充要条件是 （ ） 4. 零向量的方向是任意的. （ ） 5. 两个向量夹角的取值范围是. （ ） 6. 单位向量的模都相等．（ ） 7. 则. （ ） 8. 平面内与两个定点，的距离之和等于常数的点的轨迹叫椭圆.（ ） 9. “”是“”的必要不充分条件. （ ） 10. 则 .（ ） 二、单项选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 11. 下列命题中，假命题是（ ） A. 平面内三角形内角和为 B. 平面内菱形四条边相等 C. 向量就是有向线段 D. 是无理数 12. 已知向量 则 （ ） A. B. C. D. 13. 与椭圆 有相同焦点，且短轴长为 的椭圆方程是（ ） A. B. C. D. 14. 若p是q的必要不充分条件，q的充要条件是r，则r是p的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知椭圆 的离心率为 则的值可以为（ ） A. B. C. D. 16. 已知向量，且则（ ） A. B. C. 8 D. 17. 设a, b是向量，则 是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 18. 下列命题中，真命题是（ ） A. 是“”的必要条件 B. C. 在上单调递增 D. 的充要条件是 三、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分). 19. _________. 20. 已知向量，则与夹角的余弦值为_________. 21. 已知双曲线，则该双曲线的焦距为_________. 22. “”是“”的必要不充分条件则a的取值范围为_________. 23. 已知向量_________. 24. 已知椭圆 的离心率 则m 的值_________. 四、解答题：(本大题共6小题，25~28每小题8分，29~30每小题9分，共50分.解答应写出过程或步骤) 25. 计算. （1）； （2）； （3）； （4）. 26. 给出下列命题，试分别指出p是q的什么条件 （1） （2） （3）方程 无实根. 27. 已知双曲线 的焦距为12，双曲线上一点M 的坐标为.求： （1）双曲线C的焦点坐标； （2）双曲线C的方程. 28. 设 ，是两个不共线的向量， ，，. （1）求证: A，B，D三点共线; （2）试确定的值，使 与 共线. 29. 如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F. （1）写出与向量共线的向量； （2）用表示； （3）若，求的值. 30. 已知椭圆C的焦点为 ，椭圆上的一点坐标，求： （1）椭圆的标准方程； （2）过点Q且斜率为的直线l交椭圆另一个点P，求点P的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐安县职业中学2024-2025学年第二学期2023级 数学期中测试卷 考试时间：120分钟 总分: 150分 一、是非选择题：(本小题共10小题，每小题3分，共30分。对每小题的命题做出选择，正确的填“正确”，错误的填“错误”) 1. “”是“”的充分不必要条件. （ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的判定即可解得. 【详解】由题，若，则成立，充分性成立， 若，则，必要性不成立， 故时的充分不必要条件. 故答案为：正确. 2. 与 的焦距相等. （ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据椭圆方程确定焦距，即可判断. 【详解】已知椭圆中，， 则焦距为， 又椭圆中，， 则焦距为， 所以两个椭圆焦距相等. 故答案为：正确. 3. 的充要条件是 （ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据垂直关系的向量表示结合必要不充分条件即可求解. 【详解】因为，所以. 又因为，则或或. 即，则或或. 所以的必要不充分条件是. 故答案为：错误. 4. 零向量的方向是任意的. （ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据零向量的定义判断即可. 【详解】因为长度为零的向量为零向量，零向量与任一向量平行， 所以零向量的方向是任意的， 故答案为：正确. 5. 两个向量夹角的取值范围是. （ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据平面向量的夹角的定义即可求解. 【详解】由向量的夹角的定义可得，两个非零平面向量的夹角的取值范围是. 故答案为：错误. 6. 单位向量的模都相等．（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据单位向量的定义判断. 【详解】单位向量是指模等于1的向量，故说法正确. 故答案为：正确. 7. 则. （ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】利用零向量的数乘运算即可求解. 【详解】若，则，若，则可以为任意实数，所以本题不正确. 故答案为：错误. 8. 平面内与两个定点，的距离之和等于常数的点的轨迹叫椭圆.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据椭圆的定义易得答案. 【详解】平面内与两个定点的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆. 故答案为：错误. 9. “”是“”的必要不充分条件. （ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据充分必要条件判定即可. 【详解】当时，不一定成立，当时，一定成立， 故“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：正确. 10. 则 .（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】利用向量的内积坐标公式即可求解. 【详解】 故答案为：正确. 二、单项选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分) 11. 下列命题中，假命题是（ ） A. 平面内三角形内角和为 B. 平面内菱形四条边相等 C. 向量就是有向线段 D. 是无理数 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面几何的知识判断AB，利用向量的定义判断C，利用与无理数的定义判断D，从而得解. 【详解】对于A，平面内三角形内角和显然为，故A为真命题； 对于B，由菱形的性质可知，平面内菱形的四条边相等，故B为真命题； 对于C，向量可以用有向线段来表示，但向量不是有向线段，故C是假命题； 对于D，显然是无理数，故D为真命题； 故选：C. 12. 已知向量 则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量 所以. 故选：A. 13. 与椭圆 有相同焦点，且短轴长为 的椭圆方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据椭圆求得椭圆的半焦距，根据椭圆的短轴长为求得，最后根据和与的关系求得，即可求出椭圆方程. 【详解】由椭圆 得，， 椭圆的焦点椭圆 有相同焦点，椭圆的半焦距，即， 短轴长为，，， ，椭圆方程的焦点在轴上，椭圆的标准方程为. 故选：C. 14. 若p是q的必要不充分条件，q的充要条件是r，则r是p的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】是的必要不充分条件，即， 的充要条件是，即， 所以，但不能得到，所以是的充分不必要条件. 故选：A. 15. 已知椭圆 的离心率为 则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对椭圆的焦点在轴上和在轴上进行分类讨论，即可得到答案. 【详解】当椭圆焦点在轴上时，，解得； 当椭圆焦点在轴上时，，解得； 故选：C. 16. 已知向量，且则（ ） A. B. C. 8 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示即可得解. 【详解】因为，所以， 又，所以，解得. 故选：C. 17. 设a, b是向量，则 是 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】可取，进而得到，可判断充分性；由模的平方相等得到，进而可判断必要性，即可得到答案. 【详解】取，则， 所以，故充分性不成立； 由，得，整理得， 所以，不一定能得到，故必要性不成立； 综上可知，“”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 18. 下列命题中，真命题是（ ） A. 是“”的必要条件 B. C. 在上单调递增 D. 的充要条件是 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的概念判断选项，根据指数函数的性质判断选项B，根据对数函数的性质判断选项C. 【详解】对A：当时，所以由可以得到“”， 当时，所以由不能得到“”， 所以是“”的充分不必要条件，故A项错误； 对B：函数的定义域为，值域为，所以，故B项正确； 对C：因为函数的定义域为，故C项错误； 对D：当时，，此时无意义，故D项错误. 故选：B. 三、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分). 19. _________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量的加法法则和减法法则即可得到答案. 【详解】. 故答案为：. 20. 已知向量，则与夹角的余弦值为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量内积与模的坐标表示，结合向量的夹角公式即可得解. 【详解】因为， 所以，， 所以与夹角的余弦值为. 故答案为：. 21. 已知双曲线，则该双曲线的焦距为_________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据双曲线的方程得到，即可求解. 【详解】因为双曲线，, 所以， 所以双曲线的焦距为. 故答案为：6. 22. “”是“”的必要不充分条件则a的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 【分析】依据充分条件与必要条件的定义，写出式子得到答案. 【详解】由“”是“”的必要不充分条件，可得 是的真子集， 所以的取值范围为. 故答案为：. 23. 已知向量_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量内积的坐标表示即可得解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 24. 已知椭圆 的离心率 则m 的值_________. 【答案】3或 【解析】 【分析】根据椭圆的方程与离心率求解参数即可. 【详解】若，则，解得； 若，则，解得； 综上可知，的值为3或， 故答案为：3或. 四、解答题：(本大题共6小题，25~28每小题8分，29~30每小题9分，共50分.解答应写出过程或步骤) 25. 计算. （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】利用向量的线性运算即可得解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 【小问4详解】 . 26. 给出下列命题，试分别指出p是q的什么条件 （1） （2） （3）方程 无实根. 【答案】（1）p是q的充分不必要条件 （2）p是q的必要不充分条件 （3）p是q的充分不必要条件 【解析】 【分析】利用充分条件和必要条件定义即可求解. 【小问1详解】 可得：或; 所以,但是不能推出, 所以p是q的充分不必要条件. 【小问2详解】 因为，若,则有,若,则有 所以不能得到:; 若，依据不等式得基本性质，可以得到: ,所以有: 综上所述，p是q的必要不充分条件. 【小问3详解】 当时,对于方程 ，，所以此时方程无实数根，即; 若方程 无实数根，则有，解得: ， 即不能得到: 综上所述，p是q的充分不必要条件. 27. 已知双曲线 的焦距为12，双曲线上一点M 的坐标为.求： （1）双曲线C的焦点坐标； （2）双曲线C的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)先根据双曲线得方程判断出焦点位于轴上，然后依据焦距得大小即可得出焦点坐标. (2)根据焦距确定的值，再根据公式及代入点的坐标即可求解. 【小问1详解】 根据双曲线的标准方程可得：双曲线焦点位于轴上， 焦点坐标为： . 【小问2详解】 因为双曲线上一点M的坐标为，代入可得， ，解得： ， 所以双曲线得方程为： . 28. 设 ，是两个不共线的向量， ，，. （1）求证: A，B，D三点共线; （2）试确定的值，使 与 共线. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平面向量的线性运算结合共线定理即可证明三点共线； （2）根据向量共线定理列出方程组即可得解. 【小问1详解】 因为，是两个不共线的向量， ，，. ， 所以与共线，因为与有公共点，所以A，B，D三点共线. 【小问2详解】 因为与 共线， 所以存在实数，使， 因为，不共线，所以，即，解得. 29. 如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F. （1）写出与向量共线的向量； （2）用表示； （3）若，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用共线向量的定义，结合平行四边形的性质即可得解； （2）利用平面向量线性运算的几何表示即可得解； （3）利用平行线分线段成比例得到，再利用平面向量的线性运算与基本定理即可得解. 【小问1详解】 因为在平行四边形ABCD中，， 所以与向量共线的向量有. 【小问2详解】 因为在平行四边形ABCD中，是的中点， 又E是线段OD的中点，所以， 所以； 【小问3详解】 因为在平行四边形ABCD中，， 所以，则， 所以， 又，则， 故. 30. 已知椭圆C的焦点为 ，椭圆上的一点坐标，求： （1）椭圆的标准方程； （2）过点Q且斜率为的直线l交椭圆另一个点P，求点P的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设椭圆的标准方程为，由题意得，由在椭圆上，可得，解方程可得，进而求得椭圆的标准方程； （2）先求出直线l的方程，联立椭圆方程，消去y，得到一元二次方程，利用韦达定理，可得点P的横坐标，进而得到点P的坐标. 【小问1详解】 设椭圆的标准方程为， 由题意得， 由在椭圆上，可得， 解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 过点且斜率为的直线l的方程为， 即， 联立，得，消去y，得， 解得或， 由，可得， 即点P的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $