第一章空间向量与立体几何 章末检测-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章　空间向量与立体几何 章末检测 (时间：120分钟，满分150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD的对角线交于点O，且＝a，＝b，则＝(　　) A．－a－b B．a＋b C．a－b D．2(a－b) 2．已知A(1，2，－1)，B为A关于平面Oxy的对称点，C为B关于y轴的对称点，则＝(　　) A．(－2，0，－2) B．(2，0，2) C．(－1，0，－1) D．(0，－2，－2) 3．已知a＝(1，x，1)，b＝(2，1，－1)的夹角为锐角，则函数y＝x2＋4x－1的值域是(　　) A．(－5，＋∞) B．[－4，＋∞) C．(－4，＋∞) D．(－∞，－4) 4．已知A(2，－4，－1)，B(－1，5，1)，C(3，－4，1)，D(0，0，0)，令a＝，b＝，则a＋b为(　　) A．(5，－9，2) B．(－5，9，－2) C．(5，9，－2) D．(5，－9，－2) 5．已知a＝(1，2，－y)，b＝(x，1，2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则(　　) A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4 C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1 6．已知{i，j，k}是空间的一个单位正交基底，m＝8j＋3k，n＝－i＋5j－4k，则m·n＝(　　) A．7 B．－20 C．28 D．11 7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱A1D1，D1D，A1B1的中点，给出下列命题：①AC1⊥EG；②GC∥ED；③B1F⊥平面BGC1；④EF和BB1所成角为．正确命题的个数是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 8．如图，该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点，若异面直线BD和AB1所成角的余弦值为，则该几何体的体积为(　　) A．16＋8π B．32＋16π C．32＋8π D．16＋16π 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式结果为零向量的有(　　) A．＋2＋2＋ B．2＋2＋3＋3＋ C．＋＋ D．－＋－ 10．空间直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，0，1)，D(1，0，1)，E(5，6，－4)，则(　　) A．＝4－3 B．A，B，C，E四点共面 C．向量是平面ABC的一个法向量 D．OE与平面ABE所成角的余弦值为 11．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝AA1＝2，P，Q，R分别是AB，BB1，A1C上的动点，下列结论正确的有(　　) A．对于任意给定的点P，存在点Q使得D1P⊥CQ B．对于任意给定的点Q，存在点R使得D1R⊥CQ C．当AR⊥A1C时，AR⊥D1R D．当A1C＝3A1R时，D1R∥平面BDC1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，3，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ＝________． 13．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，EF∥BC且AE＝2EB，G为BC的中点，K为AF的中点．沿EF将矩形折成120°的二面角A－EF－B，此时KG的长为________． 14．如图所示，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是棱CC1上的一点，CP＝m，若直线AP与平面BDD1B1所成角的正弦值为，则m＝________，此时异面直线AP与A1B1所成角的余弦值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)已知点A(1，－2，0)和向量a＝(－3，4，12)． (1)若＝a，求点B的坐标； (2)若x轴上的一点C满足〈a，〉＝，求AC的长． 16．(15分)如图所示，已知几何体ABCD－A1B1C1D1是平行六面体． (1)化简＋＋，并在图上标出结果； (2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点，且C1N＝C1B，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值． 17．(15分)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，∠ABC＝90°，如图1，把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD(如图2)． (1)求证：CD⊥AB； (2)若M为线段BC的中点，求点M到平面ACD的距离． 18．(17分)在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O′的直径，FB是圆台的一条母线． (1)已知G，H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC； (2)已知EF＝FB＝AC＝2，AB＝BC，求平面BCF与平面ABC夹角的余弦值． 19．(17分)如图，边长为2的等边三角形PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2，M为BC的中点． (1)求证：AM⊥PM； (2)求平面PAM与平面ABCD夹角的大小； (3)求点D到平面PAM的距离． 答案解析 1、【答案】A 【解析】＝＋＝－＝－－＝－a－b． 2、【答案】A 【解析】由题意可知B(1，2，1)，C(－1，2，－1)，∴＝(－2，0，－2)． 3、【答案】C 【解析】因为a＝(1，x，1)，b＝(2，1，－1)的夹角为锐角，所以a·b＞0，同时a＝(1，x，1)，b＝(2，1，－1)不共线，即2＋x－1＞0，得x＞－1，则y＝x2＋4x－1＝(x＋2)2－5＞－4．故选C． 4、【答案】B 【解析】∵a＝＝(－1，0，－2)，b＝＝(－4，9，0)，∴a＋b＝(－5，9，－2)． 5、【答案】B 【解析】由题意知，a＋2b＝(2x＋1，4，4－y)，2a－b＝(2－x，3，－2y－2)．∵(a＋2b)∥(2a－b)，∴存在实数λ，使a＋2b＝λ(2a－b)，∴解得 6、【答案】C 【解析】因为{i，j，k}是空间的一个单位正交基底，所以i2＝j2＝k2＝1，i·j＝i·k＝j·k＝0，故m·n＝(8j＋3k)·(－i＋5j－4k)＝40j2－12k2＝28． 7、【答案】C 【解析】设正方体棱长为2，建立空间直角坐标系如图所示，A(2，0，0)，C1(0，2，2)，G(2，1，2)，C(0，2，0)，E(1，0，2)，D(0，0，0)，B1(2，2，2)，F(0，0，1)，B(2，2，0)．①＝(－2，2，2)，＝(1，1，0)，·＝－2＋2＋0＝0，所以AC1⊥EG，故①正确；②＝(－2，1，－2)，＝(－1，0，－2)，不存在实数λ使＝λ，故GC∥ED不成立，故②错误；③＝(－2，－2，－1)，＝(0，－1，2)，＝(－2，0，2)，·＝0，·＝2≠0，故B1F⊥平面BGC1不成立，故③错误；④＝(－1，0，－1)，＝(0，0，2)，设EF和BB1所成角为θ，则cos θ＝||＝||＝，由于θ∈，所以θ＝，故④正确．综上所述，正确的命题有2个．故选C． 8、【答案】A 【解析】设点D在底面半圆上的射影为点D1，如图，连接AD1交BC于点O，设A1D∩B1C1＝O1，依题意知半圆柱体底面直径BC＝4，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为半圆弧的中点，所以AD1⊥BC，A1D⊥B1C1且O，O1分别是下底面、上底面半圆的圆心，连接OO1，则OO1与上下底面垂直，所以OO1⊥OB，OO1⊥OA．因为OA⊥OB，以OB，OA，OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为h(h＞0)，则B(2，0，0)，D(0，－2，h)，A(0，2，0)，B1(2，0，h)，所以＝(－2，－2，h)，＝(2，－2，h)．因为异面直线BD和AB1所成的角的余弦值为，所以||＝||＝，即＝，解得h＝4．所以几何体的体积为×π×22×4＋×4×2×4＝16＋8π．故选A． 9、【答案】BD 【解析】A中，原式＝＋2＋＝＋＋＋＝＋，不符合题意；B中，原式＝2(＋＋＋)＋(＋＋)＝0；C中，原式＝，不符合题意；D中，原式＝(－)＋(－)＝0．故选BD． 10、【答案】BC 【解析】对于A，因为＝(4，6，－4)，＝(0，2，0)，＝(－1，0，1)，4－3＝(3，8，－3)，所以A错误；对于B，因为＝3－4，所以，，共面，所以A，B，C，E四点共面，所以B正确；对于C，因为＝(1，0，1)，·＝0，·＝0，所以是平面ABC的一个法向量，所以C正确；对于D，由上可知平面ABE的一个法向量为＝(1，0，1)，所以OE与平面ABE所成角的正弦值为＝＝，所以OE与平面ABE所成角的余弦值为≠，所以D错误．故选BC． 11、【答案】ABD 【解析】如图，建立空间直角坐标系，设P(2，a，0)，a∈[0，2]，Q(2，2，b)，b∈[0，2]，设＝λ，得到R(2－2λ，2λ，2－2λ)，λ∈[0，1]，＝(2，a，－2)，＝(2，0，b)，·＝4－2b，当b＝2时，D1P⊥CQ，A正确；＝(2－2λ，2λ，－2λ)，·＝2(2－2λ)－2λb，取λ＝时，D1R⊥CQ，B正确；由AR⊥A1C，得·＝(－2λ，2λ，2－2λ)·(－2，2，－2)＝4λ＋12λ－4＋4λ＝0，λ＝，此时·＝·＝－≠0，C错误；A1C＝3A1R，则R，＝，设平面BDC1的法向量为n＝(x，y，z)，则解得n＝(，－1，)，故·n＝0，故D1R∥平面BDC1，D正确．故选ABD． 12、【答案】1 【解析】若向量a，b，c共面，则c＝xa＋yb，其中x，y∈R，即(1，3，λ)＝(2x，－x，3x)＋(－y，4y，－2y)＝(2x－y，－x＋4y，3x－2y)，∴解得 13、【答案】 【解析】如图，过点K作KM⊥EF，则垂足M为EF的中点，连接MG，KG，则向量与的夹角为120°，〈，〉＝60°．又＝＋，∴2＝2＋2＋2·＝1＋1＋2×1×1×cos 60°＝3．∴||＝． 14、【答案】　 【解析】如图，连接AC，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，C(0，1，0)，P(0，1，m)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，易证是平面BDD1B1的一个法向量．＝(－1，1，0)，＝(－1，1，m)，＝(0，1，0)．∵|cos 〈，〉|＝＝＝，m＞0，∴m＝．cos 〈，〉＝＝＝． 15、解：(1)∵A(1，－2，0)，a＝(－3，4，12)，＝a， ∴＝＋a＝(1，－2，0)＋(－3，4，12)＝(－2，2，12)． ∴点B的坐标为(－2，2，12)． (2)设C(x，0，0)，则＝(x－1，2，0)， ∵x轴上的一点C满足〈a，〉＝， ∴·a＝－3(x－1)＋8＝0，则x－1＝， ∴AC的长为＝． 16、解：(1)如图所示，取AA1的中点E，在D1C1上取一点F，使得D1F＝2FC1，连接EF， 则＋＋＝＋＋＝． (2)＝＋ ＝＋ ＝(＋)＋(＋) ＝＋＋， 所以α＝，β＝，γ＝． 17、(1)证明：由已知条件可得BD＝2，CD＝2，CD⊥BD． 因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以CD⊥平面ABD． 又因为AB⊂平面ABD，所以CD⊥AB． (2)解：如图，以D为原点，DB所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，由已知可得A(1，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，M(1，1，0)，所以＝(0，－2，0)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，1，0)． 设平面ACD的法向量n＝(x，y，z)， 则⊥n，⊥n，所以 令x＝1，得平面ACD的一个法向量n＝(1，0，－1)， 所以点M到平面ACD的距离d＝＝． 18、(1)证明：如图，设FC的中点为I，连接GI，HI，在△CEF中，因为G是CE的中点， 所以GI∥EF． 又因为EF∥OB， 所以GI∥OB． 在△CFB中，因为H是FB的中点， 所以HI∥BC． 又因为HI∩GI＝I，OB∩BC＝B， 所以平面GHI∥平面ABC． 因为GH⊂平面GHI， 所以GH∥平面ABC． (2)解：连接OO′，则OO′⊥平面ABC． 又因为AB＝BC，且AC是圆O的直径，所以BO⊥AC． 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz． 由题意得B(0，2，0)，C(－2，0，0)． 过点F作FM垂直OB于点M， 所以FM＝＝3，可得F(0，，3)． 故＝(－2，－2，0)，＝(0，－，3)． 设m＝(x，y，z)是平面BCF的法向量， 由可得 可得平面BCF的一个法向量 m＝． 因为平面ABC的一个法向量n＝(0，0，1)， 所以cos 〈m，n〉＝＝． 所以平面BCF与平面ABC夹角的余弦值为． 19、(1)证明：以D为原点，直线DA，DC分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得D(0，0，0)，P(0，1，)，C(0，2，0)，A(2，0，0)，M(，2，0)． ＝(，1，－)，＝(－，2，0)， ∴·＝(，1，－)·(－，2，0)＝0， 即⊥，∴AM⊥PM． (2)解：设n＝(x，y，z)为平面PAM的法向量， 则即 取y＝1，得n＝(，1，)． 取p＝(0，0，1)，显然p为平面ABCD的一个法向量， ∴cos 〈n，p〉＝＝＝． 故平面PAM与平面ABCD的夹角为45°． (3)解：设点D到平面AMP的距离为d， 由(2)可知n＝(，1，)为平面PAM的一个法向量， 则d＝＝＝． 故点D到平面AMP的距离为． 学科网（北京）股份有限公司 $$