专题06 圆中的重要模型之圆幂定理模型-2024-2025学年九年级数学下册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（北师大版）

专题06 圆中的重要模型之圆幂定理模型 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.相交弦模型 2 模型2.双割线模型 3 模型3.切割线模型 5 模型4.弦切角模型 7 模型5.托勒密定理模型 9 12 模型1.相交弦模型 相交弦定理（Intersecting Chords Theorem），经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。 条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。 结论：。 证明：∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴。 例1．（2023·广东广州·九年级校考期中）如图，两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点P，大圆的弦经过点P，且，，两圆组成的圆环的面积是 ．    例2．（2023·江苏·九年级专题练习）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．    (1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦，交于点P，求证：______________． (2)如图②，已知是的直径，与弦交于点P，且于点P，过D作的切线，交的延长线于E，D为切点，若，的半径为5，求的长． 例3．（2023春·山东·统考三模）如图，圆O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上，且FC＝FE． (1)求证：CF是圆O的切线；(2)若，BE＝2，求圆O的半径和的值． 模型2.双割线模型 割线定理（Secant Theorem），从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。 条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。 结论： 证明：∵HGEF是圆的内接四边形，∴，∵，∴ 又，∴，∴ ，∴ 例1．（2023·重庆·一模）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD= ． 例2．（2023·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，为的割线，且，交于点C，若，则的半径的长为 ． 例3．（2023春·湖北九年级课时练习）如图所示：、分别与圆O交于A、B、C、D四点，连接、，(1)证明：(2)若，，，求的长. 模型3.切割线模型 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 条件：如图，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。 结论： 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴。 例1．（2023·广东·九年级假期作业）如图，切于点A，是的割线，若，则 ．    例2．（2023春·河南驻马店·九年级统考期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线上是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即如图①，是的切线，直线为的割线，则． 下面是切割线定理的证明过程（不完整）： 证明：如图②，连接，连接并延长交于点E，连接、． ∵是的切线，是的半径，∴． ∵是的直径，∴（__________）， ∴，∴__________． ∵，∴__________． ∵，∴∽， ∴（__________），∴． 任务：(1)请在横线上补充证明过程，在括号内补充推理的依据；(2)如图③，已知是的直径，是的切线，A为切点，割线与于点E，且满足，，求的长． 　　　　 例3．（23-24九年级上·北京·期末）如图，AB为⊙O的直径，割线PCD交⊙O于C、D,∠PAE=∠PDA． （1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PA=6，CD=3PC，求PD的长. 模型4.弦切角模型 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。 条件：如图，点A、B、D在O上，直线BC与O相切于点B。结论：∠CBD==∠BAD。 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接OD、ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴∠CBD==∠BAD。 例1．（2023·成都市九年级期中）定义：弦切角：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．问题情景：已知如图所示，直线是的切线，切点为，为的一条弦，为弧所对的圆周角． （1）猜想：弦切角与之间的关系．试用转化的思想：即连接并延长交于点，连接，来论证你的猜想．（2）用自己的语言叙述你猜想得到的结论． 例2．（2023春·山西大同·九年级校联考期中）阅读与思考 阅读下面内容并完成任务：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 如图1，直线与相切于点，为的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，为直径时，很容易证明． 小华同学认为这是一种特殊情况，若不是直径会如何呢？即在图2中吗？她连接并延长，交于点，连接…问题得到了解决． 小颖同学利用图3证明了当弦切角为直角时，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 小亮积极思考，提出当弦切角为钝角时，能证明（如图4）吗？ 任务：(1)请按照小华的思路，利用图2证明； (2)结合小华、小颖的思路或结论，利用图4解答小亮提出的问题； (3)写出在上面解决问题的过程中体现的数学思想：______（写出两种）； (4)解决问题：如图5，点为的弦延长线上一点，切于点，连接，，，，则______° 模型5.托勒密定理模型 托勒密定理（Ptolemy's theorem）指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 条件：如图，AB、CD是圆O的两条弦； 结论： 证明：如图2，作交BD于点E．∵，∴． ∴，∴，∴． ∵，∴，∴， ∵，∴；∴．∴．∴． ∴，∴． 例1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，则（    ）    A． B． C． D． 例2．（2023春·山西临汾·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应任务 托勒密，古希腊天问学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积． 下面是该定理的证明过程（部分） 已知：如图①四边形是的内接四边形    求证： 证明：以C顶点，为一边作交于点E，使得 又∵ ∴ ∴  ∴， 又， ∴ ∴ ∴，∴ ∴                ∴    即 任务：(1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ．(3)如图②若，试探究线段之间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论．    例3．（2023·江苏盐城·九年级统考期中）【旧知再现】圆内接四边形的对角 . 如图①，四边形是的内接四边形，若，则 . 【问题创新】圆内接四边形的边会有特殊性质吗？ 如图②，某数学兴趣小组进行深入研究发现： 证明：如图③，作，交于点.   ∵， ∴， ∴  即   （请按他们的思路继续完成证明） 【应用迁移】如图④，已知等边外接圆，点为 上一点，且，，求的长. 1．（23-24九年级上·成都市·期中）如图，切于，是的割线，如果，，则的长为（ ） A．2 B． C．4 D． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为（    ）      A． B． C． D． 3．（2023·辽宁葫芦岛·一模）已知：如图，、是⊙的割线，，，.则= . 4．（23-24九年级下·山东泰安·期中）如图所示，是圆O的直径，是圆的切线，E为切点，，若与圆的交点为D，且，则的大小为 ． 5.（2023·湖南岳阳·统考二模）请阅读下列材料，解答问题： 克罗狄斯·托勒密（约90年—168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理． 托勒密定理：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和． 如图，正五边形ABCDE内接于，，则对角线BD的长为 ． 6．（2023春·北京通州·九年级统考开学考试）在与圆有关的比例线段探究学习中，某兴趣小组发现有三种不同情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三中的一种情况进行证明．为上的点，直线相交于点． 证明 情况一点P在⊙O内时，连接（如图1）： ，∴ ∴，即 情况二点P在⊙O外时（如图2）： 情况三当点A和点B重合时（如图3） 7．（2023·江西宜春·统考模拟预测）阅读与思考 九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，的两弦相交于点P．求证：． 证明：如图1，连接．∵，．∴，（根据） ∴@，∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据：____________；@：____________． (2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是的弦，P是上一点，，，，求的半径． 8．（2023春·四川绵阳·九年级统考期中）定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图1，为的切线，点为切点，为内一条弦，即为弦切角． (1)古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著，全书共13卷，以第1卷的23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明．第三卷中命题32一弦切角定理的内容是：“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数．” 如下给出了弦切角定理不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图2，为的切线，点为切点，为内一条弦，点在上，连接，，，．求证：．证明： (2)如图3，为的切线，为切点，点是上一动点，过点作于点，交于，连接，，．若，，求弦的长． 11．（2023·江苏·九年级专题练习）阅读下列材料，完成相应任务： 弗朗索瓦•韦达，法国杰出数学家．第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步，在欧洲被尊称为“代数学之父”．他还发现从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项（切割线定理）． 如图1，P是外一点，是的切线，是的一条割线，与的另一个交点为B，则． 证明：如图2，连接、，过点C作的直径，连接． ∵是的切线，∴，∴，即． …… 任务：(1)请按照上面证明思路写出该证明的剩余部分． (2)如图3，与相切于点A，连接并延长与交于点B、C，，，，连接．①与的位置关系是 　 　．②求的长． 13．（2023春·山西·三模）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 人们在研究圆与直线的位置和数量关系时，发现存在这样一个关系：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点构成的两条线段长的比例中项．这个几何关系也叫圆的切割线定理．喜欢探究的小明尝试给出了该定理的如下证明： 已知：如图1，P为⊙O外一点，切线PA与圆相切于点A，割线PBC与圆相交于点B，C．求证：． 证明：如图2，连接AB，AC，BO，AO． ∵PA切⊙O于点A，∴，即． ∵，∴． ∵，∴．…… 任务：(1)请帮助小明补充完成以上证明过程．(2)如图，割线PDE与圆交于点D，E，且，，连接BE，过点C向下作交PE的延长线于点F，求EF的长． 14．（2023春·河南商丘·统考二模）读下面材料，并完成相应的任务 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 下面是不完整的证明过程，请补充完整． 已知：P为外一点，PA与交于A，B两点，PM与相切于点M． 求证：． 证明：如图，连接AM，BM，连接MO并延长交于点C，连接BC． ∵PM为的切线，∴_______，∴，∵CM为的直径，∴_______，∴，∴_______，∵，∴．∵，∴_______．∴，∴． 学习任务：如图，若线段AB与相交于C，D两点，且，射线AB，BF为的两条切线，切点分别为E，F，连接CF．(1)求证：；(2)若，，，求的面积． 15．（2023·河南周口·校考三模）阅读与思考 学习了圆的相关知识后，某数学兴趣小组的同学们进行了如下探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务． 割线定理 如图，A是外一点，过点A作直线分别交于点B，C，D，E，则有．    证明：如图，连接． ∵（依据：①________________），， ∴．∴②_________________．∴． 任务：(1)上述阅读材料中①处应填的内容是________，②处应填的内容是_______． (2)兴趣小组的同学们继续思考，当直线AE与圆相切时，是否仍有类似的结论．请将下列已知、求证补充完整，并给出证明． 已知：如图，A是外一点，过点A的直线交于点B，C，__________． 求证： ___________．    16．（2023春·山东九年级期中）如图，为外接圆⊙O的直径，交于点F，且． (1)求证：是⊙O的切线；(2)求证：；(3)若，，，求⊙O的半径． 17.（23-24九年级上·河南新乡·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图（1），其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾入接水槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图（2），筒车圆O与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，接水槽所在的直线是圆O的切线，且与直线交于点M，当点P恰好在MN所在的直线上，P、O、C三点共线，是圆O的直径时，解决下面的问题： (1)求证：；(2)求证：；(3)若，，，求的长．    18．（2023春·山西临汾·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应任务 托勒密，古希腊天问学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积．下面是该定理的证明过程（部分） 已知：如图①四边形是的内接四边形 求证： 证明：以C顶点，为一边作交于点E，使得 又∵ ∴ ∴  ∴， 又， ∴ ∴ ∴，∴ ∴               ∴   即 任务：(1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ．(3)如图②若，试探究线段之间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论．       原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 圆中的重要模型之圆幂定理模型 圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理、割线定理、弦切角定理、托勒密定理以及它们推论的统一与归纳。可能是在19世纪由德国数学家施泰纳（Steiner）或者法国数学家普朗克雷（Poncelet）提出的。圆幂定理的用法：可以利用圆幂定理求解与圆有关的线段比例、角度、面积等问题。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.相交弦模型 2 模型2.双割线模型 5 模型3.切割线模型 8 模型4.弦切角模型 12 模型5.托勒密定理模型 15 21 模型1.相交弦模型 相交弦定理（Intersecting Chords Theorem），经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等。 条件：在圆O中，弦AB与弦CD交于点E，点E在圆O内。 结论：。 证明：∵，∴，∵，∴， ∴，∴，∴。 例1．（2023·广东广州·九年级校考期中）如图，两个同心圆，大圆的弦与小圆相切于点P，大圆的弦经过点P，且，，两圆组成的圆环的面积是 ．    【答案】 【分析】连接，，，，先根据切线的性质定理和垂径定理证出，再证明，得到，代入数据求得，最后根据圆环的面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：如图，连接，，，，        ∵大圆的弦与小圆相切于点P，∴，∴，， ∵，，∴，∵，，∴， ∴，即，解得：（负值舍去）， ∴圆环的面积为：，故答案为：． 【点睛】此题综合运用了切线的性质定理、垂径定理、勾股定理、圆周角定理、圆环的面积公式，分别求出大圆和小圆的半径是解题的关键． 例2．（2023·江苏·九年级专题练习）相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．    (1)为了说明相交弦定理正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”“求证”，请补充完整，并写出证明过程．已知：如图①，弦，交于点P，求证：______________． (2)如图②，已知是的直径，与弦交于点P，且于点P，过D作的切线，交的延长线于E，D为切点，若，的半径为5，求的长． 【答案】(1)，证明见解析(2) 【分析】（1）先证明，再利用相似的性质即可；（2）利用（1）可知，求出，再证明，利用相似的性质求出，求差即可得到的长． 【详解】（1）求证：． 证明：连接AC、BD．如图①．    ∵，．∴．∴．∴． （2）解：∵，，．由（1）可知．∴． ∵，是的直径，，． 连接OD．如图②．∵为切线．∴． ∵．．∴．∴． ∵，∴．∴，． 又∵．∴． 【点睛】本题考查圆的相关性质，三角形相似判定与性质，严格的逻辑思维和严密的书写过程是解题关键． 例3．（2023春·山东·统考三模）如图，圆O上有A，B，C三点，AC是直径，点D是的中点，连接CD交AB于点E，点F在AB延长线上，且FC＝FE． (1)求证：CF是圆O的切线；(2)若，BE＝2，求圆O的半径和的值． 【答案】(1)见解析(2)半径为；的值为 【分析】（1）证出∠OCF=90°，由切线的判定可得出结论；（2）令BF=3k，则BC=4k ，CF=5k，由勾股定理列式计算求出k=1，证明△CBE∽△ADE，利用相似三角形的性质，则可得出答案． (1)证明：∵FC=FE，∴∠CEF=∠ECF， ∵∠CEF=∠CAF+∠ACD，∠ECF=∠ECB+∠FCB，∴∠CAF+∠ACD=∠ECB+∠FCB， ∵点D是弧AB的中点，∴∠ACD=∠ECB，∴∠CAF=∠FCB， ∵AC是直径，∴∠CBA=∠CBF=90°，即∠F+∠FCB=90°， ∴∠F+∠CAF=90°，∴∠OCF=90°，∴CF是圆O的切线； (2)解：∵cosF=，即，令BF=3k，则CF=5k，∴BC==4k， ∵CF=EF，∴2+3k=5k  解得k=1，∴CF=5，BF=3，BC=4， 在Rt△ABC中，∠ACB=∠F，∵cos∠ACB=，∴AC=，所以半径为， 在Rt△ACF中，，∴，∴AE=AF-EF=，连接AD， ∵∠CBE=∠ADE，∠CEB=∠AED，∴△CBE∽△ADE， ∴，∴． 【点睛】本题考查了切线的判定、圆周角定理、等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定和圆周角定理是解题的关键． 模型2.双割线模型 割线定理（Secant Theorem），从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的距离的积相等。 条件：如图，割线CH与弦CF交圆O于点E和点G。 结论： 证明：∵HGEF是圆的内接四边形，∴，∵，∴ 又，∴，∴ ，∴ 例1．（2023·重庆·一模）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC：BD= ． 【答案】/1:3 【分析】根据切割线定理可求得∠D=∠PAC，即可求证△PAC∽△PDB，根据对应边比值相等的性质和CD的长求得PC与PB的比值，即可求解． 【详解】解：∵PAB、PCD为⊙O的两条割线， ∴∠BAC+∠BDC=180°，∠PAC+∠BAC=180°，∴∠BDC=∠PAC， 又∵∠P=∠P，∴△PAC∽△PDB，∴=， 设PC=x，PD=y，且y﹣x=11，解得：x=4，y=15，∴===，故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，考查了切割线定理，考查了相似三角形对应边比值相等的性质，本题中根据CD和对应边比值相等的性质求AC∶BD的值是解题的关键． 例2．（2023·四川成都·九年级校考阶段练习）如图，为的割线，且，交于点C，若，则的半径的长为 ． 【答案】 【分析】延长交圆于点D，连接、，由圆内接四边形内对角互补性质可得，结合邻补角互补可得，继而证明，由相似三角形对应边成比例解得，由此计算，最后根据线段的和差解题即可． 【详解】如图，延长交圆于点D，连接、， 四边形为圆内接四边形，∴． ∵，∴，∵，∴， ∴，∴，， ∵，∴，∴半径为，故答案为：． 【点睛】本题考查圆的内接四边形、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 例3．（2023春·湖北九年级课时练习）如图所示：、分别与圆O交于A、B、C、D四点，连接、，(1)证明：(2)若，，，求的长. 【答案】(1)见解析(2)的长为6 【分析】（1）根据A、B、C、D四点共圆得，根据得，即可得；（2）根据相似三角形的性质得，进行计算即可得． 【详解】（1）证明：∵A、B、C、D四点共圆， ∴， ∵，∴， ∵，∴； （2）解：∵，∴， ∵，，，∴， 即的长为6． 【点睛】本题考查了圆的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点，正确计算． 模型3.切割线模型 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 条件：如图，CB是圆O的切线，CA是圆O的割线。 结论： 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴。 例1．（2023·广东·九年级假期作业）如图，切于点A，是的割线，若，则 ．    【答案】 【分析】连接，连接并延长交于点D，连接，利用余角的性质证明，推出，进而得到，利用等式即可求出． 【详解】解：连接，连接并延长交于点D，连接，    ∵切于点A，∴，∴， ∵为的直径，∴，∴，∴ 又∵，∴，∴，∴， 而，∴，∴（负值舍去）．故答案：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的切线的性质定理，圆周角定理，正确利用定理是解决本题的关键． 例2．（2023春·河南驻马店·九年级统考期中）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线上是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即如图①，是的切线，直线为的割线，则． 下面是切割线定理的证明过程（不完整）： 证明：如图②，连接，连接并延长交于点E，连接、． ∵是的切线，是的半径， ∴． ∵是的直径，∴（__________）， ∴，∴__________． ∵，∴__________． ∵，∴∽， ∴（__________）， ∴． 　　　　 任务：(1)请在横线上补充证明过程，在括号内补充推理的依据；(2)如图③，已知是的直径，是的切线，A为切点，割线与于点E，且满足，，求的长． 【答案】(1)直径所对的圆周角相等；；；相似三角形的对应边成比例；(2) 【分析】（1）根据圆周角定理、等角的余角相等、等量代换、相似三角形的性质等补充证明过程；（2）先根据已知和割线定理求得，，，则，再根据切线性质和勾股定理求得；利用圆周角定理和相似三角形的判定证明，则，进而求得即可求解． 【详解】（1）证明：如图②，连接，连接并延长交于点E，连接、． ∵是的切线，是的半径，∴． ∵是的直径，∴（直径所对的圆周角相等）， ∴，∴．∵，∴． ∵，∴∽， ∴（相似三角形的对应边成比例），∴． 　　   故答案为：直径所对的圆周角相等；；；相似三角形的对应边成比例； （2）解：图3中，连接，， ∵，∴设，，，则， ∵是的切线，是割线， ∴由割线定理得，则，解得（负值舍去）， ∴，，，则， ∵是的直径，是的切线，∴， ∴； ∵，，∴，则， ∴，∴． 【点睛】本题主要考查了切线性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解切割线定理，掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 例3．（23-24九年级上·北京·期末）如图，AB为⊙O的直径，割线PCD交⊙O于C、D,∠PAE=∠PDA． （1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PA=6，CD=3PC，求PD的长. 【答案】（1）详见解析；（2）12 【分析】（1）连结BC，根据切线的定义可证明；（2）证△PAC∽△PDA得,36=PC∙4PC,可得结果. 【详解】（1）证明：连结BC ∵AB为⊙O的直径∴∠ACB=90°∴∠B+∠BAC=90° ∵∠B=∠PDA, ∠PAC=∠PDA∴∠BAC+∠PAC=90°∴AB⊥PA ∴PA是⊙O的切线 （2）∵∠PAC=∠PDA，∠P=∠P∴△PAC∽△PDA ∴36=PC∙4PC ∵CD=3PC,PA=6∴PD=4PC∴36=PC∙4PC∴PC=3(舍负) ∴PD=12 【点睛】熟记切线的定义；相似三角形的判定和性质. 模型4.弦切角模型 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数。 条件：如图，点A、B、D在O上，直线BC与O相切于点B。结论：∠CBD==∠BAD。 证明：连接BO并延长交⊙O于点E，连接OD、ED， ∵BC是⊙O的切线，∴，∵，∴， ∵BE是圆的直径，∴，∴，∴，∴， ∵，∴∠CBD==∠BAD。 例1．（2023·成都市九年级期中）定义：弦切角：顶点在圆上，一边与圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角． 问题情景：已知如图所示，直线是的切线，切点为，为的一条弦，为弧所对的圆周角． （1）猜想：弦切角与之间的关系．试用转化的思想：即连接并延长交于点，连接，来论证你的猜想．（2）用自己的语言叙述你猜想得到的结论． 【答案】（1）（2）弦切角等于其两边所夹弧对的圆周角 【分析】（1）连接CO并延长交圆于E，连接DE，根据直径所对的圆周角是直角，可以得到∠E+∠DCE=90°；再根据AB是切线可以得到∠DCE+DCB=90°，所以∠DCB=∠E，最后根据等弧所对的圆周角相等就可以的得到所要的结论．（2）能说清弦切角与圆周角的关系即可． 【详解】（1）； 证明：∵是的直径，∴； 又∵是的切线，∴，∴； 又∵，∴． （2）弦切角等于其两边所夹弧对的圆周角．（或弦切角的度数等于其两边所夹弧度数的一半．） 【点睛】此题综合运用了切线的性质、等角的余角相等以及圆周角定理的推论． 例2．（2023春·山西大同·九年级校联考期中）阅读与思考 阅读下面内容并完成任务： 顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角． 弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 如图1，直线与相切于点，为的弦，叫弦切角，叫做弦切角所夹的弧，是所对的圆周角，为直径时，很容易证明． 小华同学认为这是一种特殊情况，若不是直径会如何呢？即在图2中吗？她连接并延长，交于点，连接…问题得到了解决． 小颖同学利用图3证明了当弦切角为直角时，弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角． 小亮积极思考，提出当弦切角为钝角时，能证明（如图4）吗？ 任务：(1)请按照小华的思路，利用图2证明； (2)结合小华、小颖的思路或结论，利用图4解答小亮提出的问题； (3)写出在上面解决问题的过程中体现的数学思想：______（写出两种）； (4)解决问题：如图5，点为的弦延长线上一点，切于点，连接，，，，则______° 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)转化思想和类比思想(4) 【分析】（1）连接并延长，交于点，连接，则，根据是的直径，可得，再根据切线的性质可得，即可； （2）连接并延长，交于点，连接，根据是的直径，可得，再根据切线的性质可得，从而得到，再由圆内接四边形的性质，可得，即可；（3）上面解决问题的过程中体现的数学思想为：转化思想和类比思想； （4）接并延长，交于点，连接，则，证明，即可． 【详解】（1）证明：连接并延长，交于点，连接，则， ∵是的直径，∴，∴， ∵直线与相切于点，∴，∴， ∴，∴； （2）证明：连接并延长，交于点，连接， ∵是的直径，∴，∴， ∵直线与相切于点，∴，∴，∴， ∵四边形是的内接四边形，∴， ∵，∴； （3）解：上面解决问题的过程中体现的数学思想为：转化思想和类比思想； 故答案为：思想转化思想和类比思想 （4）解：如图，接并延长，交于点，连接，则， ∵是的直径，∴，∴， ∵直线与相切于点，∴，∴， ∴，∴，∵，， ∴．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理，切线的性质，圆内接四边形的性质是解题的关键． 模型5.托勒密定理模型 托勒密定理（Ptolemy's theorem）指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 条件：如图，AB、CD是圆O的两条弦； 结论： 证明：如图2，作交BD于点E．∵，∴． ∴，∴，∴． ∵，∴，∴， ∵，∴；∴．∴．∴． ∴，∴． 例1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）“托勒密定理”由依巴谷提出，其指出圆的内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．如图，中有圆内接四边形，已知，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据同弧所对的圆周角相等可得，在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而在中，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，最后利用托勒密定理，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，    ，， 在中，，，， ，，在中，， 在中，，， 在中，，， 四边形是的内接四边形，， ，解得：，故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 例2．（2023春·山西临汾·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应任务 托勒密，古希腊天问学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积． 下面是该定理的证明过程（部分） 已知：如图①四边形是的内接四边形    求证： 证明：以C顶点，为一边作交于点E，使得 又∵ ∴ ∴  ∴， 又， ∴ ∴ ∴，∴ ∴                ∴    即 任务：(1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ．(3)如图②若，试探究线段之间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论．    【答案】(1) (2)勾股定理(3)，证明见解析 【分析】（1）根据相似三角形的性质求解即可；（2）根据矩形性质验证即可； （3）根据题中证明过程解答即可． 【详解】（1）解：   ； （2）解：当圆内接四边形是矩形时， ∴，，∴， ∴托勒密定理就是我们非常熟知的勾股定理； （3）解： 证明：∵， ∴ ∴ ∴是等边三角形∴ 由托勒密定理得： ∴∴； 【点睛】本题考查新定义下的证明，涉及相似三角形的判定与性质，圆的性质，灵活运用所学知识是关键． 例3．（2023·江苏盐城·九年级统考期中）【旧知再现】圆内接四边形的对角 . 如图①，四边形是的内接四边形，若，则 . 【问题创新】圆内接四边形的边会有特殊性质吗？ 如图②，某数学兴趣小组进行深入研究发现： 证明：如图③，作，交于点.   ∵， ∴， ∴  即   （请按他们的思路继续完成证明） 【应用迁移】如图④，已知等边外接圆，点为 上一点，且，，求的长. 【答案】【旧知再现】互补，    110；【问题创新】见解析；【应用迁移】 【分析】【重温旧知】根据圆周角定理，得出，，化简得出，利用等腰三角形的两个底角相等和圆内接四边形对角互补，即可得； 【提出问题】所得等式两边加上AD•BC，右边变形后即可得证； 【应用迁移】由上题的结论，根据为等边三角形，可得AB=AC=BC，代入化简即可求出PA的长. 【详解】（1）如图示： 连接OA，OC，根据圆周角定理， 则有：， ∴∴圆内接四边形的对角互补； ∵，∴在等腰三角形ABD中， ∴ （2）证明：如图， ∵∴，即， 又∵，∴ ∴，即 ∴， ∴， （3）由（2）可知 ∵是等边三角形， ∴， ∴，∴即. 【点睛】此题属于圆的综合题，涉及的知识有：圆内接四边形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆内接四边形的性质是解本题的关键． 1．（23-24九年级上·成都市·期中）如图，切于，是的割线，如果，，则的长为（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】根据切线定理得PA2＝PBPC＝8即可求得PA的长. 【详解】∵PA2＝ PBPC＝8,PB＝2,PC＝4，∴PA＝. 【点睛】本题主要考查了切线定理的运用. 2．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形内接于半径为的圆，，，，则四边形的周长为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆内接四边形，圆周角定理，勾股定理，角所对直角边是斜边的一半和托勒密定理，连接，，过作交延长线于点，过作于点，作圆的直径，连接，根据知识求出，，，再根据托勒密定理求解即可，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，连接，，过作交延长线于点，过作于点，作圆的直径，连接，∴，，，    ∵，，∴，， ∴，∴，∴， 在中，由勾股定理得，∴， ∵，，，∴，∴， 在中，由勾股定理得，∴， 在中，，∴，由托勒密定理得：， ∴，∴， ∴四边形的周长为，故选：． 3．（2023·辽宁葫芦岛·一模）已知：如图，、是⊙的割线，，，.则= . 【答案】8 【分析】由于PAB和PCD是⊙O的割线，可直接根据割线定理求出PD的长． 【详解】根据割线定理得：PA•PB=PC•PD； ∵，，；∴PD==8cm．故答案为8. 【点睛】本题主要考查的是切割线定理的应用． 4．（23-24九年级下·山东泰安·期中）如图所示，是圆O的直径，是圆的切线，E为切点，，若与圆的交点为D，且，则的大小为 ． 【答案】/15度 【分析】设圆心为O，连接，，，，作于F，根据切线的性质得出，设，根据勾股定理求出，证明，得出，求出，得出，解直角三角形得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，，，，作于F， ∵是圆的切线，E为切点，∴，∵，∴， ∵，∴为等腰直角三角形，∴， ∵是的直径，∴，∴，∴， ∵，∴，又∵，∴， ∴为等腰直角三角形，∴，设，则， ∵，∴，∵，， ∴，∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，在中，， ∴，∴， ∵，∴．故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 5.（2023·湖南岳阳·统考二模）请阅读下列材料，解答问题： 克罗狄斯·托勒密（约90年—168年），是希腊数学家，天文学家，地理学家和占星家．在数学方面，他还论证了四边形的特性，即有名的托勒密定理． 托勒密定理：圆的内接四边形的两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和． 如图，正五边形ABCDE内接于，，则对角线BD的长为 ． 【答案】 【分析】连接AD，AC，根据圆周角与弦的关系可得AD=AC=BD，设BD=x，在四边形ABCD中，根据托勒密定理有，AC⋅BD=AB⋅CD+AD⋅BC，建立方程即可求得BD的长． 【详解】解：如图，连接AD，AC， ∵五边形ABCDE是正五边形，则∠E=∠ABC=∠BCD，AB=BC=CD=2， ∴AD=AC=BD，设BD=x，∵ACBD=ABCD+ADBC，即x2=2×2+2x， 解得x1=1+，x2=1−（舍去），∴BD=1+．故答案为：． 【点睛】此题考查托勒密定理，圆周角与弦的关系，解一元二次方程，解题的关键是理解题意添加辅助线． 6．（2023春·北京通州·九年级统考开学考试）在与圆有关的比例线段探究学习中，某兴趣小组发现有三种不同情况，并完成了情况一的证明．请你选择情况二或者情况三中的一种情况进行证明．为上的点，直线相交于点． 证明 情况一点P在⊙O内时，连接（如图1）： ，∴ ∴，即 情况二点P在⊙O外时（如图2）： 情况三当点A和点B重合时（如图3）    【答案】见解析 【分析】情况二：如图2，连接、，可得由同弧或等弧所对的圆周角相等，可证，进而结论得证；情况三：如图3，连接，连接并延长交于，连接．由切线的性质可得，即，由直径所对的圆周角为直角可得，证明，由，可得，则，证明，进而结论得证． 【详解】 证明 情况一点P在内时，连接（如图1）： ，， ∴， ∴，即． 情况二点P在外时（如图2）： 连接、， ， ，， ∴． 情况三当点A和点B重合时（如图3）： 连接，连接并延长交于，连接． 为的切线，， 即， 是的直径，， ∴，∴， ∵，∴， ∴， ，即， ∴．    【点睛】本题考查了相似三角形的判定，同弧或等弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，切线的性质等知识解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用 7．（2023·江西宜春·统考模拟预测）阅读与思考 九年级学生小刚喜欢看书，他在学习了圆后，在家里突然看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等． 已知：如图1，的两弦相交于点P． 求证：． 证明：如图1，连接． ∵，．∴，（根据） ∴@，∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 任务：(1)请将上述证明过程补充完整．根据：____________；@：____________． (2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是的弦，P是上一点，，，，求的半径． 【答案】(1)有两个角对应相等的两个三角形相似；；(2) 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质求解即可；（2）延长交圆O于点D，延长交圆O于点F，设圆O的半径为r，则，，根据（1）中结论代入求解即可． 【详解】（1）连接．∵，． ∴，（有两个角对应相等的两个三角形相似） ∴，∴，∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等． 故答案为：有两个角对应相等的两个三角形相似；； （2）延长交圆O于点D，延长交圆O于点F， 设圆O的半径为r，则，， 根据（1）中结论得，即为， 解得：或（不符合题意，舍去），的半径为． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，圆的相交弦定理等，理解题意，熟练掌握运用圆的相交弦定理是解题关键． 8．（2023春·四川绵阳·九年级统考期中）定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．如图1，为的切线，点为切点，为内一条弦，即为弦切角． (1)古希腊数学家欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著，全书共13卷，以第1卷的23个定义、5个公设和5个公理作为基本出发点，给出了119个定义和465个命题及证明．第三卷中命题32一弦切角定理的内容是：“弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角度数的一半，等于它所夹的弧所对的圆周角度数．” 如下给出了弦切角定理不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程． 已知：如图2，为的切线，点为切点，为内一条弦，点在上，连接，，，． 求证：． 证明： (2)如图3，为的切线，为切点，点是上一动点，过点作于点，交于，连接，，．若，，求弦的长． 【答案】(1)见解析 (2)21 【分析】（1）如图2，延长交于，连接，根据圆周角定理得到，求得，根据切线的性质得到，求得，于是得到结论； （2）如图3，连接，根据勾股定理得到，根据切线的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：求证：， 证明：如图2，延长交于，连接， 是的直径，，， 为的切线，，， ，，；即； （2）如图3，连接， ，，， 为的切线，， ，， ，，． 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 11．（2023·江苏·九年级专题练习）阅读下列材料，完成相应任务： 弗朗索瓦•韦达，法国杰出数学家．第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步，在欧洲被尊称为“代数学之父”．他还发现从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项（切割线定理）． 如图1，P是外一点，是的切线，是的一条割线，与的另一个交点为B，则． 证明：如图2，连接、，过点C作的直径，连接． ∵是的切线，∴， ∴，即． …… 任务： (1)请按照上面证明思路写出该证明的剩余部分． (2)如图3，与相切于点A，连接并延长与交于点B、C，，，，连接． ①与的位置关系是 　 　． ②求的长． 【答案】(1)见解析(2)①平行；② 【分析】（1）先根据切线的性质和圆周角定理证得，进而证明，利用相似三角形的性质求解即可；（2）根据圆周角定理证得，根据平行线的判定即可得出结论； （3）连接，根据已知和（1）中结论和求得，，再利用勾股定理求得，然后证明，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：如图2，连接、，过点C作的直径，连接． ∵是的切线，∴， ∴，即． ∵是直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∴， 故答案为：平行； ②如图3，连接， ∵与相切，为割线， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理可知，， ∴，即， ∴， 由（1）中证明过程可知，又， ∴， ∴，即 ∴． 【点睛】本题考查圆的切线和割线性质、相似三角形的判定与性质、圆周角定理、平行线的判定、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用相似三角形的性质探究线段间的数量关系是解答的关键． 13．（2023春·山西·三模）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 人们在研究圆与直线的位置和数量关系时，发现存在这样一个关系：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点构成的两条线段长的比例中项．这个几何关系也叫圆的切割线定理．喜欢探究的小明尝试给出了该定理的如下证明： 已知：如图1，P为⊙O外一点，切线PA与圆相切于点A，割线PBC与圆相交于点B，C． 求证：． 证明：如图2，连接AB，AC，BO，AO． ∵PA切⊙O于点A，∴，即． ∵，∴． ∵，∴． …… 任务： (1)请帮助小明补充完成以上证明过程． (2)如图，割线PDE与圆交于点D，E，且，，连接BE，过点C向下作交PE的延长线于点F，求EF的长． 【答案】(1)补充证明见解析 (2) 【分析】（1）根据圆周角定理确定∠O=2∠PCA，根据角的和差关系和等价代换思想确定∠APB=∠CPA，然后根据相似三角形的判定定理和性质即可证明． （2）根据（1）中结论先求出PA2，然后求出PE的长度，最后根据平行线分线段成比例定理即可求出EF的长度． 【详解】（1）解：补充证明如下． ∵∠PCA和∠O分别是所对的圆周角和圆心角， ∴∠O=2∠PCA． ∴2∠OAB+2∠PCA=180°． ∴∠OAB+∠PCA=90°． ∴∠PAB=∠PCA． ∵∠APB=∠CPA， ∴． ∴． ∴． （2）解：由（1）中结论可知，． ∵PB=BC=4， ∴PC=PB+BC=8． ∴． ∵PD=5， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理，角的和差关系，相似三角形的判定定理和性质，平行线分线段成比例定理，正确应用（1）中结论是解题关键． 14．（2023春·河南商丘·统考二模）读下面材料，并完成相应的任务 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 下面是不完整的证明过程，请补充完整． 已知：P为外一点，PA与交于A，B两点，PM与相切于点M． 求证：． 证明：如图，连接AM，BM，连接MO并延长交于点C，连接BC． ∵PM为的切线，∴_______，∴，∵CM为的直径，∴_______，∴，∴_______，∵，∴．∵，∴_______．∴，∴． 学习任务： 如图，若线段AB与相交于C，D两点，且，射线AB，BF为的两条切线，切点分别为E，F，连接CF． (1)求证：； (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)∠CMP；∠CBM；∠BMP；△PMA；见解析 (2)27 【分析】阅读材料：连接AM，BM，连接MO并延长交于点C，连接BC，证△PMA即可得出结论； （1）由阅读材料得，，再由AC=BD，证AD=BC，即可得出结论； （2）由阅读材料得，从而求出，再过点F作于点G，解求出，最后利用计算即可求解． 【详解】（1）阅读材料证明：如图，连接AM，BM，连接MO并延长交于点C，连接BC． ∵PM为的切线，∴∠CMP， ∴， ∵CM为的直径， ∴∠CBM， ∴， ∴∠BMP， ∵， ∴． ∵， ∴△PMA． ∴， ∴． 故答案为：∠CMP，∠CBM，∠BMP，△PMA． （1）证明：∵AE，BF为的两条切线， ∴，． ∵， ∴，即． ∴， ∴． （2）解：∵，设，则，， 由由阅读材料得，， 即，解得， ∴， 如图1，过点F作于点G， 在中，， 即， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，本题属阅读材料题，通过阅读，探究出一个结论，再运用结论解决其他问题，属中考试常用考类型． 15．（2023·河南周口·校考三模）阅读与思考 学习了圆的相关知识后，某数学兴趣小组的同学们进行了如下探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务． 割线定理 如图，A是外一点，过点A作直线分别交于点B，C，D，E，则有．    证明：如图，连接． ∵（依据：①________________），， ∴． ∴②_________________． ∴． 任务： (1)上述阅读材料中①处应填的内容是________，②处应填的内容是_______． (2)兴趣小组的同学们继续思考，当直线AE与圆相切时，是否仍有类似的结论．请将下列已知、求证补充完整，并给出证明． 已知：如图，A是外一点，过点A的直线交于点B，C，__________． 求证： ___________．    【答案】(1)同弧所对的圆周角相等；； (2)与相切于点E．；证明见解析 【分析】（1）根据题意得到结论即可； （2）如图，连接，证明即可得到结论． 【详解】（1）如图，连接． ∵（依据：①__同弧所对的圆周角相等__），， ∴． ∴②_______． ∴． 故答案为：同弧所对的圆周角相等；； （2）已知：如图，A是外一点，过点A的直线交于点B，C，与相切于点E． 求证： ．    证明：如图，连接，连接并延长交于点D，连接．    ∵为的切线， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：与相切于点E． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，割线定理，熟练掌握割线定理是解题的关键． 16．（2023春·山东九年级期中）如图，为外接圆⊙O的直径，交于点F，且． (1)求证：是⊙O的切线；(2)求证：； (3)若，，，求⊙O的半径． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)5 【分析】（1）连接，交于G，证出，则可得出结论． （2）证明，由相似三角形的性质得出，则可得出结论． （3）求出，由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）证明：连接，交于G，如图所示．    ∵，，∴， ∵为⊙O的直径，∴，∴， ∵，为半径，∴， ∴， ∴，即 ， ∵是半径，∴与⊙O相切于点A． （2）证明：∵，，∴， ∴，∴． （3）解：设⊙O的半径为r，∵是⊙O的切线，∴于A， ∵，∴于G，∴，， ∵，∴，∵，∴， ∴，解得，∴⊙O的半径为5． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点，能综合运用知识点进行推理是解题的关键． 17.（23-24九年级上·河南新乡·期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理：如图（1），其原理是利用流动的河水，推动水车转动，水斗舀满河水，将水提升，等水斗转至顶空后再倾入接水槽，水流源源不断，流入田地，以利灌溉．如图（2），筒车圆O与水面分别交于点A、B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，P表示筒车的一个盛水筒，接水槽所在的直线是圆O的切线，且与直线交于点M，当点P恰好在MN所在的直线上，P、O、C三点共线，是圆O的直径时，解决下面的问题：    (1)求证：；(2)求证：；(3)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)． 【分析】本题考查了切线的判定与性质 ，圆周角定理，相似三角形的判定与性质掌握圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由圆周角定理得出，由切线性质得出即可求证； （2）先证明即可得出； （3）由得出，代入数据即可求解． 【详解】（1）证明：∵是的直径,∴，∴， ∵所在的直线是的切线，点恰好在所在的直线上， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴． （2）证明：∵，, ∴.∴，即． （3）解：由（2）可知， ∵， ∴，． 18．（2023春·山西临汾·九年级统考期末）阅读下列材料，并完成相应任务 托勒密，古希腊天问学家、地理学家和光学家，而他在数学方面也有重大贡献，下面就是托勒密发现的一个定理，圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积． 下面是该定理的证明过程（部分） 已知：如图①四边形是的内接四边形    求证： 证明：以C顶点，为一边作交于点E，使得 又∵ ∴ ∴   ∴， 又， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴                ∴   即 任务：(1)请将“托勒密”定理的证明过程补充完整；(2)当圆内接四边形是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理： ．(3)如图②若，试探究线段之间的数量关系，并利用托勒密定理证明这个结论．    【答案】(1) (2)勾股定理 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据相似三角形的性质求解即可；（2）根据矩形性质验证即可；（3）根据题中证明过程解答即可． 【详解】（1）解：   ； （2）解：当圆内接四边形是矩形时， ∴，，∴， ∴托勒密定理就是我们非常熟知的勾股定理； （3）解： 证明：∵， ∴ ∴ ∴是等边三角形∴ 由托勒密定理得： ∴∴； 【点睛】本题考查新定义下的证明，涉及相似三角形的判定与性质，圆的性质，灵活运用所学知识是关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！42 学科网（北京）股份有限公司 $$