专题08 等差数列与等比数列（10大基础题+3大提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（人教A版2019选择性必修）

专题08 等差数列与等比数列 等差数列的定义及应用 一、单选题 1．（23-24高二上·广东深圳·期末）若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 2．（23-24高二上·吉林·期末）已知为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知等差数列，则下列属于该数列的项的是（    ） A．-23 B．-31 C．-33 D．-43 二、多选题 4．（23-24高二下·辽宁·期末）等比数列的公比为，则下列说法正确的是（   ） A．为等差数列 B．若且，则递增 C．为等比数列 D．为等比数列 5．（23-24高二下·山西长治·期末）已知数列，满足，且，则（    ） A． B．当时，是等比数列 C．当时，是等差数列 D．当时，是递增数列 6．（23-24高二下·云南昆明·期末）等比数列的公比为，前项和为，为等差数列，则（    ） A． B． C．为等差数列 D．为等比数列 7．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知数列的前项和，则下列说法中正确的是（    ） A．一定为等差数列 B．可能为等比数列 C．若，则一定为递增数列 D．若，则存在，使得 8．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则（    ） A．可能为等差数列 B．不可能为等比数列 C．是等差数列 D．是等比数列 9．（23-24高二上·江苏南通·期末）下列结论正确的是（    ） A．若是等差数列，则是等比数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等比数列，则是等比数列 D．若是等差数列，则是等比数列 10．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知数列满足，，则数列（    ） A．有可能是常数数列 B．有可能是等差数列 C．有可能是等比数列 D．有可能既不是等差数列，也不是等比数列 三、解答题 11．（23-24高二下·北京顺义·期末）已知各项均为正数的等比数列满足=8，，设. (1)证明：数列是等差数列； (2)记数列的前项和为，求的最大值． 12．（23-24高二下·广东揭阳·期末）给定数列，若首项且，对任意的，都有，则称数列为“指数型数列”. (1)已知数列为“指数型数列”，若，求； (2)已知数列满足，判断数列是不是“指数型数列”？若是，请给出证明；若不是，请说明理由； (3)若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列. 13．（23-24高二下·江西南昌·期末）若数列 满足 ，且 ，则称数列 为 “正余弦错位数列”.已知数列 为 “正余弦错位数列”. (1)若 ，求 ； (2)证明： 数列 为等差数列. 等差数列基本量的计算 一、单选题 1．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）记为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·福建福州·期末）在等差数列中，，则（    ） A．7 B．11 C．14 D．16 3．（23-24高二下·河南开封·期末）已知等差数列中，，，则（    ） A． B． C．0 D．1 4．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．（23-24高二下·北京顺义·期末）已知等差数列的前项和为，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·山东淄博·期末）设等差数列，则（    ） A．-5 B．18 C．23 D．28 7．（23-24高二下·北京西城·期末）在等差数列中，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 8．（23-24高二下·河南·期末）已知等差数列满足，且，则首项（    ） A． B．0 C．1 D．3 二、多选题 9．（23-24高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C．当时， D．当时， 10．（23-24高二上·吉林延边·期末）已知为等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B．为递减数列 C． D． 11．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，且，，则（ ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知等差数列的公差为，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．（23-24高二下·海南海口·期末）已知等差数列的首项，前项和为，若，则公差 . 14．（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知等差数列满足，，则通项公式为 . 15．（23-24高二下·上海浦东新·期末）等差数列中，，则 ． 16．（23-24高二上·陕西咸阳·期末）在等差数列中.若，则 ． 四、解答题 17．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）设是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)写出数列的前项和. 等差数列项的性质 一、单选题 1．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．20 B．15 C．10 D．5 2．（23-24高二下·河南信阳·期末）数列满足，已知，则的前19项和（    ） A．0 B．8 C．10 D．19 3．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）记等差数列的前项和为，若，则（    ） A．13 B．45 C．65 D．130 4．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）在等差数列中，，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．14 5．（23-24高二下·四川绵阳·期末）设等差数列的前项和为，已知，则（   ） A．32 B．64 C．84 D．108 6．（23-24高二下·贵州遵义·期末）已知等差数列的公差为1，，则（    ）． A．10 B．12 C．14 D．16 7．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则此数列的项数是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（23-24高二上·山东烟台·期末）（多选）已知等差数列的前n项和为，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．最小 9．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知是公差为d的等差数列，其前n项和是，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·福建三明·期末）等差数列的前n项和为，若，则下列各项的值一定为m的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（23-24高二下·青海·期末）已知等差数列的前项和为，且，则 . 12．（23-24高二下·上海金山·期末）在等差数列中，已知，则 ． 13．（23-24高二上·西藏拉萨·期末）在等差数列中，，则 . 等差数列和的性质 一、单选题 1．（23-24高二下·海南·期末）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．144 B．120 C．108 D．96 2．（23-24高二下·广东广州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 3．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高三上·山东淄博·期末）设为等差数列的前n项和，则“对，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（23-24高二下·江西抚州·期末）已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（21-22高二上·云南曲靖·期末）记为等差数列的前项和，首项为，公差为，则下列叙述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 三、填空题 10．（23-24高二上·天津·期末）设为等差数列的前项和，且，，则 . 11．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知等差数列的前项和分别为，且，则 . 等差数列的应用 一、单选题 1．（23-24高二上·云南迪庆·期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（    ） A．27 B．31 C．35 D．39 2．（23-24高二上·河南洛阳·期末）周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 3．（23-24高二上·山东临沂·期末）中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰:“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂,遂千百五二十岁”，即1遂为1520岁.某疗养中心恰有57人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为三遂，则最年轻者的年龄为（    ） A．52 B．54 C．58 D．60 4．（22-23高二上·湖南岳阳·期末）小方是一名文学爱好者，他想利用业余时间阅读《红楼梦》和《三国演义》，假设他读完这两本书共需40个小时，第1天他读了10分钟，从第2天起，他阅读的时间比前一天增加10分钟，恰好阅读完这两本书的时间为（    ） A．第20天 B．第21天 C．第22天 D．第23天 5．（23-24高二上·广西玉林·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，则第三十五层球的个数为（    ） A．561 B．595 C．630 D．666 二、多选题 6．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某公司为入职员工实行每月加薪，小王入职第1个月工资为a元，从第2个月到第13个月，每月比上个月增加100元，从第14个月到第25个月，每月比上个月增加50元，已知小王前3个月的工资之和为9300元，则（ ） A． B．小王第3个月与第13个月工资之和等于第2个月与第14个月工资之和 C．小王入职后第20个月的工资为4550元 D．小王入职后前15个月的工资之和是55350元 7．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，第六章《均输》中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，问五人各得多少钱？”（注：“均输”即按比例分配，此处指的是甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列；“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法正确的是（    ） A．戊得钱是甲得钱的一半 B．乙得钱比丁得钱多钱 C．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍 D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱 三、填空题 8．（2023·山东·模拟预测）某学校报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.若第10排有41个座位，则该报告厅座位的总数是 . 9．（23-24高三上·上海静安·期末）在国家开发西部的号召下，某西部企业得到了一笔400万元的无息贷款用做设备更新．据预测，该企业设备更新后，第1个月收入为20万元，在接下来的5个月中，每月收入都比上个月增长20%，从第7个月开始，每个月的收入都比前一个月增加2万元．则从新设备使用开始计算，该企业用所得收入偿还400万无息贷款只需 个月．（结果取整） 等比数列及其应用 一、单选题 1．（22-23高二下·辽宁抚顺·期末）已知数列，则“”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知是等数列，则下列数列必为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·北京大兴·期末）若数列是等比数列，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知数列的前n项和为，若，且（），则（    ） A．为等比数列 B．为等差数列 C．为等比数列 D．为等差数列 5．（22-23高二上·广东深圳·期末）在数列中，且，则（ ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（23-24高二上·湖南长沙·期末）设数列的前n项和为，下列命题正确的是（    ） A．若为等差数列，则，，仍为等差数列 B．若为等比数列，则，，仍为等比数列 C．若为等差数列，则为等差数列 D．若为正项等比数列，则为等差数列 7．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知是等差数列，是等比数列，下列说法正确的是（    ） A．是等比数列 B．是等差数列 C．若，则为递减数列 D．若，则为递增数列 8．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）在数列中，已知，，则（    ） A． B．是等差数列 C． D．是等比数列 9．（23-24高二下·云南昆明·期末）等比数列的公比为，前项和为，为等差数列，则（    ） A． B． C．为等差数列 D．为等比数列 10．（23-24高二上·浙江杭州·期末）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的，一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法得到一系列图形，如图1，在长度为1的线段AB上取两个点C、D，使得，以CD为边在线段AB的上方做一个正方形，然后擦掉CD，就得到图形2；对图形2中的最上方的线段EF作同样的操作，得到图形3；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图1，图2，图3，…，图n，各图中的线段长度和为，数列的前n项和为，则（　　） A．数列是等比数列 B． C．恒成立 D．存在正数，使得恒成立 三、填空题 11．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列满足：，其前项和为，若，则 . 四、解答题 12．（23-24高二上·福建福州·期末）已知数列的首项，且满足． (1)判断数列是否为等比数列； (2)若，记数列的前n项和为，求． 13．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知数列满足：，，设. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 14．（23-24高二上·河南开封·期末）已知数列的首项，且． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和． 等比数列基本量的计算 一、单选题 1．（23-24高二下·贵州黔南·期末）记为等比数列的前n项和，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）递增等比数列中，，，则（      ） A． B． C．72 D．144 3．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知等比数列的前n项和为，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24高二下·吉林松原·期末）设等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 的公比 为（    ） A．1或 B．1或3 C．或 D．或3 5．（23-24高二下·辽宁大连·期末）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 6．（23-24高二下·辽宁锦州·期末）已知等比数列满足，，则（   ） A．1 B． C．3 D． 7．（23-24高二下·北京海淀·期末）若等比数列的前项和，则公比（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知等比数列是其前项和，，则（    ） A． B．8 C．7 D．14 二、多选题 9．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知等比数列中，，公比，其前项和为，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知等比数列的公比为，，，数列的前项和为，则（    ） A． B． C．数列是等比数列 D． 11．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）在等比数列中，满足的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（23-24高二下·安徽淮北·期末）若是首项和公比均为3的等比数列，且，则 ． 13．（23-24高二下·江西景德镇·期末）记为等比数列的前项和，若，则公比为 . 14．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列满足：，其前项和为，若，则 . 15．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知等比数列的前项和为，数列的前项和为．若，则 ． 等比数列项的性质 一、单选题 1．（23-24高二下·青海·期末）在等比数列中，，，则（   ） A．64 B．128 C． D． 2．（23-24高二下·贵州毕节·期末）已知等比数列的各项均为正数，若，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二下·山东日照·期末）已知等比数列，，为函数的两个零点，则（    ） A． B． C． D．3 4．（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知是单调递增的等比数列，且，则公比的值是（    ） A．3 B．－3 C．2 D．－2 6．（23-24高二下·广西钦州·期末）在等比数列中，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 7．（23-24高二下·北京西城·期末）在等比数列中，若，，则（    ） A．4 B．6 C．2 D．±6 8．（23-24高二下·江西赣州·期末）正项等比数列中，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知等比数列的公比为，前项积为，若，，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·内蒙古·期末）已知公比为的正项等比数列的前项积为，则（    ） A． B．当时， C． D．当，且取得最小值时，只能等于6 三、填空题 11．（23-24高二上·上海宝山·期末）已知数列是等比数列，且，，则 ． 12．（23-24高二下·福建福州·期末）在等比数列中，，，则 13．（23-24高二下·陕西榆林·期末）在各项均为正数的等比数列中，，则 ． 14．（23-24高二下·辽宁·期末）在等比数列中，，则 . 15．（23-24高二下·四川达州·期末）在等比数列中，，，则 ． 16．（23-24高二下·上海·期末）已知数列为正项等比数列，，，则 ． 等比数列和的性质 一、单选题 1．（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知正项等比数列满足，则数列的公比为（    ） A．2 B．1 C． D．或 2．（23-24高二上·安徽宣城·期末）设是等比数列的前项和，若，则（    ） A．2 B． C． D． 3．（23-24高二上·河南开封·期末）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．21 B．18 C．15 D．12 4．（23-24高三上·山西·期末）已知等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．8 B．26 C．80 D．54 5．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知等比数列满足，则（    ） A．24 B．36 C．48 D．108 6．（23-24高二上·河北保定·期末）设等比数列的前n项和为，已知，，则（    ） A．144 B．324 C．400 D．364 7．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）等比数列中，为的前n项和，若，则（    ） A． B． C． D．1 二、多选题 8．（23-24高二下·辽宁大连·期末）下列关于数列与其前项和的命题，表述正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若是等比数列，，则 D．若，则数列单调递增 9．（23-24高二下·广东·期末）已知数列，其前项和记为，则（    ） A．若是等差数列，且，则 B．若是等差数列，且，则 C．若是等比数列，且，其中为常数，则 D．若是等比数列，则也是等比数列 三、填空题 10．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）设是等比数列的前项和，若，，则= . 11．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知等比数列的前项和为，且，，则的值为 ． 12．（23-24高二下·吉林长春·期末）设等比数列的前n项和是.已知，则 . 等比数列的应用 一、单选题 1．（23-24高二下·海南海口·期末）小明同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付150元；第二种，第一天付10元，第二天付30元，第三天付50元，以后每天比前一天多20元；第三种，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）；如果小明预计工作12天，从总收入最高的角度，小明会选择哪种方式领取报酬（    ） A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．无法判断 2．（23-24高二上·湖北荆门·期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到3333大约需要的天数为（    ）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：） A．42 B．43 C．35 D．49 3．（23-24高三下·山东济南·开学考试）已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（    ）（参考数据：取） A．第6天 B．第7天 C．第8天 D．第9天 4．（23-24高二上·安徽黄山·期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其大意是：有一个人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了六天到达该关口，则此人第三天走的路程为（    ） A．48里 B．45里 C．43里 D．40里 5．（23-24高二上·河北邯郸·期末）一个弹性小球从10米高处自由落到地面后弹起到原来的一半高度，再自由落到地面后又弹起到上一次的一半高度，如此反复进行下去，则小球第五次落地时经过的路程为（    ） A．29.375米 B．19.375米 C．38.75米 D．28.75米 6．（23-24高二上·重庆·期末）古代“微尘数”的计法：“凡七微尘，成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺……”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列．那么1指节是（    ） A．兔尘 B．羊尘 C．兔尘 D．羊尘 二、填空题 7．（23-24高二上·广东深圳·期末）一个乒乓球从 高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的 ，在第3次着地时，乒乓球经过的总路程为 . 8．（23-24高三上·辽宁大连·期末）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作：再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：...，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于，则操作的次数的最大值为 . （参考数据：） 9．（23-24高二上·江苏南京·期末）如图，正方形的边长为2cm，取正方形各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形，然后再取正方形各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，如果这个作图过程可以一直继续下去，当操作次数无限增大时，所有这些正方形的面积之和将无限趋近于常数 ． 三、解答题 10．（23-24高二上·浙江金华·期末）在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A：第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元：公司B：第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作． (1)若此人选择在一家公司连续工作年，第年的月工资是分别为多少？ (2)若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（）． 11．（23-24高二上·山东威海·期末）甲、乙两家企业同时投入生产，第年的利润都为万元（），由于生产管理方式不同，甲企业前年的总利润为万元，乙企业第年的利润比前一年的利润多万元，设甲、乙两家企业第年的利润分别为万元，万元. (1)求，； (2)当其中某一家企业的年利润不足另一家企业同年的年利润的时，该家企业将被另一家企业兼并收购. 判断哪一家企业有可能被兼并收购，如果有这种情况，出现在第几年. 等比数列前n项和的最值问题 一、单选题 1．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（    ） A．12 B．13 C．24 D．25 3．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知数列是公差为的等差数列，是其前项和，且,，则（　　） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·广东·期末）已知数列的通项公式，其前项和为，则取最小值时的值为（    ） A．1012 B．1013 C．1014 D．1015 5．（23-24高二上·福建宁德·期末）已知等差数列的前项和为．若，，则当取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·天津和平·期末）若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（  ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（23-24高二下·云南·期末）已知等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．当时，取得最小值 D．当时，满足的最大整数的值为25 8．（23-24高二下·四川乐山·期末）已知等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．最小值为 9．（23-24高二下·四川成都·期末）等差数列 的前 项和为 ，则（    ） A． B． C． D．当 时， 的最小值为 16 10．（23-24高二上·福建福州·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 三、填空题 11．（23-24高二下·北京怀柔·期末）已知等差数列的前项和，若，则 ；前项和的最大值为 ． 12．（23-24高二上·山东济南·期末）已知等差数列首项，公差，则前n项和的最大值为 ． 13．（23-24高二上·江苏南京·期末）设 为数列 的前项和，若 ，则 的最小值为 14．（23-24高二上·吉林·期末）已知为等差数列的前n项和，为其公差，且，给出以下命题： ①；②；③使得取得最大值时的n为8；④满足成立的最大n值为17 其中正确命题的序号为 . 四、解答题 15．（23-24高二上·福建福州·期末）已知等差数列的前项和为，； (1)求等差数列的前项和及的最大值； (2)求数列的前项和. 16．（23-24高二上·新疆·期末）已知等差数列中，， (1)求的通项公式 (2)求数列的前n项和的最小值． 等比数列前n项积的最值问题 一、单选题 1．（23-24高二上·广东肇庆·期末）数列的前n项和为，满足，则数列的前n项积的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（    ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 3．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知正项等比数列的前项积为，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 二、多选题 4．（23-24高二上·江苏常州·期末）在等比数列中，，为数列的前项积，下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则的最大项为 D．若，则的最小项为 5．（23-24高二下·河南开封·期末）已知为等差数列的前n项和，为等比数列的前n项积，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·江苏南京·期末）设等比数列的公比为，前项积为，且满足条件，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数等于4044 7．（23-24高二下·陕西渭南·期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列中的最大值是 D．数列无最大值 8．（23-24高二上·福建福州·期末）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为 三、填空题 9．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知数列满足，，且.若是数列的前项积，求的最大值为 . 10．（23-24高二下·北京顺义·期末）已知各项均为正数的等比数列，，，则 ；前项积的最小值为 . 数列的新定义问题 一、单选题 1．（23-24高二下·北京房山·期末）已知数列：，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推. 是数列的前项和，若，则的值可以等于（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·北京顺义·期末）对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”．给出以下四个结论： ① 若等差数列为“有界变差数列”，则的公差等于0； ② 若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比q的取值范围是； ③ 若数列是“有界变差数列”，满足，则是“有界变差数列”； ④ 若数列是“有界变差数列”，满足，则是“有界变差数列”； 其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（23-24高二下·江西抚州·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记为“斐波那契数列”的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二下·河南南阳·期末）设为正整数，数列是公比不为1的等比数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列是可分数列.现有下列3个命题： ①数列是可分数列； ②数列是可分数列； ③数列是可分数列. 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（23-24高二下·江西新余·期末）数列，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（23-24高二下·甘肃·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记斐波那契数列为，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·山东淄博·期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.  如数列，它的前后两项之差组成新数列，新数列为等差数列， 则数被称为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其前6项分别为，设其通项公式则下列结论中正确的是（    ） A．数列的公差为2 B． C．数列的前7项和最大 D． 8．（23-24高二下·云南曲靖·期末）为提高学生学习数学的热情，某校积极筹建数学兴趣小组，小组成员仿照教材中等差数列和等比数列的概念，提出“等积数列”的概念：从第二项起，每一项与前一项之积为同一个常数（不为0）.已知数列是一个“等积数列”，，其前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的一个通项公式为 D． 9．（23-24高二下·湖北武汉·期末）冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列从左往右，依次对相邻两个元素比较大小，若，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列进行冒泡排序，首先比较，需要交换1次位置，得到新序列，然后比较，无需交换位置，最后比较，又需要交换1次位置，得到新序列最终完成了冒泡排序，同样地，序列需要依次交换完成冒泡排序.因此，和均是交换2次的序列.现在对任一个包含个不等实数的序列进行冒泡排序，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为，只需要交换1次的序列个数为，只需要交换2次的序列个数为，则（    ） A．序列是需要交换3次的序列 B． C． D． 三、填空题 10．（23-24高二下·辽宁·期末）设高斯函数表示不超过的最大整数（如），已知，则 ； ． 11．（23-24高二下·上海·期末）在数列中，若存在两个连续的三项与相同（），则称是“3阶可重复数列”．已知给定项数为m（）的数列，其中一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是 ． 四、解答题 12．（23-24高二下·河北·期末）设n为正整数，数列是首项为1，公比为的等比数列.从中任意选取两项和，若它们的和大于，则称该选取为“有效选取”. (1)当时，求所有“有效选取”的种数； (2)若，证明：对于任意的n，都存在“有效选取”； (3)若，证明：对于任意的n，数列中存在两项和，使得它们的差的绝对值大于. 13．（23-24高二下·北京房山·期末）若数列满足：对任意，都有，则称是“数列”． (1)若，，判断，是否是“数列”； (2)已知是等差数列，，其前项和记为，若是“数列”，且恒成立，求公差的取值范围； (3)已知是各项均为正整数的等比数列，，记，若是“数列”，不是“数列”，是“数列”，求数列的通项公式． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 等差数列与等比数列 等差数列的定义及应用 一、单选题 1．（23-24高二上·广东深圳·期末）若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合等差数列的定义和特殊数列，逐项判定，即可求解. 【详解】因为数列为等差数列，设公差为，可得， 对于A中，例如：等差数列，则， 此时数列不是等差数列，所以A符合题意； 对于B中，数列中，可得，所以数列为常数列， 所以数列一定是等差数列，所以B不符合题意； 对于C中，数列中，可得（常数）， 所以数列一定是等差数列，所以C不符合题意； 对于D中，数列中，可得， 所以数列一定是等差数列，所以D不符合题意. 故选：A. 2．（23-24高二上·吉林·期末）已知为等差数列，则下面数列中一定是等差数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令等差数列通项公式为，根据等差数列定义依次判断各项. 【详解】若等差数列通项公式为，此时，，，， 不为常数，所以不是等差数列； 不为常数，所以不是等差数列， 为常数，所以是等差数列， 不为常数，所以不是等差数列. 故选：B 3．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知等差数列，则下列属于该数列的项的是（    ） A．-23 B．-31 C．-33 D．-43 【答案】C 【分析】先由具体的等差数列写出通项公式，再根据选项一一代入，验证求出的的值满足即可. 【详解】由等差数列知数列首项为，公差为，故数列通项为， 分别使取选项中的值，发现仅当时，，其它没有对应的n. 故选：C. 二、多选题 4．（23-24高二下·辽宁·期末）等比数列的公比为，则下列说法正确的是（   ） A．为等差数列 B．若且，则递增 C．为等比数列 D．为等比数列 【答案】ABD 【分析】根据等差数列与等比数列的定义可判断ACD，再根据等比数列公比可判断B选项. 【详解】由数列为等比数列，则，则 A选项：，， 则为定值，所以数列为等差数列，A选项正确； B选项：由，，则， 所以当时，，数列单调递增； 当时，，数列单调递增；所以B选项正确； C选项：当时，， 此时不是等比数列，C选项错误； D选项：当时，， 又为定值， 所以数列为等比数列，D选项正确； 故选：ABD. 5．（23-24高二下·山西长治·期末）已知数列，满足，且，则（    ） A． B．当时，是等比数列 C．当时，是等差数列 D．当时，是递增数列 【答案】BCD 【分析】对于A，直接由已知得到，即可说明A错误；对于B，证明，结合即可验证；对于C，说明即可；对于D，验证，再利用即可验证. 【详解】对于A，由已知有，故A错误； 对于B，当时，由于，且，故是等比数列，故B正确； 对于C，当时，由，归纳即知. 所以，从而，故是等差数列，故C正确； 对于D，当时，由于，故. 所以，从而是递增数列，故D正确. 故选：BCD. 6．（23-24高二下·云南昆明·期末）等比数列的公比为，前项和为，为等差数列，则（    ） A． B． C．为等差数列 D．为等比数列 【答案】ABC 【分析】根据等差数列与等比数列的定义及公式可判断. 【详解】由已知为等差数列，则当时，为定值， 即为常数， 此时数列为常数列， 又数列为等比数列， 则，且，，A选项正确； 此时，B选项正确； ，，，，即为等差数列，C选项正确； ，，，不为定值，所以不为等比数列，D选项错误； 故选：ABC. 7．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知数列的前项和，则下列说法中正确的是（    ） A．一定为等差数列 B．可能为等比数列 C．若，则一定为递增数列 D．若，则存在，使得 【答案】BD 【分析】对于A：证明，才是等差数列，对于B：取，即可说明；对于C：证明可判断，对于D：用二次函数的性质说明即可. 【详解】对于A：当时，， 该通项公式为一次函数形式，所以从第二项起为等差数列， 所以数列是等差数列的条件只需满足当时满足的通项公式即可， 即当，，所以只有当时，才是等差数列，故A错误； 对于B：当时，，满足要求，故B正确； 对于C：若，则，所以，故C错误； 对于D，若，函数的图象关于直线对称，因此，从而，故D正确. 故选：BD 8．（23-24高二下·内蒙古·期末）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项积为，则（    ） A．可能为等差数列 B．不可能为等比数列 C．是等差数列 D．是等比数列 【答案】AC 【分析】对于AB，举例判断，对于C，根据等差数列的定义结合题意分析判断，对于D，根据等比数列的定义结合题意分析判断， 【详解】对于A，当为常数列时，因为为等差数列，所以为等差数列，所以A正确． 对于B，当为常数列，且时，因为是等比数列，所以为等比数列，所以B错误． 对于C，设的公差为，则，得， 因为，所以数列是等差数列，所以C正确． 对于D，设的公比为，则， 当时，不是常数，所以不是等比数列，所以D错误． 故选：AC 9．（23-24高二上·江苏南通·期末）下列结论正确的是（    ） A．若是等差数列，则是等比数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等比数列，则是等比数列 D．若是等差数列，则是等比数列 【答案】ABD 【分析】由已知结合等比数列和等差数列的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，由题意，公差， 则为非零常数，所以是等比数列，故A正确； 对于B，由题意，公比， 则为非零常数，所以是等比数列，故B正确； 对于C，当时，， 此时不是等比数列，故C错误； 对于D，由题意得，且 则为非零常数，所以是等比数列，故D正确. 故选：ABD. 10．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知数列满足，，则数列（    ） A．有可能是常数数列 B．有可能是等差数列 C．有可能是等比数列 D．有可能既不是等差数列，也不是等比数列 【答案】BCD 【分析】将已知等式变形为，利用反证法可判断A选项；利用等差数列的定义可判断B选项；利用等比数列的定义可判断C选项；举特例可判断D选项. 【详解】由可得， 即， 若对任意的，有且，此时数列是公比为的等比数列， 若对任意的，有且，此时数列是公差为的等差数列， 取数列各项为：、、、、、、，则数列满足条件， 此时，数列既不是等差数列，也不是等比数列，BCD对， 若数列为常数列，不妨设（为常数）对任意的恒成立， 由可得，可得，与矛盾， 故数列不可能是常数列，A错. 故选：BCD. 三、解答题 11．（23-24高二下·北京顺义·期末）已知各项均为正数的等比数列满足=8，，设. (1)证明：数列是等差数列； (2)记数列的前项和为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)6 【分析】（1）由等比数列的基本量法，求出基本量，从而求得通项公式，再求得通项公式，从而得证. （2）从二次函数的角度理解，求得的最大值. 【详解】（1）设等比数列的公比为q, ∵数列是等比数列，且，则， ∴ , ∴ , ∴==2 又∵=8,∴ , ∴ ∴ ∴ ∴数列是等差数列，首项，公差. （2）由(1)知， ∵ , ∴对称轴,又，所以取 ∴时，最大，最大值为6. 12．（23-24高二下·广东揭阳·期末）给定数列，若首项且，对任意的，都有，则称数列为“指数型数列”. (1)已知数列为“指数型数列”，若，求； (2)已知数列满足，判断数列是不是“指数型数列”？若是，请给出证明；若不是，请说明理由； (3)若数列是“指数型数列”，且，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列. 【答案】(1)， (2)是，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）直接根据定义代入计算即可； （2）根据“指数型数列"的定义可做判断，证明时利用递推式推出数列是等比数列，求出，再结合定义即可证明； （3）由递推式可得，继而假设数列中存在三项构成等差数列，结合可推出矛盾，即可证明结论. 【详解】（1）因为数列是“指数型数列”，所以对于任意的， 都有.因为， 所以，. （2）数列是“指数型数列”. 证明:由，得，即， 所以数列是等比数列，且， 则， ， 所以数列是“指数型数列”. （3）因为数列是“指数型数列”，故对任意的， 有，则，所以， 适合该式. 假设数列中存在三项构成等差数列，不妨设， 则由，得， 所以， 当为偶数且时，是偶数，而是奇数，是偶数， 故不能成立； 当为奇数且时，是偶数，而是偶数，是奇数， 故不能成立； 所以，对任意的，不能成立， 即数列中任意三项都不能构成等差数列. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是根据定义得，再对分奇偶数讨论，根据数论知识得到方程不成立. 13．（23-24高二下·江西南昌·期末）若数列 满足 ，且 ，则称数列 为 “正余弦错位数列”.已知数列 为 “正余弦错位数列”. (1)若 ，求 ； (2)证明： 数列 为等差数列. 【答案】(1) ，， (2)证明见解析 【分析】（1）由， ，解方程求，同理可求 ； （2）由条件，结合诱导公式可得或，结合条件 ，证明，结合等差数列定义证明结论. 【详解】（1）当时 ，由已知， ，知 ， 又由，可知， 所以，又， 所以符合题意， 同理，由 ，，得或， 又，所以， 由 ，，得， 又， 符合题意. （2）因为 ，所以 ， 所以或， 即或， 因为， 所以，， 所以，， 所以或或， 又，所以， 则， 所以， 所以数列 是公差为的等差数列. 【点睛】关键点点睛：由 ，由诱导公式可得 ，可得或，利用好“正余弦错位数列”的定义条件，即可得到，再利用等差数列的概念即可. 等差数列基本量的计算 一、单选题 1．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）记为等差数列的前n项和，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件列方程组求出，从而可求出 【详解】设等差数列的公差为， 因为，， 所以，化简得， 解得， 所以. 故选：B 2．（23-24高二下·福建福州·期末）在等差数列中，，则（    ） A．7 B．11 C．14 D．16 【答案】C 【分析】设出公差，利用等差数列通项公式基本量计算出，从而得到. 【详解】设公差为，则， 所以 故. 故选：C 3．（23-24高二下·河南开封·期末）已知等差数列中，，，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】B 【分析】由等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】设公差为，因为，， 所以，所以. 故选：B. 4．（23-24高二下·福建泉州·期末）已知等差数列的前n项和为，若，，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】应用等差数列通项公式及前n项和公式基本量运算，最后求出即可. 【详解】因为， 所以, 所以. 故选：A. 5．（23-24高二下·北京顺义·期末）已知等差数列的前项和为，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】法一：由基本量法求出公差d和首项，再由等差数列前项和公式可得结论．法二：利用等差数列的性质即可整体代入求和. 【详解】法一： 设等差数列的公差为d， 因为，，所以， 解得，所以. 法二： 因为在等差数列中，， 所以. 故选：C 6．（23-24高二下·山东淄博·期末）设等差数列，则（    ） A．-5 B．18 C．23 D．28 【答案】B 【分析】利用等差数列的公式即可求解. 【详解】. 故选：B. 7．（23-24高二下·北京西城·期末）在等差数列中，，，则（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】根据等差数列基本量运算即可. 【详解】因为 所以. 故选：C. 8．（23-24高二下·河南·期末）已知等差数列满足，且，则首项（    ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】C 【分析】根据等差数列基本量运算求解即可. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，且， 所以，所以． 故选：C． 二、多选题 9．（23-24高二下·辽宁大连·期末）已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】BC 【分析】对于A，由等差数列求和公式结合已知即可验算；对于B，由等差数列求和公式结合即可验算；对于CD，由等差数列性质即可验算. 【详解】对于A，因为，所以，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，当时， ，即，故D错误. 故选：BC. 10．（23-24高二上·吉林延边·期末）已知为等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（    ） A． B．为递减数列 C． D． 【答案】ACD 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，求得，得到，逐项判定，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，所以A正确； 因为，所以数列为递增数列，所以B错误； 由，可得，所以C正确； 因为，所以，所以D正确． 故选：ACD． 11．（23-24高二上·福建莆田·期末）已知等差数列的前项和为，公差为，且，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】利用等差中项的性质求出的值，可判断A选项；利用等差数列的求和公式可判断B选项；利用等差数列的基本性质可判断CD选项. 【详解】因为等差数列的前项和为，公差为，且，， 由等差中项的性质可得，可得， ，A对B对； 因为，则，，C错D错. 故选：AB. 12．（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知等差数列的公差为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据题意可利用公式法求出数列的通项公式，从而可求解 【详解】由题知数列为等差数列， 所以可知得，解得， 所以，故A、D正确. 故选：AD. 三、填空题 13．（23-24高二下·海南海口·期末）已知等差数列的首项，前项和为，若，则公差 . 【答案】 【分析】利用等差数列的性质及和的性质计算即可. 【详解】由题意可知， 所以. 故答案为： 14．（23-24高二下·河南驻马店·期末）已知等差数列满足，，则通项公式为 . 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，解出公差由等差数列的通项公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，，， 所以，解得，所以. 故答案为： 15．（23-24高二下·上海浦东新·期末）等差数列中，，则 ． 【答案】0 【分析】根据等差数列的通项公式求解即可． 【详解】等差数列中，， 则公差，则． 故答案为：0. 16．（23-24高二上·陕西咸阳·期末）在等差数列中.若，则 ． 【答案】52 【分析】将式子和都用表示，找到它们间的联系，求解即可. 【详解】由于数列是等差数列， 则， 得， 所以， 故答案是：52. 四、解答题 17．（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）设是等差数列的前项和，，. (1)求数列的通项公式； (2)写出数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列及其前项和基本量的计算可得，由此即可得解. （2）由等差数列前项和公式的二次函数特性即可得解. 【详解】（1）不妨设等差数列的首项、公差分别为， 由题意，， 解得， 所以， 即数列的通项公式为. （2）由（1）可知，所以. 等差数列项的性质 一、单选题 1．（23-24高二上·云南昆明·期末）已知等差数列的前n项和为，若，则（    ） A．20 B．15 C．10 D．5 【答案】B 【分析】利用等差数列性质及前n项和公式计算即得. 【详解】依题意，. 故选：B 2．（23-24高二下·河南信阳·期末）数列满足，已知，则的前19项和（    ） A．0 B．8 C．10 D．19 【答案】A 【分析】由等差中项得到数列为等差数列，再由等差数列的性质得到，由等差数列前项和公式结合等差中项得到 【详解】因为即，所以数列为等差数列， 因为且，所以，得， 所以. 故选：A. 3．（23-24高二下·贵州六盘水·期末）记等差数列的前项和为，若，则（    ） A．13 B．45 C．65 D．130 【答案】C 【分析】由等差数列的求和公式及等差数列的性质求解． 【详解】解：， 故选：C 4．（23-24高二下·内蒙古赤峰·期末）在等差数列中，，则（    ） A．9 B．10 C．11 D．14 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质计算即可. 【详解】因为在等差数列中，，所以，即， 故选：B 5．（23-24高二下·四川绵阳·期末）设等差数列的前项和为，已知，则（   ） A．32 B．64 C．84 D．108 【答案】C 【分析】根据等差数列下标和性质求出，再根据等差数列求和公式及下标和性质计算可得. 【详解】因为， 又，即，解得， 所以. 故选：C 6．（23-24高二下·贵州遵义·期末）已知等差数列的公差为1，，则（    ）． A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【分析】利用等差数列的性质可得，可求结论. 【详解】设等差数列的公差为，则， 由等差数列的公差为1，， 所以， 所以. 故选：B. 7．（23-24高二下·广东茂名·期末）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则此数列的项数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质与其前项和的性质求解即可. 【详解】设该等差数列中有项，其中偶数项有项，奇数项有项， 设等差数列的前项和为，则， 为等差数列，，，解得， ，此数列的项数是项. 故选：. 二、多选题 8．（23-24高二上·山东烟台·期末）（多选）已知等差数列的前n项和为，且，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．最小 【答案】BC 【分析】根据题意，由等差数列的性质分析可得，由此分析选项可得答案. 【详解】根据题意，等差数列中，若，即， 则有， 变形可得， 对于A，，但不确定的符号，不能确定是还是，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，不确定的符号，故不能确定最小还是最大，故D错误. 故选：BC. 9．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知是公差为d的等差数列，其前n项和是，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据条件，结合数列的通项和前项和的关系，结合选项，即可判断. 【详解】因为，， 所以，故A错误，B正确； ，故C正确； 因为， ， 所以，故D错误. 故选：BC 10．（23-24高二上·福建三明·期末）等差数列的前n项和为，若，则下列各项的值一定为m的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设等差数列的公差为，根据求出可判断AB；结合等差数列的前项公式可判断CD正确. 【详解】设等差数列的公差为，若， 则，故A错误B正确； ，故C错误； ，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 11．（23-24高二下·青海·期末）已知等差数列的前项和为，且，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列的性质及求和公式求解即可. 【详解】解：由题意得，得. 故答案为： 12．（23-24高二下·上海金山·期末）在等差数列中，已知，则 ． 【答案】6 【分析】利用等差数列的性质计算即可. 【详解】由等差数列的性质可知． 故答案为：6. 13．（23-24高二上·西藏拉萨·期末）在等差数列中，，则 . 【答案】40 【分析】根据等差数列的性质，有，然后求解即可. 【详解】由题意有，得. 故答案为：. 等差数列和的性质 一、单选题 1．（23-24高二下·海南·期末）记为等差数列的前项和，若，则（    ） A．144 B．120 C．108 D．96 【答案】B 【分析】根据等差数列的前项和性质解题即可. 【详解】记为等差数列的前项和,则也是等差数列. 由于，则成等差数列. 则，解得. 则成等差数列．故，则. 故选：B. 2．（23-24高二下·广东广州·期末）在等差数列中，为其前项和，若，，则（   ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】利用等差数列前和的性质，得出，求解即可. 【详解】因为数列是等差数列，且，， 所以根据等差数列前项和的性质可得成等差数列， 所以，所以，解得． 故选：C. 3．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的前项和为，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据等差数列中成等差数列求解即可. 【详解】在等差数列中， ，，所以， 故构成公差为的等差数列， 所以， 即. 故选：C 4．（23-24高二上·河北保定·期末）已知数列满足，的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列定义可证得数列是以为公差的等差数列，由此可得结果. 【详解】，数列是以为公差的等差数列， ， 数列是以为公差的等差数列，. 故选：B. 5．（23-24高三上·山东淄博·期末）设为等差数列的前n项和，则“对，”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据题意判断两个条件都等价于，进而判断答案即可. 【详解】设等差数列的公差为， 若对，，即， 若，则，即为单调递增数列， 又因为，所以， 所以，即， 所以“对，”是“”的充要条件. 故选：C 6．（23-24高二下·江西抚州·期末）已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列的性质与求和公式，结合已知条件求解即可. 【详解】因为等差数列与的前项和分别为，且， 所以设， 所以 . 故选：D 7．（23-24高二上·湖北荆州·期末）已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等差数列前n项和的性质，可设、，计算即可得. 【详解】由，为等差数列，故可令、， 则. 故选：C. 8．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期末）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据，结合等差数列的前项和公式，构造出符合题意的一组与的通项公式，再进行计算即可． 【详解】根据题意，数列、都是等差数列，显然两个数列都不是常数列， ， 因为等差数列前项和公式为， 所以不妨令为常数，且， 所以时，，． ，，，. 故选：A 二、多选题 9．（21-22高二上·云南曲靖·期末）记为等差数列的前项和，首项为，公差为，则下列叙述正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【答案】AD 【分析】利用等差数列性质和前项和公式可得AD正确，利用等差数列前项和性质计算可得，即B错误，由等差数列定义以及通项公式可知若，则，可计算得出，即C错误. 【详解】对于A，利用等差数列性质可得，可得，又， 则，即A正确； 对于B，利用等差数列前项和性质可得成等差数列， 又，可得，所以， 即，所以B错误； 对于C，由可得，两式相减解得； 所以，即C错误； 对于D，易知， 即，可得，即，所以，即D正确； 故选：AD 三、填空题 10．（23-24高二上·天津·期末）设为等差数列的前项和，且，，则 . 【答案】39 【分析】由题意成等差数列，结合，即可求解. 【详解】由题意为等差数列的前项和，且，， 所以， 而成等差数列， 所以. 故答案为：39. 11．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知等差数列的前项和分别为，且，则 . 【答案】 【分析】利用计算可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以，故. 故答案为：. 等差数列的应用 一、单选题 1．（23-24高二上·云南迪庆·期末）明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由，，和求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七.借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子，不知道他们的出生年月，他们的年龄从大到小排列都差3岁，所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁，其他每个儿子的岁数就可以推算出来，则该问题中老人长子的岁数为（    ） A．27 B．31 C．35 D．39 【答案】C 【分析】根据给定信息，可得九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，再利用等差数的前n项和公式列方程求解即可. 【详解】依题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，设长子的岁数为， 则，解得， 所以该问题中老人长子的岁数为35. 故选：C 2．（23-24高二上·河南洛阳·期末）周髀算经中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺，则谷雨日影长为（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】C 【分析】根据给定条件，构造等差数列，结合等差数列通项及前n项和求解即得. 【详解】设冬至日、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种 这十二个节气的日影长分别为，，，，前n项和， 由小寒、立春、惊蛰日影长之和为尺，前八个节气日影长之和为尺， 得，解得，， 所以谷雨日影长为（尺）． 故选：C 3．（23-24高二上·山东临沂·期末）中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰:“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂,遂千百五二十岁”，即1遂为1520岁.某疗养中心恰有57人，他们的年龄(都为正整数)依次相差一岁，并且他们的年龄之和恰好为三遂，则最年轻者的年龄为（    ） A．52 B．54 C．58 D．60 【答案】A 【分析】由等差数列性质以及求和公式即可得解. 【详解】将他们的年龄从小到大依次排列为， 所以，，解得. 故选：A. 4．（22-23高二上·湖南岳阳·期末）小方是一名文学爱好者，他想利用业余时间阅读《红楼梦》和《三国演义》，假设他读完这两本书共需40个小时，第1天他读了10分钟，从第2天起，他阅读的时间比前一天增加10分钟，恰好阅读完这两本书的时间为（    ） A．第20天 B．第21天 C．第22天 D．第23天 【答案】C 【分析】利用等差数列定义及前n项和公式得前n天阅读总时间为，再列不等式求恰好阅读完这两本书的时间. 【详解】由题设，每天阅读时间是首项、公差都为10的等差数列， 所以前n天阅读总时间为分钟， 令，则，， 又开口向上且对称轴为，即上递增， ，，， 所以恰好阅读完这两本书的时间为第22天. 故选：C 5．（23-24高二上·广西玉林·期末）南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下图所示的几何体，后人称之为“三角垛”.其最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，…，则第三十五层球的个数为（    ） A．561 B．595 C．630 D．666 【答案】C 【分析】根据题意，得到，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由题意，设各层球的个数构成数列， 可得， 所以，则. 故选：C. 二、多选题 6．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）某公司为入职员工实行每月加薪，小王入职第1个月工资为a元，从第2个月到第13个月，每月比上个月增加100元，从第14个月到第25个月，每月比上个月增加50元，已知小王前3个月的工资之和为9300元，则（ ） A． B．小王第3个月与第13个月工资之和等于第2个月与第14个月工资之和 C．小王入职后第20个月的工资为4550元 D．小王入职后前15个月的工资之和是55350元 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用等差数列的定义、通项公式和前n项求和公式计算，依次判断选项即可. 【详解】小王入职后各月工资依次排成一列，构成数列 对于A，小王前3个月的工资之和为，解得，A正确； 对于B，当时，是等差数列，首项，公差为100， 当时，是等差数列，，公差为50， ，B错误； 对于C，小王入职后第13个月的工资为， 第20个月的工资为，C正确； 对于D，小王入职后前15个月的工资之和 ，D正确. 故选：ACD 7．（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）《九章算术》是我国古代的数学名著，第六章《均输》中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，问五人各得多少钱？”（注：“均输”即按比例分配，此处指的是甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列；“钱”是古代的一种重量单位）．关于这个问题，下列说法正确的是（    ） A．戊得钱是甲得钱的一半 B．乙得钱比丁得钱多钱 C．甲、丙得钱的和是乙得钱的2倍 D．丁、戊得钱的和比甲得钱多钱 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，结合等差数列列出方程求出甲、乙、丙、丁、戊五人所得钱数，再逐项判断即得. 【详解】依题意，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为，，a，，， 依题意，，解得，， 因此甲得钱，乙得钱，丙得1钱，丁得钱，戊得钱， 戊得钱是甲得钱的一半，A正确； 乙得钱比丁得钱多钱，B正确； 甲、丙得钱的和是乙得钱的倍，C正确； 丁、戊得钱的和比甲得钱多钱，D错误． 故选：ABC 三、填空题 8．（2023·山东·模拟预测）某学校报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位.若第10排有41个座位，则该报告厅座位的总数是 . 【答案】840 【分析】根据题意将问题转化为等差数列问题，应用等差数列的通项公式和前项和公式，基本量运算即可求解. 【详解】设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前项和为． 根据题意，数列是一个公差为的等差数列，且， 故． 由， 因此，则该报告厅总座位数为840个座位． 故答案为：840 9．（23-24高三上·上海静安·期末）在国家开发西部的号召下，某西部企业得到了一笔400万元的无息贷款用做设备更新．据预测，该企业设备更新后，第1个月收入为20万元，在接下来的5个月中，每月收入都比上个月增长20%，从第7个月开始，每个月的收入都比前一个月增加2万元．则从新设备使用开始计算，该企业用所得收入偿还400万无息贷款只需 个月．（结果取整） 【答案】10 【分析】根据题意前6个月的收入成等比数列，且公比为，第7个月开始收入成等差数列，公差为2，先算出前前6个月之和，再计算第7,8,9,10个月的收入可得解. 【详解】由题意设每个月的收入为数列，其前n项和记作，前6个月的收入成等比数列，且公比为， 第7个月开始收入成等差数列，公差为2，则， 又，，，， 而，， 所以该企业用所得收入偿还400万元贷款只需10个月. 故答案为：10. 等比数列及其应用 一、单选题 1．（22-23高二下·辽宁抚顺·期末）已知数列，则“”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质进行充分性与必要性判断即可. 【详解】若为等比数列，则一定成立；若，则不一定为等比数列，比如 所以“”是“为等比数列”的必要不充分条件. 故选：B. 2．（23-24高二下·上海浦东新·期末）已知是等数列，则下列数列必为等比数列的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，当等差数列的各项都为时，即可判断ABC，再由等比数列的定义即可判断D 【详解】设等差数列的公差为， 对于A，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故A错误； 对于B，当等差数列的各项都为时，不是等比数列，故B错误； 对于C，当等差数列的各项都为时，无意义，故C错误； 对于D，因为为常数，所以数列一定是等比数列，故D正确； 故选：D 3．（23-24高二下·北京大兴·期末）若数列是等比数列，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比中项的性质计算可得. 【详解】因为数列是等比数列， 所以，解得或， 当时，不满足，故舍去； 当时，经检验符合题意，所以. 故选：B 4．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知数列的前n项和为，若，且（），则（    ） A．为等比数列 B．为等差数列 C．为等比数列 D．为等差数列 【答案】A 【分析】利用求出的通项公式并求和，然后逐一判断选项即可. 【详解】由得当时，， 两式相减得，即， 又当时，， 所以数列即不是等比数列也不是等差数列，CD错误； 所以， 当时， 所以当时，，符合， 所以， 又时，所以为等比数列，A正确，B错误. 故选：A. 5．（22-23高二上·广东深圳·期末）在数列中，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定公比，再利用通项公式求解. 【详解】因为，，则， 所以为等比数列，公比， 所以. 故选：D. 二、多选题 6．（23-24高二上·湖南长沙·期末）设数列的前n项和为，下列命题正确的是（    ） A．若为等差数列，则，，仍为等差数列 B．若为等比数列，则，，仍为等比数列 C．若为等差数列，则为等差数列 D．若为正项等比数列，则为等差数列 【答案】ACD 【分析】根据等差数列、等比数列的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于选项AC：设等差数列的公差为，则， ， 同理可得， 所以， 所以仍为等差数列，故A正确； 因为，则， 所以为等差数列，故C正确； 对于选项B：取数列为， 当为偶数时，，则不能成等比数列，故B错误； 对于选项D：因为，设等比数列的公比为，则， 则（定值）， 所以数列为等差数列，故D正确. 故选：ACD. 7．（23-24高二下·陕西西安·期末）已知是等差数列，是等比数列，下列说法正确的是（    ） A．是等比数列 B．是等差数列 C．若，则为递减数列 D．若，则为递增数列 【答案】AC 【分析】是等差数列，设公差为；是等比数列，设公比为，A选项由定义证明是等比数列；B选项通过举反例时，证明不是等差数列；C选项，由得到，从而为递减数列；D选项通过举反例，此时数列不是单调数列. 【详解】是等差数列，设公差为；是等比数列，设公比为， A选项，设，则为常数，所以是等比数列，A正确； B选项，设，当满足是等比数列， 此时，，不是等差数列，B错误； C选项，时，即，得，则为递减数列，C正确； D选项，当满足是等比数列，且，，，此时不是单调数列，D错误. 故选：AC. 【点睛】方法点睛：证明数列是等比数列： 定义法：（常数）， 等比中项法：， 通项公式法： 前项和特征法： 8．（23-24高二下·贵州黔东南·期末）在数列中，已知，，则（    ） A． B．是等差数列 C． D．是等比数列 【答案】BCD 【分析】对已知递推式变形可得是以1为首项，为公差的等差数列，则可求出，从而可求出，然后逐个分析判断. 【详解】，则， 因为，所以是以1为首项，为公差的等差数列， 则，则， 所以，， 所以， 所以是首项为3，公比为1的等比数列， 所以A错误，B，C，D均正确. 故选：BCD 9．（23-24高二下·云南昆明·期末）等比数列的公比为，前项和为，为等差数列，则（    ） A． B． C．为等差数列 D．为等比数列 【答案】ABC 【分析】根据等差数列与等比数列的定义及公式可判断. 【详解】由已知为等差数列，则当时，为定值， 即为常数， 此时数列为常数列， 又数列为等比数列， 则，且，，A选项正确； 此时，B选项正确； ，，，，即为等差数列，C选项正确； ，，，不为定值，所以不为等比数列，D选项错误； 故选：ABC. 10．（23-24高二上·浙江杭州·期末）分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的，一个数学意义上的分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法得到一系列图形，如图1，在长度为1的线段AB上取两个点C、D，使得，以CD为边在线段AB的上方做一个正方形，然后擦掉CD，就得到图形2；对图形2中的最上方的线段EF作同样的操作，得到图形3；依次类推，我们就得到以下的一系列图形设图1，图2，图3，…，图n，各图中的线段长度和为，数列的前n项和为，则（　　） A．数列是等比数列 B． C．恒成立 D．存在正数，使得恒成立 【答案】BC 【分析】由题意写出数列前三项，类比归纳出数列的递推公式，利用累加法可得通项公式，结合数列的相关概念，可得答案. 【详解】由题意可知，， 以此类推可得，，则， 所以当时， ， 经检验，当时，，故， 所以数列不是等比数列，故A错误； 所以，故B正确； 因为恒成立，故C正确； 因为， 根据一次函数与指数函数的单调性，所以数列无最大值， 因此不存在正数，使得，故 D 错误. 故选：BC. 三、填空题 11．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列满足：，其前项和为，若，则 . 【答案】1 【分析】根据等比数列的定义，得到数列是公比为等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由数列满足，知，否则，与矛盾， 所以数列为等比数列，且公比为， 又由，解得. 故答案为：1. 四、解答题 12．（23-24高二上·福建福州·期末）已知数列的首项，且满足． (1)判断数列是否为等比数列； (2)若，记数列的前n项和为，求． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据等比数列定义及构造法求通项可判断； （2）根据等比数列求和公式、等差数列求和公式，利用数列分组求和及错位相减法求和可得结果. 【详解】（1）法一：若，无意义，数列不是等比数列； 若解得，则数列不是等比数列； 若即，因为，所以， ， 所以当或时，数列不是等比数列， 当且时，数列是以为首项，为公比的等比数列． 法二：若，无意义，数列不是等比数列； 若解得，则数列不是等比数列； 若即，因为，所以， ，所以， ， 所以当或时则数列不是等比数列 当且时，数列是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）知，，所以，则． 则， 令， 令  ① 所以   ② ①②相减得： ， 得． 所以. 13．（23-24高二上·河南省直辖县级单位·期末）已知数列满足：，，设. (1)求证：是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）将变形为，是等比数列 （2）由（1）得到数列的通项公式 （3）结合（2）中通项利用错位相减法求得 【详解】（1）由，，可得.因为，即，. 所以数列是首项为1，公比为2的等比数列. （2）由（1）可得：，即，所以. （3）由（2）可知：， 则，可得， 两式相减可得：. 所以. 14．（23-24高二上·河南开封·期末）已知数列的首项，且． (1)求证：是等比数列； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知条件可得，结合等比数列的定义即可证明； （2）利用等比数列和等差数列的前n项和公式即可求得结果. 【详解】（1）由可得， 因为，所以，， 所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列． （2）设数列的前n项和为，则， 所以． 等比数列基本量的计算 一、单选题 1．（23-24高二下·贵州黔南·期末）记为等比数列的前n项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设等比数列的公比为，根据题意，列出方程组，求得的值，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，可得解得， 所以． 故选：A． 2．（23-24高二下·西藏拉萨·期末）递增等比数列中，，，则（      ） A． B． C．72 D．144 【答案】D 【分析】设公比为，然后由已知条件列方程可求出，从而可求出. 【详解】设公比为，因为，， 所以，得，得， 所以或（舍去）， 所以， 所以. 故选：D 3．（23-24高二下·广西南宁·期末）已知等比数列的前n项和为，，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据通项公式求公比，再由等比数列求和公式可得首项. 【详解】设等比数列的公比为，， 即，， ，． 故选：B． 4．（23-24高二下·吉林松原·期末）设等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 的公比 为（    ） A．1或 B．1或3 C．或 D．或3 【答案】D 【分析】运用等比数列的性质公式求解即可. 【详解】由 ，可得 ， 则 ，故 ， 解得 或 . 故选：D． 5．（23-24高二下·辽宁大连·期末）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用等比数列的通项公式和前项和公式即可求解. 【详解】设等比数列的首项为，公比为， 由，即，解得. 所以. 故选：C. 6．（23-24高二下·辽宁锦州·期末）已知等比数列满足，，则（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】两式相除即可得解. 【详解】因为，，，， 所以. 故选：C 7．（23-24高二下·北京海淀·期末）若等比数列的前项和，则公比（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，依次求出，依题即可求得公比. 【详解】由，时，， 时，由解得，， 依题意，. 故选：C. 8．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知等比数列是其前项和，，则（    ） A． B．8 C．7 D．14 【答案】C 【分析】设等比数列的公比为，根据题意求得，结合等比数列前项和的定义即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，可得，即，所以， 所以. 故选：C. 二、多选题 9．（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知等比数列中，，公比，其前项和为，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】代入等比数列的通项公式和前项和公式，即可求解. 【详解】，A正确；，故B正确； ，故C错误；，故D正确. 故选：ABD 10．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知等比数列的公比为，，，数列的前项和为，则（    ） A． B． C．数列是等比数列 D． 【答案】BC 【分析】A、B、C均可由等比数列的概念和通项公式可得；D选项需要利用错位相减法求和，进而可得答案. 【详解】由等比数列的公比为，，，可得，即，故A错误； ，故B正确； 又，所以， 即是一个以为首项，2为公比的等比数列，故C正确； 验证当时的结果，此时，则， 所以， ， ， 得， 所以，故D错误， 故选：BC. 11．（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）在等比数列中，满足的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据为等比数列，列出首项和公比的方程，求出首项和公比，进而根据等比数列的通项公式的求法，求出通项公式. 【详解】因为为等比数列，， 所以，解得，即或， 所以通项公式为或. 故选：AB. 三、填空题 12．（23-24高二下·安徽淮北·期末）若是首项和公比均为3的等比数列，且，则 ． 【答案】2024 【分析】根据等比数列的通项即可求解. 【详解】根据题意可知的通项公式为，当时，． 故答案为：2024 13．（23-24高二下·江西景德镇·期末）记为等比数列的前项和，若，则公比为 . 【答案】/-0.5 【分析】由，可得，化简解出即可得出 【详解】由，可得， 即， 故答案为： 14．（23-24高二上·湖南长沙·期末）已知数列满足：，其前项和为，若，则 . 【答案】1 【分析】根据等比数列的定义，得到数列是公比为等比数列，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】由数列满足，知，否则，与矛盾， 所以数列为等比数列，且公比为， 又由，解得. 故答案为：1. 15．（23-24高二上·贵州六盘水·期末）已知等比数列的前项和为，数列的前项和为．若，则 ． 【答案】 【分析】由等比数列求和公式以及等比数列性质得，结合已知条件即可进一步求解. 【详解】设等比数列公比为，则（否则，矛盾）， 所以数列的通项公式为，它是以为首项、为公比的等比数列， 所以， 而，所以， 所以. 故答案为：. 等比数列项的性质 一、单选题 1．（23-24高二下·青海·期末）在等比数列中，，，则（   ） A．64 B．128 C． D． 【答案】B 【分析】结合等比数列的性质求解． 【详解】由题意得，得，则. 由，得. 所以. 故选：B． 2．（23-24高二下·贵州毕节·期末）已知等比数列的各项均为正数，若，则等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】运用等比数列的下标性质，结合对数性质可解. 【详解】，则， 根据等比数列的性质，知道, 则，则，即，则. 故选：C. 3．（23-24高二下·山东日照·期末）已知等比数列，，为函数的两个零点，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由题意，结合对数运算性质、等比数列性质即可求解. 【详解】由题意是一元二次方程的两个根，由韦达定理有， 而对于等比数列而言，， 从而 . 故选：C. 4．（23-24高二下·河南洛阳·期末）已知成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用等比数列性质即可得出答案. 【详解】成等比数列，， 因为与-2和-4符号一样，所以， . 故选：B. 5．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知是单调递增的等比数列，且，则公比的值是（    ） A．3 B．－3 C．2 D．－2 【答案】C 【分析】根据等边数列的性质即可求解方程得，即可求解. 【详解】解：由是单调递增的等比数列且， 所以是的两个实数根，且， 得，故． 故选：C． 6．（23-24高二下·广西钦州·期末）在等比数列中，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】由等比数列的性质即可求解. 【详解】由题意得，得． 故选：C 7．（23-24高二下·北京西城·期末）在等比数列中，若，，则（    ） A．4 B．6 C．2 D．±6 【答案】A 【分析】应用等比数列通项公式性质求解即可. 【详解】因为是等比数列，所以. 故选：A. 8．（23-24高二下·江西赣州·期末）正项等比数列中，，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质求出即可得解. 【详解】由等比数列性质可知，解得， 所以， 故选：B 二、多选题 9．（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知等比数列的公比为，前项积为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先通过条件确定和的取值情况，然后利用等比数列的性质计算即可. 【详解】由已知，又，， 所以，，A正确，B错误； ， ， ， 所以，C正确，D错误. 故选：AC. 10．（23-24高二上·内蒙古·期末）已知公比为的正项等比数列的前项积为，则（    ） A． B．当时， C． D．当，且取得最小值时，只能等于6 【答案】ABC 【分析】A，C项通过等比数列的性质即可得出结论；B，D项，根据等比数列的公比和前项和即可得出结论. 【详解】由题意，， 在正项等比数列中，， A项，，A正确； B项，当时，因为，所以，可得，B正确； C项，，C正确． D项，当时，因为，所以，则的最小值为或，D错误． 故选：ABC. 三、填空题 11．（23-24高二上·上海宝山·期末）已知数列是等比数列，且，，则 ． 【答案】 【分析】根据等比数列性质若，则，化简已知条件即可求解. 【详解】根据等比数列的性质若，则，有，， 所以化为，即， 又因为，所以. 故答案为： 12．（23-24高二下·福建福州·期末）在等比数列中，，，则 【答案】4 【分析】由等比数列的性质求解． 【详解】在等比数列中，奇数项都是同号的，则， 由，得， 故答案为：4 13．（23-24高二下·陕西榆林·期末）在各项均为正数的等比数列中，，则 ． 【答案】3 【分析】根据等比数列性质和对数运算即可. 【详解】由题意得. 故答案为：3. 14．（23-24高二下·辽宁·期末）在等比数列中，，则 . 【答案】 【分析】运用等比数列性质求解即可. 【详解】由于，由等比数列性质知道，则； 由于，由等比数列性质知道；则. 故答案为：. 15．（23-24高二下·四川达州·期末）在等比数列中，，，则 ． 【答案】 【分析】利用等比数列的性质可求得，又，可求. 【详解】因为，又数列是等比数列，所以，所以， 由数列是等比数列，可得，又，所以， 所以. 故答案为：. 16．（23-24高二下·上海·期末）已知数列为正项等比数列，，，则 ． 【答案】3 【分析】利用等比数列的性质可得答案. 【详解】等比数列中， 因为，所以， 又为正项的等比数列，所以. 故答案为：3. 等比数列和的性质 一、单选题 1．（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知正项等比数列满足，则数列的公比为（    ） A．2 B．1 C． D．或 【答案】A 【分析】设出公比，根据，计算出答案. 【详解】设等比数列公比为，由题意得，故，解得. 故选：A. 2．（23-24高二上·安徽宣城·期末）设是等比数列的前项和，若，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】成等比数列，得到方程，求出，得到答案. 【详解】由题意得，， 因为成等比数列，故， 即，解得， 故. 故选：B 3．（23-24高二上·河南开封·期末）记为等比数列的前项和，若，则（    ） A．21 B．18 C．15 D．12 【答案】A 【分析】根据等比数列性质得到成等比数列，求出，得到答案. 【详解】因为为等比数列的前项和且， 所以成等比数列，即3，6，成等比数列， 所以，所以． 故选：A． 4．（23-24高三上·山西·期末）已知等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．8 B．26 C．80 D．54 【答案】C 【分析】根据等比数列前n项和的片段和的性质，即可求得答案. 【详解】在等比数列中，，，，也成等比数列， 因为，，所以，所以，， 所以， 故选：C. 5．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知等比数列满足，则（    ） A．24 B．36 C．48 D．108 【答案】C 【分析】通过计算即可. 【详解】设等比数列的公比为， 则，即，同理， 所以，所以， 所以. 故选：C. 6．（23-24高二上·河北保定·期末）设等比数列的前n项和为，已知，，则（    ） A．144 B．324 C．400 D．364 【答案】D 【分析】由等比数列的性质得到，，成等比数列，从而得到方程，求出答案. 【详解】因为，，成等比数列，所以， 即，解得． 故选：D 7．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）等比数列中，为的前n项和，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据构成等比数列求解即可. 【详解】因为为等比数列，，设， 所以构成等比数列. 所以构成等比数列，所以，所以. 故选：A 二、多选题 8．（23-24高二下·辽宁大连·期末）下列关于数列与其前项和的命题，表述正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若是等比数列，，则 D．若，则数列单调递增 【答案】AD 【分析】利用数列周期性判断A；求出通项公式判断B；利用等比数列片段和的性质计算判断C；作商求出通项并确定单调性判断D. 【详解】对于A，由，得，则数列的周期为3， 又，因此，A正确； 对于B，，则数列是等比数列，， 当，而不满足上式，B错误； 对于C，是等比数列，，则成等比数列， 其首项为1，公比为3，则，C错误； 对于D，，当时，， 当，，满足上式， 因此且，则数列单调递增，D正确. 故选：AD 9．（23-24高二下·广东·期末）已知数列，其前项和记为，则（    ） A．若是等差数列，且，则 B．若是等差数列，且，则 C．若是等比数列，且，其中为常数，则 D．若是等比数列，则也是等比数列 【答案】BC 【分析】举反例判断AD选项，由等差等比数列的前项和公式判断BC选项. 【详解】A选项中，当等差数列是常数列时，由，就不能得到，所以A是错误的； B选项中，设等差数列公差为，由前项和， 可知，所以B是正确的； C选项中，由可知，等比数列公比不为1，设公比为， 由等比数列前和公式得，则有，， 则常数，所以C是正确的； D选项中，等比数列中，当公比时，若，有，则就不是等比数列，所以D是错误的； 故选：BC． 三、填空题 10．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期末）设是等比数列的前项和，若，，则= . 【答案】 【分析】由，又，，成等比数列，求出，即可求出的值. 【详解】由题意得，则， 因为，，成等比数列，故， 即，解得， 故. 故答案为：. 11．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知等比数列的前项和为，且，，则的值为 ． 【答案】 【分析】法一：根据等比数列求和公式化简可得解；法二：根据等比数列前项和的性质可得解. 【详解】由数列为等比数列， 当时，，则，此方程无解， 法一： 当时，， 所以，化简可得， 所以； 法二： 由等比数列可知当时，，不满足题意， 且当时，，，仍成等比数列， 即， 即， 解得， 故答案为：. 12．（23-24高二下·吉林长春·期末）设等比数列的前n项和是.已知，则 . 【答案】1200 【分析】根据等比数列片段和的性质分析求解. 【详解】因为是等比数列的前项和且， 可知，，，也成等比数列， 又因为,，则， 可得，， 所以，. 故答案为：1200. 等比数列的应用 一、单选题 1．（23-24高二下·海南海口·期末）小明同学利用暑假时间到一家商场勤工俭学，该商场向他提供了三种付款方式：第一种，每天支付150元；第二种，第一天付10元，第二天付30元，第三天付50元，以后每天比前一天多20元；第三种，第一天付元，以后每天比前一天翻一番（即增加一倍）；如果小明预计工作12天，从总收入最高的角度，小明会选择哪种方式领取报酬（    ） A．第一种 B．第二种 C．第三种 D．无法判断 【答案】C 【分析】由已知结合等差数列与等比数列的求和公式即可判断． 【详解】第一种可以领取报酬元； 第二种每天的报酬构成以为首项，公差为的等差数列， 则第二种可以领取报酬元； 第三种每天的报酬构成以为首项，公比为的等比数列， 则第三种可以领取报酬元， 因为，从总收入最高的角度，小明会选择第三种方式领取报酬． 故选：C． 2．（23-24高二上·湖北荆门·期末）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到3333大约需要的天数为（    ）（初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染……参考数据：） A．42 B．43 C．35 D．49 【答案】A 【分析】由题意得感染人数形成等比数列，然后利用等比数列求和公式列不等式，结合指对互化解不等式即可求解. 【详解】设第n轮感染的人数为，则数列是，公比的等比数列， 由，可得，两边取对数得， 所以，所以，故需要的天数约为. 故选：A 3．（23-24高三下·山东济南·开学考试）已知甲植物生长了一天，长度为，乙植物生长了一天，长度为.从第二天起，甲每天的生长速度是前一天的倍，乙每天的生长速度是前一天的，则甲的长度第一次超过乙的长度的时期是（    ）（参考数据：取） A．第6天 B．第7天 C．第8天 D．第9天 【答案】C 【分析】设甲植物每天生长的长度构成等比数列，甲植物每天生长的长度构成等比数列，设其前项和分别为、，依题意得到、的通项公式，即可求出、，再由得到，最后根据指数函数的性质及对数的运算性质计算可得. 【详解】设甲植物每天生长的长度构成等比数列，甲植物每天生长的长度构成等比数列，设其前项和分别为、（即天后树的总长度）， 则，， 所以， ， 由，可得， 即，即， 解得或（舍去）， 由则，因为， 即，又，所以的最小值为. 故选：C 【点睛】关键点睛：本题关键是利用等比数列求出公式求出天后树的总长度，从而得到不等式，再结合指数函数的性质解得. 4．（23-24高二上·安徽黄山·期末）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”，其大意是：有一个人要去某关口，路程为里，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程是前一天的一半，走了六天到达该关口，则此人第三天走的路程为（    ） A．48里 B．45里 C．43里 D．40里 【答案】A 【分析】设第六天走的路程为里，则第五天走的路程为里，依此往前推，第一天走的路程为里，根据前六天的路程之和为里，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】设第六天走的路程为里，则第五天走的路程为里， 依此往前推，第一天走的路程为里， 结合题意可得：， 解得， 则第三天走的路程为里. 故选：A. 5．（23-24高二上·河北邯郸·期末）一个弹性小球从10米高处自由落到地面后弹起到原来的一半高度，再自由落到地面后又弹起到上一次的一半高度，如此反复进行下去，则小球第五次落地时经过的路程为（    ） A．29.375米 B．19.375米 C．38.75米 D．28.75米 【答案】D 【分析】分别求出每次落地经过的路程，相加即可求解. 【详解】前五次落地经过的路程分别为10米、10米、5米、2.5米、1.25米，其和为28.75米， 故选：D 6．（23-24高二上·重庆·期末）古代“微尘数”的计法：“凡七微尘，成一窗尘；合七窗尘，成一兔尘；合七兔尘，成一羊尘；合七羊尘，成一牛尘；合七牛尘，成于一虮；合于七虮，成于一虱；合于七虱，成一芥子；合七芥子，成一大麦；合七大麦，成一指节；累七指节，成于半尺……”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列．那么1指节是（    ） A．兔尘 B．羊尘 C．兔尘 D．羊尘 【答案】A 【分析】设1微尘为，求出1兔尘为，1羊尘为，1指节为，从而可得答案. 【详解】设1微尘为， 因为微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度， 构成了公比为7的等比数列， 所以1窗尘为，1兔尘为，1羊尘为，1牛尘为， 1虮为，1虱为，1芥子，1大麦，1指节为， 因为，所以1指节是兔尘，A正确，C不正确； 因为，所以1指节是羊尘，BD不正确； 故选：A. 二、填空题 7．（23-24高二上·广东深圳·期末）一个乒乓球从 高的高度自由落下，每次落下后反弹的高度都是原来高度的 ，在第3次着地时，乒乓球经过的总路程为 . 【答案】/ 【分析】由已知条件列算式计算数据. 【详解】依题意可得，第3次着地时，乒乓球经过的总路程为. 故答案为： 8．（23-24高三上·辽宁大连·期末）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作：再将剩下的两个区间分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：...，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于，则操作的次数的最大值为 . （参考数据：） 【答案】5 【分析】根据题意求出第次操作后去掉的各区间长度之和，列不等式结合所给参考数据即可得. 【详解】记表示第次去掉的长度，，第2次操作，去掉的线段长为， 第次操作，去掉的线段长度为， ，则， 由的最大值为5. 故答案为：5 9．（23-24高二上·江苏南京·期末）如图，正方形的边长为2cm，取正方形各边的中点E，F，G，H，作第二个正方形，然后再取正方形各边的中点I，J，K，L，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，如果这个作图过程可以一直继续下去，当操作次数无限增大时，所有这些正方形的面积之和将无限趋近于常数 ． 【答案】8 【分析】根据题意，正方形边长成等比数列，正方形的面积等于边长的平方可得，然后根据等比数列的前n项和的公式即可求解. 【详解】设第n个正方形的边长为，第个正方形的边长为， 即，即数列是首项为，公比为的等比数列， ，故数列是首项为，公比为的等比数列， ， 所以如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于8， 故答案为：8. 三、解答题 10．（23-24高二上·浙江金华·期末）在一次招聘会上，两家公司开出的工资标准分别为：公司A：第一年月工资3000元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加300元：公司B：第一年月工资3720元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增，设某人年初想从这两家公司中选择一家去工作． (1)若此人选择在一家公司连续工作年，第年的月工资是分别为多少？ (2)若此人选择在一家公司连续工作10年，则从哪家公司得到的报酬较多？（）． 【答案】(1)公司：（元）；公司：（元） (2)从公司得到的报酬较多 【分析】（1）根据所给条件分布求出在公司、第年的月工资； （2）分别利用等差数列、等比数列求和公式求出总报酬，即可判断. 【详解】（1）选择在公司连续工作年，第一年月工资元，以后每年的月工资比上一年的月工资增加元, 则他第年的月工资是：（元）； 选择在公司连续工作年，第一年月工资元，以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增． 则他第年的月工资（元）． （2）若此人选择在一家公司连续工作10年，则在公司、公司得到的报酬分别为： 公司A： （元）． 公司B：（元）， 因为，故从公司得到的报酬较多. 11．（23-24高二上·山东威海·期末）甲、乙两家企业同时投入生产，第年的利润都为万元（），由于生产管理方式不同，甲企业前年的总利润为万元，乙企业第年的利润比前一年的利润多万元，设甲、乙两家企业第年的利润分别为万元，万元. (1)求，； (2)当其中某一家企业的年利润不足另一家企业同年的年利润的时，该家企业将被另一家企业兼并收购. 判断哪一家企业有可能被兼并收购，如果有这种情况，出现在第几年. 【答案】(1)， (2)在第年甲企业兼并收购乙企业 【分析】（1） 根据前n项和公式求通项结合累加计算即可； （2）根据数列的单调性判断即可. 【详解】（1）当时， ， 所以， 由题意知，， 所以 ， 相加得，               当时也满足上式，所以. （2）当时，，，可得， 因此当或时，不可能出现兼并收购的情况， 当时，，，所以， 由题意知，甲企业可能兼并收购乙企业， 如果出现兼并收购的情况，必满足， 由，化简得， 令， 当时，，所以满足， ， 当时，，即， 所以， 当时，，即， ， 综上可知，当时，， 所以在第年甲企业兼并收购乙企业. 等比数列前n项和的最值问题 一、单选题 1．（23-24高二下·陕西渭南·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则当取得最小值时，（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合等差数列性质，探讨数列单调性，并确定非正数项即可得解. 【详解】等差数列中，，，则， 因此数列是递增等差数列，前5项均为负数，从第6项起为正， 所以当取得最小值时，. 故选：B 2．（23-24高二上·福建泉州·期末）已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（    ） A．12 B．13 C．24 D．25 【答案】C 【分析】根据条件得到，再利用等差数列的性质及前项和公式，即可求出结果. 【详解】等差数列的前项和为，由，且， 得，所以， 则数列的公差，所以数列是递增的等差数列， 且当时，，当时，， 又， 所以使成立的最小的为24， 故选：C． 3．（23-24高二上·福建龙岩·期末）已知数列是公差为的等差数列，是其前项和，且,，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的基本性质可得出，结合以及等差数列的通项公式可判断AB选项，利用等差数列的求和公式可判断C选项，推导出，结合数列的单调性可判断D选项. 【详解】因为数列是公差为的等差数列，是其前项和，且，， 则， 所以，， 所以，，A对； ，则，B错； ，C对； 因为，则， 又因为，所以，数列是单调递增数列， 当时，；当时，. 综上所述，，D错. 故选：C. 4．（23-24高二上·广东·期末）已知数列的通项公式，其前项和为，则取最小值时的值为（    ） A．1012 B．1013 C．1014 D．1015 【答案】A 【分析】根据给定条件，确定数列的单调性，再求出的的最大值即得. 【详解】数列的通项公式，显然数列是递增数列， 由，得，而，因此数列的前1012项均为负数，从第起为正， 所以取最小值时的值为1012. 故选：A 5．（23-24高二上·福建宁德·期末）已知等差数列的前项和为．若，，则当取最大值时，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的基本性质可知，当时，，当时，，即可得出结论. 【详解】因为等差数列的前项和为，，可得， 又因为，则数列的公差为， 所以，数列为单调递减数列， 则当时，，当时，， 故当时，取最大值. 故选：B. 6．（23-24高二上·天津和平·期末）若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的前n项和公式可得，再结合等差数列的性质判断处的符号，即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 因为，所以， 所以公差， 故当时，，当时，， 所以当时，取得最小值， 即中最小的项是. 故选：B. 二、多选题 7．（23-24高二下·云南·期末）已知等差数列的公差为，前项和为，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．当时，取得最小值 D．当时，满足的最大整数的值为25 【答案】ABD 【分析】由得到，进而求得即可判断A；，，成等差数列，即可判断B；因为，分类讨论当，，即可判断C；因为，所以，，所以，，即可判断D. 【详解】因为， 所以， 即，所以，故A正确． 因为，，成等差数列， 所以，而，则，故B正确． 因为，由得， 即，所以，所以对称轴为：， 所以当时，开口向上，当，取得最小值， 当时，开口向下，当，取得最大值，故C错误． 因为，数列单调递增，所以，， 则，，又因为， 所以当时，满足的最大整数的值为25，D正确． 故选：ABD 8．（23-24高二下·四川乐山·期末）已知等差数列的公差为d，前n项和为，若，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．最小值为 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，求出等差数列的公差d及首项，再逐项计算判断即得. 【详解】依题意，，解得， 对于A，，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，由，得，即数列前5项均为负数，从第6项起为正数， 因此，D正确. 故选：BCD 9．（23-24高二下·四川成都·期末）等差数列 的前 项和为 ，则（    ） A． B． C． D．当 时， 的最小值为 16 【答案】ABD 【分析】对于A，由等差数列性质即可判断；对于B，由公差的定义即可判断；对于C，作差结合公差小于0即可判断；对于D，只需注意到，由此即可判断. 【详解】对于A，由题意，故A正确； 对于B，，其中为等差数列的公差，即，故B正确； 对于C，，即，故C错误； 对于D，由题意， 从而当，，且，故D正确. 故选：ABD. 10．（23-24高二上·福建福州·期末）已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（    ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 【答案】CD 【分析】设出公差，利用等差数列求和公式得到，，，，从而对选项一一判断，得到答案. 【详解】ABD选项，设的公差为， ，故， ，故， 所以，且，，即是递减数列，AB错误，D正确. C选项，由于是递减数列，，，故当取得最大值时，，C正确. 故选：CD 三、填空题 11．（23-24高二下·北京怀柔·期末）已知等差数列的前项和，若，则 ；前项和的最大值为 ． 【答案】 16 【分析】根据等差数列的通项公式，利用即可求得，从而求得，从二次函数的角度思考，可求出的最大值. 【详解】设等差数列的公差为，则 ，解得， 所以，， 当时，的最大值为, 故答案为：，16. 12．（23-24高二上·山东济南·期末）已知等差数列首项，公差，则前n项和的最大值为 ． 【答案】16 【分析】利用等差数列前项和公式和,结合二次函数的性质即可求解． 【详解】等差数列首项，公差， ． 则前项和的最大值为16． 故答案为：16． 13．（23-24高二上·江苏南京·期末）设 为数列 的前项和，若 ，则 的最小值为 【答案】 【分析】利用等差数列的前项和公式处理即可. 【详解】易知，，由二次函数性质得，对称轴为，结合一定为正整数，故在时，取得最小值,此时最小值为. 故答案为: 14．（23-24高二上·吉林·期末）已知为等差数列的前n项和，为其公差，且，给出以下命题： ①；②；③使得取得最大值时的n为8；④满足成立的最大n值为17 其中正确命题的序号为 . 【答案】①③ 【分析】由及等差数列前n项和的函数性质判断①③；应用等差数列前n项和公式可得，并令得，即可判断②④. 【详解】由，即存在最大值，故，①③对； 则，即， 可得，故，且，②错； 令，则且，即，而， 所以，故，即满足成立的最大n值为15，④错. 故答案为：①③ 四、解答题 15．（23-24高二上·福建福州·期末）已知等差数列的前项和为，； (1)求等差数列的前项和及的最大值； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)，210； (2)212. 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列前项和公式，结合性质求出公差及首项即可得解. （2）由（1）求出数列的通项公式，判断项的正负，再结合（1）的结论求解即得. 【详解】（1）等差数列的前项和为，由，得，解得， 由，得，解得，则，公差， 因此，对称轴为，因为，则当或时，， 所以，的最大值为210. （2）由（1）知，，则， 所以 . 16．（23-24高二上·新疆·期末）已知等差数列中，， (1)求的通项公式 (2)求数列的前n项和的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）列出关于等差数列首项公差d的方程组，解之即可求得首项和公差d的值，进而得到的通项公式； （2）利用等差数列的单调性即可求得数列的前n项和的最小值． 【详解】（1）设等差数列首项为，公差为d， 则，解之得， 则的通项公式为 （2）由的通项公式为，可得数列为递增数列，且 则 故数列前n项和的最小值为． 等比数列前n项积的最值问题 一、单选题 1．（23-24高二上·广东肇庆·期末）数列的前n项和为，满足，则数列的前n项积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的递推公式求出，进而求出数列通项，借助单调性求解即得. 【详解】依题意，，，则，当时，， 两式相减得，即，因此数列是以512为首项，为公比的等比数列， 于是，显然数列单调递减，当时，，当，， 所以当或时，数列的前n项积最大，最大值为. 故选：B 2．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知等比数列满足，公比，且，，则当最小时，（    ） A．1012 B．1013 C．2022 D．2023 【答案】A 【分析】根据题意结合等比数列的性质可推得以及，即可判断数列的的增减性以及项与1的大小关系，由此即可求得答案. 【详解】由题意知，故， 则，即， 结合等比数列满足，公比，可知， 由，得， 即得，故，即， 由此可得， 故当最小时，， 故选：A 3．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知正项等比数列的前项积为，且，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】结合等比数列的性质及数列的单调性判断各选项即可. 【详解】由已知数列各项均为正，因此乘积也为正，公比，若，则， 由等比数列性质知，所以，故选项A错误； 又，因为，所以，所以， 则，故先增后减，所以，故选项B正确； 若，则，又，无法判断与1的大小，即无法判断与1的大小，故与大小没法判断，故选项CD错误. 故选：B 二、多选题 4．（23-24高二上·江苏常州·期末）在等比数列中，，为数列的前项积，下列说法正确的有（    ） A． B． C．若，则的最大项为 D．若，则的最小项为 【答案】AC 【分析】根据条件可得，可得出选项A正确；选项B，因为，从而判断出选项B的正误；选项C，利用，结合选项C的条件，可得，进而有，，而，，再比较即可判断出选项C的正确；选项D，根据条件得出，而，，再比较即可判断出选项D的正误. 【详解】设等比数列的公比为，所以， 又，所以，解得，故选项A正确， 对于选项B，因为，又，所以， 得到，故选项B错误， 对于选项C，因为，又，所以， 又，所以，则有，， 又，所以数列中的奇数项为负数，偶数项为正数， 所以，， 又，，故选项C正确， 对于选项D，因为，又，所以， 又，，所以， 又数列中的奇数项为负数，偶数项为正数， 且，， 又，，，又， 而，若，则，此时，故选项D错误， 故选：AC. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于选项C和D的判断，对于选项C，利用条件得到，再比较即可，对于选项D，利用条件得到，再比较即可. 5．（23-24高二下·河南开封·期末）已知为等差数列的前n项和，为等比数列的前n项积，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对于A，令结合基本不等式可举出反例，对于B，由等差、等比中项即可判断；对于C，由等差数列求和公式以及等差数列性质即可判断；对于D，直接由定义验算即可. 【详解】对于A，设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 若， 则，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：BCD. 6．（23-24高二上·江苏南京·期末）设等比数列的公比为，前项积为，且满足条件，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数等于4044 【答案】AD 【分析】先由条件分类讨论得到，，再利用等比数列的性质即可求解. 【详解】，，， 同号，且或， 若，则不同号； 若，则，不满足要求； 故可得，，故A正确； ，且，可得，故B错； ，又，且最大，故C错； ，且为等比数列， 由等比数列的性质可得，， 使成立的最大自然数等于4044，故D正确. 故选：AD. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于推得，进而得到，从而得解. 7．（23-24高二下·陕西渭南·期末）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，若，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．数列中的最大值是 D．数列无最大值 【答案】ABC 【分析】根据题中条件，分析出为单调递减的数列，，.A选项利用即可判断正确；B选项利用等比中项即可判断正确；C选项可分析出数列中多少项比大即可判断；D选项，利用C的判断，可判断D的正误. 【详解】由，，可得为单调递减的数列且， 由可得，. A选项：，显然A正确； B选项：， 根据等比中项可得，显然B正确； C选项：由，为单调递减的数列且， 可知的前2023项（包含2023项）都大于1，从第2024项（包含2024项）往后都小于1， 所以数列中的最大值是，所以C正确； D选项：由C正确可知，有最大值，所以D错误. 故选：ABC. 8．（23-24高二上·福建福州·期末）设等比数列的公比为，前项积为，并且满足条件，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】AC 【分析】根据题意，由，得的范围，由变形得，因此可得，由此分析选项是否正确，即可得答案 【详解】根据题意，等比数列的公比为，由，所以， 若，得，变形得， 又且，则，故，故A对； 由，故B错； ，故C对； 因为又且，所以等比数列递增数列，而，则的最小值为，故D错； 故选：AC 三、填空题 9．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知数列满足，，且.若是数列的前项积，求的最大值为 . 【答案】 【分析】根据数列的递推公式推理得到等比数列，求出通项，写出的表达式，利用指数函数和二次函数的单调性即可求得其最大值. 【详解】由和知，故有 ，可知数列为等比数列， 公比为，首项为，故通项为：， 于是， 因，为增函数，故当或时，取得最大值，为. 故答案为：. 10．（23-24高二下·北京顺义·期末）已知各项均为正数的等比数列，，，则 ；前项积的最小值为 . 【答案】 8 /0.015625 【分析】根据题意结合等比数列通项公式可得，进而可得，令，运算求解即可得的最小值. 【详解】设等比数列的公比为， 由题意可得：，解得， 可得，所以； 令，解得， 所以的最小值为. 故答案为：8；. 数列的新定义问题 一、单选题 1．（23-24高二下·北京房山·期末）已知数列：，其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推. 是数列的前项和，若，则的值可以等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将数列分组，使每组第一项均为1，第一组：，第二组：，第三组：，……，第组：，根据等比例数列前项和公式对选项逐一验证即可. 【详解】将数列分组，使每组第一项均为1，即： 第一组： 第二组： 第三组： …… 第组： 根据等比例数列前项公式，得每组和分别为：， 每组含有的项数分别为. 所以 若，即， 将选项A代入，若，则，即为前5组与第6组的第1个数的和， 此时，无解； 同理若，则，此时，即，符合题意； 同理若，则，此时，无解； 同理若，则，此时，无解； 综上可知，， 故选： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于找出数列的规律，对该数列进行分组，利用等比数列前项和公式构造方程，即可求解. 2．（23-24高二下·北京顺义·期末）对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”．给出以下四个结论： ① 若等差数列为“有界变差数列”，则的公差等于0； ② 若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比q的取值范围是； ③ 若数列是“有界变差数列”，满足，则是“有界变差数列”； ④ 若数列是“有界变差数列”，满足，则是“有界变差数列”； 其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】对于①，利用反证法即可判断；对于②，讨论和，，并结合等比数列求和及性质即可判断；对于③④，证明若，均为有界变差数列，且，则是有界变差数列，即可判断. 【详解】对于①，假设的公差不等于0，则, 故， 所以不存在，使得对任意，有， 所以若等差数列为“有界变差数列”，则的公差等于0，故正确①； 对于②，因为的各项均为正数，所以，， ， 当时，，， 任取即可，所以为有界变差数列． 当时，， 若，则， 令即可，所以为有界变差数列， 若，则， 当时，， 显然不存在符合条件的，故不是有界变差数列． 综上，的取值范围是，故②错误； 先证明若，均为有界变差数列，且，则是有界变差数列． 由有界变差数列的定义可知， ， ． 因为 ， 所以． 故 ， 因此， 所以是有界变差数列． 对于③，易知，设,则，且， 由前面结论知是有界变差数列，即是“有界变差数列”，故正确③； 对于④，因为，所以， 所以是有界变差数列，故④正确. 故所有正确结论的个数是3. 故选:C. 【点睛】关键点点睛：对于③④，先证明若，均为有界变差数列，且，则是有界变差数列． 3．（23-24高二下·江西抚州·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：.其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和.后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”.记为“斐波那契数列”的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得当时，，变形的可证得，，再结合已知条件可求得结果. 【详解】由题意得当时，，则， 所以，，……，，， 所以 ， 所以，所以， 因为当时，，则， 所以， 所以， 所以 ， 所以， 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：此题考查递推数列的性质，解题的关键是对“斐波那契数列”的正确理解，得到当时，，考查计算能力，属于中档题. 4．（23-24高二下·河南南阳·期末）设为正整数，数列是公比不为1的等比数列，若从中删去两项和后剩余的项可被平均分为组，且每组的3个数都能构成等比数列，则称数列是可分数列.现有下列3个命题： ①数列是可分数列； ②数列是可分数列； ③数列是可分数列. 其中真命题的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据可分数列的定义即可验证结论 【详解】对于①，由于从数列中删去两项后，剩余的项可被平均分为组，能构成等比数列，所以数列是可分数列，故①正确； 对于②，由于从数列中删去两项后，剩余的项可被平均分为组，都能构成等比数列，所以数列是可分数列，故②正确；对于③，由于从数列中删去两项后，剩余的项可被平均分为组，都能构成等比数列，所以数列是可分数列，故③正确；所以真命题有个. 故选：D 5．（23-24高二下·江西新余·期末）数列，称为斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列的前项和为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，，，……，，相加得到答案. 【详解】由题意得， 故，，，……，， 上面的式子相加得， 又，故. 故选：A 二、多选题 6．（23-24高二下·甘肃·期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”．记斐波那契数列为，其前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用给定定义逐个选项分析数列性质求解即可. 【详解】依题意可得，A正确； 由，B错误； ，C正确； ，累加得，D正确． 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题考查数列，解题关键是利用题目给定定义，然后结合累加法得到所证明的等量关系即可． 7．（23-24高二下·山东淄博·期末）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.  如数列，它的前后两项之差组成新数列，新数列为等差数列， 则数被称为二阶等差数列，现有二阶等差数列，其前6项分别为，设其通项公式则下列结论中正确的是（    ） A．数列的公差为2 B． C．数列的前7项和最大 D． 【答案】BD 【分析】利用二阶等差数列定义可知数列的公差为，可得，计算可知B正确，再由累加法可得，利用数列的函数性质可得数列的前6项和最大，将代入计算可得D正确. 【详解】因为二阶等差数列，其前6项分别为4，8，10，10，8，4， 从第二项开始，每一项与前一项的差组成新数列的前5项为， 易知新数列的公差为，即数列的公差为，即A错误. 易知是以首项为4，公差为的等差数列， 利用等差数列前项和公式可得,即B正确. 由等差数列通项公式可得， 所以，，……，， 累加可得； ， 利用二次函数性质可知当时，数列单调递减，且前6项均为正数， 易知，所以，因此数列的前6项和最大，即C错误； 由可得，即D正确. 故选：BD 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据二阶等差数列定义求出数列的通项公式，再由数列的函数性质可得结论. 8．（23-24高二下·云南曲靖·期末）为提高学生学习数学的热情，某校积极筹建数学兴趣小组，小组成员仿照教材中等差数列和等比数列的概念，提出“等积数列”的概念：从第二项起，每一项与前一项之积为同一个常数（不为0）.已知数列是一个“等积数列”，，其前项和为，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．的一个通项公式为 D． 【答案】ACD 【分析】根据数列新定义可得，结合已知确定通项公式，进而逐项判断正误. 【详解】由“等积数列”定义得：，而，则， 因此数列奇数项相同，偶数项相同，又，则当为奇数时，， 由，得，则当为偶数时，， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，若，则当为奇数时，，当为偶数时，，符合题意，C正确； 对于D，当为奇数时，，满足， 当为偶数时，，满足，D正确. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决. 9．（23-24高二下·湖北武汉·期末）冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列从左往右，依次对相邻两个元素比较大小，若，则交换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列进行冒泡排序，首先比较，需要交换1次位置，得到新序列，然后比较，无需交换位置，最后比较，又需要交换1次位置，得到新序列最终完成了冒泡排序，同样地，序列需要依次交换完成冒泡排序.因此，和均是交换2次的序列.现在对任一个包含个不等实数的序列进行冒泡排序，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为，只需要交换1次的序列个数为，只需要交换2次的序列个数为，则（    ） A．序列是需要交换3次的序列 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，不妨设序列的n个元素为，由题意可判断A中序列交换次数；再根据等差数列前项和公式即可判断B；得出只要交换1次的序列的特征即可判断C；利用累加法求出通项公式即可判断D. 【详解】对A，序列，比较，无需交换位置，比较，需要交换1次位置，得到新序列，比较，无需交换位置，最后比较，需要交换1次位置，得到新序列，完成冒泡排序，共需要交换2次，故A错误； 对B，不妨设序列的n个元素为，交换次数最多的序列为， 将元素n冒泡到最右侧，需交换次次， 将元素n-1冒泡到最右侧，需交换次次， ， 故共需要， 即最大交换次数，故B正确； 对C，只要交换1次的序列是将中的任意相邻两个数字调换位置的序列，故有个这样的序列，即，故C正确； 对D，当n个元素的序列顺序确定后，将元素n+1添加进原序列， 使得新序列（共n+1个元素）交换次数也是2， 则元素n+1在新序列的位置只能是最后三个位置， 若元素n+1在新序列的最后一个位置， 则不会增加交换次数，故原序列交换次数为2（这样的序列有个）， 若元素n+1在新序列的倒数第二个位置，则会增加1次交换， 故原序列交换次数为1（这样的序列有个）， 若元素n+1在新序列的倒数第三个位置， 则会增加2次交换，故原序列交换次数为0（这样的序列有1个）， 因此，， 所以，显然， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：在解与数列新定义相关的题目时，理解新定义是解决本题的关键. 三、填空题 10．（23-24高二下·辽宁·期末）设高斯函数表示不超过的最大整数（如），已知，则 ； ． 【答案】 4285 2 【分析】由的定义求出即可,求出，，，，，，判断出是一个以周期为6的周期数列，求出即可． 【详解】.， ∴，， ， 同理可得：；； ，；，，… ∴. 故是一个以周期为6的周期数列， 则. 故答案为：4285，2. 【点睛】关键点点睛：第二空的关键是得出是一个以周期为6的周期数列，由此即可顺利得解. 11．（23-24高二下·上海·期末）在数列中，若存在两个连续的三项与相同（），则称是“3阶可重复数列”．已知给定项数为m（）的数列，其中一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值是 ． 【答案】11 【分析】由题意可知连续3项共有8种情况，然后分类讨论，分，和根据题意讨论即可. 【详解】因为数列的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有种不同的情况， 若，则数列中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等， 即项数为11的数列一定是“3阶可重复数列”， 若，数列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3阶可重复数列”， 则时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列， 所以，要使数列一定是“3阶可重复数列”，则的最小值为11， 故答案为：11 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 四、解答题 12．（23-24高二下·河北·期末）设n为正整数，数列是首项为1，公比为的等比数列.从中任意选取两项和，若它们的和大于，则称该选取为“有效选取”. (1)当时，求所有“有效选取”的种数； (2)若，证明：对于任意的n，都存在“有效选取”； (3)若，证明：对于任意的n，数列中存在两项和，使得它们的差的绝对值大于. 【答案】(1)13 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）写出数列各项，运算可得满足条件的“有效选取”； （2）转化为证明的最大值大于恒成立，结合特殊取值与二项式定理利用放缩法即可证明； （3）转化为证明的最大值大于，构造利用单调性可证明其最小值大于，即得证命题. 【详解】（1）由题意，， 当时，数列为，共有项， 从中任意选取两项和，则所有取法有种； 若为“有效选取”，则，且， 当时，；当时，， 故不是有效选取,而其余取值都满足， 故所有“有效选取”的种数共有种； （2）由题意，等比数列为， 因为，所以，即该数列为递增数列， 故，，即的最大值为. 由，可得 ， ①当时，； ②当时，； ③当时，. 综上，任意，当时，都有. 即当时，对于任意的n，当时，都有， 即对于任意的n，都存在“有效选取”. （3）由（2）知，数列为递增数列， 则，， 即的最大值为， 令，因为，则随的增大而增大. 所以， 故当时，任意，恒成立，故恒成立， 即任意，存在，即数列两项，它们的差的绝对值大于. 故当时，对于任意的n，数列中存在两项和，使得它们的差的绝对值大于. 【点睛】方法点睛：求解与数列有关的不等式恒成立问题，一般可转化数列的最值问题，先判断数列的单调性进而求最值，而研究数列单调性的一般方法有：一是转化为函数的单调性，利用已知函数的单调性或变换定义域求导研究；二是利用数列单调性的定义，通过的符号判断来研究. 13．（23-24高二下·北京房山·期末）若数列满足：对任意，都有，则称是“数列”． (1)若，，判断，是否是“数列”； (2)已知是等差数列，，其前项和记为，若是“数列”，且恒成立，求公差的取值范围； (3)已知是各项均为正整数的等比数列，，记，若是“数列”，不是“数列”，是“数列”，求数列的通项公式． 【答案】(1)数列是“数列”；数列不是“数列”； (2) (3)或 【分析】（1）直接根据“数列”的定义进行判断即可； （2）由是等差数列结合是“数列”可知公差，结合等差数列求和公式用含的式子表示，进一步结合恒成立即可求解； （3）由“数列”的每一项（）均为正整数，可得且，进一步可得单调递增，故将任意性问题转换为与1比较大小关系可得的范围，结合，或，注意此时我们还要分情况验证是否是“数列”，从而即可得解. 【详解】（1）对于数列而言，若，则, 所以数列是“数列”； 对于数列而言，若，则，则数列不是“数列”； （2）因为等差数列是“数列”，所以其公差． 因为，所以， 由题意，得对任意的恒成立， 即对任意的恒成立． 当时，恒成立，故； 当时，对任意的恒成立，即 对任意的恒成立， 因为，所以． 所以的取值范围是. （3）设等比数列的公比为，因为，所以， 因为“数列”的每一项均为正整数，由得， 所以且， 因为， 所以，所以单调递增， 所以在数列中，“”为最小项， 而，从而在数列中，“”为最小项． 因为是“数列”，则只需，所以， 因为数列不是“数列”，则，所以， 因为数列的每一项均为正整数，即，所以或， （1）当时，，则， 令， 又， 所以为递增数列， 又， 所以对于任意的，都有，即， 所以数列为“数列”，符合题意． （2）同理可知，当时，，则， 令， 又， 所以为递增数列， 又， 所以对于任意的，都有，即， 所以数列为“数列”，符合题意． 综上，或. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是首先将恒成立任意性问题转换为与1比较大小得出的值，回过头去检验是否满足题意即可顺利得解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！54 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$