计算专题思维（等差数列、方程初步）（讲义）-2024-2025学年五年级上册数学人教版

等差数列 知识点一 等差数列的概念 从第二项起，每一项与前一项的差都相同，这样的数列我们称之为等差数列.这个相同的差称为公差.数列的第一项称为首项，最后一项称为末项，项的数量称为项数. 如果每一项都比前一项大同一个数，则称为递增的等差数列； 如果每一项都比前一项小同一个数，则称为递减的等差数列. 知识点二 首尾配对求和法 以1+2+3+4+5+6+7+8+9+10为例，我们可以将等差数列首尾配对求和，化为： (1+10)+(2+9)+(3+8)+(4+7)+(5+6) 由于前面的数每次大一个公差，后面的数每次小一个公差，这样就和不变. 因此可以得到11+11+11+11+11=11×5=55 类似的，其他等差数列每一对的和也是相同的，由于两个数配一对，所以配对的数量为项数的一半. 知识点三倒序求和法 我们可以采用倒序求和法求等差数列的和，以1+2+3+4+5+6+7+8+9为例，将算式倒序得到：9+8+7+6+5+4+3+2+1. 这两个算式的结果必定相同，将两个算式相加，每一项按顺序对应相加，可得： (1+9)+(2+8)+(3+7)+(4+6)+(5+5)+(6+4)+(7+3)+(8+2)+(9+1) 正好就是10×9=90. 但这是两个相同算式的和，所以原算式1+2+3+4+5+6+7+8+9为结果的一半，也就是90÷2=45 据此，我们可以总结出一般的等差数列求和公式：(首项+末项)×项数÷2 相关例题： 例题1完成下列等差数列的填空，并指出首项、末项、公差、项数： (1)1,4,(),(),13 (2)7,9,(),(),(),(),() (3)17,14,(),(),() (4)2,(),10,(),() 例题2求下列各式的值： (1)1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12 (2)5+6+7+8+9+10+11+12+13+14 例题3求：2+5+8+11+14+17+20+23 例题4用倒序求和法计算：7+8+9+10+11+12+13 例题5求下列各式的值： (1)6+7+8+…+13+14 (2)7+10+13+16+19+22+25+28+31 例题6小明周一吃了3个糖，以后每天都比前一天多吃2个糖，请你写出小明从周一到周日分别吃了几个糖?一共吃了几个糖? 答案：例题1（1） 7、10 首项1、末项13、公差3、项数5 （2）11、13、15、 17、19 首项7、末项19、公差2、项数7 （3）11、8、5首项17、末项5、公差3、项数5 （4）6、14、18首项2、末项18、公差4、项数5 例题2:（1）78（2）95 例题3:100 例题4:70 例题5:（1）90（2）171 例题6：3/5/7/9/11/13/15一共63 字母表示数 知识点一 字母表示数 有的时候我们不能确定或者是不需要确定某个数，可以用字母去表示它，字母可以用算符表示成算式，来表示数量关系。 知识点二 代数式 由于字母与数构成的算式称为代数式，代数式的值由字母的值决定.我们通过数量关系可以用代数式去表示相关的数量。 书写规则：有字母的乘法算式中，乘号写成“.”或者省略，数字要写在字母前面. 知识点三 代数式化简 代数式也满足数的所有运算律，同类项可以合并，例如：3z+4z=7z,8a-3a=5a. 知识点四 代数式求值 如果指定字母的值，我们就可以将这个字母的值代入代数式中，求出代数式的值.例如：对于代数式3a+2b. 如果a=4,b=7,那么3a+2b=3×4+2×7=26. 典型例题 例题1用代数式表示下列数量： (1)a与3的和； (2)b与5的积； (3)a的2倍与7的和； (4)比c的3倍少2的数； (5)z与a的差； (6)a与a的积减去b与b的积； 例题2化简下面的代数式： (1)2a+3a-2 (2)3×a×4 (3)7z+5-a×3-2 (4)8×(a-2)+2a-4 例题3请你填一填. (1)李师傅每小时加工12个零件，加工了a小时，一共加工了( )个. (2)有三个连续的自然数，若第一个数是m,那么第二个数是( ),第三个数是( ). (3)有a只鸡，b只兔，那么头共有( )个，腿共有( )条. (4)小明每天吃c个包子，吃了6天，小刚每天吃y个包子，吃了8天，那么小刚比小明一共多吃( )个包子. (5)学校买来a盒红粉笔，买来白粉笔的盒数是红粉笔的4倍，学校共买来( )盒粉笔. 例题4 (1)若a=2,b=3,求5a-b的值； (2)若a=5,b=2,求(a-1)(b+3)的值； (3)若z=3,求z²-3z+2的值. 答案：例题1：a+3 5b 2a+7 3c-2 z-a aa-bb 例题2:5a-2 12a 7z-3a+2 10a-20 例题3:12a m+1 m+2 a+b 2a+4b 8y-6c 5a 例题4:7 20 2 简易方程 知识点一 一元一次方程 含有一个未知数，最高次数为1的方程，叫做一元一次方程.使得方程成立的未知数的值称为这个方程的解，求出这个解的过程称为解方程. 知识点二等式的性质 等式性质1:等式两边同时加上或减去同一个数，左右两边依然相等； 等式性质2:等式两边同时乘或除以同一个数(除数不为零),左右两边依然相等. 知识点三移项 运用等式的性质，我们可以将方程的项移动，从左移到右或从右移到左，需要改变符号，简称为“过桥变号” 典型例题 例题1 (1)两边同时各放上1个茶杯，天平会发生什么变化?如果两边各放上2个茶杯，天平还保持平衡吗?两边各放上同样的1把茶壶呢? (2)两边同时都各拿掉1个花瓶，天平还平衡吗? (3)左边的墨水的数量扩大到原来的2倍，右边铅笔盒的数量也扩大到原来的2倍，天平还保持平衡吗?如果天平两边物品的数量分别扩大到原来的3倍、4倍、5倍…,天平还能平衡吗? (4)2个排球和6个皮球同样重，现在把两边的球都平均分成2份，天平还平衡吗? 例题2利用等式的性质，解方程： (1)z+2=7 (2)z-6=11 (3)3z=12 (4)z÷7=5 例题3解方程： (1)2z-3=15 (2)3z+7=40 (3)5z-12=13 (4)3z+2+4z=100 例题4解方程： (1）9-z=2 (2)17-2z=3 (3)11=3z-10 答案：例题1：平衡 平衡 平衡 平衡 平衡 例题2：z=5 z=17 4 35 例题3：9 11 5 14 例题4：7 10 7 学科网（北京）股份有限公司 $$