2.2二次函数的图象与性质（第2课时）（十大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

2.2二次函数的图象与性质（第2课时）（十大题型提分练） 目录 类型一、二次函数y=ax²+k的开口方向与形状 1 类型二、二次函数y=ax²+k的对称轴与顶点 1 类型三、二次函数y=ax²+k的增减性 2 类型四、二次函数y=ax²+k的最值与函数值范围 2 类型五、二次函数y=ax²+k的图象问题 2 类型六、二次函数y=ax²+k的性质综合问题 3 类型七 、二次函数y=ax²+k图象与性质综合应用 4 类型八 、二次函数y=ax²+k的性质与几何综合问题 5 类型九、二次函数与实际应用问题 6 类型十、二次函数y=ax²+k与新定义问题 7 类型一、二次函数y=ax²+k的开口方向与形状 1．（22-23九年级上·浙江台州·阶段练习）二次函数的图象开口方向是（  ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 2．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）下列二次函数的图象开口向上的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 类型二、二次函数y=ax²+k的对称轴与顶点 4．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）二次函数的对称轴是(    ) A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 5．（23-24九年级上·吉林·期中）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 6．（2023九年级下·安徽·专题练习）已知，是抛物线上的两点，点的横坐标为，点的横坐标为，为线段AB的中点，轴，交抛物线于点． （1）抛物线的顶点坐标是 ； （2）线段的长为 ． 类型三、二次函数y=ax²+k的增减性 7．（22-23九年级上·北京东城·期中）已知点，都在二次函数图象上，则，大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 8．（23-24九年级下·全国·课后作业）对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则 ． 9．（23-24九年级上·上海闵行·阶段练习）已知二次函数的解析式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是 ． 类型四、二次函数y=ax²+k的最值与函数值范围 10．（19-20九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知二次函数y=ax2+1(a≠0)有最大值1，则a= .(写一个适当的值即可) 11．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）已知抛物线，则当时，的取值范围为 ． 12．（23-24九年级上·湖北黄石·阶段练习）已知当时，二次函数有最大值4，求实数的值． 类型五、二次函数y=ax²+k的图象问题 13．（21-22九年级上·云南昆明·期末）函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A．B．C．D． 14．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2) 由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． (3)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 15．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知抛物线的顶点在轴上，过点作轴的平行直线，将原抛物线对称轴右侧的部分沿直线翻折后，所得的部分与原抛物线对称轴左侧的部分构成一个新函数的图象(图中的实线部分)，若这十个点都在此新函数的图象上，这10个点的横坐标从开始依次增加1，则的值是（   ）． A． B．0 C． D． 类型六、二次函数y=ax²+k的性质综合问题 16．（20-21九年级上·浙江台州·期中）已知函数经过A（m，）、B（m−1，），若．则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 17．（22-23九年级上·山东威海·期末）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．（22-23九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．    (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______． 类型七 、二次函数y=ax²+k图象与性质综合应用 19．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，点．    (1)求该二次函数的解析式并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5，求的取值范围． 20．（24-25九年级上·甘肃平凉·期中）我们一般会通过列表、描点、连线的方式来画函数图像，并结合图像研究函数的性质．请按要求完成对二次函数的研究． (1)列表： … … … … 其中， _______． 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图像． (2)根据函数图像，下列关于该函数性质的说法正确的有：_______（填序号） ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴是轴；②该函数有最小值，没有最大值； ③当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；④当时，的值为1． 类型八 、二次函数y=ax²+k的性质与几何综合问题 21．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）已知地物线的顶点坐标为． (1)抛物线的解析式为 ； (2)已知点，点，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m，求线段的长（用含有字母m的式子表示）； (3)抛物线上是否存在点P，使得的值最小，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由． 类型九、二次函数与实际应用问题 22．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）探究观景拱桥中安装的“脚手架”是否符合要求 素材一 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示，量得该拱桥占地面最宽处米，最高处点C距地面5米（即米）． 素材二 桥洞两侧壁上各有一盏景观灯、，两灯直射地面分别形成反光点、（、分别在抛物线上且关于对称，、在线段上），量得矩形的周长为27.5米现公园管理人员对拱桥加固维修，在点、处搭建一个高3.5米的矩形“脚手架”．已知“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全． 问题解决 任务一 确定观景拱桥的形状 分别以、所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求出该抛物线的解析式． 任务二 探究方案合理性 请问该“脚手架”的安装是否符合要求？如果符合，请说明理由；如果不符合，求出脚手架至少应调低多少米？ 类型十、二次函数y=ax²+k与新定义问题 23．（2019·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点．      (1)请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法； (2)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (3)将点称为点的“待定关联点”（其中，）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含n的代数式表示点的坐标． 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）当时，下列函数中，随的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）、、三点都在抛物线上，则，，的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A．B．C．D． 4．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）若关于x的一元二次方程没有实数根，则二次函数的大致图象是（    ） A．B．C．D． 5．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级下·山东济南·开学考试）如图1，车前大灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯所在的位置合适时，灯光会沿着水平方向的反射出去，此时我们称灯的位置为抛物线的“焦点”．抛物线的焦点位置有一种特性：如图，抛物线上任意一点到焦点的距离的长，等于点到一条平行于轴的直线的距离的长．若抛物线的表达式为：，那么此抛物线的焦点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（2024·浙江·模拟预测）已知点和点均在函数的图像上，若且满足，则下列关系可能不正确的是（     ） A． B． C． D． 8．（2024九年级·全国·竞赛）如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，现将进行等分，分点分别为点，过各分点的垂线分别交二次函数的图象于点，记的面积分别为、，当越来越大时，最接近的常数是（    ）．    A． B． C． D．1 二、填空题 9．（24-25九年级上·全国·期中）已知抛物线与的形状相同，开口方向相反，且经过点，则其解析式为 ． 10．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯的一部分，则杯口的口径为 ． 11．（2024九年级·全国·竞赛）抛物线与轴交于，与轴交于，当为直角三角形时，满足的关系为： ． 12．（23-24九年级上·上海·阶段练习）抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点Q处，则点的坐标为 ． 13．（2024·浙江嘉兴·一模）定义一个运算：，如． 用表示大于最小整数，如． 按照上述规定，若整数满足，则的值是 ． 14．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知关于的函数，有下列结论：①函数的图象是轴对称图形；②函数图象上纵坐标为0的点有3个；③满足纵坐标为的点，恰好只有两个，则或；④点，是该函数图象上的两个点，则的最大距离是4．其中正确的结论是 ．（填写序号） 15．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）抛物线的图象交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B． （1）点B坐标为 ； （2）点，，且线段与抛物线恰有一个公共点，则m的取值范是 ． 三、解答题 16．（24-25九年级上·北京通州·阶段练习）在平面直角坐标系中，存在抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)若该抛物线经过点，求此抛物线的表达式； (3)存在两点和，若抛物线与线段只有一个公共点，结合图象，求m的取值范围． 17．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）用描点法画出函数的图象，结合图象，回答下列问题： (1)该抛物线可由抛物线向____平移___个单位得到； (2)开口方向________；对称轴________；顶点坐标________； (3)当时，y随x的增大而________； (4)当x________时，； (5)当时，y的取值范围是________． 18．（24-25八年级上·江苏苏州·开学考试）【探究】如图，已知抛物线 （1）在坐标系中画出此抛物线y的大致图象 (不要求列表)； （2）该抛物线可由抛物线 向 平移 个单位得到； （3）当时，函数值y取值范围是 ． 【应用】已知二次函数 （h是常数），且自变量取值范围是． ①当时，求函数的最大值 ②若函数的最大值为，求h的值． 19．（22-23九年级上·云南昭通·阶段练习）已知抛物线与直线交于点． (1)求和的值； (2)写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)对于二次函数，当在什么范围时，随的增大而减小 20．（2024·宁夏银川·一模）民以食为天．我们常见的炒菜锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆形面．经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”， 锅口直径为，锅深为，锅盖高为（锅口直径与锅盖直径视为相同）（单位：），如果把锅纵断面的抛物线的记为C，把锅盖纵断面所在的圆记作． (1)求抛物线C解析式和弧所在的半径； (2)锅中原有水的最大深度为（如图2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高，求此时的水面宽度； (3)如果将底面直径，高度为的圆柱形蒸笼若干个叠加起来（如图3）放入锅中蒸食物（不考虑叠加缝隙），那么最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？ ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.2二次函数的图象与性质（第2课时）（十大题型提分练） 目录 类型一、二次函数y=ax²+k的开口方向与形状 1 类型二、二次函数y=ax²+k的对称轴与顶点 2 类型三、二次函数y=ax²+k的增减性 2 类型四、二次函数y=ax²+k的最值与函数值范围 2 类型五、二次函数y=ax²+k的图象问题 2 类型六、二次函数y=ax²+k的性质综合问题 4 类型七 、二次函数y=ax²+k图象与性质综合应用 4 类型八 、二次函数y=ax²+k的性质与几何综合问题 6 类型九、二次函数与实际应用问题 6 类型十、二次函数y=ax²+k与新定义问题 7 类型一、二次函数y=ax²+k的开口方向与形状 1．（22-23九年级上·浙江台州·阶段练习）二次函数的图象开口方向是（  ） A．向上 B．向下 C．向左 D．向右 【答案】B 【分析】根据的性质，时，开口向上；时，开口向下，即可． 【详解】∵二次函数中，， ∴二次函数图象开口向下， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 2．（23-24九年级上·福建泉州·阶段练习）下列二次函数的图象开口向上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的开口方向由a来决定，当时，二次函数的开口向上；当时，二次函数的开口向下；进而问题可求解． 【详解】解：由选项可知：B、C、D选项开口都是向下的，只有A选项的开口向上； 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 3．（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果抛物线的开口向下，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，根据抛物线开口向下，得到，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选D． 类型二、二次函数y=ax²+k的对称轴与顶点 4．（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）二次函数的对称轴是(    ) A．轴 B．轴 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对于二次函数，其对称轴为直线，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：抛物线的对称轴是：直线， 即对称轴是y轴， 故选：A． 5．（23-24九年级上·吉林·期中）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】解∶ 抛物线的顶点坐标是． 故选∶A． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 6．（2023九年级下·安徽·专题练习）已知，是抛物线上的两点，点的横坐标为，点的横坐标为，为线段AB的中点，轴，交抛物线于点． （1）抛物线的顶点坐标是 ； （2）线段的长为 ． 【答案】 ； ． 【分析】（）根据二次函数表达式特点可求顶点坐标； （）由题意写出、的坐标，再根据中点坐标得出点坐标，再由轴得出点坐标即可． 【详解】解：（1）∵， ∴抛物线的顶点坐标是， 故答案为：， （2）依据题意可知，点的坐标为，点的坐标为，， ∵为线段的中点， ∴的坐标为， ∵轴， ∴点的坐标为， ∴CD＝． 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的相关知识点是解决本题的关键． 类型三、二次函数y=ax²+k的增减性 7．（22-23九年级上·北京东城·期中）已知点，都在二次函数图象上，则，大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据解析式求得开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性即可判断． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而减小， ∵与点关于直线对称，且， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 8．（23-24九年级下·全国·课后作业）对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，根据二次函数的定义得到，由抛物线的性质得到，由此求得m的值． 【详解】解：∵函数为二次函数，且当时，y随x的增大而增大， ∴，， 整理得：，且， 解得：． 故答案为：． 9．（23-24九年级上·上海闵行·阶段练习）已知二次函数的解析式为，在直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的增减性，掌握的图像和性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为y轴， ∴开口向下，当x时，函数值随着自变量的增大而增大， 又∵直线的左侧，函数值随着自变量的增大而增大， ∴， 故答案为：． 类型四、二次函数y=ax²+k的最值与函数值范围 10．（19-20九年级上·浙江湖州·阶段练习）已知二次函数y=ax2+1(a≠0)有最大值1，则a= .(写一个适当的值即可) 【答案】-1（答案不唯一，小于0即可） 【分析】利用二次函数的性质，由已知二次函数y=ax2+1(a≠0)有最大值1，可得到a的取值范围，然后根据a的取值范围写出一个a的值即可. 【详解】∵ 二次函数y=ax2+1(a≠0)有最大值1， ∴抛物线的开口向下 ∴a＜0 ∴a的值可以为-1. 故答案为：-1（答案不唯一，小于0即可）. 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，根据二次函数有最大值判断出a＜0是解题的关键. 11．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）已知抛物线，则当时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，当时，随的增大而减小，然后把的值代入进行计算即可得解． 【详解】解：， 时，随的增大而减小， ， 时，的最大值； 当时，最小． 的取值范围是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键． 12．（23-24九年级上·湖北黄石·阶段练习）已知当时，二次函数有最大值4，求实数的值． 【答案】 【分析】根据题意得出对称轴为直线，在时，当时取得最大值，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，抛物线开口向上，当时取得最大值， ∴ 解得： 类型五、二次函数y=ax²+k的图象问题 13．（21-22九年级上·云南昆明·期末）函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数的性质确定a>0与a<0两种情况分类讨论抛物线的顶点位置即可得出结论． 【详解】解：函数y＝ax与y＝ax2+a（a≠0） A. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是交y轴正半轴，故选项A不正确；     B. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向下正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴负半轴，而不是在坐标原点上，故选项B不正确；     C. 函数y＝ax图形可得a＞0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴，故选项C不正确；     D. 函数y＝ax图形可得a＜0，则y＝ax2+a（a≠0）开口方向向上正确，当顶点坐标为（0，a）,应交于y轴正半轴正确，故选项D正确；     故选D． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图象与二次函数的图象，理解掌握函数图象的性质是解此题的关键． 14．（23-24九年级上·广东广州·阶段练习）已知二次函数． x … 0 1 2 … y … … (1)填写上表，并在下边平面直角坐标系中描出表中的点并画出函数图象． (2) 由图可知抛物线开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当时，y随x的增大而______． (3)利用图象写出当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2)向下；y轴；；减小； (3) 【分析】本题考查二次函数的基础知识点， （1）根据列表、描点、连线三步作出函数图象即可； （2）观察函数图象求解即可； （3）观察函数图象求解即可； 解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象画法，通过数形结合求解． 【详解】（1）解：如下表所示： x … 0 1 2 … y … 0 3 4 3 0 … 函数图象如图所示： （2）根据函数图象得：抛物线开口方向为向下；对称轴为y轴；顶点坐标为；当时，y随x的增大而减小； 故答案为：向下；y轴；；减小； （3）有函数图象可得：当时，y的取值范围是， 故答案为：． 15．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知抛物线的顶点在轴上，过点作轴的平行直线，将原抛物线对称轴右侧的部分沿直线翻折后，所得的部分与原抛物线对称轴左侧的部分构成一个新函数的图象(图中的实线部分)，若这十个点都在此新函数的图象上，这10个点的横坐标从开始依次增加1，则的值是（   ）． A． B．0 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质、轴对称变换、中心对称变换，理解题意，得到根据二次函数的性质及轴对称性质可得到与，与、与、与都关于点A对称，根据中心对称性质可得，进而可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为，对称轴为y轴， 根据题意，与点A重合，即， ∴根据对称性质可得与，与、与、与都关于点A对称， ∴， ∴， 又，， ∴ ， 故选：C． 类型六、二次函数y=ax²+k的性质综合问题 16．（20-21九年级上·浙江台州·期中）已知函数经过A（m，）、B（m−1，），若．则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图像开口向下，对称轴为y=0知，要使，需使A点更靠近对称轴y轴，由此列出关于m的不等式解之即可 ． 【详解】解：∵图像开口向下，对称轴为y=0且 ∴，下面解此不等式． 第一种情况，当m＜0时，得，解得m＜0； 第二种情况，当时，得，解得； 第三种情况，当时，得，解得，无解； 综上所述得． 故选：B． 【点睛】此题考查二次函数的图像与性质，比较图像上两点的函数值．其关键是，当二次函数开口向下时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越大；当二次函数开口向上时，图像上的点越靠近对称轴时，函数值越小． 17．（22-23九年级上·山东威海·期末）已知二次函数，当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键； 根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，据此解答． 【详解】 化为顶点式解析式为： 二次函数的对称轴为直线，开口方向向上， 在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小， 时，y随x的增大而减小， 当时，y随x的增大而减小， 实数a的取值范围是， 故选：B． 18．（22-23九年级上·河南商丘·阶段练习）如图，将二次函数位于的下方的图象沿轴翻折，再得到一个新函数的图象（图中的实线）．    (1)当时，新函数值为______，当时，新函数值为______； (2)当______时，新函数有最小值； (3)当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是______； (4)直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围______． 【答案】(1)5，3 (2)-2或2 (3)或 (4)或 【分析】（1）把和分别代入求得函数值，根据函数图象即可求得答案； （2）根据函数图象即可求得； （3）根据函数图象即可求得； （4）根据图象求得答案即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 把代入， 得， 当时，新函数值为，当时，新函数值为， 故答案为：，； （2）解：观察图象可得： 当或时，新函数有最小值为， 故答案为：或； （3）解：观察图象可得： 当新函数中函数随的增大而增大时，自变量的范围是或； 故答案为：或； （4）解：观察图象可得： 直线与新函数图象有两个公共点时，的取值范围或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． 类型七 、二次函数y=ax²+k图象与性质综合应用 19．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）已知二次函数的图象经过点，点．    (1)求该二次函数的解析式并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5，求的取值范围． 【答案】(1)，图见解析 (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解析式，用描点法画函数图象即可； （2）根据图象列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：将点，点代入中得到： ， 解得：， ∴该二次函数的解析式为：， 列表如下： x … 0 1 2 3 … y … 1 1 … 画图如下：    （2）根据题意，作图如下：    ∵函数的开口向上，且对称轴也是y轴，要使当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值且不大于5， ∴只需保证当时，，且当时，， 即 解得：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，利用数形结合思想是解题的关键． 20．（24-25九年级上·甘肃平凉·期中）我们一般会通过列表、描点、连线的方式来画函数图像，并结合图像研究函数的性质．请按要求完成对二次函数的研究． (1)列表： … … … … 其中， _______． 根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中画出二次函数的图像． (2)根据函数图像，下列关于该函数性质的说法正确的有：_______（填序号） ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴是轴；②该函数有最小值，没有最大值； ③当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；④当时，的值为1． 【答案】(1)，作图见解析； (2)①②． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）把代入即可求得的值，然后根据列表，描点，连线画出函数的图象即可； （2）观察图象即可判断． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 画出函数的图象如图： 故答案为：； （2）解：观察图象， ①该函数图像是轴对称图形，它的对称轴是轴．正确； ②该函数有最小值，没有最大值．正确； ③当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．原说法错误； ④当时，的值为或．错误； 故答案为：①②． 类型八 、二次函数y=ax²+k的性质与几何综合问题 21．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）已知地物线的顶点坐标为． (1)抛物线的解析式为 ； (2)已知点，点，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m，求线段的长（用含有字母m的式子表示）； (3)抛物线上是否存在点P，使得的值最小，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标知，抛物线的对称轴为y轴，则，把点代入解析式求得c，即可求得函数解析式； （2）由题意得，由勾股定理即可求得； （3）过点P，B分别作x轴的垂线，垂足分别为E，D；由（2）知，则 ，此时点P的横坐标为1，从而求得点P的纵坐标，得点P的坐标． 【详解】（1）解：由抛物线的顶点坐标知，抛物线的对称轴为y轴，则； 把点代入中，得：， ∴； 故答案为：； （2）解：∵点P的横坐标为m，且在抛物线上， ∴； 由勾股定理得； （3）解：存在点P，使得的值最小； 如图，过点P，B分别作x轴的垂线，垂足分别为E，D； 则； 由（2）知， ∴ ， 当点P在上时，取得最小值，此时点P的横坐标为1， ∴点P的纵坐标为， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，勾股定理，垂线段最短等知识，得到是求解的关键． 类型九、二次函数与实际应用问题 22．（24-25九年级上·陕西渭南·阶段练习）探究观景拱桥中安装的“脚手架”是否符合要求 素材一 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥，其横截面如图所示，量得该拱桥占地面最宽处米，最高处点C距地面5米（即米）． 素材二 桥洞两侧壁上各有一盏景观灯、，两灯直射地面分别形成反光点、（、分别在抛物线上且关于对称，、在线段上），量得矩形的周长为27.5米现公园管理人员对拱桥加固维修，在点、处搭建一个高3.5米的矩形“脚手架”．已知“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全． 问题解决 任务一 确定观景拱桥的形状 分别以、所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求出该抛物线的解析式． 任务二 探究方案合理性 请问该“脚手架”的安装是否符合要求？如果符合，请说明理由；如果不符合，求出脚手架至少应调低多少米？ 【答案】任务一：；任务二：脚手架至少应调低米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数解析式，根据抛物线特点得到二次函数解析式以及得出E点坐标是解决本题的关键． 任务一：根据所建直角坐标系得到顶点，设此函数解析式为，根据B点坐标为，结合待定系数法求解，即可解题； 任务二：假设出点坐标为，再利用矩形的周长为27.5米，即可得出的长，进而得出的长，再结合“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全求解，即可解题． 【详解】解：任务一：因为米，所以顶点， 故可设此函数解析式为：， 由米，得出B点坐标为，代入解析式得： ， 解得：， 该抛物线的解析式为：． 任务二：设E的坐标为，其中， 则，． 由已知得：， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， 把代入． 在点、处搭建一个高3.5米的矩形“脚手架”，“脚手架”最高处距景观灯至少为0.35米可保证安全， ，， 而， 该“脚手架”的安装不符合要求， 脚手架至少应调低（米）． 类型十、二次函数y=ax²+k与新定义问题 23．（2019·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．已知：点在函数的图象上（如图所示），点A的“关联点”是点．      (1)请在如图的基础上画出函数的图象，简要说明画图方法； (2)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (3)将点称为点的“待定关联点”（其中，）．如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含n的代数式表示点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线； （2）根据“关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点A1的坐标； （3）根据“待定关联点”的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入，得到，解得，即可求得点A2的坐标． 【详解】（1）解：将图中的抛物线向下平移2个单位长，可得抛物线， 如图：      （2）解：由题意，得点的“关联点”为， 由点在抛物线上，可得， ∴， 又在抛物线上， ， 解得． 将代入，得； （3）解：点的“待定关联点”为， ∵在抛物线的图象上， ， ． 又 , 当时，， 故可得． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出关联点的坐标． 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）当时，下列函数中，随的增大而增大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、二次函数、反比例函数的增减性，根据一次函数、二次函数、反比例函数的性质逐项判断即可得解，熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、在中，，则当时，随的增大而减小，故不符合题意； B、在中，，则当时，随的增大而减小，故不符合题意； C、在中，，对称轴为直线，则当时，随的增大而减小，故不符合题意； D、在中，，对称轴为直线，则当时，随的增大而增大，故符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）、、三点都在抛物线上，则，，的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的对称轴的求法，根据对称轴和开口方向分析函数的增减性，当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小；反之，越大．分别求出三个点到对称轴的距离，以及开口方向，即可解答． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该函数的对称轴为y轴， ∴点到对称轴的距离为4， 点到对称轴的距离为1， 点到对称轴的距离为2， ∵， ∴该函数开口向下， ∵， ∴， 故选：C． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）若正比例函数，随的增大而增大，则它和二次函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数图象与二次函数图象综合判断，由正比例函数得出，从而得出二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，再判断出正比例函数与二次函数图象没有交点即可得解． 【详解】解：∵正比例函数，随的增大而增大， ∴， ∴二次函数的图象开口向上，与轴交于正半轴，故A、C不符合题意； 联立得：， 则， 故正比例函数与二次函数图象没有交点，故D符合题意； 故选：D． 4．（24-25九年级上·河南信阳·阶段练习）若关于x的一元二次方程没有实数根，则二次函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式及二次函数的图象的问题，解题的关键是根据一元二次方程的根的判别式确定k的取值范围，难度不大．首先根据一元二次方程没有实数根确定k的取值范围，然后根据二次函数的性质确定其图象的位置． 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴， 解得：， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴的交点在y轴正半轴，且关于y轴对称， 四个选项中，只有选项C符合， 故选：C． 5．（24-25九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若，两点的横坐标分别为，，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，先证明．可得，．再根据，．得，，由列出m、n得关系式即可求解． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作轴于点， ， ， 四边形是正方形， ，， ∴， ． ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ∴，， ∵， ∴， ． ， ． ． 故选：B． 6．（23-24九年级下·山东济南·开学考试）如图1，车前大灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯所在的位置合适时，灯光会沿着水平方向的反射出去，此时我们称灯的位置为抛物线的“焦点”．抛物线的焦点位置有一种特性：如图，抛物线上任意一点到焦点的距离的长，等于点到一条平行于轴的直线的距离的长．若抛物线的表达式为：，那么此抛物线的焦点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，两点间的距离，利用平方差公式因式分解，设抛物线与轴交点为，与轴交于点，，，则，根据“焦点”定义可知：，，则，根据两点间的距离可得，然后解出即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图， 设抛物线与轴交点为，与轴交于点，，，则， 根据“焦点”定义可知：，， ∵点为抛物线顶点坐标， ∴， ∴， ∴， ∴，则， ∴，， 由得：， ∴， 即：， 整理得：， ∴， ∴，解得：， ∴焦点的坐标为， 故选：． 7．（2024·浙江·模拟预测）已知点和点均在函数的图像上，若且满足，则下列关系可能不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，首先得出函数的图像开口向上，再分为点B在点A的左侧或点B在点A的右侧且，两种情况讨论并进行判断，本题得以解决． 【详解】解：， 函数的图像开口向上， 若且满足， 点B在点A的左侧或点B在点A的右侧且， 当点B在点A的左侧时，，，， 当点B在点A的右侧且时，，，， 综上所述，选项D不正确， 故选：D 8．（2024九年级·全国·竞赛）如图，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，现将进行等分，分点分别为点，过各分点的垂线分别交二次函数的图象于点，记的面积分别为、，当越来越大时，最接近的常数是（    ）．    A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的基本性质，理解二次函数图象的特点，运用极限思想分析问题是关键．先求出函数：的图象与轴的正半轴相交于点坐标，再根据题意得到三角形的面积计算方法，最后根据计算结果可推出最佳答案． 【详解】解：由题意可得：的图象与轴的正半轴相交于点 ， ， 当越来越大时，最接近的值为． 故选：B． 二、填空题 9．（24-25九年级上·全国·期中）已知抛物线与的形状相同，开口方向相反，且经过点，则其解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，熟知二次函数一般式中a对抛物线的决定作用是解题的关键． 由两条抛物线的形状相同且开口方向相反，可得出两个二次函数表达式中二次项的系数互为相反数，再由抛物线经过点即可解答． 【详解】解：∵抛物线与的形状相同，开口方向相反， ∴． 又∵该抛物线经过点， ∴，解得：． ∴该抛物线的函数解析式为． 故答案为：． 10．（22-23九年级上·浙江宁波·期中）如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高为14的奖杯的一部分，则杯口的口径为 ． 【答案】9 【分析】本题是关于二次函数应用题，主要考查了二次函数图象和性质，待定系数法，利用待定系数法求出A、C的坐标，可求答案． 【详解】解：∵为14， ∴令， 解得， ∴， ∴ ， 故答案为：9 11．（2024九年级·全国·竞赛）抛物线与轴交于，与轴交于，当为直角三角形时，满足的关系为： ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质，理解的性质是解题关键．先分别求得抛物线与坐标轴的交点，然后根据等腰直角三角形的性质分析求解． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与y轴交于点， 当时，，解得， ∴，且a，c异号， 当为直角三角形时，此时， ∴， ∴，即， 故答案为：． 12．（23-24九年级上·上海·阶段练习）抛物线上有一点，平移该抛物线，使其顶点落在点处，这时，点落在点Q处，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，由坐标点确定平移方式，再由平移方式确定点的坐标，先利用二次函数的性质得到抛物线的顶点坐标为，再利用顶点的坐标变换规律得到抛物线的平移规律，然后利用此平移规律写出点P平移到点Q时的坐标． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， ∵点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点， ∴点向右平移1个单位，向上平移2个单位得到点． 故答案为：． 13．（2024·浙江嘉兴·一模）定义一个运算：，如． 用表示大于最小整数，如． 按照上述规定，若整数满足，则的值是 ． 【答案】或/4或0 【分析】本题考查了新定义运算，涉及了二次函数的图象与性质，根据题意得 ，画出函数的图象即可求解 【详解】解：∵ ， ∴ ∴ ∵ 如图所示，画出该函数的函数图象： 可知：当或时，，则 ； ∴的值是或 故答案为：或 14．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知关于的函数，有下列结论：①函数的图象是轴对称图形；②函数图象上纵坐标为0的点有3个；③满足纵坐标为的点，恰好只有两个，则或；④点，是该函数图象上的两个点，则的最大距离是4．其中正确的结论是 ．（填写序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数和图象和性质．根据题意画出草图，根据图象求解即可． 【详解】解：对于 ， 顶点坐标为， 令，则，解得或， 与轴的交点坐标为，， 对于 ，顶点坐标为， 令，则，解得或， 与轴的交点坐标为， 如图， 观察图象，①函数的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，结论①错误； ②函数图象上纵坐标为0的点有点，共3个，结论②正确； ③满足纵坐标为的点，恰好只有两个，即经过点或且平行于轴两条直线与图象的交点，此时或，结论③正确； ④点，是该函数图象上的两个点，由图象知，当时，则的最大距离即，结论④正确． 故答案为：②③④． 15．（24-25九年级上·安徽阜阳·阶段练习）抛物线的图象交y轴于点A，点A关于x轴的对称点为点B． （1）点B坐标为 ； （2）点，，且线段与抛物线恰有一个公共点，则m的取值范是 ． 【答案】 / 【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能对m进行分类讨论，并能数形结合解决函数与线段的交点问题是解题的关键． （1）求出A点坐标，再由点B关于x轴对称，根据点的对称性可求B点坐标； （2）根据题意，分两种情况分别求：当和时，根据“线段与抛物线恰有一个公共点”列出不等式，再结合图象可确定m的范围． 【详解】解：（1）抛物线与y轴交于点A， ∴， 点A关于x轴的对称点为点B， ∴， 故答案为：； （2）当时， 通过观察可得：C在直线l上，若要与抛物线有一个交点， 则， 解得（舍）， 当时， ， 解得，即． 三、解答题 16．（24-25九年级上·北京通州·阶段练习）在平面直角坐标系中，存在抛物线． (1)求该抛物线的顶点坐标； (2)若该抛物线经过点，求此抛物线的表达式； (3)存在两点和，若抛物线与线段只有一个公共点，结合图象，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查二次函数的图形和性质，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）直接根据解析式写出顶点坐标即可； （2）把代入求出即可解题； （3）分为和时，分别画图，根据开口越小，越大解题即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为：； （2）把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （3）当，若过时，， 解得：， ∵根据开口越小，越大， ∴； 当，若过时，， 解得：， ∵根据开口越小，越大， ∴； 综上所述可得m的取值范围为或． 17．（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）用描点法画出函数的图象，结合图象，回答下列问题： (1)该抛物线可由抛物线向____平移___个单位得到； (2)开口方向________；对称轴________；顶点坐标________； (3)当时，y随x的增大而________； (4)当x________时，； (5)当时，y的取值范围是________． 【答案】(1)向下；1； (2)向上；轴；； (3)增大； (4) (5)． 【分析】本题考查的是画二次函数的图象，二次函数的性质； （1）先利用描点法画二次函数的图象，再结合平移规律可得答案； （2）由二次函数的图象可得答案； （3）由二次函数的图象结合增减性可得答案； （4）由二次函数的图象与轴的交点坐标可得答案； （5）结合二次函数的图象与可得答案． 【详解】（1）解：列表如下： 0 1 2 0 0 3 描点并画图： 该抛物线可由抛物线向下平移1个单位得到； （2）解：抛物线的开口方向上；对称轴为轴；顶点坐标； （3）解：抛物线，当时，y随x的增大而增大； （4）解：∵， 解得：， ∴当时， （5）解：由图象可得：当时，y的取值范围是． 18．（24-25八年级上·江苏苏州·开学考试）【探究】如图，已知抛物线 （1）在坐标系中画出此抛物线y的大致图象 (不要求列表)； （2）该抛物线可由抛物线 向 平移 个单位得到； （3）当时，函数值y取值范围是 ． 【应用】已知二次函数 （h是常数），且自变量取值范围是． ①当时，求函数的最大值 ②若函数的最大值为，求h的值． 【答案】（1）见解析；（2）上，4；（3）；[应用]①0；②1或6 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是： （1）根据画二次函数 图象的方法画图即可； （2）利用二次函数的平移规律求解即可； （3）利用二次函数的性质并结合函数图象即可得出结论； 【应用】①利用二次函数的性质求解即可； ②分，，三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）如图， （2）该抛物线可由抛物线 向上平移4个单位得到， 故答案为：上，4； （3）抛物线开口向下，当时，y有最大值为4， 当时，；当时， ∴当时，函数值y取值范围是， 故答案为：； [应用]①抛物线的开口向下，对称轴为， ∴当时，当时，y有最大值，最大值为0； ②当时，时，y随x的增大而减小，则当时，y有最大值， ∴， 解得，（舍去） 当时，时，y有最大值为0，故不符合题意； 当时，时，y随x的增大而增大，则当时，y有最大值， ∴， 解得（舍去），（舍去） 综上，若函数的最大值为，则h的值为1或6． 19．（22-23九年级上·云南昭通·阶段练习）已知抛物线与直线交于点． (1)求和的值； (2)写出抛物线的顶点坐标和对称轴； (3)对于二次函数，当在什么范围时，随的增大而减小 【答案】(1)， (2)顶点坐标为，对称轴为轴 (3)时，随的增大而减小 【分析】本题考查了一次函数与二次函数交点综合，抛物线函数图像性质，函数交点坐标求函数解析式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）先将代入到可求得的值，再将点代入到即可求得的值； （2）由（1）可得抛物线解析式，将其化为顶点式即可解题； （3）根据抛物线函数图像性质，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线与直线交于点， ，解得：， ， 将代入得：， 解得：， ，； （2）解：由（1）可得：抛物线即， 其顶点坐标为，对称轴为轴； （3）解：由（1）可得：抛物线， ， 函数图像开口向上， 对称轴为直线， 在时，随的增大而减小． 20．（2024·宁夏银川·一模）民以食为天．我们常见的炒菜锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆形面．经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”， 锅口直径为，锅深为，锅盖高为（锅口直径与锅盖直径视为相同）（单位：），如果把锅纵断面的抛物线的记为C，把锅盖纵断面所在的圆记作． (1)求抛物线C解析式和弧所在的半径； (2)锅中原有水的最大深度为（如图2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，水位升高，求此时的水面宽度； (3)如果将底面直径，高度为的圆柱形蒸笼若干个叠加起来（如图3）放入锅中蒸食物（不考虑叠加缝隙），那么最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？ 【答案】(1)，； (2)； (3)4个． 【分析】（1）在中，由勾股定理可得：即可求解； （2）当时，解得：即可求解； （3）对于， 当时，则 ，进而求解． 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到圆的基本知识、勾股定理的运用等，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意知抛物线C的顶点为且过 ∴设抛物线C解析式为：， 解得： ∴抛物线C解析式为： 如图：圆心为M， 连接， 设则 在中， 由勾股定理可得： 即 解得： ∴的半径为； （2）解：∵锅中原有水的最大深度为，又重新加入一定量的水，水位升高， ∴加水后水面水的最大深度为， ∴水面距锅沿的竖直高度为， ∴当时， 解得： ∴水面宽度为； （3）解：对于抛物线C，如图所示： 当时， 则 对于，如图所示： 当时， ， 则 ∴为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的蒸笼4个． ( 39 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$