专题03 幂函数、指数函数与对数函数（4大考点）-【中职专用】2025年职教高考数学二轮复习专项突破（福建专用）

专题03 幂函数、指数函数与对数函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 了解幂函数的定义 · 理解指数的运算 · 理解指数函数的定义 · 理解对数的运算 考点预测 · 幂函数 · 指数函数 · 对数运算 · 对数函数 · 理解对数函数的定义 课堂笔记 一．根式及相关概念 (1)a的n次方根定义 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) (3)根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 二．根式的性质(n>1，且n∈N*) (1)n为奇数时，＝a. (2)n为偶数时，＝|a|＝ (3)＝0. (4)负数没有偶次方根． 三．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：a－＝＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义 四．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 五．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 六．指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 七．指数函数的图象和性质 a的范围 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 (0,1)，即当x＝0时，y＝1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 八．对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念： (2)底数a的范围是a>0，且a≠1. 九．常用对数与自然对数 十．对数的基本性质 (1)负数和零没有对数． (2)loga 1＝0(a>0，且a≠1)． (3)logaa＝1(a>0，且a≠1)． 十一．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 十二．对数的换底公式 若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0， 则有logab＝. 十三．对数函数的概念 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 十四．对数函数的图象及性质 a的范围 0<a<1 a>1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 定点 (1,0)，即x＝1时，y＝0 单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数 十五．反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数． 十六、三种函数模型的性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与y轴平行 随x增大逐渐近似与x轴平行 保持固定增长速度 增长速度 ①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢； ②存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax 考点突破 考点1 幂函数 例1．已知幂函数的图象过点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义可得，即可求解. 【详解】设幂函数为，图象过点， 故，故， 所以，得. 故选：B 例2．下列函数在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐一判断各选项中函数的单调性即可. 【详解】对于A，函数在上单调递减，A不是； 对于B，当时，，函数在上单调递增，B是； 对于C，函数在上单调递增，则在上单调递减，C不是； 对于D，函数在上单调递减，D不是. 故选：B 练习1．下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的性质，结合奇函数的定义，可得答案. 【详解】函数的定义域为，是非奇非偶函数，故A错误； 函数的定义域为，是奇函数，故B正确； 函数的定义域为，而当时，， 此时函数值不为零，故函数不是奇函数，故C错误； 函数的定义域为，是偶函数，故D错误. 故选：B. 练习2．若幂函数的图象不过原点，且关于原点对称，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解. 【详解】由幂函数的定义，得，解得或. 若，则，其图象不关于原点对称，不符合题意，舍去； 若，则，其图象不过原点，且关于原点对称，符合题意. 故选：A 练习3．已知幂函数在区间上单调递减，则（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】首先利用幂函数的定义，得出，根据方程求出的值，然后再将的值代入函数解析式，检验所得函数的单调性，即可得出符合条件的的值． 【详解】由于是幂函数 所以，解得或 当时，函数为，满足在上为减函数，符合题意； 当时，函数为，不满足在上为减函数，不符合题意． 故 故选：A 考点2 指数函数 例1．函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出复合过程，根据复合函数单调性同增异减得出结论. 【详解】设，则，外层函数在上单调递增，所以整个函数的单调增区间为内层函数的增区间，而内层函数的增区间为. 故选：C 例2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数解出集合，再求交集即可； 【详解】由可得，所以， 所以 故选：B. 练习1．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是(    ). A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，，使得，只需，分别研究两个函数的单调性，求两个函数的最大值，然后解不等式即可. 【详解】由题意知，当时函数单调递增，所以， 当时，为单调递增函数，所以， 又因为，，使得， 即在的最大值不小于在上的最大值， 即，解得，即. 故选：A. 练习2．设，，，则它们的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函函数与，利用指数函数的单调性可比较大小. 【详解】，，， 因为在上单调递增，又，所以， 所以， 又在上单调递减，又，所以， 所以. 故选：D. 练习3．下列函数中既是奇函数，又在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的定义域、奇偶性、单调性等性质分别对各选项逐一判断即可得解. 【详解】对于A，函数图象总在x轴上方，不是奇函数，A不满足； 对于B，函数在R上递增，且，该函数是奇函数，B满足； 对于C，函数在上单调递增，则在上递减，C不满足； 对于D，函数定义域是非零实数集，而，D不满足. 故选：B 考点3 对数运算 例1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合指数幂的运算性质，根据对数运算性质直接计算即可. 【详解】原式. 故选：B. 例2．已知则等于（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据分段函数的定义域代入求值即可. 【详解】根据题意，得， 所以. 故选：. 练习1．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分别求出，从而可求解 【详解】由题意可得，故B正确. 故选:B. 练习2．可以写成（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数的换底公式易得. 【详解】由对数换底公式可得，. 故选：C. 练习3．已知函数则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数的运算性质计算可得答案. 【详解】因为 所以，又因为， 所以. 故选：B. 考点4 对数函数 例1．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由解析式可得函数的定义域应满足，求解即可. 【详解】函数的定义域应满足： ,解得且， 所以函数的定义域为. 故选:D. 例2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意得，解不等式得解. 【详解】由，即，即，解得. 所以函数的定义域为. 故选：B. 练习1．已知集合则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据指数函数和对数函数的值域求出集合A和B，再根据集合的并集运算求解即可. 【详解】， 故. 故选：D 练习2．在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过分析正比例函数和对数函数的特征可得解. 【详解】函数，由对数函数可知，且， 当时，为过原点的减函数，为减函数，则B错误，D正确； 当时，为过原点的增函数，为增函数，则A错误，C错误； 故选：D. 练习3．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合指数函数、对数函数的单调性，利用“分段法”确定正确答案. 【详解】由，故. 故选：D 模拟演练 一、单选题 1．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的单调性即可. 【详解】由指数函数的单调性可知，即， 又，即， 所以. 故选：D. 2．已知，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指对数函数即余弦函数性质判断大小关系即可. 【详解】，，，则. 故选：A 3．已知，则（    ） A．2 B．-2 C．4 D．2或-2 【答案】A 【分析】将根式化为分数指数幂，根据指数运算的运算法则即可求得结果. 【详解】因为，所以，解得； 要使得等式有意义，则，所以； 故选：. 4．“幂函数在单调递减”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义求出m的值，再根据充分必要条件的定义判断即可． 【详解】若为幂函数，则，解得或， 因当时，在上单调递减，符合题意； 当时，在上单调递增，不合题意. 故由“幂函数在单调递减”当且仅当“”成立， 即“幂函数在单调递减”是“”的充要条件． 故选：B. 5．若幂函数，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用幂函数定义可知其系数为1，解方程可得结果. 【详解】根据幂函数定义可知，，解得. 故选：A 6．若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据幂函数的单调性判断即可. 【详解】由题构造函数，， 因为，所以在上单调递增，所以，即， 因为，所以在上单调递增，所以，即. 故选：D. 二、填空题 7．函数的图象恒过定点，则点坐标为 . 【答案】 【分析】根据，即可求解，代入即可得纵坐标. 【详解】令，则，故，因此， 故答案为： 8．已知，则的取值范围为 【答案】 【分析】利用对数函数单调性解不等式即得. 【详解】由，得，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 三、解答题 9．若，比较，及的大小． 【答案】 【分析】根据指数函数单调性即可比较大小. 【详解】, 是上的单调增函数, . 10．已知指数函数（且）的图象过点． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入法进行求解即可； （2）利用指数函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）指数函数（且）的图象过点， ，， 又且， . （2）由得，， 又函数在上单调递减， ，即， 不等式的解集为. $$专题03 幂函数、指数函数与对数函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 了解幂函数的定义 · 理解指数的运算 · 理解指数函数的定义 · 理解对数的运算 考点预测 · 幂函数 · 指数函数 · 对数运算 · 对数函数 · 理解对数函数的定义 课堂笔记 一．根式及相关概念 (1)a的n次方根定义 如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)a的n次方根的表示 n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围 n为奇数 R n为偶数 ± [0，＋∞) (3)根式 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 二．根式的性质(n>1，且n∈N*) (1)n为奇数时，＝a. (2)n为偶数时，＝|a|＝ (3)＝0. (4)负数没有偶次方根． 三．分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1) 负分数指数幂 规定：a－＝＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1) 0的分数指数幂 0的正分数指数幂等于0， 0的负分数指数幂没有意义 四．有理数指数幂的运算性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)． (2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)． (3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 五．无理数指数幂 一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 六．指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 七．指数函数的图象和性质 a的范围 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 (0,1)，即当x＝0时，y＝1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 八．对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念： (2)底数a的范围是a>0，且a≠1. 九．常用对数与自然对数 十．对数的基本性质 (1)负数和零没有对数． (2)loga 1＝0(a>0，且a≠1)． (3)logaa＝1(a>0，且a≠1)． 十一．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 十二．对数的换底公式 若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0， 则有logab＝. 十三．对数函数的概念 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 十四．对数函数的图象及性质 a的范围 0<a<1 a>1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 定点 (1,0)，即x＝1时，y＝0 单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数 十五．反函数 指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0且a≠1)互为反函数． 十六、三种函数模型的性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 在(0，＋∞)上的增减性 增函数 增函数 增函数 图象的变化趋势 随x增大逐渐近似与y轴平行 随x增大逐渐近似与x轴平行 保持固定增长速度 增长速度 ①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度越来越慢； ②存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax 考点突破 考点1 幂函数 例1．已知幂函数的图象过点，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 例2．下列函数在区间上为增函数的是（   ） A． B． C． D． 练习1．下列函数为奇函数的是（   ） A． B． C． D． 练习2．若幂函数的图象不过原点，且关于原点对称，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 练习3．已知幂函数在区间上单调递减，则（   ） A．1 B． C． D．2 考点2 指数函数 例1．函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 例2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 练习1．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是(    ). A． B． C． D． 练习2．设，，，则它们的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 练习3．下列函数中既是奇函数，又在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 考点3 对数运算 例1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 例2．已知则等于（    ） A． B． C．1 D． 练习1．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 练习2．可以写成（    ）． A． B． C． D． 练习3．已知函数则（    ） A． B． C． D． 考点4 对数函数 例1．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 例2．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 练习1．已知集合则（    ） A． B． C． D． 练习2．在同一直角坐标系中，函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 练习3．已知，则（    ） A． B． C． D． 模拟演练 一、单选题 1．设，，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，则a，b，c的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 3．已知，则（    ） A．2 B．-2 C．4 D．2或-2 4．“幂函数在单调递减”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 5．若幂函数，则（   ） A． B． C．2 D．1 6．若，则（   ） A．， B．， C．， D．， 二、填空题 7．函数的图象恒过定点，则点坐标为 . 8．已知，则的取值范围为 三、解答题 9．若，比较，及的大小． 10．已知指数函数（且）的图象过点． (1)求实数的值； (2)求不等式的解集． $$