圆锥曲线的方程—核心考点测试卷【重难点突破】-2024-2025学年高二数学上学期常考题专练

2024-2025学年高二圆锥曲线的方程—核心考点测试 数 学·答题卡 姓名________ 一、单项选择题（每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 二、多项选择题（每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 选项 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．_______________ 13．___________________ 14．__________________ 三、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高二数学上学期常考题专练（新高考） 圆锥曲线的方程—核心考点测试 说明：本试卷以中档题为主，减少了基础题与压轴题，适合中等生 试卷分值：150 建议时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 2．若双曲线与双曲线：有相同渐近线，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 3．在平面直角坐标系中，已知一动圆经过，且与圆：相切，则圆心的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．拋物线 4．已知点为双曲线右支上的一个动点，则点到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线经过点，并且与抛物线交于两点，与轴交于点，与抛物线的准线交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆，M为椭圆C上的一点，则点M到直线距离最小值为（   ） A．0 B． C． D． 7．已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，且双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．椭圆离心率为 B． C．若，则的面积为 D．最大值为 10．已知抛物线（如图），过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线和圆于，，，四点，则（    ） A． B． C．当直线的斜率为时， D． 11．已知双曲线分别为双曲线左、右焦点，焦距为2c，为该双曲线上异于顶点的任一点，双曲线E的左、右顶点分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若直线与双曲线的一个交点的横坐标恰好为c，则双曲线的离心率是 B．若双曲线的离心率为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积等于（点为坐标原点），则实数的值等于 C．设直线PA、PB的斜率分别为，则 D．若在第一象限，内切圆圆心的横坐标为 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知双曲线的一条渐近线方程为分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则 ． 13．已知点P是椭圆上一动点，过点P作的切线PA、PB，切点分别为A、B，当最小时，线段AB的长度为 ． 14．设抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在第一象限的交点为M，N，且，则直线MN的斜率为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记的轨迹为. (1)求的方程；(2)过点的直线与交于，两点，且的面积为，求直线的方程. 16．如图，已知抛物线C：（）的焦点F，且经过点，． (1)求A点的坐标； (2)直线l交抛物线C于M，N两点，过点A作于D，且，证明：存在定点Q，使得DQ为定值． 17．已知椭圆C：.过点，两个焦点为和.设E，F是椭圆C上的两个动点. (1)如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之和为2，证明：直线EF恒过定点； (2)如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之积为2，证明：直线EF恒过定点. 18．在平面直角坐标系中，动点在双曲线的一条渐近线上，已知的焦距为4，且为的一个焦点，当最小时，的面积为. (1)求的方程； (2)已知点，直线与交于两点.当时，上存在点使得，其中依次为直线的斜率，证明：在定直线上. 19．已知椭圆（），四点，，，，中恰有三点在椭圆上． (1)求的方程； (2)设、是的左、右顶点，直线交于C、D两点，直线、的斜率分别为、．若； ①证明：直线过定点； ②求四边形面积的最大值． 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高二数学上学期常考题专练（新高考） 圆锥曲线的方程—核心考点测试 说明：本试卷以中档题为主，减少了基础题与压轴题，适合中等生 分值：150 建议时间：120分钟 试卷满分：150分 考试用时：120分钟 1 2 3 4 5 6 7 8 C B B B D C D D 9 10 11 BCD ABD ACD 12 13 14 或 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】整理成标准式方程即可得到准线方程. 【详解】即， 则准线方程为. 故选：C. 2．若双曲线与双曲线：有相同渐近线，且过点，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据共渐近线的双曲线方程为.代入点的坐标即可求解. 【详解】因为和有相同的渐近线，所以设双曲线的方程为，将代入得，所以双曲线的方程为， 故选：B 3．在平面直角坐标系中，已知一动圆经过，且与圆：相切，则圆心的轨迹是（    ） A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．拋物线 【答案】B 【分析】易得点在圆内，则圆内切与圆，再根据椭圆的定义即可得解. 【详解】因为，所以点在圆内， 所以圆内切与圆， 由两圆内切的关系可知，， 从而， 所以点轨迹是以为焦点的椭圆. 故选：B. 4．已知点为双曲线右支上的一个动点，则点到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把所求问题转化为求点到直线的最小距离，结合平行线间的距离公式可求. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 而直线与平行，平行线间的距离， 由题意可知点到直线的距离大于. 故选：B. 5．已知抛物线的焦点为，斜率为的直线经过点，并且与抛物线交于两点，与轴交于点，与抛物线的准线交于点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设准线与轴的交点为，过作准线的垂线，垂足为，，根据抛物线的定义以及三角形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得答案. 【详解】当在第一象限时， 设准线与轴的交点为，过作准线的垂线，垂足为， 因为，且为的中点， 所以为三角形的中位线，即， 所以，又根据抛物线的定义， 所以， 所以在直角三角形中，， 所以，此时， 根据对称性，当在第四象限时，， 故选：D. 6．已知椭圆，M为椭圆C上的一点，则点M到直线距离最小值为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，与平行且与椭圆相切的直线，其中存在切点到直线的距离最小，再设切线联立椭圆求切线即可. 【详解】由题意，与平行且与椭圆相切的直线，其中存在切点到直线的距离最小， 令切线为，联立椭圆方程有，整理得， 所以，则， 对于，其切点到的距离为， 对于，其切点到的距离为， 显然点M到直线距离最小值为. 故选：C 【相关考点：椭圆中的最值问题】 【题型1】椭圆上的点到坐标轴上一点的距离最值 例：点A为椭圆上的动点，点，求最大值 构造二次函数模型求最值（最优） 步骤一：设点： 步骤二：写出两点距离公式： 步骤三：把点坐标代入椭圆方程得出x²与y²的关系，再代入消元 ，代入得，此时根号内是一个关于的二次函数，且 步骤四：通过二次函数单调性和定义域求最值 （注意定义域） 【题型2】椭圆上的点到直线距离最值问题 人教版选择性必修一P114页例题7的思考题： 当直线与椭圆没有公共点时，椭圆上是否存在点P，使点P到直线有是大距离和最少距离？ 人教 A 版选必一第 116 页拓展探究第 13 题： 已知椭圆直线．椭圆上是否存在一点，使得： (1)它到直线l的距离最小?最小距离是多少?(2)它到直线l的距离最大?最大距离是多少? 思路分析：考虑将直线平移到和椭圆相切，两条切线，，则两条切线和l的距离就是椭圆上点到直线的最小距离和最大距离． 【题型3】与焦半径有关的线段和差最值问题 在椭圆中，处理焦半径有关的线段和差最值问题时，可以利用两条焦半径的和为常数，可将一条焦半径转换成另一条焦半径 7．已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求出点坐标，利用点差法求得，可求椭圆离心率. 【详解】椭圆的左焦点为，， 过作轴，垂足为，由， 得，，有， 设，则有，， 由，两式相减得， 则有，所以. 故选：D 【点睛】方法点睛：由直线倾斜角为且，得，利用中点弦问题的点差法得，通过构造齐次方程法求离心率的值. 【相关考点：椭圆垂径定理】已知A,B是椭圆上任意2点，且弦不平行轴，M为线段AB中点，则有 证明（点差法）：设，，则， ，， ∵A，B在椭圆上，代入A，B坐标得 ① ② 两式相减得：，整理得 ∴ 8．已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的右支交于两点，若，且双曲线的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得，从而再得，由余弦定理求得，由诱导公式得，设，则，再由余弦定理求得，从而利用余弦定理求解即可. 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，因为， 所以，由双曲线的定义可得， 所以， 在中，由余弦定理得， 在中，，设，则， 由得 ，解得，所以， 所以. 故选：D . 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用，结合余弦定理与双曲线的定义，从而得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知椭圆分别为它的左右焦点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．椭圆离心率为 B． C．若，则的面积为 D．最大值为 【答案】BCD 【分析】由椭圆方程得到的值，根据离心率的定义可判断A，根据椭圆的定义可判断B， 根据勾股定理和椭圆的定义可得到，从而由三角形面积公式可判断C，由对勾函数可判断D. 【详解】由椭圆方程可知，，，， 所以椭圆的离心率，故A错误； 由椭圆定义知，故B正确； 又，因为，所以， ， 解得：，所以的面积为，故C正确； 因为，即， 设，由对勾函数的性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，且， 所以， 所以，故D正确. 故选：BCD. 10．已知抛物线（如图），过抛物线焦点的直线自上而下，分别交抛物线和圆于，，，四点，则（    ） A． B． C．当直线的斜率为时， D． 【答案】ABD 【分析】根据联立直线方程与抛物线方程，即可得韦达定理，进而由向量的坐标运算即可求解A，根据焦半径即可求解BC，结合基本不等式即可求解D. 【详解】由题意可得， 设直线方程为，， 则，，所以， 对于A，，故A正确， 对于B，，B正确， 对于C，当直线斜率为时，直线方程为，联立直线与抛物线方程可得， 解得，所以， 所以，故C错误， 对于D， ， 将代入可得， 所以， 等号成立当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ABD. 11．已知双曲线分别为双曲线左、右焦点，焦距为2c，为该双曲线上异于顶点的任一点，双曲线E的左、右顶点分别为，则下列说法正确的是（   ） A．若直线与双曲线的一个交点的横坐标恰好为c，则双曲线的离心率是 B．若双曲线的离心率为，过点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，若的面积等于（点为坐标原点），则实数的值等于 C．设直线PA、PB的斜率分别为，则 D．若在第一象限，内切圆圆心的横坐标为 【答案】ACD 【分析】根据直线与双曲线的位置关系、双曲线的离心率、三角形的面积、定值问题以及三角形内切圆等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，代入得， 解得（负根舍去），所以， 两边除以得，解得，A选项正确. B选项，双曲线左焦点到一条渐近线的距离为， 所以，所以， 由于双曲线的离心率，所以， 所以，所以B选项错误. C选项，设，则， ，， 所以C选项正确. D选项，设内切圆的圆心为，内切圆于相切于点，如图所示， 则，且， 由于，所以， 而，所以，所以， 所以内切圆圆心的横坐标为，D选项正确. 故选：ACD    【点睛】思路点睛： 利用双曲线的几何特性求解离心率：首先通过双曲线的焦点和交点条件，利用关于的方程推导出离心率. 内切圆位置的几何分析：通过分析双曲线在第一象限内的内切圆位置，利用几何关系确定圆心具体的横坐标. 【模型归纳】双曲线焦点三角形内切圆 一、单个焦点三角形的内切圆：圆心在直线上 证明：不妨设点P在双曲线C右支上的任意一点，设 的内切圆的圆心I 在三边上的投影分 别为B，E，D因为 由双曲线定义，可知： 又因为，所以，所以。 即B恰为双曲线的右顶点，所以点I必在直线上．根据对称性可知，点I必在直线上 二、焦点和一条焦点弦所成三角形的内切圆:有一个焦点为切点 证明：设内切圆分别与的三边 F1A，F1B，AB 相切于M，N，P，由切线长定理可知， ，设， 则有 故，即，所以P，F2重合． 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知双曲线的一条渐近线方程为分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，且，则 ． 【答案】或 【分析】由双曲线的方程、渐近线的方程求出a，由双曲线的定义求出|PF2|． 【详解】由题知双曲线的一条渐近线方程为， 即，则， 又， 由双曲线的定义得， ， 或． 故答案为或 13．已知点P是椭圆上一动点，过点P作的切线PA、PB，切点分别为A、B，当最小时，线段AB的长度为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合四边形的面积分析可知当且仅当点P为左顶点时，取到最小值，进而可得线段AB的长度. 【详解】由椭圆方程可知：， 圆的圆心为（也为椭圆的左焦点），半径， 因为，可知四边形的面积， 当最小时，即为四边形的面积最小， 又因为， 可知当取到最小值时，四边形的面积最小，即最小， 且点P是椭圆上一动点， 由椭圆性质可知：当且仅当点P为左顶点时，取到最小值， 此时，由对称性可知：， 即，为等边三角形，则. 故答案为：. 14．设抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在第一象限的交点为M，N，且，则直线MN的斜率为________ 【答案】 【答案】A 【分析】根据题意可设直线方程为，联立直线与抛物线方程，通过根与系数的关系及抛物线的焦半径公式，建立方程，即可求解， 【详解】根据题意可得抛物线的焦点，准线方程为， 到准线距离为，到准线距离为， 法一：设线+韦达化处理（通法） 则有，设直线方程为， 联立，可得， 则，得，故， 设，， 又，有，即，得， ，又，解得， ，又，解得. 法二：设点+相似比（计算小） ， 设,，由相似可知， 代入消元得，，解得， 则，而A,N,M三点共线，故 法三：利用对称性+焦比公式 如图，延长MF，NF分别交抛物线于P，Q，则MFP三点共线，且NF=PF 故，再结合,故∠MFH=60° 补充证明 设抛物线的焦点为F，C的准线与x轴交于点A，过A的直线与C在第一象限的交点为M，N，延长MF与抛物线交于点P，则P，N关于x轴对称 证明：设，，,， 故，即P，N关于x轴对称 【继续提问】若P，N关于x轴对称，那么M，F，P是否共线？ 解：设，， 而，故直线AM与直线PF交抛物线于同一点，所以P，F，M三点共线 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在平面直角坐标系中，已知点，，点满足，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，且的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的定义求解； （2）设直线的方程为，，，直线方程代入双曲线方程后应用韦达定理得，然后由可求得值得直线方程． 【详解】（1）因为，由双曲线定义可知的轨迹为双曲线的右支， 设实轴长为，焦距为，虚轴长为， ，， 所以的轨迹方程为； （2）设直线的方程为，，， 由化简得， 则，， ，， ， ，，或. ，， ，， 所以的方程为． 16．如图，已知抛物线C：（）的焦点F，且经过点，． (1)求A点的坐标； (2)直线l交抛物线C于M，N两点，过点A作于D，且，证明：存在定点Q，使得DQ为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由抛物线定义有求，由在抛物线上求m即可得的坐标. （2）令，，，联立抛物线得到一元二次方程，应用韦达定理，根据及向量垂直的坐标表示列方程，求k、n数量关系，确定所过定点，再由易知在以为直径的圆上，即可证结论. 【详解】（1）由抛物线定义知：，则，故， 又在抛物线上，则，可得，故. （2）设，，由（1）知：， 所以，，又，故， 所以， 因为的斜率不为零，故设直线， 联立，整理得，且， 所以，，则，， 综上，， 当时，过定点； 当时，过定点，即共线，不合题意； 所以直线过定点，又，故在以为直径的圆上， 而中点为，即为定值，得证. 【点睛】16,17题均为由斜率定值得出直线过定点，可以通过平移齐次化来优化计算 【参考例题】已知椭圆，设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点． 【平移+齐次化处理】 Step1：平移点P到原点，写出平移后的椭圆方程，设出直线方程，并齐次化处理 将椭圆向下平移一个单位，（为了将平移到原点） 椭圆方程化为，（左加右减，上减下加为曲线平移） 设直线对应的直线为，椭圆方程化简为， 把一次项化成二次结构，将2y乘上即可 此时椭圆方程变成： Step2：根据斜率之积或斜率之和与韦达定理的关系得到等式，求得m，n之间的关系 由于平移不会改变直线倾斜角，即斜率和仍然为－1，而P2点此时为原点，设平移后的， 即, 将椭圆方程两边同除以，令，得， 结合两直线斜率之和为，即，得，， Step3：得出定点，此时别忘了，还要平移回去! 直线恒过点，向上平移一个单位进行还原 在原坐标系中，直线过点． 17．已知椭圆C：.过点，两个焦点为和.设E，F是椭圆C上的两个动点. (1)如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之和为2，证明：直线EF恒过定点； (2)如果直线AE的斜率与直线AF的斜率之积为2，证明：直线EF恒过定点. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）将直线方程与椭圆方程齐次化，利用韦达定理可得直线EF的方程为，可得结论； （2）由（1）中的结论由韦达定理可得直线EF的方程为，得出证明. 【详解】（1）设直线EF方程为，即， 从而. 又椭圆过点，可得 整理可得 所以 即 则 显然这是一个关于的一元二次方程. 对于问题（1），由韦达定理得 所以，故，则 所以直线EF恒过定点. （2）对于问题（2），由韦达定理得 所以，则， 所以直线EF恒过定点. 【模型背景】遇到斜率和积为定值与直线定点问题结合时可以考虑平移+齐次化的方法，和常规方法相比大大优化了计算难度，不过注意正规考试中如果答案算了一般不会给步骤分 直线与椭圆交于A，B两点，为椭圆上异于AB的任意一点，若定值或定值(不为0)，则直线AB会过定点． (因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型)． 【坐标平移+齐次化处理】（左加右减，上减下加为曲线平移） Step1：平移点P到原点，写出平移后的椭圆方程，设出直线方程，并齐次化处理 Step2：根据斜率之积或斜率之和与韦达定理的关系得到等式，求得m，n之间的关系， Step3：得出定点，此时别忘了，还要平移回去! 具体操作步骤： (1)把定点移到新坐标系的原点处，得到新的曲线方程；(定点在原点就跳过这一步) (2)设直线，为齐次化奠定基础； (3)曲直联立，对曲线方程中的各个一次项(即x以及y)用乘“1”实现齐次，整理成的形式，即为直线，的直线系方程； (4)利用和的韦达定理，得到m和n的关系式； (5)利用m和n的关系式，代入直线方程，将化为单参，从而得到定点； (6)再平移回到原来的坐标系中，得到相应的定点(若求斜率就跳过这一步) 结论补充【“富瑞吉定理”默写】 椭圆是椭圆上一点，A，B为随圆E上两个动点，与PB的斜率分别为k1，k2. (1)，则AB斜率为定值≠0)； (2)，证明AB过定点：； (3) ，证明AB的斜率为定值； (4)，证明AB过定点：. 以上称为手电筒模型，注意点P不在椭圆上时，上式并不适用，常数也需要齐次化乘“1²” 如为双曲线，则用“”替换“” 如为圆(标准方程)，则用“”替换“”和“ ” 18．在平面直角坐标系中，动点在双曲线的一条渐近线上，已知的焦距为4，且为的一个焦点，当最小时，的面积为. (1)求的方程； (2)已知点，直线与交于两点.当时，上存在点使得，其中依次为直线的斜率，证明：在定直线上. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得，同时，解方程求出即可； （2）分别设，表示出，再由直线与双曲线联立，得出根与系数的关系代入求出即可得证. 【详解】（1）由已知，得，当最小时，即， 由到渐近线的距离，可知， 的面积为， 又，且， 为方程的两个根，即方程的两个根， 又， 的标准方程为. （2）如图，    不妨设， 则， 均在上， ， ， 欲使，只需， 只需 即， 联立整理得， ，且， 只需，即，解得， ， ，即上存在点满足题设， 显然在定直线上，证毕. 【点睛调和线束斜率模型之等差关系】 调和线束：如图，若构成调和点列，为直线外任意一点，则直线称为调和线束。若另一直线截调和线束，则截得的四点仍构成调和点列。 调和线束斜率关系：对于一组调和线束l1，l2，l3，l4，记斜率分别为， 则有． 等差关系：若不存在，则；若不存在，则 若不存在，则；若不存在，则 19．已知椭圆（），四点，，，，中恰有三点在椭圆上． (1)求的方程； (2)设、是的左、右顶点，直线交于C、D两点，直线、的斜率分别为、．若； ①证明：直线过定点； ②求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据椭圆对称性，必过、，又横坐标为1，椭圆必不过，将代入椭圆方程即可求解； （2）①设，因为若直线的斜率为0，则点关于轴对称，必有，不合题意，所以直线斜率必不为0，设其方程为，与椭圆联立，求出和韦达定理，设直线的斜率为，求出，求出和的关系即可证明；②由①求出和，根据即可求解. 【详解】（1）根据椭圆对称性，必过、，又横坐标为1， 椭圆必不过，所以过三点，将代入椭圆方程得 ，解得，， ∴椭圆的方程为：； （2）① 依题意，点，设， 因为若直线的斜率为0，则点关于轴对称， 必有，不合题意，所以直线斜率必不为0， 设其方程为，与椭圆联立， 整理得：， 所以， 且因为点是椭圆上一点， 即，设直线的斜率为， 所以， 所以，即， 因为 ， 所以， 此时， 故直线恒过定点； ②由①得， 所以 （当且仅当即时等号成立）， 所以的最大值为． 【点睛】关键点点睛：本题关键在于设，因为若直线的斜率为0，则点关于轴对称，必有，不合题意，所以直线斜率必不为0的分析. 【模型背景】椭圆内接四边形（自极三角形） 若ABCD是椭圆的一个内接四边形， 点P是四边形对角线的交点， 则： 同理, 为点对应的极线, 为点所对应的极线. 因而将称为自极三点形. 设直线交圆锥曲线于点两点, 则, 恰为圆锥曲线的两条切线. 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$