4.2.2 等差数列的前n项和（第1课时） （导学案）-【上好课】高二数学选择性必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

第四章数列 4.2等差数列 4.2.2等差数列的前n项和（第1课时） 一、教学目标 ①通过等差数列的前n项和公式的推导，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题与解决问题的一般思路和方法，培养学生的逻辑推理核心素养； ②通过等差数列的前n项和公式的运用，进一步理解函数与方程(组)思想，提高学生观察、反思、归纳的能力，培养学生的数学运算和数学抽象核心素养； ③通过等差数列的前n项和公式在实际生活中的应用，使学生再一次认识到数学来源于生活，又服务于生活.同时发展学生善于观察生活的优秀品格，培养学生数学建模核心素养. 二、重点难点 重点：等差数列前n项和公式的推导 难点：等差数列前n项和公式推导的逻辑（倒序求和的发现） 三、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一.被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献. 据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： 高斯的算法实际上解决了求等差数列 ① 前100项的和的问题． 那么，对于一般的等差数列，如何求其前n项和呢？本节课我们一起学习. 环节二：回顾旧知，学习新知 问题1：你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？你能从中得到求数列①的前项和的方法吗？ 追问：你能用高斯的方法求吗？ 思路1：先拿出一项，再首尾配对.如可先拿出中间项，再首尾配对，即 原式; 也可先拿出末项，再首尾配对，即 原式. 思路2：先凑成偶数项，再配对.如可通过前面补零，凑成偶数项配对，即 原式; 也可通过后面增项减项，凑成偶数项配对，即 原式. 问题2：根据以上的讨论，你能计算么？ 设，当是偶数时，有 于是有 ． 当是奇数时，有，余， 于是有 ． 所以，对任意正整数，都有 ． 问题3：我们发现，在求前个正整数的和时，要对分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦．能否设法避免分类讨论？ 如果对公式作变形，可得 它相当于两个相加，而结果变成个相加． 受此启发，我们得到下面的方法： 将上述两式相加，可得 所以 教师总结：我们通过类比得到的这种推导方法就叫做倒序相加法.通过倒序相加，将复杂的求和问题转化为简单的求和，即把n个数的和转化为这n个数的平均数的自相加.从中我们还可以发现如下规律： (1)所求的和可以用首项、末项和项数来表示； (2)数列中任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和. 问题4：上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列的前项和吗？ 可以发现，上述方法的妙处在于将“倒序”为，再将两式相加，得到个相同的数（即）相加，从而把不同数的求和转化为个相同的数求和． 对于等差数列，因为，由上述方法得到启示，我们用两种方式表示： ① ② 得 由此得到等差数列的前项和公式 （1） 对于等差数列，利用公式（1），只要已知等差数列的首项和末项，就可以求得前项和． 将（1）变形可得，所以就是等差教列前项的平均数． 另外，如果已知首项和公差，那么这个等差数列就完全确定了，所以我们也可以用和来表示．把等差数列的通项公式代入公式（1），可得 （2） 思考：不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（2）吗？ ， 由于， 所以. 将公式（2）整理得： （3） 即等差数列的前n项和为常数项为零的关于n的二次函数，简记为：，其中. 思考：若等差数列的前n项和，则数列为等差数列吗？，如果是，表示出其首项和公差. 分析：设的首项为，公差为，则， 所以，， 所以， 所以，数列为等差数列，公差为，首项为. 结论：为等差数列的前n项和，数列也为等差数列. 环节三：根据新知，简单应用 例1. 已知数列是等差数列． （1）若，，求； （2）若，，求； （3）若，，，求． 思考：对于等差数列的相关量，，，，，已知几个量就可以确定其他量? 知三求二 分析：对于（1），可以直接利用公式求和； （2）中，可以先利用和的值求出，再利用公式求和； （3）已知公式中的，和，解方程即可求得． 解：（1）因为，，根据公式，可得 ． （2）因为，，所以．根据公式，可得 ． （3）把，，代入，得 ． 整理，得 ． 解得 ，或(舍去)． 所以 ． 例2.已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 分析：把已知条件代入等差数列前项和的公式（2）后，可得到两个关于与的二元一次方程．解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得和． 解：由题意，知 ，． 把它们代入公式 ， 得 ， 解方程组，得 ． 所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差． 思考：在例2条件下计算，并判断，，能否为等差数列，一般地，分别为等差数列的前项，前项，前项的和，则成等差数列吗？ 分析：设的首项为，公差为，则： ，， ， 所以， ， ， 所以，， 即成等差数列，公差为. 为等差数列的前n项和，则成等差数列，公差为 一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定． 规律方法：等差数列中基本计算的两个技巧 (1)利用基本量求值. (2)利用等差数列的性质解题. 变式训练： 1.根据下列各题中的条件，求相应等差数列的前n项和． （1），，； （2），，； （3），，；（4），，． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）由题意，，， 所以 （2）由题意，，， 所以. （3）由题意，，，， 所以 （4）由题意，，， 由，得 ，解得， 所以. 2. 等差数列，，，…的前多少项的和是？ 【答案】10 【详解】等差数列，，，…的首项为公差， 设前n项的和为-100，则有， 解得：.即等差数列，，，…的前10项的和是. 12. 在等差数列中，为其前n项的和，若，，求． 【答案】72 【详解】设等差数列的公差为， 则，解得， 则. 环节四：新知再认识，能力提升 题型一：累加法求通项公式 例. 已知数列满足，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式. 【详解】（1）因为， 所以， 又由，可得， 所以数列是公差为2的等差数列. （2）由（1）知，数列是首项为2，公差为2的等差数列，即， 所以， 所以当时， . 又满足上式，所以， 即数列的通项公式为. 方法规律：累加法求通项公式——累加法（叠加法）(记忆累积法模型) 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 具体步骤：，，，……，， 将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得： = 整理得：= 变式训练： 1.已知数列满足，，求. 【答案】， 【分析】运用累加法计算即可. 【详解】因为， 所以. 所以 . 又也符合上式， 所以，. 2．南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数比第层球数多，设各层球数构成一个数列.求数列的通项公式； 【答案】. 【详解】依题意，且， 所以 ， 所以. 3．已知数列满足：，，. (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据条件，利用等差数列定义，即可证明结果，利用等差数列的通项公式得到，再利用累加法，即可求出结果； （2）由（1）得，再利用数列是递增数列，得到对恒成立，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以为常数， 又，所以数列是公差为，首项为的等差数列. 所以， 当时，， 所以，又，所以，又，满足， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，因为数列是递增数列， 所以，对恒成立， 得到对恒成立，所以. 题型二：倒序求和的应用 例. 已知函数． (1)求证：函数的图象关于点对称； (2)求的值． 【详解】（1）因为，所以， 所以，即函数的图象关于点对称. （2）由（1）知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和. 因为， 所以（倒序）， 又由（1）得， 所以，所以. 方法规律：倒序求和法的适用条件: 如果一个数列，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法 变式训练： 已知函数关于点对称，其中为实数. (1)求实数的值； (2)若数列的通项满足，其前项和为，求. 【详解】（1）由题知，即， 整理得，解得 ； （2）由题知，，且， 则， 又， 故， 即. 环节五：凝练升华，课堂小结 问题5：回顾本节课的学习内容，回答下列问题： 1. 本节课学习的概念有哪些？ 2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 1．知识清单： (1)等差数列前n项和及其计算公式． (2)等差数列前n项和公式的推导过程． (3)由an与Sn的关系求an. (4)等差数列在实际问题中的应用． 2．方法归纳：函数与方程思想、倒序相加法、整体思想．化归转化思想 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第24页习题4.2第1、3题 巩固作业答案： 1.根据下列等差数列中的已知量，求相应的来知量： （1），，，求d及n； （2），，，求及﹔ （3），，，求n及； （4），，，求及． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【详解】（1）因为等差数列中，，，， 所以， ； （2）因为等差数列中，，，， 所以， 解得； （3）因为等差数列中，，，， 所以， 整理得，解得，或（舍去）， ； （4）因为等差数列中，，，， ， . 3.（1）求从小到大排列的前n个正偶数的和． （2）求从小到大排列的前n个正奇数的和． （3）在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？求这些数的和． （4）在小于100的正整数中，有多少个数被7除余2？这些数的和是多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）180，98550；（4）13，663. 【详解】（1）通项公式为，所以， （2）通项公式为，所以， （3）因为末尾数是0或者5的数均是5的倍数，故最小是100，最大是995， 所以， 故和为， （4）被7整除余2的数为，当时，这个数等于100，所以在小于100的正整数中共有13个数被7整除余2，每相邻两个数之间的差（大数减小数）为7， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 第四章数列 4.2等差数列 4.2.2等差数列的前n项和（第1课时） 一、教学目标 ①通过等差数列的前n项和公式的推导，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题与解决问题的一般思路和方法，培养学生的逻辑推理核心素养； ②通过等差数列的前n项和公式的运用，进一步理解函数与方程(组)思想，提高学生观察、反思、归纳的能力，培养学生的数学运算和数学抽象核心素养； ③通过等差数列的前n项和公式在实际生活中的应用，使学生再一次认识到数学来源于生活，又服务于生活.同时发展学生善于观察生活的优秀品格，培养学生数学建模核心素养. 二、重点难点 重点：等差数列前n项和公式的推导 难点：等差数列前n项和公式推导的逻辑（倒序求和的发现） 三、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一.被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献. 据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： 高斯的算法实际上解决了求等差数列 ① 前100项的和的问题． 那么，对于一般的等差数列，如何求其前n项和呢？本节课我们一起学习. 环节二：回顾旧知，学习新知 问题1：你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？你能从中得到求数列①的前项和的方法吗？ 追问：你能用高斯的方法求吗？ 问题2：根据以上的讨论，你能计算么？ 问题3：我们发现，在求前个正整数的和时，要对分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦．能否设法避免分类讨论？ 问题4：上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列的前项和吗？ 可以发现，上述方法的妙处在于将“倒序”为，再将两式相加，得到个相同的数（即）相加，从而把不同数的求和转化为个相同的数求和． 对于等差数列，因为，由上述方法得到启示，我们用两种方式表示： ① ② 得 由此得到等差数列的前项和公式 （1） 对于等差数列，利用公式（1），只要已知等差数列的首项和末项，就可以求得前项和． 将（1）变形可得，所以就是等差教列前项的平均数． 另外，如果已知首项和公差，那么这个等差数列就完全确定了，所以我们也可以用和来表示．把等差数列的通项公式代入公式（1），可得 （2） 思考：不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（2）吗？ ， 由于， 所以. 将公式（2）整理得： （3） 即等差数列的前n项和为常数项为零的关于n的二次函数，简记为：，其中. 思考：若等差数列的前n项和，则数列为等差数列吗？，如果是，表示出其首项和公差. 结论：为等差数列的前n项和，数列也为等差数列. 环节三：根据新知，简单应用 例1. 已知数列是等差数列． （1）若，，求； （2）若，，求； （3）若，，，求． 思考：对于等差数列的相关量，，，，，已知几个量就可以确定其他量? 知三求二 例2.已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 思考：在例2条件下计算，并判断，，能否为等差数列，一般地，分别为等差数列的前项，前项，前项的和，则成等差数列吗？ 为等差数列的前n项和，则成等差数列，公差为 一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定． 规律方法：等差数列中基本计算的两个技巧 (1)利用基本量求值. (2)利用等差数列的性质解题. 变式训练： 1.根据下列各题中的条件，求相应等差数列的前n项和． （1），，； （2），，； （3），，；（4），，． 2. 等差数列，，，…的前多少项的和是？ 12. 在等差数列中，为其前n项的和，若，，求． 环节四：新知再认识，能力提升 题型一：累加法求通项公式 例. 已知数列满足，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式. 变式训练： 1.已知数列满足，，求. 2．南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数比第层球数多，设各层球数构成一个数列.求数列的通项公式； 3．已知数列满足：，，. (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围. 题型二：倒序求和的应用 例. 已知函数． (1)求证：函数的图象关于点对称； (2)求的值． 变式训练： 已知函数关于点对称，其中为实数. (1)求实数的值； (2)若数列的通项满足，其前项和为，求. 环节五：凝练升华，课堂小结 问题5：回顾本节课的学习内容，回答下列问题： 1. 本节课学习的概念有哪些？ 2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 1．知识清单： (1)等差数列前n项和及其计算公式． (2)等差数列前n项和公式的推导过程． (3)由an与Sn的关系求an. (4)等差数列在实际问题中的应用． 2．方法归纳：函数与方程思想、倒序相加法、整体思想．化归转化思想 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第24页习题4.2第1、3题 巩固作业： 1.根据下列等差数列中的已知量，求相应的来知量： （1），，，求d及n； （2），，，求及﹔ （3），，，求n及； （4），，，求及． 3.（1）求从小到大排列的前n个正偶数的和． （2）求从小到大排列的前n个正奇数的和． （3）在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？求这些数的和． （4）在小于100的正整数中，有多少个数被7除余2？这些数的和是多少？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$