4.2.2 等差数列的前n项和（第1课时）（教学设计）-【上好课】高二数学选择性必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

第四章数列 4.2等差数列 4.2.2等差数列的前n项和（第1课时） 一、教材分析 (1)内容的本质 等差数列是一种具有特殊变化规律的数列，是定义在正整数集上的线性离散型函数，是反映运算规律的基本数学模型，在现实生活中有着广泛应用.等差数列的通项公式与前n项和公式是等差数列的重要性质.公式的探究与推导，是以等差数列的特征性质为依据(即在等差数列中，若且,则，以下特称“对称性”),这是从概念到性质再到应用的过程.实际上，公式推导过程中，方法的探寻要有根有据，这个根据就是数列的“等差性”和“对称性”,由此找到了前n项的“平均数”,从而实现了由加法到乘法的化归，也就是把不同数相加转化为相同数(即平均数)的自相加.一个数列如果没有“等差”这个特性，就不能直接用这种方法实现转化.可见，“把不同数的求和转化为相同数的求和”的运算方法，既是“倒序相加法”产生的基本线索，又是等差数列求和方法的认知基础，由“等差”所决定的运算中的规律性就是等差数列的本质特征。 (2)知识的上下位关系 等差数列是学生了解数列的概念和表示方法后学习的第一种特殊数列，本节内容既是研究等比数列的类比原型，又是今后研究级数的预备知识.等差数列的概念，既能强化学生对数列概念的进一步理解，加深其对数列作为特殊函数的本质认知，又能为特殊数列的研究提供方向，具有学习方式和思维方法上的引领作用.因此，等差数列具有承上启下的显著特点. (3)内容蕴含的数学思想和方法 等差数列的研究经历了“抽象一归纳—演绎一类比一应用”等一系列过程，蕴含了一些重要的数学思想方法.首先，等差数列概念的引入部分，突出了由对特殊数列各项关系、运算、性质的研究推广到对一般数列相应问题的研究，体现了由特殊到一般的数学思想；在等差数列概念的生成过程中，通过观察、猜想、验证、归纳、概括、总结等过程，最终抽象出等差数列概念的文字描述、符号表达、图形含义，强调了归纳思想的具体应用；类比函数的概念、性质研究等差数列的相应问题，特别是类比一次函数的单调性研究等差数列的单调性，蕴含着丰富的类比思想.其次，等差数列通项公式和等差数列前n项和公式的推导，历经了从“首尾配对法到分类讨论法再到倒序相加法”的认知过程，这个过程本身既是一种方法论的再现过程，又是领悟其中所蕴含的特殊与一般、化归与转化、分类与整合和数形结合等数学思想方法的心理过程，更是学会探索数学公式的思维过程. (4)内容的育人价值 首先，等差数列的研究过程充分体现了研究一个数学对象的基本路径，即“事实→概念→性质→应用”,有助于学生体会数学的整体性.其次，等差数列内容渗透了多元数学史素材，丰富本单元的文化内涵，有利于提升学生的人文素养.以等差数列的前n项和公式为例，从史学层面看，倒序相加法是历史上遗留下来的经典方法，高斯算法及其相关事迹的介绍，不仅可以再现数学家的“火热思考”,还可以激发学生研究数学的热情，使其感受前人严谨的治学精神；从美学层面看，等差数列前n项和公式的结构特征与图形表征的对称性、简洁性和直观性，都体现了对数学美的追求，蕴含着数学的美育价值；从哲学层面看，倒序相加法很好地解决了“化多为少”和“化繁为简”的问题，体现了数学的辩证思维.因此，等差数列的学习能有效提升学生抽象、归纳、类比研究问题的能力，发展学生的数学抽象、数学运算和逻辑推理素养. 二、学情分析 (1)认知基础 类比研究函数的思路，学习了数列的概念后，就要对一些具有特殊变化规律的数列进行研究，这是学生对数列知识的认知路径.在学习等差数列之前，学生已经了解了数列的概念、表示方法以及通项公式和数列的前n项和的概念，知道“数列是一种特殊的函数”,这些知识经验能够帮助学生分析等差数列的变化规律. (2)认知困难 ①在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律，运算规律的发现是等差数列概念生成、等差数列前n项和公式推导的关键，但学生对于通过运算发现代数规律的意识不强，难以用数学符号语言刻画“等差”规律. ②在归纳概括出等差数列的概念后，如何应用等差数列的概念去推导等差数列的通项公式成为本节学习的第二个难点. ③通过等差数列通项公式与一次函数的解析式的结构特征的类比，发现等差数列与一次函数的共性与差异是本节学习的第三个难点.教材中给出了“思考”,目的是让学生从数形结合的角度进一步认识到等差数列的通项公式与一次函数之间的关系，逐步深化学生对等差数列概念的理解，有利于后续进行判断，也可以更好地把握等差数列的性质. ④如何把高斯的首尾配对法自然地过渡到倒序相加法，是学生遇到的第四个难点.高斯方法是将与首尾两端等距离的两项配对，当n为偶数时，当然没有问题，而当n为奇数时，中间一项无“对”可凑，这既是首尾配对的局限性，也是一个难点所在.尽管这两种方法的共性本质都是如何“化不同为相同”,但两者的运算方法又有着形式上的差异，即首尾配对要分奇偶，而倒序相加则可一步到位.正是这种差异，导致了推导公式的一个“老大难”问题：怎么想到用倒序相加的?因此，怎样让推导过程能相对自然地呈现成为学生理解推导过程合理性的一个关键. (3)应对策略 ①要创设合理的情境，让学生自然观察生活中的等差现象，主动发现等差数列的等差特性.在情境中发现等差规律、提炼等差关系、抽象等差概念、完善符号语言，突破第一个难点. ②要铺设好问题，引导学生大胆猜想、主动论证等差数列的通项公式.从定义出发，借助等差数列的等差特性，通过叠加或迭代建立第n项与首项的直接联系，进而发现确定等差数列的基本量，突破第二个难点. ③要通过类比确定一次函数的要素得出确定等差数列的要素(首项、公差),既要重视用基本量思想充分认识的几何意义，还要借助信息技术直观类比等差数列的图象与一次函数的图象，体会任意两点(两项)确定一条直线(一个等差数列)的思路，感悟代数与几何的整体性，有效突破第三个难点. ④要提高认知站位，即把等差数列的通项公式和前n项和公式看成等差数列的重要性质，设计一条探究等差数列前n项和公式的路径突破第四个难点。 1）紧扣“两个对称”的相似性：一是要紧扣等差数列的“对称性”,让学生通过发掘高斯算法的本质，领会等差数列的“对称性”是支持“化不同为相同”的依据；二是要紧扣几何图形的“对称性”,通过类比梯形面积公式的推导方法，追溯毕达哥拉斯学派直观“形数”的研究启示，让学生体会“倒置”一个全等的图形，构造几何图形的“对称性”是将不规则图形化为规则图形的依据。借助这两个对称性质的相似性，就可以把几何图形中的“倒置平移”与等差数列中的“倒序相加”对应起来，从而引导学生经历等差数列前n项和公式的再创造过程。 2）明确“三种方法”的差异性：一是明确高斯巧算用的是首尾配对法，而不是倒序相加法；二是明确首尾配对的局限性，分类讨论的必要性以及倒序相加的优越性，从而将这三种方法有机地融入到探究活动之中，形成自然衔接；三是明确从需要分类到不需分类，其过渡的关键是如何想到要从“倒推变形”中获得启发. 三、教学目标 （一）课程标准要求 ①通过生活中的实例，理解等差数列的概念和通项公式的意义。 ②探索并掌握等差数列的前n项和公式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系。 ③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题。 ④体会等差数列与一元一次函数的关系。 （二）课时目标要求 ①通过等差数列的前n项和公式的推导，体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题与解决问题的一般思路和方法，培养学生的逻辑推理核心素养； ②通过等差数列的前n项和公式的运用，进一步理解函数与方程(组)思想，提高学生观察、反思、归纳的能力，培养学生的数学运算和数学抽象核心素养； ③通过等差数列的前n项和公式在实际生活中的应用，使学生再一次认识到数学来源于生活，又服务于生活.同时发展学生善于观察生活的优秀品格，培养学生数学建模核心素养. 四、重点难点 教学重点：等差数列前n项和公式的推导 教学难点：等差数列前n项和公式推导的逻辑（倒序求和的发现） 五、教学过程 环节一：创设情境，导入新课 高斯（Gauss，1777－1855），德国数学家，近代数学的奠基者之一.被认为是世界上最重要的数学家之一，享有“数学王子”的美誉.他在天文学、大地测量学、磁学、光学等领域都做出过杰出贡献. 据说，200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题： 当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： 高斯的算法实际上解决了求等差数列 ① 前100项的和的问题． 那么，对于一般的等差数列，如何求其前n项和呢？本节课我们一起学习. 设计意图：用多媒体课件展示小故事，使学生进入问题情境，激发学生的兴趣，鼓励学生要善于观察，敢于思考.培养学生从一些简单的事物中发现和总结出某些规律的能力. 环节二：回顾旧知，学习新知 问题1：你能说说高斯在求和过程中利用了数列①的什么性质吗？你能从中得到求数列①的前项和的方法吗？ 师生活动：对于数列①，设，那么高斯的计算方法可以表示为： ． 可以发现，高斯巧算的“秘密”,也就是其求和过程用的就是首尾配对法，利用了 特殊关系，通过配对凑成相同的数，变“多步求和”为“一步相乘”,实现了“化和为积”。 设计意图：重温高斯算法，挖掘它蕴含的等差数列的对称性，提炼出将“不同数的求和”化归为“相同数的求和”的本质，为推导等差数列的求和公式作准备. 追问：你能用高斯的方法求吗？ 师生活动：学生很自然地将问题先转化为计算.教师再引导学生明确求解的关键是将奇数项的求和问题转化为偶数项的求和问题.学生经过合作学习，相互讨论，形成以下两种求解思路. 思路1：先拿出一项，再首尾配对.如可先拿出中间项，再首尾配对，即 原式; 也可先拿出末项，再首尾配对，即 原式. 思路2：先凑成偶数项，再配对.如可通过前面补零，凑成偶数项配对，即 原式; 也可通过后面增项减项，凑成偶数项配对，即 原式. 设计意图：如何实现“化奇为偶”是突破高斯算法的关键，同时，这种化归与转化的思想也为接下来解决更一般的求和问题提供了研究思路。 问题2：根据以上的讨论，你能计算么？ 师生活动：教师同样引导学生仿照问题1的转化思路，从奇偶分析法人手探求： 将上述方法推广到一般，可以得到： 设，当是偶数时，有 于是有 ． 当是奇数时，有，余， 于是有 ． 所以，对任意正整数，都有 ． 设计意图：帮助学生理解分类讨论思想，开拓学生的解题思路，为接下来学习运用“倒序相加法”求等差数列的前n项和作铺垫. 问题3：我们发现，在求前个正整数的和时，要对分奇数、偶数进行讨论，比较麻烦．能否设法避免分类讨论？ 如果对公式作变形，可得 它相当于两个相加，而结果变成个相加． 受此启发，我们得到下面的方法： 将上述两式相加，可得 所以 教师总结：我们通过类比得到的这种推导方法就叫做倒序相加法.通过倒序相加，将复杂的求和问题转化为简单的求和，即把n个数的和转化为这n个数的平均数的自相加.从中我们还可以发现如下规律： (1)所求的和可以用首项、末项和项数来表示； (2)数列中任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和. 设计意图：引导学生运用“倒序相加法”探究等差数列的前n项和公式，发展学生的逻辑推理与数学运算核心素养.体现从特殊到一般导出“倒序相加法”的过程，符合学生的认知实际。 问题4：上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到求等差数列的前项和吗？ 可以发现，上述方法的妙处在于将“倒序”为，再将两式相加，得到个相同的数（即）相加，从而把不同数的求和转化为个相同的数求和． 对于等差数列，因为，由上述方法得到启示，我们用两种方式表示： ① ② 得 由此得到等差数列的前项和公式 （1） 对于等差数列，利用公式（1），只要已知等差数列的首项和末项，就可以求得前项和． 将（1）变形可得，所以就是等差教列前项的平均数． 另外，如果已知首项和公差，那么这个等差数列就完全确定了，所以我们也可以用和来表示．把等差数列的通项公式代入公式（1），可得 （2） 思考：不从公式（1）出发，你能用其他方法得到公式（2）吗？ ， 由于， 所以. 将公式（2）整理得： （3） 即等差数列的前n项和为常数项为零的关于n的二次函数，简记为：，其中. 思考：若等差数列的前n项和，则数列为等差数列吗？，如果是，表示出其首项和公差. 分析：设的首项为，公差为，则， 所以，， 所以， 所以，数列为等差数列，公差为，首项为. 结论：为等差数列的前n项和，数列也为等差数列. 环节三：根据新知，简单应用 例1. 已知数列是等差数列． （1）若，，求； （2）若，，求； （3）若，，，求． 思考：对于等差数列的相关量，，，，，已知几个量就可以确定其他量? 知三求二 分析：对于（1），可以直接利用公式求和； （2）中，可以先利用和的值求出，再利用公式求和； （3）已知公式中的，和，解方程即可求得． 解：（1）因为，，根据公式，可得 ． （2）因为，，所以．根据公式，可得 ． （3）把，，代入，得 ． 整理，得 ． 解得 ，或(舍去)． 所以 ． 例2.已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ 分析：把已知条件代入等差数列前项和的公式（2）后，可得到两个关于与的二元一次方程．解这两个二元一次方程所组成的方程组，就可以求得和． 解：由题意，知 ，． 把它们代入公式 ， 得 ， 解方程组，得 ． 所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差． 思考：在例2条件下计算，并判断，，能否为等差数列，一般地，分别为等差数列的前项，前项，前项的和，则成等差数列吗？ 分析：设的首项为，公差为，则： ，， ， 所以， ， ， 所以，， 即成等差数列，公差为. 为等差数列的前n项和，则成等差数列，公差为 一般地，对于等差数列，只要给定两个相互独立的条件，这个数列就完全确定． 规律方法：等差数列中基本计算的两个技巧 (1)利用基本量求值. (2)利用等差数列的性质解题. 变式训练： 1.根据下列各题中的条件，求相应等差数列的前n项和． （1），，； （2），，； （3），，；（4），，． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【详解】（1）由题意，，， 所以 （2）由题意，，， 所以. （3）由题意，，，， 所以 （4）由题意，，， 由，得 ，解得， 所以. 2. 等差数列，，，…的前多少项的和是？ 【答案】10 【详解】等差数列，，，…的首项为公差， 设前n项的和为-100，则有， 解得：.即等差数列，，，…的前10项的和是. 12. 在等差数列中，为其前n项的和，若，，求． 【答案】72 【详解】设等差数列的公差为， 则，解得， 则. 环节四：新知再认识，能力提升 题型一：累加法求通项公式 例. 已知数列满足，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式. 【详解】（1）因为， 所以， 又由，可得， 所以数列是公差为2的等差数列. （2）由（1）知，数列是首项为2，公差为2的等差数列，即， 所以， 所以当时， . 又满足上式，所以， 即数列的通项公式为. 方法规律：累加法求通项公式——累加法（叠加法）(记忆累积法模型) 若数列满足，则称数列为“变差数列”，求变差数列的通项时，利用恒等式求通项公式的方法称为累加法。 具体步骤：，，，……，， 将上述个式子相加（左边加左边，右边加右边）得： = 整理得：= 变式训练： 1.已知数列满足，，求. 【答案】， 【分析】运用累加法计算即可. 【详解】因为， 所以. 所以 . 又也符合上式， 所以，. 2．南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积，体积的连续量问题转化为求离散变量的垛积问题”.在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍薨垛、刍童垛等的公式. 如图，“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……第层球数比第层球数多，设各层球数构成一个数列.求数列的通项公式； 【答案】. 【详解】依题意，且， 所以 ， 所以. 3．已知数列满足：，，. (1)证明：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，若数列是递增数列，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据条件，利用等差数列定义，即可证明结果，利用等差数列的通项公式得到，再利用累加法，即可求出结果； （2）由（1）得，再利用数列是递增数列，得到对恒成立，即可求出结果. 【详解】（1）因为，所以为常数， 又，所以数列是公差为，首项为的等差数列. 所以， 当时，， 所以，又，所以，又，满足， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，因为数列是递增数列， 所以，对恒成立， 得到对恒成立，所以. 题型二：倒序求和的应用 例. 已知函数． (1)求证：函数的图象关于点对称； (2)求的值． 【详解】（1）因为，所以， 所以，即函数的图象关于点对称. （2）由（1）知与首尾两端等距离的两项的和相等，使用倒序相加求和. 因为， 所以（倒序）， 又由（1）得， 所以，所以. 方法规律：倒序求和法的适用条件: 如果一个数列，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法 变式训练： 已知函数关于点对称，其中为实数. (1)求实数的值； (2)若数列的通项满足，其前项和为，求. 【详解】（1）由题知，即， 整理得，解得 ； （2）由题知，，且， 则， 又， 故， 即. 环节五：凝练升华，课堂小结 问题5：回顾本节课的学习内容，回答下列问题： 1. 本节课学习的概念有哪些？ 2. 在解决问题时，用到了哪些数学思想？ 1．知识清单： (1)等差数列前n项和及其计算公式． (2)等差数列前n项和公式的推导过程． (3)由an与Sn的关系求an. (4)等差数列在实际问题中的应用． 2．方法归纳：函数与方程思想、倒序相加法、整体思想．化归转化思想 环节六：布置作业，应用迁移 巩固作业：教科书第24页习题4.2第1、3题 巩固作业答案： 1.根据下列等差数列中的已知量，求相应的来知量： （1），，，求d及n； （2），，，求及﹔ （3），，，求n及； （4），，，求及． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【详解】（1）因为等差数列中，，，， 所以， ； （2）因为等差数列中，，，， 所以， 解得； （3）因为等差数列中，，，， 所以， 整理得，解得，或（舍去）， ； （4）因为等差数列中，，，， ， . 3.（1）求从小到大排列的前n个正偶数的和． （2）求从小到大排列的前n个正奇数的和． （3）在三位正整数的集合中有多少个数是5的倍数？求这些数的和． （4）在小于100的正整数中，有多少个数被7除余2？这些数的和是多少？ 【答案】（1）；（2）；（3）180，98550；（4）13，663. 【详解】（1）通项公式为，所以， （2）通项公式为，所以， （3）因为末尾数是0或者5的数均是5的倍数，故最小是100，最大是995， 所以， 故和为， （4）被7整除余2的数为，当时，这个数等于100，所以在小于100的正整数中共有13个数被7整除余2，每相邻两个数之间的差（大数减小数）为7， 所以. 环节七板书设计 4.2.1等差数列前n项和 1.1+2+3+ +n的和 例1. 例2 2. 等差数列前n项和： 例3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$