专题06 一元二次方程-备战2025年中考数学真题题源解密（浙江专用）

专题06 一元二次方程 课标要求 考点 考向 1．理解一元二次方程的概念． 2．掌握一元二次方程的解法． 3．了解一元二次方程根的判别式，会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用． 4．会列一元二次方程解决实际问题. 一元二次方程 考向一 一元二次方程概念及解法 考向二 一元二次方程判别式及根与系数关系 考向三 一元二次方程应用 考点 一元二次方程 ►考向一 一元二次方程概念及解法 1．（2022•温州）若关于x的方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（　　） A．36 B．﹣36 C．9 D．﹣9 2．（2021•丽水）用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x+2）2＝3 3．（2017•温州）我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（　　） A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝﹣3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3 4．（2015•丽水）解一元二次方程x2+2x﹣3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程　 　． 5．（2021•绍兴）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框： 小敏： 两边同除以（x﹣3），得 3＝x﹣3， 则x＝6． 小霞： 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 6．（2003•杭州）解方程组： 7．（2003•湖州）解方程： 8．（2002•杭州）已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为p、q，且满足关系式，试求这个一元二次方程． 9．（2000•浙江）解方程：（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2＝0 ►考向二 一元二次方程判别式及根与系数关系 1．（2021•台州）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4 2．（2020•湖州）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数与实数b的取值有关 3．（2018•舟山）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（　　） A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长 4．（2023•温州）已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是 　 　． 5．（2023•杭州）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①b＝2，c＝1； ②b＝3，c＝1； ③b＝3，c＝﹣1； ④b＝2，c＝2． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 6．（2001•浙江）已知方程a（2x+a）＝x（1﹣x）的两个实数根为x1，x2，设． （1）当a＝﹣2时，求S的值； （2）当a取什么整数时，S的值为1； （3）是否存在负数a，使S2的值不小于25？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． ►考向三 一元二次方程应用 1．（2023•衢州）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（　　） A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36 C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝36 2．（2023•湖州）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（　　） A．20（1+2x）＝31.2 B．20（1+2x）﹣20＝31.2 C．20（1+x）2＝31.2 D．20（1+x）2﹣20＝31.2 3．（2022•杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则x＝　 　（用百分数表示）． 4．（2016•杭州）把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t（秒）时该足球距离地面的高度h（米）适用公式h＝20t﹣5t2（0≤t≤4）． （1）当t＝3时，求足球距离地面的高度； （2）当足球距离地面的高度为10米时，求t； （3）若存在实数t1，t2（t1≠t2）当t＝t1或t2时，足球距离地面的高度都为m（米），求m的取值范围． 5．（2009•绍兴）如图1的矩形包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度． （1）如图2，《思维游戏》这本书的长为21cm，宽为15cm，厚为1cm，现有一张面积为875cm2的矩形纸包好了这本书，展开后如图1所示．求折叠进去的宽度； （2）若有一张长为60cm，宽为50cm的矩形包书纸，包2本如图2中的书，书的边缘与包书纸的边缘平行，裁剪包好展开后均如图1所示．问折叠进去的宽度最大是多少？ 6．（2004•绍兴）课本第五册第65页有一题： 已知一元二次方程ax2﹣bx+c＝0的两个根满足|x1﹣x2|＝，且a，b，c分别是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边．若a＝c，求∠B的度数． 小敏解得此题的正确答案“∠B＝120°”后，思考以下问题，请你帮助解答． （1）若在原题中，将方程改为ax2﹣bx+c＝0，要得到∠B＝120°，而条件“a＝c”不变，那么应对条件中的|x1﹣x2|的值作怎样的改变并说明理由； （2）若在原题中，将方程改为ax2﹣bx+c＝0（n为正整数，n≥2），要得到∠B＝120°，而条件“a＝c”不变，那么条件中的|x1﹣x2|的值应改为多少？（不必说明理由） 1．（2024•富阳区一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为a※b＝3（a+b）﹣5ab，根据这个规则，方程x※（x+1）＝﹣1的解是（　　） A．x＝ B．x＝1 C．x＝﹣或x＝1 D．x＝或x＝1 2．（2024•浙江模拟）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是，一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为x步，则可列方程为（　　） A．x•（60+x）＝864 B．x•（60﹣2x）＝864 C．x•（30﹣x）＝864 D．x•（60﹣x）＝864 3．（2024•金东区二模）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0时，将方程化为（x﹣3）2＝a的形式，则a的值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 4．（2024•温州模拟）关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有实数根，则a的值可以是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 5．（2024•钱塘区二模）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k＞﹣2 B．k≥﹣2 C．k≥﹣2且k≠2 D．k＞﹣2且k≠2 6．（2024•椒江区校级模拟）对于实数m，n，先定义一种运算“⊗”如下：，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x的值为 　 　． 7．（2024•镇海区校级三模）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（m，n），称关于x的方程x2+mx+n＝0为点P的对应方程．若点A（1，1），B（﹣2，2），则线段AB上任意点的对应方程的实数根有 　 　个． 8．（2024•钱塘区三模）关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0的两个实数根分别为x1，x2，若（x1﹣1）（x2﹣1）＝5，则k的值为 　 　． 9．（2024•下城区校级模拟）已知x1，x2是方程2x2﹣7x+3＝0的两个根，则x2+x1＝　 　． 10．（2024•拱墅区校级二模）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根分别为x1，x2，则方程可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0，即ax2﹣ax（x1+x2）+ax1x2＝0，容易发现根与系数的关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．设一元三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a≠0）三个非零实数根分别x1，x2，x3，现给出以下结论：①x1+x2+x3＝﹣；②x1x2x3＝﹣；③x1x2+x2x3+x1x3＝；④++＝，其中正确的是 　 　（写出所有正确结论的序号）． 11．（2024•诸暨市模拟）已知点Pn为线段AB上一点．如果APn：AB的比值为关于x的方程x2+21﹣nx﹣1＝0的解，那么点Pn为AB的n阶黄金分割点． 已知n阶黄金分割点作法如下： 步骤一：如图，过点B作AB的垂线BC，在垂线BC上取BD＝kAB，连接AD； 步骤二：以点D为圆心，DB为半径作弧交AD于点E； 步骤三：以点A为圆心，AE为半径作弧交AB于点Pn； 结论：点Pn为线段AB的n阶黄金分割点． （1）作法步骤一中，当时，点Pn为线段AB的 　 　阶黄金分割点； （2）作法步骤一中，当k＝　 　（结果用n的代数式表示）时，点Pn为线段AB的n阶黄金分割点． 12．（2024•浙江模拟）已知关于x的方程x2+bx+c＝0可以变形为（x﹣m）（x﹣n）＝p（m≤n）的形式． 下面通过列表探究x2﹣8x+4＝0的变形： 变形 m n p x（x﹣8）＝﹣4 0 8 ﹣4 （x﹣4）2＝12 4 4 12 （x﹣1）（x﹣t）＝3 1 t 3 （x+1）（x﹣9）＝﹣13 ﹣1 9 ﹣13 （1）依据表格解答： ①求表格中t的值． ②观察上述探究过程，直接写出表格中m与n满足的等量关系； （2）记x2+bx+c＝0的两种变形为（x﹣m1）（x﹣n1）＝p1和（x﹣m2）（x﹣n2）＝p2（p1≠p2），求的值． 13．（2024•镇海区校级三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+5+2k＝0． （1）求证：此方程总有两个不相等的实数根． （2）若此方程恰有一个根为1，求方程的另一个根． 14．（2024•定海区三模）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝200米，BC＝300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米. 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元. 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响. （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800m2，则路面设置的宽度是否符合要求. 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润＝销售利润﹣承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ 15．（2024•钱塘区二模）解下列方程： （1）（x﹣2）2+2x﹣4＝0； （2）． 16．（2024•浙江模拟）设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．在下面的四组条件中任意选择一组作为条件，解这个方程． ①a＝1，b＝3，c＝2． ②． ③ ④x1+x2＝0，x1x2＝﹣1（x1，x2分别是该方程的两个根）． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 17．（2024•宁波模拟）已知：关于x的方程2x2+kx+k﹣3＝0． （1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若k＝5，请解此方程． 18．（2024•拱墅区一模）关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0． （1）如果方程有两个相等的实数根，求k的值； （2）如果x1，x2是这个方程的两个根，且++3x1•x2＝25，求k的值． 19．（2024•拱墅区一模）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框： 小敏： 两边同除以（x﹣3），得 3＝x﹣3， 则x＝6． 小霞： 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0． 你认为他们的解法中是否有正确的？如果有，指出哪位同学的解法正确；如果没有，写出正确的解法． 20．（2023•宁波模拟）在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画Rt△ACB，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，连结CD，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根． （1）用含a，b的代数式表示AD的长． （2）图中哪条线段的长是一元二次方程x2+ax＝b2的一个正根？请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 一元二次方程 课标要求 考点 考向 1．理解一元二次方程的概念． 2．掌握一元二次方程的解法． 3．了解一元二次方程根的判别式，会判断一元二次方程根的情况；了解一元二次方程根与系数的关系并能简单应用． 4．会列一元二次方程解决实际问题. 一元二次方程 考向一 一元二次方程概念及解法 考向二 一元二次方程判别式及根与系数关系 考向三 一元二次方程应用 考点 一元二次方程 ►考向一 一元二次方程概念及解法 1．（2022•温州）若关于x的方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（　　） A．36 B．﹣36 C．9 D．﹣9 【答案】C 【分析】方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根，可知Δ＝62﹣4c＝0，然后即可计算出c的值． 【解答】解：∵方程x2+6x+c＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝62﹣4c＝0， 解得c＝9， 故选：C． 【点评】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确一元二次方程有两个相等的实数根时Δ＝0． 2．（2021•丽水）用配方法解方程x2+4x+1＝0时，配方结果正确的是（　　） A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x+2）2＝3 【答案】D 【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【解答】解：方程x2+4x+1＝0， 整理得：x2+4x＝﹣1， 配方得：（x+2）2＝3． 故选：D． 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3．（2017•温州）我们知道方程x2+2x﹣3＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0，它的解是（　　） A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝﹣3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x1＝﹣1，x2＝﹣3 【答案】D 【分析】先把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0看作关于2x+3的一元二次方程，利用题中的解得到2x+3＝1或2x+3＝﹣3，然后解两个一元一次方程即可． 【解答】解：把方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3＝0看作关于2x+3的一元二次方程， 所以2x+3＝1或2x+3＝﹣3， 所以x1＝﹣1，x2＝﹣3． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 4．（2015•丽水）解一元二次方程x2+2x﹣3＝0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程　x﹣1＝0或x+3＝0　． 【答案】见试题解答内容 【分析】把方程左边分解，则原方程可化为x﹣1＝0或x+3＝0． 【解答】解：（x﹣1）（x+3）＝0， x﹣1＝0或x+3＝0． 故答案为x﹣1＝0或x+3＝0． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 5．（2021•绍兴）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框： 小敏： 两边同除以（x﹣3），得 3＝x﹣3， 则x＝6． 小霞： 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0． 你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程． 【答案】见试题解答内容 【分析】小敏：没有考虑x﹣3＝0的情况； 小霞：提取公因式时出现了错误． 利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：小敏：×； 小霞：×． 正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0， 解得x1＝3，x2＝6． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程时可以采取公式法，因式分解法，配方法以及换元法等，至于选择哪一解题方法，需要根据方程的特点进行选择． 6．（2003•杭州）解方程组： 【答案】见试题解答内容 【分析】根号内是x+2和y﹣1，含有两个未知数，可把下一个方程也整理为含x+2和y﹣1的式子，用换元法求解． 【解答】解：令，则等价于解方程组， 解得或． 继而解得或． 经检验它们都是原方程组的解． 【点评】根号内有两个未知数，可采用换元法使方程变为常见方程求解，注意无理方程需验根． 7．（2003•湖州）解方程： 【答案】见试题解答内容 【分析】此方程可用换元法解方程．设＝y，转化为有理方程求解． 【解答】解：设＝y，则方程化为y2+y﹣12＝0， 解得y1＝3，y2＝﹣4， 当y1＝3，即＝3时，两边平方得（x+9）（x﹣1）＝0， 解得x＝﹣9或x＝1， 把x＝﹣9或x＝1分别代入原方程检验得原方程成立； 当y2＝﹣4时，＝﹣4，根式无意义． 故原方程的解为x1＝1，x2＝﹣9， 【点评】在解无理方程时最常用的方法是换元法，一般方法是通过观察确定用来换元的式子，如本题中设＝y，需要注意的是用来换元的式子为设，则x2+8x＝y2． 8．（2002•杭州）已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为p、q，且满足关系式，试求这个一元二次方程． 【答案】见试题解答内容 【分析】设出所求方程，然后将已知方程组变形，利用根与系数的关系即可求出方程的形式． 【解答】解：设此一元二次方程为x2+bx+c＝0， 则由韦达定理有： p+q＝﹣b，pq＝c ①， 已知关系式可变形为， 将①式代入， 可解得，或． 所以所求的一元二次方程为x2﹣3x+2＝0， 另一方程x2﹣2x+3＝0因无实数解应舍去． 【点评】解答此题，必须将方程组先变形，转化为两根积与两根和的形式解答． 9．（2000•浙江）解方程：（x2﹣2x）2+（x2﹣2x）﹣2＝0 【答案】见试题解答内容 【分析】把x2﹣2x当成一个整体，用y来代换，原方程可变为：y2+y﹣2＝0，解这个方程，再还原成x2﹣2x求解． 【解答】解：设y＝x2﹣2x 原方程可变为：y2+y﹣2＝0 解方程得y＝﹣2或1所以x2﹣2x＝﹣2或1． 当x2﹣2x＝﹣2时，Δ＜0，没实数根， 当x2﹣2x＝1时，解得x＝1±． ∴原方程的根是x1＝1+，x2＝1﹣． 【点评】本题主要考查换元法解一元二次方程，就是把某个式子看作一个整体，用一个字母去替换，这样做，常能使问题化繁为简，化难为易． ►考向二 一元二次方程判别式及根与系数关系 1．（2021•台州）关于x的方程x2﹣4x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4 【答案】D 【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣4）2﹣4m＞0， 解得m＜4． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 2．（2020•湖州）已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．实数根的个数与实数b的取值有关 【答案】A 【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断Δ＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断． 【解答】解：∵Δ＝b2﹣4×（﹣1）＝b2+4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根． 3．（2018•舟山）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（　　） A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长 【答案】B 【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可． 【解答】解：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝， 设AD＝x，根据勾股定理得：（x+）2＝b2+（）2， 整理得：x2+ax﹣b2＝0（a≠0，b≠0）， ∵Δ＝a2+4b2＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，且两根之积为﹣b2＜0，即方程的根一正一负， 则该方程的一个正根是AD的长， 故选：B． 【点评】此题考查了解一元二次方程的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 4．（2023•温州）已知关于x的一元二次方程x2﹣x﹣k＝0无实数根，则k的取值范围是 　k＜﹣　． 【答案】见试题解答内容 【分析】若一元二次方程无实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac＜0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围． 【解答】解：∵方程无实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×（﹣k）＝1+4k＜0， 解得：k＜﹣． 【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根； （3）Δ＜0⇔方程没有实数根． 5．（2023•杭州）设一元二次方程x2+bx+c＝0．在下面的四组条件中选择其中一组b，c的值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这个方程． ①b＝2，c＝1； ②b＝3，c＝1； ③b＝3，c＝﹣1； ④b＝2，c＝2． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】见试题解答内容 【分析】先根据这个方程有两个不相等的实数根，得b2＞4c，由此可知b、c的值可在②③中选取，然后求解方程即可． 【解答】解：∵使这个方程有两个不相等的实数根， ∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4c， ∴②③均可， 选②解方程，则这个方程为：x2+3x+1＝0， ∴x＝＝， ∴x1＝，x2＝； 选③解方程，则这个方程为：x2+3x﹣1＝0， ∴x1＝，x2＝． 【点评】本题主要考查的是根据一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程中根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根；根的判别式等于0，方程有两个相等的实数根；根的判别式小于0，方程无解． 6．（2001•浙江）已知方程a（2x+a）＝x（1﹣x）的两个实数根为x1，x2，设． （1）当a＝﹣2时，求S的值； （2）当a取什么整数时，S的值为1； （3）是否存在负数a，使S2的值不小于25？若存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把a＝﹣2代入方程，求得方程的两根，进而求得S的值． （2）S的值为1，则方程一定有两根非负的实数，即△≥0，且两根的和大于0，两根的积大于或等于0，根据一元二次方程根与系数的关系即可得到关于a的不等式，从而求得a的范围，再根据S的值为1，即S2＝x1+x2+2＝1﹣2a+2|a|＝1．即可确定a的值； （3）S2的值不小于25，即S2＝x1+x2+2＝1﹣2a+2|a|≥25．结合（2）中求得的a的范围，即可求得a的取值范围． 【解答】解：（1）当a＝﹣2时，原方程化为x2﹣5x+4＝0． 解得x1＝4，x2＝1． ∴S＝2+1＝3． （2）S＝+，s2＝x1+x2+2． ∴a（2x+a）＝x（1﹣x）． 整理得：x2+（2a﹣1）x+a2＝0． 当x2+（2a﹣1）x+a2＝0时△≥0． ∴（2a﹣1）2﹣4a2≥0． 解得a≤0.25． ∵x1+x2＝1﹣2a，x1×x2＝a2． S2＝x1+x2+2＝1﹣2a+2|a|＝1． 当a≥0，1﹣2a+2a＝1，有1＝1． 当a＜0时，1﹣2a﹣2a＝1，有a＝0（不合设定，舍去）． 当0≤a≤0.25时，S的值为1． ∵a为整数， ∴a＝0时，S的值为1． （3）S2＝x1+x2+2＝1﹣2a+2|a|≥25． ∴只有当a＜0时，有1﹣2a﹣2a≥25． 解得a≤﹣6． ∴a≤﹣6时，S2的值不小于25． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，（2）（3）求a的值或a的取值范围，都是依据S2＝x1+x2+2＝1﹣2a+2|a|转化为方程或不等式问题． ►考向三 一元二次方程应用 1．（2023•衢州）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则可得到方程（　　） A．x+（1+x）＝36 B．2（1+x）＝36 C．1+x+x（1+x）＝36 D．1+x+x2＝36 【答案】C 【分析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每一轮传染中平均每人传染了x人，则第一轮传染了x个人，第二轮作为传染源的是（x+1）人，则传染x（x+1）人，依题意列方程：1+x+x（1+x）＝36． 【解答】解：由题意得：1+x+x（1+x）＝36， 故选：C． 【点评】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 2．（2023•湖州）某品牌新能源汽车2020年的销售量为20万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐年递增，2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆．如果设从2020年到2022年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为x，那么可列出方程是（　　） A．20（1+2x）＝31.2 B．20（1+2x）﹣20＝31.2 C．20（1+x）2＝31.2 D．20（1+x）2﹣20＝31.2 【答案】D 【分析】根据“2022年的销售量比2020年增加了31.2万辆”列方程求解． 【解答】解：由题意得：20（1+x）2﹣20＝31.2， 故选：D． 【点评】本题考查了由实际问题抽象处一元二次方程，找到相等关系是解题的关键． 3．（2022•杭州）某网络学习平台2019年的新注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），则x＝　30%　（用百分数表示）． 【答案】30%． 【分析】设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0），利用2019年的新注册用户数为100万×（1+平均增长率）2＝2021年的新注册用户数为169万，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0）， 依题意得：100（1+x）2＝169， 解得：x1＝0.3，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）． 0.3＝30%， ∴新注册用户数的年平均增长率为30%． 故答案为：30%． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 4．（2016•杭州）把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t（秒）时该足球距离地面的高度h（米）适用公式h＝20t﹣5t2（0≤t≤4）． （1）当t＝3时，求足球距离地面的高度； （2）当足球距离地面的高度为10米时，求t； （3）若存在实数t1，t2（t1≠t2）当t＝t1或t2时，足球距离地面的高度都为m（米），求m的取值范围． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）将t＝3代入解析式可得； （2）根据h＝10可得关于t的一元二次方程，解方程即可； （3）由题意可得方程20t﹣t2＝m 的两个不相等的实数根，由根的判别式即可得m的范围． 【解答】解：（1）当t＝3时，h＝20t﹣5t2＝20×3﹣5×9＝15（米）， ∴当t＝3时，足球距离地面的高度为15米； （2）∵h＝10， ∴20t﹣5t2＝10，即t2﹣4t+2＝0， 解得：t＝2+或t＝2﹣， 故经过2+或2﹣时，足球距离地面的高度为10米； （3）∵m≥0，由题意得t1，t2是方程20t﹣5t2＝m 的两个不相等的实数根， ∴b2﹣4ac＝202﹣20m＞0， ∴m＜20， 故m的取值范围是0≤m＜20． 【点评】本题主要考查二次函数背景下的求值及一元二次方程的应用、根的判别式，根据题意得到相应的方程及将实际问题转化为方程问题是解题的关键． 5．（2009•绍兴）如图1的矩形包书纸示意图中，虚线是折痕，阴影是裁剪掉的部分，四角均为大小相同的正方形，正方形的边长为折叠进去的宽度． （1）如图2，《思维游戏》这本书的长为21cm，宽为15cm，厚为1cm，现有一张面积为875cm2的矩形纸包好了这本书，展开后如图1所示．求折叠进去的宽度； （2）若有一张长为60cm，宽为50cm的矩形包书纸，包2本如图2中的书，书的边缘与包书纸的边缘平行，裁剪包好展开后均如图1所示．问折叠进去的宽度最大是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）矩形面积＝（2宽+1+2折叠进去的宽度）×（长+2折叠进去的宽度）． （2）按照书的不同摆放位置进行解答．关系式为：摆放后的总长度≤60；摆放后的总长度≤50． 【解答】解：（1）设折叠进去的宽度为xcm，则（2x+15×2+1）（2x+21）＝875， 化简得x2+26x﹣56＝0， ∴x＝2或﹣28（不合题意，舍去）， 即折叠进去的宽度为2cm． （2）设折叠进去的宽度为xcm，则 ①得x≤﹣，不符合题意； ②得x≤﹣3，不符合题意； ③得x≤2； ④得x≤﹣，不符合题意； ⑤得x≤2； ⑥得x≤4.5． 综上，x≤4.5．即折叠进去的宽度最大为4.5cm． 【点评】此题是一道操作题，（1）是一道简单的一元二次方程应用题，设出未知数，根据矩形面积公式列出方程即可，其主旨是为（2）题提供思路．而（2）需要将图（1）中的两个图进行排列组合，根据边长关系列不等式组解答． 6．（2004•绍兴）课本第五册第65页有一题： 已知一元二次方程ax2﹣bx+c＝0的两个根满足|x1﹣x2|＝，且a，b，c分别是△ABC的∠A，∠B，∠C的对边．若a＝c，求∠B的度数． 小敏解得此题的正确答案“∠B＝120°”后，思考以下问题，请你帮助解答． （1）若在原题中，将方程改为ax2﹣bx+c＝0，要得到∠B＝120°，而条件“a＝c”不变，那么应对条件中的|x1﹣x2|的值作怎样的改变并说明理由； （2）若在原题中，将方程改为ax2﹣bx+c＝0（n为正整数，n≥2），要得到∠B＝120°，而条件“a＝c”不变，那么条件中的|x1﹣x2|的值应改为多少？（不必说明理由） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）因为∠B＝120°，a＝c，所以b＝a，代入原方程得Δ＝5a2＞0，故可根据一元二次方程根与系数的关系解答； （2）同（1）． 【解答】解：（1）∵∠B＝120°，a＝c． ∴b＝a． 则原方程可化为ax2﹣3ax+a＝0． Δ＝9a2﹣4a2＝5a2＞0． 又∵|x1﹣x2|＝＝． ∴|x1﹣x2|＝； （2）若∠B＝120°． 则b＝a代入原方程得ax2﹣ax+c＝0． 由一元二次方程根与系数的关系可得，x1+x2＝＝． x1•x2＝＝1． 故|x1﹣x2|＝＝＝． 【点评】解决本题的关键是根据一元二次方程根与系数的关系，求出方程的两根的和与两根的积，理解|x1﹣x2|＝这一等量关系． 1．（2024•富阳区一模）在实数范围内定义一种新运算“※”，其运算规则为a※b＝3（a+b）﹣5ab，根据这个规则，方程x※（x+1）＝﹣1的解是（　　） A．x＝ B．x＝1 C．x＝﹣或x＝1 D．x＝或x＝1 【答案】C 【分析】分析题意，按新定义的运算对方程变形可得3[x+（x+1）]﹣5x（x+1）＝﹣1；对以上方程整理，先化为一般形式，再因式分解，可得（5x+4）（x﹣1）＝0；接下来用一元一次方程的解法求出方程的两个解即可． 【解答】解：∵a※b＝3（a+b）﹣5ab， ∴方程x※（x+1）＝﹣1变形为3[x+（x+1）]﹣5x（x+1）＝﹣1， ∴5x2﹣x﹣4＝0， ∴（5x+4）（x﹣1）＝0， ∴5x+4＝0，x﹣1＝0， ∴x＝﹣或x＝1． 故选：C． 【点评】此题考查的是解一元二次方程，根据方程的特点，灵活选择解方程的方法，一般能用因式分解法的要用因式分解法，难以用因式分解法的再用公式法． 2．（2024•浙江模拟）南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步．”意思是，一块矩形田地的面积是864平方步，它的宽和长共60步，问它的宽和长各多少步？设它的宽为x步，则可列方程为（　　） A．x•（60+x）＝864 B．x•（60﹣2x）＝864 C．x•（30﹣x）＝864 D．x•（60﹣x）＝864 【答案】D 【分析】设宽为x步，则长为（60﹣x）步，根据矩形的面积公式结合矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程． 【解答】解：设宽为x步，则长为（60﹣x）步， 依题意，得：x（60﹣x）＝864， 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 3．（2024•金东区二模）用配方法解方程x2﹣6x+1＝0时，将方程化为（x﹣3）2＝a的形式，则a的值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】A 【分析】先把方程中的常数项移到等号右边，再把方程两边同时加9，进行配方，然后根据配方结果求出a即可． 【解答】解：x2﹣6x+1＝0， x2﹣6x＝﹣1， x2﹣6x+9＝﹣1+9， （x﹣3）2＝8， ∴a＝8， 故选：A． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程，解题关键是熟练掌握利用配方法解一元二次方程． 4．（2024•温州模拟）关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有实数根，则a的值可以是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，再结合四个选项即可得出结论． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4a≥0， 解得：a≤1． 故选：D． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键． 5．（2024•钱塘区二模）已知关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k+1＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k＞﹣2 B．k≥﹣2 C．k≥﹣2且k≠2 D．k＞﹣2且k≠2 【答案】C 【分析】根据根的判别式大于或等于零且二次项系数不等于零列式求解即可． 【解答】解：由题意得，Δ＝（﹣2k）2﹣4（k﹣2）×（k+1）≥0且k﹣2≠0， 解得k≥﹣2且k≠2． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式Δ＝b2﹣4ac与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当Δ＞0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，一元二次方程没有实数根． 6．（2024•椒江区校级模拟）对于实数m，n，先定义一种运算“⊗”如下：，若x⊗（﹣2）＝10，则实数x的值为 　3　． 【答案】3． 【分析】分两种情况：当x≥﹣2时，当x＜﹣2时，然后按照定义新运算，进行计算即可解答． 【解答】解：分两种情况： 当x≥﹣2时， ∵x⊗（﹣2）＝10， ∴x2+x﹣2＝10， x2+x﹣12＝0， （x+4）（x﹣3）＝0， x+4＝0或x﹣3＝0， x1＝﹣4（舍去），x2＝3， 当x＜﹣2时， ∵x⊗（﹣2）＝10， ∴（﹣2）2+x﹣2＝10， x＝8（舍去）， 综上所述：x＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，实数的运算，理解定义新运算是解题的关键． 7．（2024•镇海区校级三模）在平面直角坐标系中，点P的坐标为（m，n），称关于x的方程x2+mx+n＝0为点P的对应方程．若点A（1，1），B（﹣2，2），则线段AB上任意点的对应方程的实数根有 　0　个． 【答案】0． 【分析】求得直线AB的解析式为，设直线AB上的任意一点为，可得这个点的对应方程为，再利用判别式和二次函数的性质即可判断． 【解答】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线AB的解析式为， 设直线AB上的任意一点为， ∴这个点的对应方程为， ∵ ∵﹣2≤a≤1， 当有最小值，当a＝1有最大值， ∴，即Δ＜0， ∴线段AB上任意点的对应方程都没有实数根， 故答案为：0 【点评】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系、用待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是关键． 8．（2024•钱塘区三模）关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0的两个实数根分别为x1，x2，若（x1﹣1）（x2﹣1）＝5，则k的值为 　﹣1　． 【答案】﹣1． 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，用k表示出x1+x2和x1x2，再根据（x1﹣1）（x2﹣1）＝5建立关于k的方程即可解决问题． 【解答】解：因为x1和x2是关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0的两个实数根， 所以x1+x2＝2k﹣1，，Δ＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4k2≥0， 解得k≤． 因为（x1﹣1）（x2﹣1）＝5， 所以x1x2﹣（x1+x2）+1＝5， 则k2﹣（2k﹣1）+1＝5， 解得k1＝﹣1，k2＝3． 因为k≤， 所以k＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 9．（2024•下城区校级模拟）已知x1，x2是方程2x2﹣7x+3＝0的两个根，则x2+x1＝　　． 【答案】． 【分析】利用根与系数关系求解． 【解答】解：∵x1，x2是方程2x2﹣7x+3＝0的两个根， ∴x1+x2＝，x1x2＝， ∴x2+x1＝x1x2（x1+x2）＝×＝． 故答案为：． 【点评】本题考查根与系数关系，解题的关键是理解x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝， 10．（2024•拱墅区校级二模）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根分别为x1，x2，则方程可写成a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0，即ax2﹣ax（x1+x2）+ax1x2＝0，容易发现根与系数的关系：x1+x2＝﹣，x1x2＝．设一元三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a≠0）三个非零实数根分别x1，x2，x3，现给出以下结论：①x1+x2+x3＝﹣；②x1x2x3＝﹣；③x1x2+x2x3+x1x3＝；④++＝，其中正确的是 　①③　（写出所有正确结论的序号）． 【答案】①③． 【分析】利用题干中的方法将方程变形，再利用对应项的系数相等得出等式，将所得等式适当变形后对对每个结论进行逐一判断即可得出结论． 【解答】解：∵一元三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a≠0）三个非零实数根分别x1，x2，x3， ∴a（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）＝0． ∴[ax2﹣ax（x1+x2）+ax1x2]（x﹣x3）＝0． ∴ax3﹣ax2x3﹣ax2（x1+x2）+ax（x1+x2）x3+axx1x2﹣ax1x2x3＝0， 即：ax3﹣a（x1+x2+x3）x2+a（x1x2+x1x3+x2x3）x﹣ax1x2x3＝0． ∴﹣a（x1+x2+x3）＝b，a（x1x2+x1x3+x2x3）＝c，﹣ax1x2x3＝d． ∴x1+x2+x3＝﹣，x1x2+x2x3+x1x3＝，x1x2x3＝﹣， ∴①，③正确，②错误． ∵++＝＝＝﹣， ∴④的结论错误， 综上正确的结论有：①③， 故答案为：①③． 【点评】本题主要考查了高次方程的解，根与系数的关系，数学常识，本题是阅读型题目，理解并熟练应用题干中的方法解答是解题的关键． 11．（2024•诸暨市模拟）已知点Pn为线段AB上一点．如果APn：AB的比值为关于x的方程x2+21﹣nx﹣1＝0的解，那么点Pn为AB的n阶黄金分割点． 已知n阶黄金分割点作法如下： 步骤一：如图，过点B作AB的垂线BC，在垂线BC上取BD＝kAB，连接AD； 步骤二：以点D为圆心，DB为半径作弧交AD于点E； 步骤三：以点A为圆心，AE为半径作弧交AB于点Pn； 结论：点Pn为线段AB的n阶黄金分割点． （1）作法步骤一中，当时，点Pn为线段AB的 　1　阶黄金分割点； （2）作法步骤一中，当k＝　　（结果用n的代数式表示）时，点Pn为线段AB的n阶黄金分割点． 【答案】（1）1； （2）． 【分析】（1）根据所给作图步骤求出的值，再将这个结果代入原方程求出n即可解决问题． （2）方法同（1）． 【解答】解：（1）由题知， 令AB＝2m，则BD＝m， 在Rt△ABD中， AD＝， 因为DE＝DB＝m， 所以APn＝AE＝（）m， 所以． 将x＝代入关于x的方程得， ， 解得n＝1， 所以点Pn为线段AB的1阶黄金分割点． 故答案为：1． （2）解方程x2+21﹣nx﹣1＝0得， x＝． 因为， 所以＝． 令AB＝a，则DB＝ka， 由勾股定理得， AD＝， 所以DE＝DB＝ka，， 所以， 对比可知， k＝， 即当k＝时，点Pn为线段AB的n阶黄金分割点． 故答案为：． 【点评】本题考查列代数式及数字变化的规律，理解题中n阶黄金分割点的定义是解题的关键． 12．（2024•浙江模拟）已知关于x的方程x2+bx+c＝0可以变形为（x﹣m）（x﹣n）＝p（m≤n）的形式． 下面通过列表探究x2﹣8x+4＝0的变形： 变形 m n p x（x﹣8）＝﹣4 0 8 ﹣4 （x﹣4）2＝12 4 4 12 （x﹣1）（x﹣t）＝3 1 t 3 （x+1）（x﹣9）＝﹣13 ﹣1 9 ﹣13 （1）依据表格解答： ①求表格中t的值． ②观察上述探究过程，直接写出表格中m与n满足的等量关系； （2）记x2+bx+c＝0的两种变形为（x﹣m1）（x﹣n1）＝p1和（x﹣m2）（x﹣n2）＝p2（p1≠p2），求的值． 【答案】（1）①7； ②8； （2）1． 【分析】（1）①把x2﹣8x+4＝0两边加上3，然后把方程左边分解因式，从而得到t的值； ②m与n的和等于一次项系数﹣8的相反数； （2）把（x﹣m1）（x﹣n1）＝p1和（x﹣m2）（x﹣n2）＝p2化为一般式得到m1n1﹣p1＝m2n2﹣p2，所以p1﹣p2＝m1n1﹣m2n2，从而得到所求代数式的值． 【解答】解：（1）①x2﹣8x+4＝0， x2﹣8x+7＝3， （x﹣1）（t﹣7）＝3， 所以t＝7； ②m+n＝8； （2）∵（x﹣m1）（x﹣n1）＝p1， ∴x2﹣（m1+n1）x+m1n1＝p1， 即x2﹣（m1+n1）x+m1n1﹣p1＝0， 同理可得x2﹣（m2+n2）x+m2n2﹣p2＝0， ∴c＝m1n1﹣p1＝m2n2﹣p2， ∴p1﹣p2＝m1n1﹣m2n2， ∴＝1． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 13．（2024•镇海区校级三模）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+5+2k＝0． （1）求证：此方程总有两个不相等的实数根． （2）若此方程恰有一个根为1，求方程的另一个根． 【答案】（1）见解析；（2）3． 【分析】（1）判断Δ＞0即可证明； （2）设方程的另一个根为x，根据根与系数关系即可得出，解方程组求出另一根． 【解答】解：（1）∵Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+5）]2﹣4×1×（5+2k）＝k2+2k+5＝（k+1）2+4＞0， ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的另一个根为x，则 ， 解得， 故该方程的另一个根为3． 【点评】本题考查根的判别式和根与系数关系．掌握Δ的正负与一元二次方程之间的关系是解题关键． 14．（2024•定海区三模）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园ABCD，图1是果园的平面图，其中AB＝200米，BC＝300米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为2x米，左右两条纵向道路的宽度都为x米，中间部分种植水果． 出于货车通行等因素的考虑，道路宽度x不超过12米，且不小于5米. 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为100元，每月可销售5000平方米的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调5元，每月可多销售500平方米草莓．果园每月的承包费为2万元. 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响. （1）请直接写出纵向道路宽度x的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800m2，则路面设置的宽度是否符合要求. 任务2 解决果园种植的预期利润问题． （总利润＝销售利润﹣承包费） （3）若农户预期一个月的总利润为52万元，则从购买草莓客户的角度应该降价多少元？ 【答案】（1）5≤x≤12； （2）路面设置的宽度符合要求； （3）每平方米草莓平均利润下调40元． 【分析】（1）根据“道路宽度x不超过12米，且不小于5米”，即可得出纵向道路宽度x的取值范围； （2）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为（300﹣2x）米、宽为（200﹣2×2x）米的长方形，根据中间种植的面积是44800m2，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，取其符合题意的值，再对照（1）中x的取值范围，即可得出结论； （3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为（100﹣y）元，每月可售出（5000+100y）平方米草莓，利用总利润＝销售利润﹣承包费，可列出关于y的一元二次方程，解之可得出y的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【解答】解：（1）根据题意得：5≤x≤12； （2）根据题意得：（300﹣2x）（200﹣2×2x）＝44800， 整理得：x2﹣200x+1900＝0， 解得：x1＝10，x2＝190（不符合题意，舍去）， ∵5≤10≤12， ∴路面设置的宽度符合要求； （3）设每平方米草莓平均利润下调y元，则每平方米草莓平均利润为（100﹣y）元，每月可售出5000+×500＝（5000+100y）平方米草莓， 根据题意得：（100﹣y）（5000+100y）﹣20000＝520000， 整理得：y2﹣50y+400＝0， 解得：y1＝10，y2＝40， 又∵要让利于顾客， ∴y＝40． 答：每平方米草莓平均利润下调40元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 15．（2024•钱塘区二模）解下列方程： （1）（x﹣2）2+2x﹣4＝0； （2）． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得； （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：（1）（x﹣2）2+2x﹣4＝0， （x﹣2）2+2（x﹣2）＝0； （x﹣2）（x﹣2+2）＝0， x（x﹣2）＝0， 则x＝0或x﹣2＝0， 解得x1＝0，x2＝2； （2）原方程去分母得：x+1＝2（x﹣1）， 解得：x＝3， 检验：当x＝3时，x﹣1≠0， 则x＝3是分式方程的根． 【点评】本题考查解一元二次方程及解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 16．（2024•浙江模拟）设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）．在下面的四组条件中任意选择一组作为条件，解这个方程． ①a＝1，b＝3，c＝2． ②． ③ ④x1+x2＝0，x1x2＝﹣1（x1，x2分别是该方程的两个根）． 注：如果选择多组条件分别作答，按第一个解答计分． 【答案】见解答． 【分析】得到一元一次方程，然后利用解一元二次方程的方程求解即可． 【解答】解：选择条件①解方程，则这个方程为x2+3x+2＝0， ∴（x+1）（x+2）＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝﹣2； 选择条件②解方程，则这个方程为ax2+2ax+3a＝0， 即x2+2x+3＝0， ∵Δ＝22﹣4×1×3＜0， ∴此方程无解； 选择条件③解方程，则这个方程为ax2﹣2ax+a＝0， 即x2﹣2x+1＝0， ∴（x﹣1）2＝0， ∴x1＝x2＝1． 选择条件④解方程，则这个方程为x2﹣1＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝1． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法以及根与系数的关系是解题的关键． 17．（2024•宁波模拟）已知：关于x的方程2x2+kx+k﹣3＝0． （1）试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若k＝5，请解此方程． 【答案】（1）见解析；（2），x2＝﹣2． 【分析】（1）由Δ＝k2﹣4×2（k﹣3）＝k2﹣8k+24＝（k﹣4）2+8＞0可得结论； （2）将k＝5代入方程得2x2+5x+2＝0，利用配方法解方程即可． 【解答】解：（1）∵Δ＝k2﹣4×2（k﹣3）＝k2﹣8k+24＝（k﹣4）2+8＞0， ∴无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）当k＝5时，原方程为：2x2+5x+2＝0， ∴（2x+1）（x+2）＝0， ∴，x2＝﹣2． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根；也考查了配方法解一元二次方程． 18．（2024•拱墅区一模）关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0． （1）如果方程有两个相等的实数根，求k的值； （2）如果x1，x2是这个方程的两个根，且++3x1•x2＝25，求k的值． 【答案】（1）k＝9； （2）k＝﹣11． 【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根可知Δ＝0，求出k的值即可； （2）求出x1•x2与x1+x2的值，代入代数式进行计算即可． 【解答】解：（1）∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0，即Δ＝（﹣6）2﹣4k＝0， 解得k＝9； （2）∵x1，x2是方程x2﹣6x+k＝0的两个根， ∴x1•x2＝k，x1+x2＝6， ∵++3x1•x2＝25， ∴++3x1•x2 ＝（x1+x2）2﹣2x1x2+3x1x2 ＝（x1+x2）2+x1x2 ＝62+k， ∴62+k＝25， 解得k＝﹣11． 【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝是解题的关键． 19．（2024•拱墅区一模）小敏与小霞两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框： 小敏： 两边同除以（x﹣3），得 3＝x﹣3， 则x＝6． 小霞： 移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0． 你认为他们的解法中是否有正确的？如果有，指出哪位同学的解法正确；如果没有，写出正确的解法． 【答案】都不正确；正确解答见解析． 【分析】小敏：没有考虑x﹣3＝0的情况；小霞：提取公因式时出现了错误．利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：小敏：×；小霞：×．理由如下： 正确的解答方法：移项，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x+3＝0， 解得x1＝3，x2＝6． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程时可以采取公式法，因式分解法，配方法以及换元法等，解答本题的关键是需要根据方程的特点选择解题方法． 20．（2023•宁波模拟）在欧几里得的《几何原本》中，形如x2+ax＝b2的一元二次方程通过图解法能得到其中的一个正根：如图，先画Rt△ACB，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，连结CD，那么图中某条线段的长就是一元二次方程的其中一个正根． （1）用含a，b的代数式表示AD的长． （2）图中哪条线段的长是一元二次方程x2+ax＝b2的一个正根？请说明理由． 【答案】（1）； （2）线段AD的长是一元二次方程x2+ax＝b2的一个正根，理由见解析． 【分析】（1）由勾股定理求出AB的长，即可得出结论； （2）设AD＝x，则AB＝AD+BD＝x+，由勾股定理得出方程，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b， ∴AB＝＝＝＝， ∴AD＝AB﹣BD＝﹣＝； （2）线段AD的长是一元二次方程x2+ax＝b2的一个正根，理由如下： 设AD＝x，则AB＝AD+BD＝x+， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：b2+（）2＝（x+）2， 整理得：x2+ax＝b2， ∴线段AD的长是一元二次方程x2+ax＝b2的一个正根． 【点评】此题考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及数学常识，弄清题意是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$