第01讲 旋转 （9个知识点+9种题型+分层练习）- 2024-2025学年九年级下学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第01讲 旋转 （9个知识点+9种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 知识点2．旋转的性质 （1）旋转的性质： 　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点3．旋转对称图形 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 知识点4．中心对称 （1）中心对称的定义 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． （2）中心对称的性质 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合； ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 知识点5．中心对称图形 （1）定义 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． （2）常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 知识点6．坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 知识点7．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 知识点8．利用旋转设计图案 由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 知识点9．几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．　　（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．　　　　（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．　　（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 题型强化 题型一．生活中的旋转现象 1．（2020•安徽模拟）如图，将正方形图案绕中心旋转后，得到的图案是　　 A． B． C． D． 2．我国是世界上最早制造使用水车的国家．如图是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）将圆平均分为12个格，半径长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方处时，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是 　　米．（结果保留 题型二．旋转的性质 3．（2023•蚌山区校级开学）如图，中，，，将绕点顺时针方向旋转到△的位置，连接，则的长为　　 A． B． C． D．1 4．（2024•安徽三模）如图，，，，将绕点逆时针旋转得到，且点在上，连接，则的长是 　　． 5．（2024•蚌山区三模）如图，矩形中，为对角线，将以点为中心逆时针旋转，点的对应点在边上，点的对应点为点，连接交于点． （1）若，求的度数； （2）求证：为的中点； （3）若，求矩形的周长． 题型三．旋转对称图形 6．如图，已知，． （1）求证：； （2）若，问经过怎样的变换能与重合？ 7．有一个正边形为大于6的整数），绕某一点旋转后能与自身重合，请写出一个可能的值 　 　． 8．如图，在中，，为上两点，且，分别以点，为圆心，长为半径画圆，将两圆相交的公共部分依次绕点顺时针旋转得到如图所示的“五叶花瓣”（阴影图案）．若，则图中“五叶花瓣”的面积为　　 A． B． C． D． 题型四．中心对称 9．（2024•全椒县三模）如图，将菱形纸片折叠，使点恰好落在菱形的对称中心处，折痕为．若菱形的边长为4，，则的值是　　 A． B．2 C． D．4 10．（2023•滁州二模）如图，在菱形中，，，点为边上一点，且，在边上存在一点，边上存在一点，线段平分菱形的面积，则周长的最小值为 　　． 11．（2022•淮北模拟）古希腊科学家把一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个三角形，构成这些三角形点的数量被称为三角形数．某数学兴趣小组对三角形数进行了如下探索： （1）如图，将围棋子摆成连续三角形探索连续三角形数表示第个三角形数），由图形可得，，，，　　； （2）为探索的值，将摆成三角形进行旋转，再与原图拼成一个矩形，通过矩形计算棋子数目达到计算的值，　　；（用含的代数式表示） （3）根据上面的结论，判断24和28是不是三角形数？并说明理由． 题型五．中心对称图形 12．（2022秋•芜湖期末）没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是　　 A．笛卡尔心形线 B．三叶玫瑰形曲线 C．蝴蝶形曲线 D．太极曲线 13．（2024•萧县一模）下列函数的图象是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 题型六．坐标与图形变化-旋转 14．（2022春•定远县校级月考）如图，在中，，顶点的坐标为，是上一动点，将点绕点逆时针旋转，当点的对应点落在边上时，点的坐标为　　 A． B． C． D． 15． 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点到轴的距离为4．若将绕点逆时针旋转得到△，则点的坐标为 　 　． 题型七．作图-旋转变换 16．（2023•滁州二模）如图，在中，，，点是上的一点，过点作交于点，将绕点逆时针方向旋转得到，连接，． （1）若，则　　． （2）若，点是的中点，且点，，在一条直线上，则的长是 　　． 17．（2024•蚌山区三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点分别在格点上． （1）先将向右平移9个单位，再向下平移4个单位，在网格中画出平移后的△； （2）把以点为中心，顺时针旋转， ①请在网格中画出旋转后的△； ②在线段上确定一点，使． 题型八．利用旋转设计图案 18．（2022•瑶海区校级开学）下列图案既是轴对称图形又是旋转对称图形的是　　 A． B． C． D． 19．（2023•蜀山区校级一模）如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心每次旋转 　　度形成的． 20．（2020•马鞍山二模）我们把如图1所示的菱形称为基本图形，将此基本图形不断复制并平移，使得相邻两个基本图形的一个顶点与对称中心重合，得到的所有菱形都称为基本图形的特征图形，显然图2中有3个特征图形． （1）观察以上图形并完成如表： 根据表中规律猜想，图中特征图形的个数为　　．（用含的式子表示） 图形名称 基本图形的个数 特征图形的个数 图1 1 1 图2 2 3 图3 3 7 图4 4 （2）若基本图形的面积为2，则图2中小特征图形的面积是　　；图2020中所有特征图形的面积之和为　　． 题型九．几何变换的类型 21.对下列各表情图片的变换顺序描述正确的是　　 A．轴对称，平移，旋转 B．轴对称，旋转，平移 C．旋转，轴对称，平移 D．平移，旋转，轴对称 22．如图，在方格纸中，图形②可以看作是图形①经过若干次图形变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由图形①得到图形②的变化过程：　 　． 23．（1）我们知道，平移、轴对称和旋转都属于全等变换，如图是的正方形网格，，，，，均是格点，，，请你判断是通过怎样的变换得到的？填 　 　； （2）在（1）的条件下，连接，，探究与的位置关系． 分层练习 一、单选题 1．在线段、角、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形这几个图形中是中心对称图形的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列各图中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．生活中有许多对称美的图形，下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，将绕点A逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．下列图形中，是中心对称图形也是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 7．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   8．云纹，指云形纹饰，是古代中国吉祥图案，象征平安和如意，被广泛地运用于装饰中．下列云纹图案中，绕着某一个点旋转后与原来图形重合的中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 9．山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列四幅剪纸图案中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 10．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，点恰好落在线段AB上，连接，若，则n的大小为（    ） A．25 B．40 C．45 D．50 二、填空题 11．若点与关于坐标原点对称，则 ， ． 12．在同一直角坐标系中，点、分别是函数与的图像上的点，且点、关于原点对称，则点的横坐标为 ． 13．如图，将边长为1的正方形绕点顺时针旋转到的位置，则阴影部分的面积是 ； 14．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段，连接，．若，，，则的度数是 ． 三、解答题 15．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点A的对应点D落在线段AB上．已知∠A＝70°，求∠BDE的度数． 16．火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．（参考数据：，，，，，）    (1)求的长． (2)消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度． 17．如图，的方格都是由边长为1的小正方形组成．的顶点都在格点上，请按以下要求在图1，图2中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）． (1)画出绕点A旋转得到的，使得点B落在边BC上． (2)请以A为位似中心，作与的面积比为的位似图形． 18．已知点E在正方形的对角线上，正方形与正方形有公共点A． (1)【特例发现】如图1，当点G在上，F在上，求的值； (2)【探究发现】如图2，将正方形绕A点逆时针方向旋转，求的值； (3)【问题解决】，将正方形绕A逆时针方向旋转，当C，G，E三点共线时，请计算出的长度． 19．已知，在四边形中，，连接． (1)如图1，若，，，求的面积； (2)如图2，若，平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若点P是射线上一动点，连接．将线段绕着点D顺时针旋转，点P的对应点为，若，请直接写出的最小值． 20．随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，可绕着点O旋转，为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得，． (1)求此时液压杆的长度； (2)若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将伸长到最大长度，云梯绕着点O逆时针旋转，即，过点作，垂足为G，过点C作，垂足为E，，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即），求伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，，） 21．项目化学习 项目主题 话筒支架的选购 项目背景 某校准备举行“歌唱祖国，为青春喝彩”唱歌比赛，需要购置一个可调节话筒支架，综合实践小组以探究“话筒支架的选购”为主题展开项目化学习 驱动任务 话筒高度调整范围与支架旋转角度之间的关系 调研图示    调研数据 话筒旋转支点A到水平地面的高度，支架可绕支点A在竖直平面内上下转动，在转动的过程中需满足， 问题解决：请根据此项目调研的相关材料完成下列任务： (1)支架可绕点A旋转的最大角度为______． (2)求点E距地面的最大高度，（结果保留整数，参考数据：，，，．） 22．阅读素材，完成任务． 测试机器人行走路径 素材一 图1是某校科技兴趣小组设计的一个可以帮助餐厅上菜的机器人，该机器人能根据指令要求进行旋转和行走．如图为机器人所走的路径．机器人从起点出发，连续执行如下指令：机器人先向前直行（表示第次行走的路程），再逆时针旋转，直到第一次回到起点后停止．记机器人共行走的路程为，所走路径形成的封闭图形的面积为S． 素材二 如图2，当每次直行路程均为1（即），时，机器人的运动路径为，机器人共走的路程，由图2图3易得所走路径形成的封闭图形的面积为． 素材三 如图4，若，机器人执行六次指令后回到起点处停止． 解决问题 任务 固定变量 探索变量 探索内容 任务一 直行路程 旋转角度与路程 任务二 旋转角度 直行路程 若，求与的值． 任务三 旋转角度，路程 路径形成的封闭图形面积S． 若，请直接写出与之间的数量关系，并求出当S最大时的值． 23．思维启迪： （1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝100米，那么A，B间的距离是_____米． 思维探索： （2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A逆时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点M是线段BD的中点，连接MC，ME． ①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：MC与ME的数量关系和位置关系分别是______； ②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断MC与ME的数量关系和位置关系，并证明你的结论； 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 旋转 （9个知识点+9种题型+分层练习） 知识导图 知识清单 知识点1．生活中的旋转现象 （1）旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． （2）注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 知识点2．旋转的性质 （1）旋转的性质： 　　　　①对应点到旋转中心的距离相等．　　　　②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．　　　　③旋转前、后的图形全等．　　（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　　　注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 知识点3．旋转对称图形 （1）旋转对称图形 如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于360°）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形． （2）常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等． 知识点4．中心对称 （1）中心对称的定义 把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． （2）中心对称的性质 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合； ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 知识点5．中心对称图形 （1）定义 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． （2）常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 知识点6．坐标与图形变化-旋转 （1）关于原点对称的点的坐标 P（x，y）⇒P（﹣x，﹣y） （2）旋转图形的坐标 图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 知识点7．作图-旋转变换 （1）旋转图形的作法： 根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （2）旋转作图有自己独特的特点，决定图形位置的因素较多，旋转角度、旋转方向、旋转中心，任意不同，位置就不同，但得到的图形全等． 知识点8．利用旋转设计图案 由一个基本图案可以通过平移、旋转和轴对称以及中心对称等方法变换出一些复合图案． 利用旋转设计图案关键是利用旋转中的三个要素（①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案．通过旋转变换不同角度或者绕着不同的旋转中心向着不同的方向进行旋转都可设计出美丽的图案． 知识点9．几何变换的类型 （1）平移变换：在平移变换下，对应线段平行且相等．两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等．　　（2）轴对称变换：在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分．　　　　（3）旋转变换：在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角．　　（4）位似变换：在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应圆相切时切点为位似中心． 题型强化 题型一．生活中的旋转现象 1．（2020•安徽模拟）如图，将正方形图案绕中心旋转后，得到的图案是　　 A． B． C． D． 【分析】根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等，找到关键点，分析选项可得答案． 【解答】解：根据旋转的性质，旋转前后，各点的相对位置不变，得到的图形全等， 分析选项，可得正方形图案绕中心旋转后，得到的图案是． 故选：． 【点评】图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变． 2．我国是世界上最早制造使用水车的国家．如图是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）将圆平均分为12个格，半径长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方处时，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是 　　米．（结果保留 【分析】根据弧长公式直接代入数值求解． 【解答】解：根据题意得，， 所以水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是（米． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了生活中的旋转现象和弧长公式，熟练掌握弧长公式是关键． 题型二．旋转的性质 3．（2023•蚌山区校级开学）如图，中，，，将绕点顺时针方向旋转到△的位置，连接，则的长为　　 A． B． C． D．1 【分析】连接，延长交于点，证明△，得到；求出、的长，即可解决问题． 【解答】解：如图，连接，延长交于点； 由题意得：，， 为等边三角形， ，； 在与△中， ， △， ， ，且； 由题意得：， ，， ； 由勾股定理得：， ， 故选：． 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出在等边三角形的高上是解题的关键． 4．（2024•安徽三模）如图，，，，将绕点逆时针旋转得到，且点在上，连接，则的长是 　　． 【分析】由，，，将绕点逆时针旋转得到，得，，，得，，，得，得，即，即可得． 【解答】解：由，，，将绕点逆时针旋转得到， 得，，， 得，，， 得， 得，即， 得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了图形旋转的性质，解题关键是正确应用相似三角形的性质． 5．（2024•蚌山区三模）如图，矩形中，为对角线，将以点为中心逆时针旋转，点的对应点在边上，点的对应点为点，连接交于点． （1）若，求的度数； （2）求证：为的中点； （3）若，求矩形的周长． 【分析】（1）根据矩形的性质可得，进而由旋转的性质可得，即可求解； （2）过点作于点，证明得到即可求证； （3）证明得到，设，则，，即得，求出即可求解． 【解答】（1）解：在矩形中，， ， 是由旋转所得， ， ， ； （2）证明：过点作于点，如图， 由（1）知， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 即为的中点； （3）解：，为的中点， ， 为等腰三角形， 又， 为等腰三角形， 两个等腰三角形有公共底角， ， ， ， 由（2）知， ， 设，则，， ， 解得， ，， ， 在中，，， ， ， 矩形的周长为． 【点评】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 题型三．旋转对称图形 6．如图，已知，． （1）求证：； （2）若，问经过怎样的变换能与重合？ 【分析】（1）要证明，可以证明它们所在的三角形全等，即证明；已知两边和它们的夹角对应相等，由即可判定两三角形全等． （2）因为，公共点，对应线段与相交，所以要通过旋转，翻折两次完成． 【解答】（1）证明：在与中，，，； ， ． （2）解：先将绕点逆时针旋转， 再将沿直线对折，即可得与重合． 或先将绕点顺时针旋转， 再将沿直线对折，即可得与重合． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定方法．证明全等寻找条件时，要善于观察题目中的公共角，公共边． 7． 有一个正边形为大于6的整数），绕某一点旋转后能与自身重合，请写出一个可能的值 　 　． 【分析】如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形．直接利用旋转对称图形的性质，结合正多边形中心角相等进而得出答案． 【解答】解：有一个正边形为大于6的整数），绕某一点旋转后能与自身重合，可能的值为8， 故答案为：8（答案不唯一）． 【点评】此题主要考查了旋转对称图形，正确把握正多边形的性质是解题的关键． 8．如图，在中，，为上两点，且，分别以点，为圆心，长为半径画圆，将两圆相交的公共部分依次绕点顺时针旋转得到如图所示的“五叶花瓣”（阴影图案）．若，则图中“五叶花瓣”的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】连接，，，作，由题意可知，，圆，均以长为半径长，四边形为菱形，即，可知扇形的面积为的，即，由勾股定理求解即可． 【解答】解：连接，，，作， 由题意可知，，圆，均以长为半径长， 故， 四边形为菱形， 即， ， 可知扇形的面积为的， 即， ， 为等边三角形， ， ， 为在上的垂直平分线， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 故圆，相交部分面积为： ， 则图中“五叶花瓣”的面积为： ． 故选：． 【点评】本考查了旋转对称图形，熟练掌握圆的面积公式是解题关键． 题型四．中心对称 9．（2024•全椒县三模）如图，将菱形纸片折叠，使点恰好落在菱形的对称中心处，折痕为．若菱形的边长为4，，则的值是　　 A． B．2 C． D．4 【分析】连接，．证明是等边三角形，推出，再证明是的中位线，可得结论． 【解答】解：连接，． 四边形是菱形， ，，， 是等边三角形， 沿折叠与重合， ，平分， ， ， 、分别为、的中点， 为的中位线， ， 故选：． 【点评】本题考查轴对称，菱形的性质，翻折变换，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 10．（2023•滁州二模）如图，在菱形中，，，点为边上一点，且，在边上存在一点，边上存在一点，线段平分菱形的面积，则周长的最小值为 　　． 【分析】作关于的对称点，过作交延长线于，交延长线于，连接交于，过作于，由，，得，，而，有，可得，，，在中，，，故，根据线段平分菱形的面积和菱形的对称性知，可证，即可得，又，知当，，共线时，，即周长的最小，从而可得周长的最小值为． 【解答】解：作关于的对称点，过作交延长线于，交延长线于，连接交于，过作于，如图： ，， ，， ， ， ，， ，，， ， 在中， ，， ， 线段平分菱形的面积， 过对称中心， 由菱形的对称性知， ， ， ，， 四边形是矩形，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 当，，共线时，，即周长的最小， 此时周长的最小值即为， 周长的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，矩形的性质，中心对称的性质，勾股定理的应用，确定周长取值最小时，，，共线是解题的关键． 11．（2022•淮北模拟）古希腊科学家把一定数目的点在等距离的排列下可以形成一个三角形，构成这些三角形点的数量被称为三角形数．某数学兴趣小组对三角形数进行了如下探索： （1）如图，将围棋子摆成连续三角形探索连续三角形数表示第个三角形数），由图形可得，，，，　　； （2）为探索的值，将摆成三角形进行旋转，再与原图拼成一个矩形，通过矩形计算棋子数目达到计算的值，　　；（用含的代数式表示） （3）根据上面的结论，判断24和28是不是三角形数？并说明理由． 【分析】（1）根据规律求出即可； （2）利用规律，解决问题即可； （3）利用（2）中结论求解即可． 【解答】解：（1）， 故答案为：15； （2）由题意，， 故答案为：； （3）28是三角形数， 理由：， ， ， 【点评】本题考查中心对称，列代数式，规律型：图形的变化类等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 题型五．中心对称图形 12．（2022秋•芜湖期末）没有哪一门学科能像数学这样，利用如此多的符号图形展现一系列完备且完美的世界．下面是由4个数学式子绘制成的完美曲线，其中是中心对称图形的是　　 A．笛卡尔心形线 B．三叶玫瑰形曲线 C．蝴蝶形曲线 D．太极曲线 【分析】根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【解答】解：选项、、都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形， 选项能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形， 故选：． 【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合． 13．（2024•萧县一模）下列函数的图象是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据一次函数图象，反比例函数图象，二次函数图象的对称性分析判断即可得解． 【解答】解：、反比例函数，图象是双曲线，是中心对称图形，符合题意； 、，图象是抛物线，不是中心对称图形，不符合题意； 、，图象是射线，不是中心对称图形，不符合题意； 、，图象是抛物线，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象．熟练掌握相关函数的性质是关键． 题型六．坐标与图形变化-旋转 14．（2022春•定远县校级月考）如图，在中，，顶点的坐标为，是上一动点，将点绕点逆时针旋转，当点的对应点落在边上时，点的坐标为　　 A． B． C． D． 【分析】作于，利用证明，得，再证明即可． 【解答】解：如图，作于， 将点绕点逆时针旋转得， ，， ， ， ， 又，， ， ， ，， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质等知识，构造型全等是解题的关键． 15． 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点到轴的距离为4．若将绕点逆时针旋转得到△，则点的坐标为 　 　． 【分析】过点作轴，过点作轴，先求出，再证明△，推出，，从而求出点的坐标． 【解答】解：过点作轴，过点作轴， ， ，点到轴的距离为4， ， ， 将绕点逆时针旋转，得到△， ，， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了坐标与图形变化旋转、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握这几个知识点的综合应用，其中作出辅助线证明三角形全等是解题关键． 题型七．作图-旋转变换 16．（2023•滁州二模）如图，在中，，，点是上的一点，过点作交于点，将绕点逆时针方向旋转得到，连接，． （1）若，则　　． （2）若，点是的中点，且点，，在一条直线上，则的长是 　　． 【分析】（1）根据旋转的性质可得，，再根据平行线的性质可证是等腰直角三角形，即，从而可证，即可求出结果； （2）由（1）可得，，可得，再由点，，在一条直线上，可得，根据，可得，从而求得，利用勾股定理求得，，在中，利用勾股定理即可求得结果． 【解答】解：，， ， 将绕点逆时针方向旋转得到， ，， 又， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 故答案为：； （2）由（1）可得，， ， 点，，在一条直线上， ， ， ， ， ， ， 点是的中点， ， ， 在中，，即， 解得：或（舍， 故答案为：． 【点评】本题考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、平行线的性质及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质证明是解题的关键． 17．（2024•蚌山区三模）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点分别在格点上． （1）先将向右平移9个单位，再向下平移4个单位，在网格中画出平移后的△； （2）把以点为中心，顺时针旋转， ①请在网格中画出旋转后的△； ②在线段上确定一点，使． 【分析】（1）分别找出对应点、、即可求解； （2）①分别找出对应线段、即可求解；②根据三角形同底时面积比等于高之比即可找到点． 【解答】解：（1）分别将点、、向右平移9个单位，再向下平移4个单位得到对应点、、，连接各点，得平移后的△，如图所示： （2）①利用网格特点，分别将、以为中心顺时针旋转找出对应线段、，连接，得旋转后的△，如图所示： ②如图，点即为所求的点，理由如下： 由图可知，△中边上的高为2，△、边上的高为1， 【点评】本题考查了网格作图，平移作图、旋转作图，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 题型八．利用旋转设计图案 18．（2022•瑶海区校级开学）下列图案既是轴对称图形又是旋转对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形与旋转对称图形的概念结合几何图形的特点进行判断． 【解答】解：、本选项不是轴对称图形，也不是旋转对称图形，不符合题意； 、本选项是轴对称图形，不是旋转对称图形，不符合题意； 、本选项是轴对称图形，不是旋转对称图形，不符合题意． 、本选项是轴对称图形，也是旋转对称图形，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了旋转对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键． 19．（2023•蜀山区校级一模）如图所示的美丽图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心每次旋转 　　度形成的． 【分析】利用旋转中的三个要素①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度）设计图案，进而判断出基本图形的旋转角度． 【解答】解：本题图案，可以看作是由一个三角形绕旋转中心旋转8次形成． 所以旋转角为． 故答案为：45． 【点评】本题考查了图形的旋转，找到旋转中心和旋转次数，算出旋转角是解决本题的关键． 20．（2020•马鞍山二模）我们把如图1所示的菱形称为基本图形，将此基本图形不断复制并平移，使得相邻两个基本图形的一个顶点与对称中心重合，得到的所有菱形都称为基本图形的特征图形，显然图2中有3个特征图形． （1）观察以上图形并完成如表： 根据表中规律猜想，图中特征图形的个数为　　．（用含的式子表示） 图形名称 基本图形的个数 特征图形的个数 图1 1 1 图2 2 3 图3 3 7 图4 4 （2）若基本图形的面积为2，则图2中小特征图形的面积是　　；图2020中所有特征图形的面积之和为　　． 【分析】（1）根据从第3个图形开始，每多一个基本图形就会多出4个菱形解答即可． （2）根据图形的特征解决问题即可． 【解答】解：（1）由题意可知，图③中菱形的个数， 图④中，菱形的个数为， 当时，每多一个基本图形就会多出4个菱形， 图中，菱形的个数为， 故答案为：． （2）如图2中，图形的面积， 图2020中所有特征图形的面积之和为， 故答案为，． 【点评】本题考查平移设计图案，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 题型九．几何变换的类型 21. 对下列各表情图片的变换顺序描述正确的是　　 A．轴对称，平移，旋转 B．轴对称，旋转，平移 C．旋转，轴对称，平移 D．平移，旋转，轴对称 【分析】根据平移变换，旋转变换，旋转变换变换的定义判断即可． 【解答】解：下列各表情图片的变换顺序是轴对称变换平移变换旋转变换． 故选：． 【点评】本题考查几何变换的类型，解题的关键是读懂图象信息． 22．如图，在方格纸中，图形②可以看作是图形①经过若干次图形变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由图形①得到图形②的变化过程：　 　． 【分析】根据旋转的性质，平移的性质即可解决问题． 【解答】解：由图形①得到图形②的变化过程：图形①绕点顺时针旋转，并向下平移3个单位得到图形②． 故答案为：图形①绕点顺时针旋转，并向下平移3个单位得到图形②． 【点评】考查了坐标与图形变化旋转，平移，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 23．（2023•北海二模）（1）我们知道，平移、轴对称和旋转都属于全等变换，如图是的正方形网格，，，，，均是格点，，，请你判断是通过怎样的变换得到的？填 　 　； （2）在（1）的条件下，连接，，探究与的位置关系． 【分析】（1）根据旋转的定义即可得到结论； （2）如图，延长交于点．根据全等三角形的性质得到，．根据垂直的定义即可得到结论． 【解答】解：（1）绕点按顺时针方向旋转； 故答案为：绕点按顺时针方向旋转； （2）． 如图，延长交于点． ， ，． 在中，， 在中，， 十， ， ． 【点评】本题考查了几何变换，旋转的性质，全等三角形的性质，垂直的定义，熟练掌握旋转的定义是解题的关键． 分层练习 一、单选题 1．在线段、角、等腰三角形、平行四边形、矩形、菱形这几个图形中是中心对称图形的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键是掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：由题可得，中心对称图形的有：线段、平行四边形、矩形、菱形共4个． 故选：C． 2．下列各图中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】根据中心对称图形的定义：如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，即可得到答案. 【详解】解：根据中心对称图形的定义，B是中心对称图形. 故选：B. 【点睛】本题考查中心对称图形的识别，理解中心对称图形的概念是解题的关键. 3．生活中有许多对称美的图形，下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．原图不是中心对称图形和轴对称图形，故此选项不符合题意； B．原图不是中心对称图形和轴对称图形，故此选项不符合题意； C．原图不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．原图既是轴对称图形又是中心对称图形． 故选：D． 4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A选项，是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； B选项，不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； C选项，既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意； D选项，是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后能与自身重合，熟记轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 5．如图，将绕点A逆时针方向旋转，得到，若点在线段的延长线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质求解、等边对等角 【分析】由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵将绕点A按逆时针方向旋转，得到， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 6．下列图形中，是中心对称图形也是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别 【分析】本题考查了中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项不符合题意． 故选：B． 7．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】中心对称图形的识别、轴对称图形的识别 【分析】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据定义进行分析即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项正确； 故选：D． 8．云纹，指云形纹饰，是古代中国吉祥图案，象征平安和如意，被广泛地运用于装饰中．下列云纹图案中，绕着某一个点旋转后与原来图形重合的中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】中心对称图形的识别 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题关键． 9．山西剪纸是最古老的汉族民间艺术之一．剪纸作为一种镂空艺术，在视觉上给人以透空的感觉和艺术享受．下列四幅剪纸图案中，是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 10．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转后得到，点恰好落在线段AB上，连接，若，则n的大小为（    ） A．25 B．40 C．45 D．50 【答案】D 【知识点】等边对等角、三角形内角和定理的应用、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】由旋转即得出，．从而可求出和利用等边对等角证明，再结合三角形内角和定理即可求出，即n的大小． 【详解】根据旋转可知，， ∴， ∴． 即． 故选D． 【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理．利用数形结合的思想是解题关键． 二、填空题 11．若点与关于坐标原点对称，则 ， ． 【答案】 1 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】关于原点对称的两点的横、纵坐标均互为相反数． 【详解】解：∵点与关于坐标原点对称， ∴，． 故答案为：1；． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标．两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点关于原点O的对称点是．注意：运用时要熟练掌握，可以不用图画和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标． 12．在同一直角坐标系中，点、分别是函数与的图像上的点，且点、关于原点对称，则点的横坐标为 ． 【答案】 【知识点】求关于原点对称的点的坐标、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数的性质，关于原点对称的点的坐标特征；设点的坐标为，根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数表示出点的坐标，然后代入计算即可得解． 【详解】解：点在的图象上， 设点的坐标为， 点 关于原点对称， 点， 点在的图象上， ， 解得， 点的坐标为． 故答案为. 13．如图，将边长为1的正方形绕点顺时针旋转到的位置，则阴影部分的面积是 ； 【答案】 【知识点】特殊三角形的三角函数、全等三角形综合问题、根据旋转的性质求解、正方形性质理解 【分析】交于点，连接；根据全等三角形性质，通过证明，得；结合旋转的性质，得；根据三角函数的性质计算，得，结合正方形和三角形面积关系计算，即可得到答案． 【详解】解：如图，交于点，连接 根据题意，得：， ∵ ∴ ∴ ∵正方形绕点顺时针旋转到 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴阴影部分的面积 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形、全等三角形、旋转、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形、旋转、三角函数的性质，从而完成求解． 14．如图，是等边三角形内一点，将线段绕点沿顺时针方向旋转得到线段，连接，．若，，，则的度数是 ． 【答案】/度 【知识点】根据旋转的性质求解、利用勾股定理的逆定理求解、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理的运用，掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理逆定理的计算是解题的关键． 根据等边三角形，旋转的性质可证是等边三角形，可得，由此可证，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，结合即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵绕点旋转得， ∴，， ∴是等边三角形，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，且，， ∵，即， ∴是直角三角形，， ∴， 故答案为： ． 三、解答题 15．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，点A的对应点D落在线段AB上．已知∠A＝70°，求∠BDE的度数． 【答案】40° 【知识点】根据旋转的性质求解 【分析】由旋转可知，△ABC≌△DEC，从而可得∠ADC=∠CDE＝∠A＝70°，再根据∠ADC+∠CDE+∠BDE=180°即可求解． 【详解】解：由旋转可知，△ABC≌△DEC， ∴∠A=∠CDE，AC=DC， ∴∠A=∠ADC， ∵∠A＝70°， ∴∠ADC=∠CDE＝70°， ∴∠BDE＝180°-70°-70°=40°． 【点睛】本题考查了旋转的全等性，等腰三角形的性质，熟练掌握两个性质是解题的关键． 16．火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点，，在同一直线上，可绕着点旋转，为云梯的液压杆，点，A，在同一水平线上，其中可伸缩，套管的长度不变，在某种工作状态下测得液压杆，，．（参考数据：，，，，，）    (1)求的长． (2)消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现铅直高度升高了，求云梯旋转了多少度． 【答案】(1) (2) 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查解直角三角形的应用 （1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可； （2）求出旋转前点的高度，进而求出旋转后点的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小，进而求出答案． 【详解】（1）解：如图，过点B作于点E， 在中， ∴， 在中，，， ∵， ∴． 答：． （2）解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H， 在中，， ∴， ∴， 在中，, ∴， ∴， ∴，即云梯大约旋转了．    17．如图，的方格都是由边长为1的小正方形组成．的顶点都在格点上，请按以下要求在图1，图2中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）． (1)画出绕点A旋转得到的，使得点B落在边BC上． (2)请以A为位似中心，作与的面积比为的位似图形． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【知识点】画旋转图形、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【详解】（1）如图1                         （2）如图2，3 【点睛】本题考查图形的旋转、位似，旋转时，找准旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）是关键，注意位似图形两种情况． 18．已知点E在正方形的对角线上，正方形与正方形有公共点A． (1)【特例发现】如图1，当点G在上，F在上，求的值； (2)【探究发现】如图2，将正方形绕A点逆时针方向旋转，求的值； (3)【问题解决】，将正方形绕A逆时针方向旋转，当C，G，E三点共线时，请计算出的长度． 【答案】(1)； (2)； (3)的长度为或． 【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、由平行判断成比例的线段 【分析】（1）根据题意可得，根据平行线分线段成比例即可求解； （2）根据（1）的结论，可得，根据旋转的性质可，进而证明，根据相似三角形的性质即可求解； （3）分两种情况画出图形，证明，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）解：∵正方形与正方形有公共点，点在上，在上， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵正方形绕点逆时针方向旋转， ∴， ∵， ∴ ∴； （3）解：①如图， ∵，， ∴，，， ∵三点共线， ∴在中，， ∴， 由（2）可知，   ∴， ∴． ②如图： 由（2）知， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵C，G，E三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上，当C，G，E三点共线时，的长度为或． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 19．已知，在四边形中，，连接． (1)如图1，若，，，求的面积； (2)如图2，若，平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，若点P是射线上一动点，连接．将线段绕着点D顺时针旋转，点P的对应点为，若，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的最小值是 【知识点】用勾股定理解三角形、含30度角的直角三角形、根据旋转的性质求解、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂线段最短， （1）过点C作于点M，则，根据得，在中，，根据勾股定理得，，计算得，即可得； （2）延长得到E，使，连接，根据，平分得，则是等边三角形，，，即可得，根据，得，利用可证明，则，根据，即可得； （3）由（2）知，，根据线段绕着点D顺时针旋转，点P的对应点为的，根据点P是射线上一动点得时，最小，根据得，则，即可得； 掌握旋转的性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，垂线段最短，添加辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，过点C作于点M， ∴， ∵， ∴， 在中，，根据勾股定理得，， ∴，， ∴； （2）证明：如图所示，延长得到E，使，连接，    ∵，平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：由（2）知，， ∵线段绕着点D顺时针旋转，点P的对应点为， ∴， ∵点P是射线上一动点， ∴时，最小， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 20．随着城镇化建设的加快，高层建筑逐渐增多了，为防患于未然，更快更有效预防火灾，开辟新的救援通道，某城市消防中队新增添一台高空消防救援车．图1是高空救援消防车实物图，图2是其侧面示意图，点O，A，C在同一直线上，可绕着点O旋转，为云梯的液压杆，点O，B，D在同一水平线上，其中可伸缩，已知套管米，且套管的长度不变，现对高空救援消防车进行调试，测得，． (1)求此时液压杆的长度； (2)若消防人员在云梯末端工作台点C处高空救援时，将伸长到最大长度，云梯绕着点O逆时针旋转，即，过点作，垂足为G，过点C作，垂足为E，，垂足为H．如图3，测得铅直高度升高了3米（即），求伸长到的最大长度．（参考数据：，，，，，） 【答案】(1)3米 (2)伸长到的最大长度为6米 【知识点】根据旋转的性质求解、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，添加辅助线构造直角三角形，是解题的关键． （1）过点作，分别解直角三角形和直角三角形，进行求解即可； （2）易得，旋转得到，解直角三角形得到，，利用，求出的长，再减去的长即可得出结果． 【详解】（1）解：过点作， 在中，，， ∴， 在中，， ∴； （2）由题意，得：， 在中， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故：伸长到的最大长度为6米． 21．项目化学习 项目主题 话筒支架的选购 项目背景 某校准备举行“歌唱祖国，为青春喝彩”唱歌比赛，需要购置一个可调节话筒支架，综合实践小组以探究“话筒支架的选购”为主题展开项目化学习 驱动任务 话筒高度调整范围与支架旋转角度之间的关系 调研图示    调研数据 话筒旋转支点A到水平地面的高度，支架可绕支点A在竖直平面内上下转动，在转动的过程中需满足， 问题解决：请根据此项目调研的相关材料完成下列任务： (1)支架可绕点A旋转的最大角度为______． (2)求点E距地面的最大高度，（结果保留整数，参考数据：，，，．） 【答案】(1)35 (2)点E距地面的最大高度约为 【知识点】根据旋转的性质求解、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据已知，进行计算即可解答； （2）过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，当最大时，点距地面的高度最大，此时，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴支架可绕点旋转的最大角度， 故答案为：35； （2）解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，， 当最大时，点距地面的高度最大，此时， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴点距地面的最大高度约为． 22．阅读素材，完成任务． 测试机器人行走路径 素材一 图1是某校科技兴趣小组设计的一个可以帮助餐厅上菜的机器人，该机器人能根据指令要求进行旋转和行走．如图为机器人所走的路径．机器人从起点出发，连续执行如下指令：机器人先向前直行（表示第次行走的路程），再逆时针旋转，直到第一次回到起点后停止．记机器人共行走的路程为，所走路径形成的封闭图形的面积为S． 素材二 如图2，当每次直行路程均为1（即），时，机器人的运动路径为，机器人共走的路程，由图2图3易得所走路径形成的封闭图形的面积为． 素材三 如图4，若，机器人执行六次指令后回到起点处停止． 解决问题 任务 固定变量 探索变量 探索内容 任务一 直行路程 旋转角度与路程 任务二 旋转角度 直行路程 若，求与的值． 任务三 旋转角度，路程 路径形成的封闭图形面积S． 若，请直接写出与之间的数量关系，并求出当S最大时的值． 【答案】（1）12；8；5；（2），；（3）； 【知识点】根据旋转的性质求解、多边形外角和的实际应用、面积问题(二次函数综合)、等边三角形的性质 【分析】任务一：根据每次逆时针旋转，旋转次，可回到起点，即可进行解答； 任务二：构造如图所示三角形，则为等边三角形，根据等边三角形三边相等，即可依次推出各边长度； 任务三：构造如图所示三角形，根据题意可得，，，进而得出，根据等边三角形的面积公式，即可求出S的表达式，即可求解． 【详解】任务一：解：当时，， 当时，， 当时，， 故答案为：12，8，5． 任务二：构造如图所示的三角形， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 任务三：如图，构造等边 ∴，，， ∵， ∴， ∴， 如图：等边三角形边长为a，高为h， ， ∴等边三角形面积， ∴， ∴， ∴当S最大时，． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角，二次函数的应用，等边三角形的性质，解题的关键是掌握多边形的外角和为，根据题意构造等边三角形，根据等边三角形的性质求解． 23．思维启迪： （1）如图1，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小亮想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，聪明的小亮想出一个办法：先在地上取一个可以直接到达B点的点C，连接BC，取BC的中点P（点P可以直接到达A点），利用工具过点C作CD∥AB交AP的延长线于点D，此时测得CD＝100米，那么A，B间的距离是_____米． 思维探索： （2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，将△ADE绕点A逆时针方向旋转，把点E在AC边上时△ADE的位置作为起始位置（此时点B和点D位于AC的两侧），设旋转角为α，连接BD，点M是线段BD的中点，连接MC，ME． ①如图2，当△ADE在起始位置时，猜想：MC与ME的数量关系和位置关系分别是______； ②如图3，当α＝90°时，点D落在AB边上，请判断MC与ME的数量关系和位置关系，并证明你的结论； 【答案】（1）100；（2）MC=ME；MC⊥ME；（3）MC=ME；MC⊥ME；证明见解析． 【知识点】旋转综合题(几何变换)、根据矩形的性质求线段长、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】（1）证明△ABP≌△DCP（ASA），得出AB=CD=100米即可； （2）①延长EM交BC于F，证明△FBM≌△EDM（AAS），得出MF=ME，BF=DE，证出△EFC是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论； ②延长ED交BC于H，证明△CMH≌△EMD（SAS），得出MC=ME，∠CMH=∠EP==MD，得出∠CME=∠HMD=90°，证出MC⊥ME即可； 【详解】（1）解：∵CD∥AB， ∴∠ABP=∠C， ∵P是BC的中点， ∴PB=PC， 在△ABP和△DCP中， ， ∴△ABP≌△DCP（ASA）， ∴AB=CD=100米； 故答案为：100； （2）①证明：延长EM交BC于F，如图所示： ∵∠ACB=∠AED=90°， ∴DE∥BC， ∴∠EDM=∠FBM，∠DEM=∠BFM， ∵点M是线段BD的中点， ∴MB=MD， 在△FBM和△EDM中， ， ∴△FBM≌△EDM（AAS）， ∴MF=ME，BF=DE， ∵AC=BC，AE=DE， ∴FC=EC， 又∵∠ACB=90°， ∴△EFC是等腰直角三角形， ∵ME=MF， ∴MC⊥EF，MC=EF=PE； ②解：MC⊥ME，MC=ME；理由如下： 延长ED交BC于H，如图所示： 由旋转的性质得：∠CAE=90°， ∵∠AED=∠ACB=90°， ∴四边形ACHE是矩形， ∴∠BHE=∠CHE=90°，AE=CH， ∵AE=DE， ∴CH=DE，∠ADE=45°， ∴∠EDM=135°， ∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠ABC=45°， ∵∠BHE=90°，点P是线段BD的中点， ∴MH⊥BD，MH=BD=MD，△BMH是等腰直角三角形， ∴∠BHM=45°， ∴∠CHM=135°=∠EDM， 在△CMH和△EMD中， ， ∴△CMH≌△EMD（SAS）， ∴MC=ME，∠CMH=∠EMD， ∴∠CME=∠HMD=90°， ∴MC⊥ME； 故答案为：MC⊥ME，MC=ME 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质、矩形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握旋转的性质与勾股定理、证明三角形全等和三角形相似是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$