专题01 抛物线所有考点（4大经典基础题+4大优选提升题）-【好题汇编】备战2024-2025学年高二数学上学期期末真题分类汇编（山西专用）

专题01 抛物线所有考点 抛物线定义的妙用 1．（23-24高二上·山西太原·期末）如图，直线经过抛物线：的焦点，与抛物线交于点，与准线交于点，且，则直线的斜率为（    ）    A． B．2 C．3 D． 2．（22-23高二上·山西阳泉·期末）已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为2，则（    ） A． B．1 C．3 D．4 3．（21-22高二上·山西忻州·期末）抛物线上一点P到原点的距离为，则P到焦点的距离为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（22-23高二上·山西晋中·期末）若动圆的圆心在抛物线上，且恒过定点，则此动圆与直线（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 5．（23-24高二上·山西晋中·期末）已知焦点为F的抛物线的准线是直线l，点P为抛物线C上一点，且垂足为Q，点则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 6．（22-23高二上·山西运城·期末）已知抛物线上一点 到其焦点的距离为，则实数的值是（    ） A．-4 B．2 C．4 D．8 抛物线上的点到定点和焦点距离和差问题 1．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知A（3，2），点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，为使取得最小值，则点P的坐标为（    ） A．（0，0） B．（2，2） C． D． 2．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知抛物线上一点P到的距离为，到准线的距离为，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 3．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，且过点，在抛物线上，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山西大同·期末）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，且，点是抛物线的准线上的一动点，则的最小值为（    ）. A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山西晋中·期末）已知曲线的抛物线及抛物线组成，，，是曲线上关于轴对称的两点（四点不共线，且点在第一象限），则四边形周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为 A．6 B． C． D． 直线与抛物线相交所得弦长长度问题 1．（23-24高一上·山西晋中·期末）过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 2．（23-24高二上·山西运城·期末）设抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山西·期末）已知过抛物线焦点的直线交于，两点，点，在的准线上的射影分别为点，，线段的垂直平分线的倾斜角为，若，则（ ） A． B．1 C．2 D．4 4．（23-24高二上·山西运城·期末）直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若，则（    ） A． B．3 C． D． 5．（23-24高二上·山西太原·期末）已知为坐标原点，抛物线的焦点为F，，过点M的直线l与C交于A，B两点，且，直线BN与C的另一个交点为P，若直线AN与PM的斜率满足，则 （    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·山西长治·期末）若抛物线与直线交于，两点，则等于（    ） A． B．12 C． D．13 与抛物线焦点弦有关的几何性质 1．（23-24高二上·山西大同·期末）已知直线与抛物线：交于两点，则（    ） A． B．5 C． D． 2．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知抛物线C：的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦与弦的交点恰好为F，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 3．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知抛物线，直线过抛物线的焦点，直线与抛物线交于A，B两点，弦AB长为12，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 4．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知抛物线过点，圆如图，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．9 5．（23-24高二上·山西运城·期末）已知抛物线 的焦点为 ，过焦点 的直线交 于 两点， 在第一象限，若以 为直径的圆经过(0,2)，则 的面积为（    ） A． B． C． D．5 6．（22-23高二上·山西运城·期末）已知是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点F且倾斜角为，是A，B在准线上的射影，则下列命题不正确的是（    ） A． B． C． D．为直角三角形 抛物线的焦半径公式的应用 1．（23-24高二上·山西晋中·期末）抛物线：的焦点为，直线 经过点，交于两点，交轴于点，若，则错误的是（    ） A． B．弦的中点到轴的距离为 C． D．点的坐标为 2．（22-23高二上·山西阳泉·期末）设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形 3．（23-24高二上·山西晋中·期末）已知抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于两点，则说法不正确（ ） A．线段长度的最小值为 B．当直线斜率为时，中点坐标为 C．以线段为直径的圆与直线相切 D．存在点，使得 4．（23-24高二上·山西·期末）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·山西忻州·期末）已知抛物线，动点A，B在抛物线上且，线段AB所在直线与x轴交于点Q，，若AB的中点为P，则点P到y轴的距离取得最小值时，的值为（    ） A． B．3 C．或 D．3或 6．（23-24高二上·山西阳泉·期末）已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 抛物线中的参数范围问题 1．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A．4 B． C．或 D．或4 2．（23-24高二上·山西运城·期末）过抛物线的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点.若线段的中点横坐标为2，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（23-24高二上·山西太原·期末）已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·山西长治·期末）已知抛物线和所围成的封闭曲线如图所示，点在曲线上，给定点，则下列说法中不正确的是（    ） A．任意，都存在点，使得 B．任意，都存在点，满足这对点关于点对称 C．存在，当点运动时，使得 D．任意，恰有三对不同的点，满足每对点关于点对称 5．（23-24高二上·山西运城·期末）抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线.过抛物线上的一点（异于原点）作的切线，过作的平行线交（为的焦点）于点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高二上·山西吕梁·期末）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，往杯盏里面放入一个半径为的小球，要使小球能触及杯盏的底部（顶点），则最大值为（    ） A． B． C． D． 抛物线有关向量的综合问题 1．（23-24高二上·山西太原·期末）已知，，是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·山西·期末）已知抛物线，圆，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山西太原·期末）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，过点的直线交抛物线于、两点，求证：. 4．（22-23高二上·山西晋中·期末）抛物线的焦点到准线的距离为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过焦点的直线（斜率存在且不为0）交抛物线于两点，线段的中垂线交抛物线的对称轴于点，求. 5．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知焦点为F的抛物线上一点到F的距离是4． (1)求抛物线C的方程． (2)若不过原点O的直线l与抛物线C交于A，B两点（A，B位于x轴两侧），C的准线与x轴交于点E，直线与分别交于点M，N，若，证明：直线l过定点． 6．（22-23高三上·山西运城·期末）已知为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，P为抛物线C上一点，PF与y轴垂直，Q为y轴上一点，且，若. (1)求； (2)设点，过点作两条不同的直线分别交抛物线C于A，B两点和D，E两点，且满足，求证为定值. 抛物线中的三角形或四边形面积问题 1．（22-23高二上·山西运城·期末）已知抛物线的焦点为，过点且垂直于轴的直线交于，两点，为坐标原点，. (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，求证：为定值. 2．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过定点． 3．（23-24高二上·山西太原·期末）已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合. (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为的直线经过右焦点，与双曲线的右支相交于，两点，双曲线的左焦点为，求的周长. 4．（23-24高二上·山西·期末）已知抛物线C：（）上一点（）与焦点的距离为2. (1)求p和m； (2)若在抛物线C上存在点A，B，使得，设的中点为D，且D到抛物线C的准线的距离为，求点D的坐标. 5．（23-24高二上·山西朔州·期末）若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． (1)求椭圆E的方程； (2)不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点，求面积的最大值以及此时直线l的方程． 6．（22-23高二上·山西运城·期末）已知抛物线，其上一点到焦点的距离为． (1)求的标准方程； (2)若直线与抛物线交于、两点，且以为直径的圆与轴相切，求该圆的方程． 7．（23-24高二上·山西吕梁·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线上一点到抛物线焦点F的距离为5． （1）求抛物线的方程及实数a的值； （2）假设过点的任一不垂直于y轴的直线l交抛物线C于M、N两点，则在x轴上是否存在一点A满足x轴平分？若存在，求出点A的坐标；若不存在，也请说明理由． 8．（22-23高二上·山西吕梁·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线，焦点为F，点是抛物线上一点，满足． （1）求抛物线C的方程； （2）过点作直线AB交C于A，B两点，若，求弦AB的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 抛物线所有考点 抛物线定义的妙用 1．（23-24高二上·山西太原·期末）如图，直线经过抛物线：的焦点，与抛物线交于点，与准线交于点，且，则直线的斜率为（    ）    A． B．2 C．3 D． 【答案】A 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，利用抛物线的定义以及直角三角函数可求. 【详解】过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可得， 在直角三角形中，，， 所以. 故选：A.    2．（22-23高二上·山西阳泉·期末）已知点P为抛物线上一动点，点Q为圆上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若的最小值为2，则（    ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】D 【分析】数形结合，结合抛物线定义可得，从而可得当共线，且在线段之间时，最短，即可求解. 【详解】作图如下， 圆的圆心,半径， 抛物线的焦点， 根据抛物线的定义可知， 所以， 由图可知，当共线，且在线段之间时， 最短，而， 故有， 即解得， 故选:D. 3．（21-22高二上·山西忻州·期末）抛物线上一点P到原点的距离为，则P到焦点的距离为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】设，则，解出值，则距离为，代入即可. 【详解】设，则， 解得（负根舍去）， 所以P到焦点的距离为． 故选：B. 4．（22-23高二上·山西晋中·期末）若动圆的圆心在抛物线上，且恒过定点，则此动圆与直线（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【分析】根据题意得定点为抛物线的焦点，为准线，进而根据抛物线的定义判断即可. 【详解】解：由题知，定点为抛物线的焦点，为准线， 因为动圆的圆心在抛物线上，且恒过定点， 所以根据抛物线的定义得动圆的圆心到直线的距离等于圆心到定点，即圆心到直线的距离等于动圆的半径， 所以动圆与直线相切. 故选：B 5．（23-24高二上·山西晋中·期末）已知焦点为F的抛物线的准线是直线l，点P为抛物线C上一点，且垂足为Q，点则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】连接PF，由抛物线的定义可知PF=PQ，然后结合图形可得答案 【详解】连接PF，由抛物线的定义可知PF=PQ， 所以， 故选A.    6．（22-23高二上·山西运城·期末）已知抛物线上一点 到其焦点的距离为，则实数的值是（    ） A．-4 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】首先利用抛物线的定义，将抛物线上点到焦点的距离转化为到准线的距离解出p，再将点M的坐标代入抛物线方程即可解得. 【详解】抛物线的准线方程为：，因为M到焦点距离为5，所以M到准线的距离，即p=8，则抛物线方程为.将(1,m)代入得：，因为所以. 故选：C. 抛物线上的点到定点和焦点距离和差问题 1．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知A（3，2），点F为抛物线的焦点，点P在抛物线上移动，为使取得最小值，则点P的坐标为（    ） A．（0，0） B．（2，2） C． D． 【答案】B 【分析】设点P到准线的距离为，根据抛物线的定义可知，即可根据点到直线的距离最短求出． 【详解】如图所示： 设点P到准线的距离为，准线方程为， 所以，当且仅当点为与抛物线的交点时，取得最小值，此时点P的坐标为． 故选：B． 2．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知抛物线上一点P到的距离为，到准线的距离为，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义，结合图象，求的最小值. 【详解】如图，根据抛物线的定义可知，，那么， ，，. 故选：C 3．（22-23高二上·山西晋中·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，且过点，在抛物线上，若点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据抛物线定义，利用数形结合求解即可 【详解】由题可得，准线的方程为. 由抛物线的定义可知，， . 故选:D. 4．（23-24高二上·山西大同·期末）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，且，点是抛物线的准线上的一动点，则的最小值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出点坐标，做出关于准线的对称点，利用连点之间相对最短得出为的最小值． 【详解】解：抛物线的准线方程为， ，到准线的距离为2，故点纵坐标为1， 把代入抛物线方程可得． 不妨设在第一象限，则， 点关于准线的对称点为，连接， 则，于是 故的最小值为． 故选：A． 5．（23-24高二上·山西晋中·期末）已知曲线的抛物线及抛物线组成，，，是曲线上关于轴对称的两点（四点不共线，且点在第一象限），则四边形周长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，，是曲线上关于轴对称的两点，结合抛物线的对称性建立四边形周长模型，再由抛物线的定义得到，然后由直线段最短求解. 【详解】设抛物线的焦点为， 则四边形的周长:， 当共线时取等号， 故选：B. 6．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为 A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义由得到到准线的距离为4 ，即可求出点的坐标,根据:“”相当于在准线上找一点，使得它到两个定点的距离之和最小，最后利用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值. 【详解】，准线方程为， 设，则，即， 代入，得， 不妨取，即， 设关于准线的对称点为，可得， 故，故选C. 直线与抛物线相交所得弦长长度问题 1．（23-24高一上·山西晋中·期末）过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，若，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】D 【分析】求出直线，然后与抛物线方程联立，结合韦达定理及弦长公式即可求解. 【详解】由题得直线，设，联立得， 令，则，所以， 由， 则，解得．故D正确. 故选：D. 2．（23-24高二上·山西运城·期末）设抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出的直线，再与抛物线方程联立后化简得，再结合韦达定理可求得，从而可得，即可求解. 【详解】易知过点的直线为：，设，， 由得，则， 因为， 则．故D正确. 故选：D. 3．（23-24高二上·山西·期末）已知过抛物线焦点的直线交于，两点，点，在的准线上的射影分别为点，，线段的垂直平分线的倾斜角为，若，则（ ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】首先求直线的倾斜角和直线方程，再联立直线和抛物线方程，利用韦达定理表示弦长，即可求解. 【详解】如图，过点作， 由条件可知直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为， 由，，所以, 设直线的直线方程为， 联立，得， 易知，则， 而，得.    故选：B 4．（23-24高二上·山西运城·期末）直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A，B两点.若，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用抛物线焦半径公式求出点的横坐标，进而求出弦长. 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，    设，则， 由，得，则， 由，得，得， 联立解得，，所以. 故选：C 5．（23-24高二上·山西太原·期末）已知为坐标原点，抛物线的焦点为F，，过点M的直线l与C交于A，B两点，且，直线BN与C的另一个交点为P，若直线AN与PM的斜率满足，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得，则可设直线，直线，分别与抛物线方程联立，设，由韦达定理可得，，结合，可解得的值，从而可得的值，再利用弦长公式即可求解. 【详解】由题意得， ， ， 设直线，直线， 联立，得， 设，则， 联立，得，则， 则，则，故， 由，得，解得， 则，故. 故选：. 6．（23-24高二上·山西长治·期末）若抛物线与直线交于，两点，则等于（    ） A． B．12 C． D．13 【答案】C 【分析】联立直线与抛物线方程，利用弦长公式计算即得. 【详解】由消去y并整理得，， 设，，则，， . 故选：C 与抛物线焦点弦有关的几何性质 1．（23-24高二上·山西大同·期末）已知直线与抛物线：交于两点，则（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】证明直线过焦点，再利用焦半径公式和韦达定理即可得到答案. 【详解】将与抛物线联立得， 设， 显然抛物线焦点坐标为，令，即，则，则直线过焦点， 则. 故选：B. 2．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知抛物线C：的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦与弦的交点恰好为F，且，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由抛物线的方程可得焦点F的坐标，应用抛物线焦点弦性质，，，，结合三角的恒等变换的化简可得，即可求解. 【详解】由抛物线得，则，， 不妨设PQ的倾斜角为， 则由，得，， 所以，， 得，， 所以. 故选：B. 3．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知抛物线，直线过抛物线的焦点，直线与抛物线交于A，B两点，弦AB长为12，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】设直线l的方程为，直曲联立，由韦达定理表示弦长求出斜率即可； 【详解】根据题意可得抛物线的焦点，根据题意可得直线的斜率存在，（显然当斜率不存在时，不符合题意） 设直线l的方程为，联立， 得，所以， 因为，解得， 则直线l的方程为或. 故选：B. 4．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知抛物线过点，圆如图，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．9 【答案】A 【分析】求得物线的标准方程，根据圆心和半径并利用焦半径公式可证明，再由基本不等式计算可得结果. 【详解】因为抛物线过点，则，则， 即抛物线的标准方程，焦点坐标，准线方程为； 圆：圆心为，半径1， 故直线PQ过抛物线的焦点，设直线PQ的方程为，； 联立，整理可得， 所以， 再由焦半径公式可得 则 ， 所以 ； 当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为 故选：A 5．（23-24高二上·山西运城·期末）已知抛物线 的焦点为 ，过焦点 的直线交 于 两点， 在第一象限，若以 为直径的圆经过(0,2)，则 的面积为（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】根据焦点可得，即可根据圆心到轴距离以及圆的半径可得圆与与相切，即可求解，可得，联立直线方程与抛物线方程得韦达定理，即可根据焦点弦公式以及点到直线距离求解面积. 【详解】由题意知 ，解得 ，所以抛物线 ， 设 坐标为 , 又抛物线的焦半径可知,故圆的半径为 故以为直径的圆的圆心圆心到轴的距离为 以为直径的圆的与相切，且切点为(0,2)，故因此，故 ， 直线 为 ， 联立 ，消去 得， ，所以 ， . O 到直线 的距离 ， 所以 的面积为 故选：B 6．（22-23高二上·山西运城·期末）已知是抛物线上的两点，若直线过抛物线的焦点F且倾斜角为，是A，B在准线上的射影，则下列命题不正确的是（    ） A． B． C． D．为直角三角形 【答案】C 【分析】对于选项A，设直线的方程为，代入，再利用韦达定理，即可得到结论；对于选项B，利用抛物线的定义和选项A中的结论，表示出即可；对于选项C，由抛物线的定义，在直角三角形中，运用余弦函数的定义，即可得到的长，同理可得的长，即可判断；对于选项D，由是A，B在准线上的射影，可求出，进而判断D正确. 【详解】对于选项A，设直线的方程为，代入， 可得，所以，，故A正确； 对于选项B，因为是过抛物线的焦点的弦， 所以由抛物线定义可得， 由选项A知，，， 所以. 即，解得， 当时，，所以， 当时，， 所以， 当时，也适合上式，所以，故B正确； 对于选项C，， 所以，同理可得， 所以，故C错误； 对于选项D，由抛物线的定义可知，，则. 因为，所以，则. 同理可得. 因为， 所以. 所以为直角三角形，选项D正确； 故选：C. 抛物线的焦半径公式的应用 1．（23-24高二上·山西晋中·期末）抛物线：的焦点为，直线 经过点，交于两点，交轴于点，若，则错误的是（    ） A． B．弦的中点到轴的距离为 C． D．点的坐标为 【答案】D 【分析】对于A，由抛物线的方程可得焦点的坐标，进而可得的值；对于D，由向量关系和抛物线定义可得点的横坐标，代入抛物线的方程可得点的纵坐标，从而判断D；求出直线的斜率，进而求出直线的方程，与抛物线联立，求出两根之和，对于B，根据中点坐标公式，可求中点到轴的距离；对于C，再由抛物线的性质可得焦点弦的长度，从而判断C． 【详解】对于A，因为抛物线：的焦点为， 由题意，所以，即，故A正确； 对于D，如图：过点作垂直于轴， 因为，所以， 因为，所以， 所以，代入可得，故D错误； 不妨设点在轴下方， 则，所以直线的方程为：，即， 由得， 所以， 对于B，弦的中点到轴的距离为，故B正确； 对于C，，故C正确. 故选：D 2．（22-23高二上·山西阳泉·期末）设为坐标原点，直线过抛物线：的焦点，且与交于，两点，为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形 【答案】C 【分析】由直线过抛物线的焦点，即可求得，进而判断A；将直线方程代入抛物线方程，结合韦达定理得出，由焦半径公式即可判断B；由的中点的横坐标得出中点到抛物线的准线的距离，即可判断C；分别求出两点的坐标，根据韦达定理即可判断D． 【详解】对于A，直线过抛物线的焦点，可得，所以，故A错误； 对于B，抛物线方程为：，与交于两点， 直线方程代入抛物线方程可得，，所以， 所以，故B不正确； 对于C，的中点的横坐标为，中点到抛物线的准线的距离为， 所以以为直径的圆与相切，故C正确； 对于D，由B得，，解得或， 不妨设，则， 所以，， 所以不是等腰三角形，故D错误； 故选：C 3．（23-24高二上·山西晋中·期末）已知抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于两点，则说法不正确（ ） A．线段长度的最小值为 B．当直线斜率为时，中点坐标为 C．以线段为直径的圆与直线相切 D．存在点，使得 【答案】B 【分析】A：通过联立思想得到，由此可计算出，利用焦点弦公式以及基本不等式求解出的最小值；B：利用点差法求解出纵坐标后可判断；C：利用抛物线定义计算出圆心到准线的距离，并判断距离是否等于半径即可；D：代入坐标，计算出的值，根据结果再进行判断. 【详解】对于A：的焦点坐标为，直线的斜率不为，设，， 联立，可得，且， 所以，所以，且， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B：因为，所以，所以， 所以，所以，即中点纵坐标为，故B错误； 对于C：抛物线的准线方程，设中点为，过点向准线作垂线， 垂足分别为，如下图： 由抛物线的定义可知：， 即等于以为直径的圆的半径长，故C正确； 对于D：当时，. 所以， 由选项A可知：，所以，所以此时， 所以的倾斜角互补，所以，故D正确； 故选：B 4．（23-24高二上·山西·期末）设抛物线的焦点为，为抛物线上一点且在第一象限，，若将直线绕点逆时针旋转得到直线，且直线与抛物线交于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据焦半径公式求出点的坐标，进而可求出直线的倾斜角，从而可得直线的倾斜角，即可得出直线的方程，，联立方程，利用韦达定理求出，再根据抛物线的焦点弦公式即可得解. 【详解】， 设， 则，所以，则， 故， 所以， 则直线的倾斜角， 所以直线的斜率， 所以直线的方程为， 联立，消得， ， 设， 则， 所以.    故选：A. 5．（23-24高二上·山西忻州·期末）已知抛物线，动点A，B在抛物线上且，线段AB所在直线与x轴交于点Q，，若AB的中点为P，则点P到y轴的距离取得最小值时，的值为（    ） A． B．3 C．或 D．3或 【答案】D 【分析】由题意分析知当点Q与点F重合，且点P到y轴的距离取得最小值，法一：设此时直线AB的倾斜角为，由抛物线的定义表示出，，由求出，再代入即可得出答案；法二：设直线AB的方程为，联立直线AB的方程和抛物线的方程，将韦达定理代入可求出，再由，知，代入即可得出答案. 【详解】设抛物线的焦点为F，连接AF，BF，分别过A，B，P作抛物线准线的垂线， 垂足分别为，，， 则． 因为，所以， 当且仅当A，F，B三点共线时取等号， 此时点Q与点F重合，且点P到y轴的距离取得最小值． 解法一：设此时直线AB的倾斜角为，易知， 则， 又，所以，同理， 故． 由，解得，故． 因为，故． 当时，； 当时，． 故的值为3或． 解法二：易知，可设直线AB的方程为， 联立得，消去x可得． 设，，其中，，则，． 由 ，可得． 由，知． 当时，可得，，则； 当时，可得，，则． 故的值为3或． 故选：D. 6．（23-24高二上·山西阳泉·期末）已知为抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点，若，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】写出直线方程，与抛物线联立，利用韦达定理及焦半径公式计算求解即可. 【详解】由已知得，则过且斜率为1的直线为，设， 联立，消去得， 则，， ， 解得. 故选：A. 抛物线中的参数范围问题 1．（23-24高二上·山西朔州·期末）已知抛物线的焦点，准线为是上一点，是直线与的交点，若，则（    ） A．4 B． C．或 D．或4 【答案】C 【分析】由得或，利用平面向量坐标的线性运算可求出点的横坐标，再利用抛物线的焦半径公式可求得的值. 【详解】依题意，焦点，准线，设点,， 由得或， ， 当时，，即，则； 当时，，，即，则. . 综上所述，的值为或. 故选：C. 2．（23-24高二上·山西运城·期末）过抛物线的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点.若线段的中点横坐标为2，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】由中点坐标公式结合定义法求解抛物线焦点弦即可. 【详解】由题意，所以. 故选：C. 3．（23-24高二上·山西太原·期末）已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，表示出，依题意可得恒成立，分和两种情况讨论，当时恒成立，即可得到，从而求出的取值范围. 【详解】设，则，所以 ， 因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立， 当时显然恒成立，当时恒成立， 所以，则，又，所以，即实数的取值范围为. 故选：B 4．（23-24高二上·山西长治·期末）已知抛物线和所围成的封闭曲线如图所示，点在曲线上，给定点，则下列说法中不正确的是（    ） A．任意，都存在点，使得 B．任意，都存在点，满足这对点关于点对称 C．存在，当点运动时，使得 D．任意，恰有三对不同的点，满足每对点关于点对称 【答案】D 【分析】由曲线的对称性判断AB；取值计算判断CD. 【详解】抛物线和的对称轴都为，因此封闭曲线关于轴对称， 对于A，任意，在曲线上取关于轴对称的两点，而点在轴上，有，A正确； 对于B，对每个值，过点垂直于轴的直线与曲线的交点关于点对称，B正确； 对于C，联立与解得或，取，即， 抛物线，即的焦点为，准线方程为， 点在上运动时，，， 抛物线可由抛物线向上平移5个单位而得， 抛物线，即的焦点为，准线为， 则抛物线的焦点为，准线方程为， 点在上运动时，，， 因此当点运动时，，恒有，C正确； 对于D，取，即，直线与抛物线的两个交点关于点对称， 在此抛物线上关于点对称的两点就只有一对，在抛物线上不存在两点关于点对称， 另外关于点对称的两点则分别在和上，不妨令， 此点关于点对称的点必在上，而方程， 即无解，则此时不存在关于点对称的两点分别在两条抛物线上，D错误. 故选：D 5．（23-24高二上·山西运城·期末）抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线.过抛物线上的一点（异于原点）作的切线，过作的平行线交（为的焦点）于点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法1：由光学性质可知，即，结合由三角不等式可得答案；方法2：设，求出直线、的方程，联立方程可求得点坐标，再求可得答案. 【详解】方法1：如图，由光学性质可知：入射光线，反射光线轴，所以， 又，所以，因为轴，， 则有，所以，即， 由三角不等式可得， 即；    方法2：设，，易求得， 所以，，联立方程可求得， 所以， 即. 故选：B. 6．（23-24高二上·山西吕梁·期末）南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为，往杯盏里面放入一个半径为的小球，要使小球能触及杯盏的底部（顶点），则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求出抛物线的标准方程为，设小球大圆圆周方程，联立方程组求出，或，分析，可得最大值. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 依题意可得的坐标为， 设抛物线的标准方程为，则，解得， 故该抛物线的标准方程为， 设小球大圆圆周方程， 联立方程组，解得或， 要使小球能触及杯盏的底部（顶点），则小球与杯子有且只有一个交点， 就是抛物线的顶点，所以或无效， 考虑到抛物线不可能在轴下方，所以不成立，即， 所以，解得， 所以最大值为. 故选：C 抛物线有关向量的综合问题 1．（23-24高二上·山西太原·期末）已知，，是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，，由斜率公式及点差法可得，由的重心为抛物线的焦点，可得，再由基本不等式可得，即可得答案. 【详解】解：如图所示： 设，，， 因为，两点均在轴上方， 所以， 因为抛物线为，所以， 则，， 所以， 则， 又因为的重心为抛物线的焦点， 所以，， 所以， 所以， 又因为， 代入可得， 故， 即，解得， 当且仅当时，等号成立，所以， 所以. 故选：B. 2．（23-24高三上·山西·期末）已知抛物线，圆，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，由已知关系，可用点坐标表示出，在中，由，进而可推出，根据的范围，即可得到结果. 【详解】 由已知，，. 如图，设点，则， ， 在中，有 ， 易知，则， 则， 因为，所以当时，取得最大值， 又，所以，. 所以，的取值范围是. 故选：A. 3．（23-24高二上·山西太原·期末）已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且. (1)求抛物线的方程； (2)已知点，过点的直线交抛物线于、两点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式，可求得p的值，即得答案； （2）设出直线CD的方程，联立抛物线方程，可得根与系数关系式，化简，即可证明结论. 【详解】（1）由题意点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且. 得，解得， 故抛物线的方程为. （2）证明：设直线的方程为，，， 由，得，，.   ， ，即直线关于x轴对称， 故. 4．（22-23高二上·山西晋中·期末）抛物线的焦点到准线的距离为. (1)求抛物线的标准方程； (2)过焦点的直线（斜率存在且不为0）交抛物线于两点，线段的中垂线交抛物线的对称轴于点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义即可得解； （2）不妨取抛物线的方程为，设直线的方程为，、，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出，再求出中垂线方程，即可求出点坐标，即可求出，从而得解. 【详解】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以， 根据建系方案的不同，抛物线的标准方程有四种可能， 分别是，，，. （2）在平面直角坐标系中，抛物线的位置并不影响的取值，因此不妨取抛物线的方程为，此时焦点， 根据题意，直线的斜率存在且不为，因此设直线的方程为， 与抛物线联立，得关于的一元二次方程， 则，设、， 则，，， ， 则， 线段的中点坐标为，中垂线方程为， 令，解得，即中垂线与轴交于， 所以，则.    5．（23-24高二上·山西吕梁·期末）已知焦点为F的抛物线上一点到F的距离是4． (1)求抛物线C的方程． (2)若不过原点O的直线l与抛物线C交于A，B两点（A，B位于x轴两侧），C的准线与x轴交于点E，直线与分别交于点M，N，若，证明：直线l过定点． 【答案】(1)； (2)证明过程见解析. 【分析】（1）利用抛物线的定义进行求解即可； （2）设出直线l的方程，与抛物线方程联立，根据一元二次方程的根与系数关系进行求解证明即可. 【详解】（1）该抛物线的准线方程为，因为点到F的距离是4， 所以有，所以抛物线C的方程为：； （2）该抛物线的准线方程为， 设直线l的方程为：， 与抛物线方程联立，得， 不妨设，因此， 直线的斜率为：，所以方程为：， 当时，，即，同理， 因为，所以有，而， 所以有，所以直线l的方程为：，因此直线l恒过. 6．（22-23高三上·山西运城·期末）已知为坐标原点，抛物线C：的焦点为F，P为抛物线C上一点，PF与y轴垂直，Q为y轴上一点，且，若. (1)求； (2)设点，过点作两条不同的直线分别交抛物线C于A，B两点和D，E两点，且满足，求证为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知条件得出△∽△，利用相似即可求解; （2）设出直线和的方程及其点、、、的坐标，利用两点间距离公式分别求出线段、的长度代入式子中，再将直线与抛物线方程联立，利用韦达定理分别求出两根之积及两根之和，消去式子中的和，同理可得的表达式，两者相等即可得证. 【详解】（1）的焦点，不妨设点在第一象限，由于轴，则， ∵△∽△, ∴, 即, ∴，即， （2）设所在的直线方程为：，，, 的直线方程为：，，; 则，， 即， 将直线的直线方程;，与抛物线的方程联立，消去y得到：， 由韦达定理可知，， 则, 同理可得, 即, ∵， ∴，即， 又∵，∴，即. 抛物线中的三角形或四边形面积问题 1．（22-23高二上·山西运城·期末）已知抛物线的焦点为，过点且垂直于轴的直线交于，两点，为坐标原点，. (1)求的方程； (2)过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，求证：为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意可得点和点的坐标，再根据，利用平面向量数量积的坐标运算公式，即可求出，进而求出结果； （2）由题意可知直线，斜率存在且不为0，直线的方程为将其与抛物线方程联立，由韦达定理可得的表达式，再根据抛物线的性质可得，又因为，所以将换成，得，进而求出为定值. 【详解】（1）解：抛物线的焦点坐标为，将代入，得， 所以点和点的坐标为，. 所以， 所以，所以（舍去）. 所以的方程为. （2）证明：由（1）知，，由于直线，均与交于两点， 所以直线，斜率存在且不为0. 设直线的方程为，，， 联立得， 恒成立. 所以， 所以. 因为，所以将换成，得， 所以， 所以为定值. 2．（23-24高二下·山西晋城·期末）已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过定点． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）把已知条件用坐标表示，并化简即得的方程； （2）设，，，利用导数得出切线的方程，由在切线上，从而可得直线的方程，由直线方程可得定点坐标． 【详解】（1）设，则，， ，， 所以，可以化为， 化简得． 所以，的方程为． （2）由题设可设，，， 由题意知切线，的斜率都存在， 由，得，则， 所以， 直线的方程为，即，① 因为在上，所以，即，② 将②代入①得， 所以直线的方程为 同理可得直线的方程为． 因为在直线上，所以， 又在直线上，所以， 所以直线的方程为， 故直线过定点． 3．（23-24高二上·山西太原·期末）已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合. (1)求双曲线的方程； (2)若斜率为的直线经过右焦点，与双曲线的右支相交于，两点，双曲线的左焦点为，求的周长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出抛物线的焦点坐标得双曲线半焦距c，再求出即可. （2）求出直线的方程，与双曲线方程联立求出弦长，再借助双曲线定义求解即得. 【详解】（1）拋物线的焦点坐标为，则双曲线的半焦距，由，得， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）知，直线的方程为，设，， 由，得，显然， 则，，， 因此， 所以的周长为.    4．（23-24高二上·山西·期末）已知抛物线C：（）上一点（）与焦点的距离为2. (1)求p和m； (2)若在抛物线C上存在点A，B，使得，设的中点为D，且D到抛物线C的准线的距离为，求点D的坐标. 【答案】(1)， (2)或. 【分析】（1）根据抛物线的性质，求出，然后将代入抛物线的方程即可求出m； （2）根据D到抛物线C的准线的距离求出D的横坐标，将转为，从而得到，两者结合即可求出，即可求出点D的坐标. 【详解】（1）设抛物线C的焦点为F，根据题意可知，解得. 故抛物线C：. 因为M在抛物线C上，所以.又因为，所以. （2）设，，，直线的斜率为，直线的斜率为. 易知，一定存在，则，. 由，得，即，化简得，即 因为D到抛物线C的准线的距离，所以， 则，即，. ，即， 解得或，则或. 故点D的坐标为或. 5．（23-24高二上·山西朔州·期末）若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点． (1)求椭圆E的方程； (2)不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点，求面积的最大值以及此时直线l的方程． 【答案】(1) (2)面积的最大值为，此时直线的方程为 【分析】(1)根据抛物线和双曲线的性质结合椭圆的的关系求解； (2)利用韦达定理求出弦长，再利用点到直线距离公式为三角形的高即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点为，所以， 因为双曲线的焦点坐标为， 所以则， 所以椭圆E的方程为. （2）设， 联立可得， 因为直线与椭圆E交于A、B两点， 所以解得， 由韦达定理可得， 由弦长公式可得， 点到直线的距离为， 所以 当且仅当即时取得等号， 所以面积的最大值为，此时直线的方程为. 6．（22-23高二上·山西运城·期末）已知抛物线，其上一点到焦点的距离为． (1)求的标准方程； (2)若直线与抛物线交于、两点，且以为直径的圆与轴相切，求该圆的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入抛物线方程，得到，再根据抛物线的定义及求出的值，即可得解； （2）设，，圆心，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可得到，从而得到，由弦长公式求出的值，从而求出圆心坐标，即可得解. 【详解】（1）解：将代入抛物线的方程得，∴， 由抛物线得定义得，解得或， 因为，所以（舍去）， 所以的标准方程为． （2）解：由题意得，，消去得， 由，解得， 设，，圆心， 所以，， 则，， 由题意知圆的半径，， 又，得， 解得，满足，所以， 所以，即圆心， 所以圆的方程为． 7．（23-24高二上·山西吕梁·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线上一点到抛物线焦点F的距离为5． （1）求抛物线的方程及实数a的值； （2）假设过点的任一不垂直于y轴的直线l交抛物线C于M、N两点，则在x轴上是否存在一点A满足x轴平分？若存在，求出点A的坐标；若不存在，也请说明理由． 【答案】（1）；或；（2）存在，. 【解析】（1）根据抛物线上一点到抛物线焦点F的距离为5，利用抛物线的定义，由求解. （2设A的坐标为，MN方程为，与联立，根据x轴平分，则，然后结合韦达定理求解. 【详解】（1）由抛物线定义可得：， 所以，所以抛物线方程为， 所以，解得或； （2）点A在x轴上，设其坐标为，直线MN过， 设直线MN方程为，与联立，， 消去x得， 设，， ，，① x轴平分，， 即， ， 即， ， 将①代入得， 即， ，要使方程成立， ， 存在满足题意． 8．（22-23高二上·山西吕梁·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线，焦点为F，点是抛物线上一点，满足． （1）求抛物线C的方程； （2）过点作直线AB交C于A，B两点，若，求弦AB的长度． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由抛物线定义得，求得p，即求得抛物线方程； （2）设直线AB的方程为，与抛物线联立，得到韦达定理描述的关系，结合，即，求得A，B的坐标及直线方程，利用弦长公式求得弦长； 【详解】解：（1）因为F是抛物线的焦点， 点是抛物线C上一点，满足， 而抛物线C的准线为， 所以由抛物线定义得，解得， 因此抛物线C的方程为． （2）由（1）知：抛物线，焦点． 因为过点作直线AB交C于A，B两点， 所以直线AB的斜率不为0，因此设直线AB的方程为． 设，． 因为，因此，因此． 由消去x，得， 则，，， 又因为，所以，， 因此或， 所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$