精品解析：河南省南阳市宛城区南阳第四中等职业学校2024-2025学年高二上学期期中数学试题

南阳第四中等职业学校2024-2025学年度秋期 期中考试质量检测数学试卷 （供高二职高班2306--2310班使用） 一、单选题（本大题共10题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 下列几何体不属于棱柱的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，几何体是由一个正方体截去一个小正方体而得到的，则该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的　(　　) A. B. C. D. 4. 已知一个正四棱柱的底面边长为4，高为5，则该正四棱柱的体积是（ ） A. 112 B. 100 C. 80 D. 20 5. 直线被圆所截得的弦长为（    ） A. B. C. D. 6. 已知圆锥PO，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m，顶角为的等腰三角形，该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 若正四棱锥的侧棱长为2，且侧棱与底面成的角，则该正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 用一个平面截半径为3的球，截面面积为，则球心到截面的距离为（    ） A. 1 B. 2 C. D. 9. 已知圆，则圆心及半径分别为（    ） A. B. C. D. 10. 正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A. ： B. ： C. ： D. ： 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为，酒杯的容积，则其内壁表面积为_______________． 12. 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为______________． 13. 若一个圆锥的底面圆的半径为3，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的侧面积为___________. 14. 已知正三角形的边长为a，那么三角形的平面直观图的面积为______ 15. 在长方体中，，，则该长方体的外接球的表面积为______. 16. 等腰直角三角形直角边长为2 cm，将该三角形绕其斜边所在直线旋转一周所形成的曲面的表面积为_________. 三、解答题（本大题共5题，共52分.17、18题每题8分，19、20、21题每题12分.请写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤） 17. 已知一个半球的全面积为，一个圆柱与此半球等底等高，求这个圆柱的表面积. 18. 如图，已知圆锥的底面半径,高,过PO上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱,若圆柱的底面半径,求剩余部分体积. 19. 已知点，直线． （1）求经过点且与直线平行的直线的方程； （2）求经过点且与直线垂直的直线的方程． 20. 已知圆C：． （1）若点，求过点的圆的切线方程； （2）若点为圆的弦的中点，求直线的方程. 21. 一空间几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积和表面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南阳第四中等职业学校2024-2025学年度秋期 期中考试质量检测数学试卷 （供高二职高班2306--2310班使用） 一、单选题（本大题共10题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一个符合题目要求） 1. 下列几何体不属于棱柱的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据棱柱的结构特征即可判断. 【详解】对A、B、C：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 有这些面所围成的多面体叫做棱柱，故选项A、B、C都是棱柱. 对D：该几何体每相邻两个四边形的公共边不平行，故选项D不属于棱柱. 故选：D. 2. 如图所示，几何体是由一个正方体截去一个小正方体而得到的，则该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三视图的定义即可得解. 【详解】从几何体的左边看可得到一个正方形,正方形的右上角是一个可以看到的小正方形. 故选:. 3. 如图所示的几何体是由下面哪一个平面图形旋转而形成的　(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆锥、圆台、圆柱的定义求解即可. 【详解】该几体的上部分是圆锥，中间是两个同底的圆台，下部分是圆柱， ∴这个几何图形是由一个直角三角形和两个直角梯形以及一个矩形围绕直角边所在的直线为轴旋转一周得到． 故选：A． 4. 已知一个正四棱柱的底面边长为4，高为5，则该正四棱柱的体积是（ ） A. 112 B. 100 C. 80 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】利用正四棱柱的结构特征，结合棱柱的体积公式即可得解. 【详解】因为一个正四棱柱的底面边长为4，所以其底面积为， 又其高为，则该正四棱柱的体积为. 故选：C. 5. 直线被圆所截得的弦长为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的一般方程得出圆心坐标和半径，再结合点到直线的距离公式与勾股定理即可求解. 【详解】将圆化为标准方程为：， 可知圆心，半径， 所以圆心到直线的距离为， 故所求弦长为. 故选：. 6. 已知圆锥PO，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m，顶角为的等腰三角形，该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用圆锥侧面积公式计算即可. 【详解】如图所示， 设圆锥的半径为r，母线为l， 由题意知，， 在中，， 所以， 所以圆锥侧面积为. 故选：B. 7. 若正四棱锥的侧棱长为2，且侧棱与底面成的角，则该正四棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正四棱锥的侧棱长和与底面成的角，计算该正四棱锥的高和底面边长，即可得到体积. 【详解】 设正四棱锥的底面边长为，高为， 题目已知，正四棱锥的侧棱长为，且侧棱与底面成的角， 所以. 底面对角线为 正四棱锥的底面为正方形，故， 得到. 所以，正四棱锥的体积. 故选：A. 8. 用一个平面截半径为3的球，截面面积为，则球心到截面的距离为（    ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用球心与截面圆圆心的连线垂直于截面，根据勾股定理即可求解. 【详解】根据题意截面面积为，可知截面圆半径， 又球的半径为， 根据球心与截面圆的圆心连线垂直于截面可知：球心到截面的距离为. 故选：C. 9. 已知圆，则圆心及半径分别为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将圆的一般方程化成标准方程，圆心和半径即可得解. 【详解】将圆化成标准方程为： ， 所以圆心，半径， 故选：. 10. 正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A. ： B. ： C. ： D. ： 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体内切球和外接球的半径与正方体棱长的关系求解即可. 【详解】设正方体的棱长是，正方体内切球的半径为，外接球的半径为， 因为正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径， 所以，，即，， 因此正方体的内切球和外接球的半径之比：=：：. 故选：. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为，酒杯的容积，则其内壁表面积为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先计算出圆柱的高，内壁的表面积等于圆柱的侧面积加半球的表面积. 【详解】设圆柱的高为，内壁的表面积为，由题意可知：，解得：. 内壁的表面积等于圆柱的侧面积加半球的表面积，即. 故答案为： 12. 将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方体和球的结构特征，体积最大的球即为正方体的内切球. 【详解】由题意知，体积最大的球即为正方体的内切球， 根据其几何特征可知，此球的直径与正方体的棱长是相等的， 故可得球的直径为2，其体积为. 故答案为：. 13. 若一个圆锥的底面圆的半径为3，其侧面展开图的圆心角为，则圆锥的侧面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式可求得的值，最后根据扇形的面积公式计算圆锥的侧面积. 【详解】设圆锥的母线长为， 根据题意可得，解得， 所以圆锥的侧面积. 故答案为：. 14. 已知正三角形的边长为a，那么三角形的平面直观图的面积为______ 【答案】 【解析】 【分析】首先根据三角形面积公式求出正三角形的面积，再由直观图面积与原图之间的面积比，即可求出直观图的面积. 【详解】已知正三角形的边长为a，高为 则正三角形的面积为， 而原图与直观图的面积比值为， 所以. 故答案为：. 15. 在长方体中，，，则该长方体的外接球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】由长方体的对角线公式，求出长方体的体对角线的长，从而得到长方体外接球的直径，结合球的表面积公式即可求得答案. 【详解】长方体如图： 因为在长方体中，，， 所以长方体的对角线， 又因为长方体的体对角线是长方体外接球的直径，设长方体外接球的半径为， 所以， 因此外接球的表面积为. 故答案为：. 16. 等腰直角三角形直角边长为2 cm，将该三角形绕其斜边所在直线旋转一周所形成的曲面的表面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】几何体为两个同底等高的圆锥的组合体. 【详解】等腰直角三角形直角边长为,斜边的高为 ∴旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体,圆锥的底面半径为，母线长, 圆锥的底面周长,两个圆锥的侧面积为 故答案为：. 三、解答题（本大题共5题，共52分.17、18题每题8分，19、20、21题每题12分.请写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤） 17. 已知一个半球的全面积为，一个圆柱与此半球等底等高，求这个圆柱的表面积. 【答案】 【解析】 【分析】根据球的表面积公式和圆柱的侧面积公式即可求解. 【详解】设球的半径为，则半球的全面积底面积球的表面积， 即，则， 又一个圆柱与此半球等底等高， 则圆柱的底面积为，高为， 所以圆柱的表面积为， 所以这个圆柱的表面积为. 18. 如图，已知圆锥的底面半径,高,过PO上一点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱,若圆柱的底面半径,求剩余部分体积. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意,剩余部分体积为圆锥体的体积减去圆柱体的体积. 【详解】圆锥的底面半径,高. 圆锥体积. 设圆柱高为,则,所以, 则圆柱体积, 剩余体积. 19. 已知点，直线． （1）求经过点且与直线平行的直线的方程； （2）求经过点且与直线垂直的直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行，得到所求直线的斜率，再根据直线点斜式方程. （2）根据垂直，得到所求直线的斜率，再根据直线点斜式方程. 【小问1详解】 ∵直线的方程为，故直线的斜率. ∴与直线平行的直线的斜率. 故，经过点且与直线平行的直线的方程为，. 整理得，. 【小问2详解】 令与直线垂直的直线的斜率，则. 所以，. 故，经过点且与直线垂直的直线的方程为，. 整理得，. 20. 已知圆C：． （1）若点，求过点的圆的切线方程； （2）若点为圆的弦的中点，求直线的方程. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆的标准方程确定圆心和半径，当存在时，设切线方程为，再由圆心到切线的距离等于半径列方程求出的值，最后讨论不存在时是否成立即可. （2）根据圆的弦的中点与圆心的连线，垂直于弦所在直线，可得，再由斜率公式求出，即可得出，再由直线的点斜式方程即可得出结论. 【小问1详解】 已知圆C：， 圆心为，半径， 当斜率存在时，设切线方程， 即， 则有圆心到切线的距离， 即，整理得， 解得，则， 所以切线方程为. 当斜率不存在时，切线方程为， 综上所述，过点的圆的切线方程为或. 【小问2详解】 由题意可知，点为圆的弦的中点， 所以，， 又圆心为，则， 所以，则直线的方程为， 即. 21. 一空间几何体的三视图如图所示，求该几何体的体积和表面积． 【答案】， 【解析】 【分析】根据三视图可知，该几何体由一个四棱锥和一个圆柱体组成，根据棱锥的体积和圆柱的体积的和，可求出该几何体的体积，再由棱锥的侧面积和圆柱的表面积的和减去棱锥的底面积，即可求出该几何体的表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体由一个四棱锥和一个圆柱体组成， 其中，圆柱的底面半径为1，高为2，体积为， 四棱锥的底面对角线为，高为，体积为， 所以该几何体的体积为， 圆柱的表面积为， 四棱锥的底面积为，四棱锥的底面边长为， 则棱锥的斜高为， 所以棱锥的侧面积为， 所以该几何体的表面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $