专题05 指数函数与对数函数-【中职专用】2025年职教高考数学二轮复习专项突破（江苏专用）

专题05 指数函数与对数函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解根式的概念 · 掌握指数和对数的运算 · 了解指数函数的图像与性质 · 理解对数函数的图像与性质 · 理解单调性比较大小 考点预测 · 指数与对数的运算 · 指数函数的图像与性质应用 · 对数函数的图像与性质应用 · 指（对）数复合型函数的综合应用 · 理解指对复合型函数的综合应用 要点自测 （一）根式的概念 根式的概念 如果 ，那么x叫做a的n次方根（n>1且n∈N*） 符号表示 当n为奇数时，正数的n次方根是一个 ，负数的n次方根是一个 ； 零的n次方根是 。记作： 当n为偶数时，正数的n次方根有 个，它们互为 。负数没有偶次方根 记作：± 两个重要的公式 ①＝ ②()n＝ (注意a必须使有意义)。 （二）分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是＝ a＞0，m，n∈N*，n＞1)。 (2)正数的负分数指数幂是a -＝ (a＞0，m，n∈N*，n＞1)。 (3)0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义。 （三）实数指数幂的运算性质 （1）ar·as＝ (a＞0，r、s∈R)； （2）(ar)s＝ (a＞0，r、s∈R)； （3）(ab)r＝ (a＞0，b＞0，r∈R)． （4）= 。 （四）指数函数的图像与性质 概念 一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是，是指数函数的底数． 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是 在上是 奇偶性 非奇非偶函数 （五）对数 对数概念 如果ab=N(a>0，且a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数，记作： 对数性质 ①底的对数等于 ，即logaa=1. ② 1的对数等于 ，即loga1=0. ③ 零和负数 . 对数恒等式 ；(N>0,a>0且a≠1) 运算法则 ①积的对数：loga(M·N)= ；(M>0，N>0) ②商的对数：= ；(M>0，N>0) ③幂的对数：loga M n = ；(M>0，n∈R) 常用对数和自然对数 ①以10为底的对数，记作 ； ②以 e 为底的对数，记作 . 换底公式 ；(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0) 推论：（1）logab·logba= ；（2）； （六）对数函数的图像与性质 概念 函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 值域 过定点 过定点 ，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时， ； 当x＞1时， 当0＜x＜1时， ； 当x＞1时， 单调性 是(0，＋∞)上的 是(0，＋∞)上的 考点突破 考点1 指数运算 【例1】计算： . 【答案】 【解析】 【突破训练】计算下列各式： (1)； (2)，其中，. 考点2 指数函数的图像与性质 【例2】四个指数函数，，的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 B．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 C．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 D．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 【答案】D 【解析】当时，， 所以图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和，故选:D. 【突破训练】在同一直角坐标系中，函数，的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 考点3 指数复合型函数定义域 【例3】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数有意义，则满足，即，解得， 所以函数的定义域为.故选：C. 【突破训练】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 考点4 对数运算 【例4】化简： . 【答案】4 【解析】 故答案为：4 【突破训练】对下列式子求值： 【例5】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以．故选：C． 【突破训练】已知，，则用，表示 考点6 对数函数的图像与性质 【例6】（多选）如图为函数的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由函数图象可得在上单调递减，所以， 又时，，即，故A，D正确.故选：AD. 【突破训练】（多选）已知且，函数在同一坐标系中的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 考点7 对数型函数的定义域 【例7】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则．故选：C． 【突破训练】函数的定义域为 ． 考点8 对数比较大小 【例8】比较大小. (1) 与 （2）与 （3）与 【答案】（1）< （2）> （3）< 【详解】（1）在上为单调增函数，因为2<3,所以. （2） 在上为单调减函数，因为0.2<0.6,所以. （3） 由（1）（2）的分析可知，即所以. 【突破训练】比较大小. (2) 与 （2）与 （3）与 模拟演练 1、 选择题 1．（    ） A．0 B．1 C．2 D． 2．已知实数， ，，则a，b，c的大小关系为（      ） A． B． C． D． 3．已知对数与互为相反数，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，，若，则的可能取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 6．下列指数函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，则（    ） A．15 B．30 C．60 D．45 8．已知函数，若，则＝（    ） A．12 B．14 C．16 D．20 9．某工厂为了节约水资源，不断进行技术创新，从而使得用水量逐月减少．如果该工厂今年一月份的用水量是，计划从二月份起，每个月的用水量比上个月都减少，则预计今年八月份的用水量约是（    ） A． B． C． D． 10．若，则等于（    ） A． B． C． D． 11．如果a＝lgx，则a＋3=（    ） A．lg（3x） B．lg（x＋3） C．lg D．lg（1000x） 12．计算的结果为（    ） A．2 B．5 C． D．0 13．若，则（    ） A．10 B． C． D．11 14．若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 15．计算：（    ） A．6 B．7 C．8 D． 二、填空题 16．函数的定义域为 ． 17．指数函数的图像如图所示，其解析式为 . 18．若函数则 . 19．若，则 ． 三、解答题 20．解不等式（且） 21．某商品自投放市场以来，经过2次降价，单价由原来的12000元，降到7680元，如果每次降价的百分率都相同. (1)求每次降价的百分率. (2)问此商品经过几次降价后，单价降到3940元？ 22．解下列不等式： (1)； (2)． 23．若满足，求的取值范围． 24．证明函数在内是奇函数. $$专题05 指数函数与对数函数 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解根式的概念 · 掌握指数和对数的运算 · 了解指数函数的图像与性质 · 理解对数函数的图像与性质 · 理解单调性比较大小 考点预测 · 指数与对数的运算 · 指数函数的图像与性质应用 · 对数函数的图像与性质应用 · 指（对）数复合型函数的综合应用 · 理解指对复合型函数的综合应用 要点自测 （一）根式的概念 根式的概念 如果 ，那么x叫做a的n次方根（n>1且n∈N*） 符号表示 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数； 零的n次方根是0。记作： 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数。负数没有偶次方根 记作：± 两个重要的公式 ①＝ ②()n＝a (注意a必须使有意义)。 （二）分数指数幂 (1)正数的正分数指数幂是＝ a＞0，m，n∈N*，n＞1)。 (2)正数的负分数指数幂是a -＝ (a＞0，m，n∈N*，n＞1)。 (3)0的正分数指数幂是0，0的负分数指数幂无意义。 （三）实数指数幂的运算性质 （1）ar·as＝ (a＞0，r、s∈R)； （2）(ar)s＝ (a＞0，r、s∈R)； （3）(ab)r＝ (a＞0，b＞0，r∈R)． （4）= 1 。 （四）指数函数的图像与性质 概念 一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是，是指数函数的底数． 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 （五）对数 对数概念 如果ab=N(a>0，且a≠1)，那么b叫做以a为底N的对数，记作：. 对数性质 ①底的对数等于1，即logaa=1. ② 1的对数等于0，即loga1=0. ③ 零和负数没有对数. 对数恒等式 N；(N>0,a>0且a≠1) 运算法则 ①积的对数：loga(M·N)=；(M>0，N>0) ②商的对数：=；(M>0，N>0) ③幂的对数：loga M n =；(M>0，n∈R) 常用对数和自然对数 ①以10为底的对数，记作lgN； ②以 e 为底的对数，记作lnN . 换底公式 ；(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0) 推论：（1）logab·logba=1；（2）； （六）对数函数的图像与性质 概念 函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 考点突破 考点1 指数运算 【例1】计算： . 【答案】 【解析】 【突破训练】计算下列各式： (1)； (2)，其中，. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由； （2）由 考点2 指数函数的图像与性质 【例2】四个指数函数，，的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 B．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 C．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 D．图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和 【答案】D 【解析】当时，， 所以图象①，②，③，④对应的函数依次为，，和，故选:D. 【突破训练】在同一直角坐标系中，函数，的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A和B，指数函数过定点，且递增，则， 所以幂函数递增，且增加的越来越快，故A不符合，B不符合； 对于C和D，指数函数过定点，且递减，则， 所以幂函数递增，且增加的越来越慢，故C符合，D不符合.故选：C. 考点3 指数复合型函数定义域 【例3】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由函数有意义，则满足，即，解得， 所以函数的定义域为.故选：C. 【突破训练】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，，解得且； 故该函数定义域为.故选：B. 考点4 对数运算 【例4】化简： . 【答案】4 【解析】 故答案为：4 【突破训练】对下列式子求值： 【答案】7 【解析】原式 考点5 对数换底公式 【例5】若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以．故选：C． 【突破训练】已知，，则用，表示 【答案】 【解析】由，，可得， 又由. 故答案为：. 考点6 对数函数的图像与性质 【例6】（多选）如图为函数的图象，其中m，n为常数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由函数图象可得在上单调递减，所以， 又时，，即，故A，D正确.故选：AD. 【突破训练】（多选）已知且，函数在同一坐标系中的图象不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】当时，单调递减，单调递增， 与轴交点的纵坐标大于，ABCD均不满足； 当时，单调递增，单调递减， 与轴交点的纵坐标介于和之间，可知只有B满足.故选：ACD. 考点7 对数型函数的定义域 【例7】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，则．故选：C． 【突破训练】函数的定义域为 ． 【答案】 【解析】要使原函数有意义，则，即． 因为为减函数，所以，解得：. 所以原函数的定义域为． 故答案为: 考点8 对数比较大小 【例8】比较大小. (1) 与 （2）与 （3）与 【答案】（1）< （2）> （3）< 【详解】（1）在上为单调增函数，因为2<3,所以. （2） 在上为单调减函数，因为0.2<0.6,所以. （3） 由（1）（2）的分析可知，即所以. 【突破训练】比较大小. (2) 与 （2）与 （3）与 【答案】（1）< （2）> （3）< 【解析】解（1）在上为单调增函数，因为2<3,所以. （4） 在上为单调减函数，因为0.2<0.6,所以. （5） 由（1）（2）的分析可知，即所以. 模拟演练 1、 选择题 1．（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题需要将对数，指数幂以及正切值正确计算即可. 【详解】． 故选:A. 2．已知实数， ，，则a，b，c的大小关系为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性，即可比较三个实数的大小. 【详解】已知，因为，所以，即； ； 已知，因为，所以，即， 故a，b，c的大小关系为， 故选：D 3．已知对数与互为相反数，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用对数运算法则化简求真数易得答案. 【详解】由题意得，，，. 故选:C． 4．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用具体函数定义域的求法即可得解. 【详解】对于，有，解得， 所以的定义域为. 故选：A. 5．已知集合，，若，则的可能取值组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解法以及对数不等式的解法求出集合中元素的范围，再根据求出实数可能的取值. 【详解】由得， 由得， 因为，所以，即， 所以的可能取值组成的集合为. 故选：D. 6．下列指数函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的图像和性质即可求解. 【详解】根据指数函数的图像和性质得，当底数大于1时，指数函数在R上单调递增，当底数大于0小于1时，指数函数在R上单调递减. 因为， 所以函数在上为增函数，选项A正确； 函数，，在上为减函数，选项错误. 故选：A. 7．已知，则（    ） A．15 B．30 C．60 D．45 【答案】D 【分析】由指数幂的运算性质求解即可. 【详解】因为， 所以． 故选：D. 8．已知函数，若，则＝（    ） A．12 B．14 C．16 D．20 【答案】B 【分析】根据题意代入函数解析式，结合指数幂的运算即可求解. 【详解】因为，所以. 则. 故选：B． 9．某工厂为了节约水资源，不断进行技术创新，从而使得用水量逐月减少．如果该工厂今年一月份的用水量是，计划从二月份起，每个月的用水量比上个月都减少，则预计今年八月份的用水量约是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数模型的应用求解即可. 【详解】八月份用水量约为． 故选：B. 10．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数的运算性质计算求解. 【详解】题目已知，， 故，. 故选：B. 11．如果a＝lgx，则a＋3=（    ） A．lg（3x） B．lg（x＋3） C．lg D．lg（1000x） 【答案】D 【分析】运用对数的运算法则即可求解 【详解】a＋3＝lgx＋lg1000＝lg（1000x）. 故选:D. 12．计算的结果为（    ） A．2 B．5 C． D．0 【答案】A 【分析】根据对数和指数幂的运算性质计算. 【详解】 . 故选：A. 13．若，则（    ） A．10 B． C． D．11 【答案】A 【分析】根据对数的运算性质即可得解. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 14．若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由指数函数的单调性判断a与b的大小即可. 【详解】因为是其定义域上的减函数， 且， 所以当时， 则有. 故选:D. 15．计算：（    ） A．6 B．7 C．8 D． 【答案】B 【分析】利用指数幂的运算法则求解. 【详解】. 故选：B. 二、填空题 16．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】求出令函数有意义的x的取值范围即可. 【详解】要使函数有意义， 则需使，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 17．指数函数的图像如图所示，其解析式为 . 【答案】 【分析】根据函数是指数函数，设代入坐标即可求解. 【详解】设指数函数.由图可得， 函数经过点，代入得，解得. 所以解析式为：. 故答案为：. 18．若函数则 . 【答案】1 【分析】将第一次求得的的函数值当做自变量代入分段函数即可解得. 【详解】由题，， 则， 故答案为：. 19．若，则 ． 【答案】3 【分析】根据分段函数，代入求值即可. 【详解】当，， 当，，即. 故答案为：3 三、解答题 20．解不等式（且） 【答案】答案见解析 【分析】对指数的底数分类讨论解一元二次不等式易得答案. 【详解】解：①当时， ②当时， 或 综上所述当：时， 当时，. 21．某商品自投放市场以来，经过2次降价，单价由原来的12000元，降到7680元，如果每次降价的百分率都相同. (1)求每次降价的百分率. (2)问此商品经过几次降价后，单价降到3940元？ 【答案】(1) (2)5次 【分析】（1）由题意列方程即可求解； （2）设经过次降价后得关于的指数方程，利用指数式与对数式互化即可求解. 【详解】（1）设每次降价的百分率为， 依题意得，，， ，∴. （2）设经过次降价后，单价降到3940元，则 ，∴， ∴，∴（次）， 答：每次降价的百分率为，经过5次降价后，单价降到3940元. 22．解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数函数单调性解不等式，求出解集； （2）先换元得到，求出，从而得到，求出解集. 【详解】（1）因为，所以， 解得， 所以原不等式的解集为. （2）变形为， 令，则，解得或（舍去）， 即，解得， 所以原不等式的解集为 . 23．若满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】先将不等式中各个式子转化为以3为底的指数幂的形式，然后利用指数函数的单调性，根据指数幂的大小关系得到指数的大小关系，即得到关于的不等式，解不等式即可． 【详解】因为，所以不等式可变形为． 又因为函数在上单调递增，所以， 所以的取值范围是． 24．证明函数在内是奇函数. 【答案】证明见解析 【分析】利用奇函数的定义证明即可 【详解】函数，由分母不为零得， ， ，，故函数定义域为关于原点对称； ，； ，故函数在内是奇函数 $$