专题06 直线与圆的方程-【中职专用】2025年职教高考数学二轮复习专项突破（江苏专用）

专题06 直线与圆的方程 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 掌握两点间距离公式及中点公式 · 掌握直线的点斜式和斜截式方程 · 理解直线的一般式方程，两条直线平行的条件 · 理解两条直线垂直条件，点到直线的距离公式 · 理解直线与圆的位置关系 考点预测 · 直线的一般式，斜截式，点斜式方程 · 两条直线平行，垂直的条件 · 圆的方程 · 直线与圆的位置关系 · 掌握圆的方程 要点自测 （一）两点距离公式和中点坐标公式 数轴上A,B两点距离 数轴上点A的坐标为，点B的坐标为，则A，B两点间的距离：。 两点间的距离公式 在平面直角坐标系中，两点，之间的距离公式为： 中点坐标公式 若点A，B的坐标分别为，，线段AB的中点M的坐标为：（ ，） （二）直线的方程 直线的倾斜角 倾斜角的定义： ①当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． ②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180° 直线的斜率 1 定义：把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2 过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝. 斜率与倾斜角的对应关系 倾斜角(范围) α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 不存在 k<0 直线的截距 横截距：直线与x轴交于点A(a，0)，则a为直线在x轴上的截距，也称为横截距 纵截距：直线与y轴交于点B(0，b)，则b为直线在y轴上的截距，也称为纵截距 当直线经过原点时，a＝b＝0；截距是一个数，可正可负，也可为零 直线的方程 点斜式方程 设直线经过点，且斜率为k，则直线方程表示为y-y0=k(x-x0)。 不能表示垂直于x轴的直线 斜截式方程 设直线的纵截距为b，且斜率为k，则直线方程表示为y=kx+b。 不能表示垂直于x轴的直线 一般式方程 Ax+By+C=0 (A和B不全为零)。 A，B不能同时为0 （三）两直线的位置关系 直线方程 斜截式 一般式 平行 =，≠ =≠ 重合 =，= == 相交 ≠ ≠ 垂直 -1 0 （四）距离公式 距离 公式 点到直线的距离公式 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d = 两条平行直线间距离公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d = （五）圆的方程 圆的标准方程 圆的一般方程 圆的标准方程：方程(x-a)2+(y-b)2=r2 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. 方程叫做圆的一般方程. 若圆心为坐标原点，半径为r，则圆的标准方程为x2+y2=r2。 ①，方程表示以(- ,- )为圆心，以为半径的圆； 3 ，方程表示一个点(- ,- ) 4 ，不表示任何图形 （六）位置关系 点与圆的位置关系 分类 点在圆上 点在圆内 点在圆外 图示 判断方法 几何法 |MA|=r |MA|<r |MA|>r 代数法（标准方程） (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 代数法（一般方程） 直线与圆的位置关系 分类 相交 相切 相离 图示 交点个数 两个 一个 零个 判断方法 几何法 d<r d=r d>r 代数法 两组不同的解（＞0） 仅有一组解（=0） 无解（＜0） （七）直线与圆相切关系 1.在平面直角坐标系中，给定一个点P和圆C，则有： （1）当点P在圆C上时，过点P可以作1条直线与圆C相切； （2）当点P在圆C外时，过点P可以作 2 条直线与圆C相切； （3）当点P在圆C内时，过点P可以作 0 条直线与圆C相切。 2.圆上一点切线方程的求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. （八）直线与圆相交关系 半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. （九）对称问题 点关于点对称 点P(x，y)关于点A(a，b)的对称点为P′(2a－x，2b－y)． 即：点P(x，y)关于A(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 考点突破 考点1 中点坐标公式 【例1】已知，则线段中点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以线段中点坐标为.故选：D 【突破训练】已知点，则线段AB的中点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得：线段AB的中点坐标为，即，故选：A. 考点2 两点间的距离公式 【例2】三角形的三个顶点为，D为中点，则的长为（   ） A．3 B．5 C．9 D．25 【答案】B 【详解】由题设，则.故选：B 【突破训练】已知点A（a,3）、B（7，-1）的距离为5，求a的值。 【答案】a=4或a=10 【解析】将A、B两点坐标直接带入两点间距离公式，可求得a。 【详解】由，即，解得a=4或a=10。 考点3 直线的倾斜角与斜率 【例3】已知，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直接由两点的斜率计算公式计算即可. 【详解】由题意，，所以直线的斜率为. 故选：A. 【突破训练】已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线l经过点，所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 即，所以. 故选：B. 考点4 直线方程 【例4】经过点，斜率为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】经过点，斜率为的直线方程为，即.故选：A. 【例5】若直线的斜率为，在轴上的截距为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】根据斜截式方程的定义求解即可 【详解】直线的斜率为，在轴上的截距为. 故选：D. 【突破训练】求满足下列条件的直线方程． (1)经过点，且斜率等于直线斜率的3倍； (2)过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为12． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先由已知直线方程求出斜率，再可求出所求直线的斜率，然后利用点斜式可求出直线方程， （2）设直线的方程为，则由题意可得，求出，从而可求得直线方程 【详解】（1）直线可化为，斜率为， 所以所求直线的斜率为 故所求直线方程为，即 （2）设直线的方程为，，解得， 故所求的直线方程为， 即或 考点5 两直线位置关系 【例6】已知直线，若，则a＝（    ） A．0 B． C．1 D．±1 【答案】B 【解析】由斜率相等、截距不相等得出的值. 【详解】因为，所以，所以， 又，两直线l1与l2不能重合， 则，即，故. 故选：B 【例7】过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过点且与直线垂直的直线方程为，即. 故选：A. 【突破训练】已知直线l1经过，直线l2经过点. (1)若l1∥l2，求的值； (2)若l1⊥l2，求的值. 【答案】(1)＝1或＝6 (2)＝3或＝－4 【分析】（1）由两直线的斜率相等列方程可求出的值， （2）由k1k2＝－1，可求出的值. 【详解】（1）由题知直线l2的斜率存在且， 若l1∥l2，则直线l1的斜率也存在，由k1＝k2， 得，解得m＝1或m＝6， 经检验，当m＝1或m＝6时，l1∥l2. （2）若l1⊥l2，当k2＝0时， 此时m＝0，l1斜率存在，不符合题意； 当k2≠0时，直线l2的斜率存在且不为0， 则直线l1的斜率也存在，且k1k2＝－1， 即， 解得m＝3或m＝－4， 所以当m＝3或m＝－4时，l1⊥l2. 考点6 点到直线的距离 【例8】点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线方程化为一般方程，然后直接代入点到直线的距离公式计算即可. 【详解】直线化为一般式方程为， 所以所求距离为. 故选：B 【突破训练】若点到直线l：的距离为，则（    ） A．5 B． C．5或 D．或15 【答案】C 【详解】由题意可得：点P到直线l的距离，解得或． 故选：C. 考点7 两平行直线之间的距离 【例9】两直线：与：间的距离为______． 【答案】1 【详解】因为直线：与：平行， 由两平行线间的距离公式可得：， 故答案为：. 【突破训练】 考点8 圆的方程 【例10】以为圆心，4为半径的圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，写出圆的标准方程即得. 【详解】由圆心坐标为，半径为4，得所求圆的标准方程为. 故选：B 【例11】圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2,3)　　　　　　　　　 B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 【答案】D 【详解】圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为，即(2，－3)．故选：D. 【突破训练】已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为 ． 【答案】 【分析】求出圆心和半径，即得答案. 【详解】由题意可得该圆的圆心为的中点，即， 半径为， 故该圆的方程为， 股答案为： 考点9 直线与圆位置关系 【例12】直线l：与圆C：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】A 【分析】利用圆心到直线的距离与半径比较大小可得答案. 【详解】圆C的圆心坐标为，半径为2，直线l的方程为， 圆心到直线l的距离为， 所以直线l与圆C的位置关系是相交. 故选：A. 【突破训练】直线与圆的位置关系是（） A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 【答案】D 【详解】圆的圆心为，半径为，到直线的距离， 所以直线与圆相离.故选：D 考点10 圆的切线方程 【例12】圆：在点处的切线方程为 ； 【答案】 【解析】由切线与圆心和切点连线的垂直关系得切线斜率，再由点斜式方程可得答案. 【详解】由题意知圆心， ，，又过点， 所以切线方程为，即， 故答案为：. 【突破训练】圆在点处的切线方程为（    ） A. B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出，从而由斜率乘积为-1得到切线斜率，利用点斜式写出切线方程，得到答案. 【详解】因为，所以在圆上， 的圆心为， 故， 设圆在点处的切线方程斜率为， 故，解得， 所以圆在点处的切线方程为， 变形得到，即. 故选：A 考点11 弦长问题 【例13】直线截圆的弦长= . 【答案】 【详解】线l的方程为，圆心到直线l的距离． ∴此时直线l被圆C截得的弦长为． 故答案为：. 【突破训练】直线被圆截得的线段长为 . 【答案】1 【详解】由配方得：，则其圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为，故弦长为.故答案为：1. 考点12 直线与圆的综合 【例14】已知圆过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程. 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）由已知，， 则其中点为，， 所以中垂线的斜率， 则中垂线为，所以点在上， 又点在直线， 联立，解得，即， 半径， 所以圆的方程为； （2）由（1）得，， 当过点的切线斜率不存在时，直线为，与圆相切； 当过点的斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到切线的距离， 解得， 所以直线方程为，即， 综上所述，切线方程为或. 【突破训练】已知点在圆上． (1)求该圆的圆心坐标及半径长； (2)过点，斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长． 【答案】(1)圆心坐标为，半径长为(2) 【详解】（1）因为点在圆上， 所以，解得， 所以该圆的标准方程为， 所以该圆的圆心坐标为，半径长为； （2）因为直线过点，斜率为， 所以直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 所以. 模拟演练 一、选择题 1．下列不可以表示与轴垂直的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据表示与轴垂直的直线方程的特征和点斜式方程的适用范围进行求解即可. 【详解】对于A，即表示与轴垂直的直线，故A不符合题意； 对于B，表示轴，与轴垂直，故B不符合题意； 对于C，即表示与轴垂直的直线，故C不符合题意； 对于D，对于斜率不存在的直线，其方程不能用点斜式表示，故D符合题意. 故选：D 2．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用倾斜角和斜率的关系求解即可. 【详解】易知的斜率为，显然倾斜角为. 故选：C 3．已知两条直线：，：．若，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线平行的条件得到关于的方程，即可求得的值，经过检验即可得出答案． 【详解】若，则， 则，解得或， 当时，直线：，：，两条直线重合，舍去， 当时，直线：，：，符合题意， 综上，． 故选：C． 4．已知直线方程：，则直线的斜率及其纵截距分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线的一般式方程化为斜截式，从而得解. 【详解】因为直线方程可化为， 所以. 故选：A. 5．是的（    ）条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．既不充分也不必要 D．充要 【答案】B 【分析】利用充分必要条件的判定方法即可得解. 【详解】当时，必有，则，即充分性成立； 当时，取，满足条件，但此时不成立，即必要性不成立； 所以是的充分不必要条件. 故选：B. 6．已知点那么点A关于点M的对称点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中点坐标公式求解即可. 【详解】设点关于点的对称点的坐标为. 因为点. 所以，解得. 所以点B的坐标为. 故选：C. 7．已知圆的方程为，则过点的圆的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代点可知该点即切点，求出切点与圆心所在直线的斜率，再根据两直线垂直求切线斜率即可. 【详解】由可知，点为圆上一点，即为直线与圆的切点， 因为圆心，所以圆心与切点所在直线的斜率为，且该直线与切线垂直， 则切线的斜率为：. 故选：D. 8．过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意，可得所求直线的斜率，再根据点斜式写出直线方程，化为一般式即可. 【详解】由直线可知，其斜率为， 因为所求直线与直线垂直， 故所求直线的斜率. 根据直线的点斜式方程，可得所求直线方程为， ，即. 故选：A 9．直线的倾斜角为，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线斜截式方程及斜率的定义求解即得. 【详解】直线的倾斜角为，因此该直线的斜率，又， 所以. 故选：D 10．已知点，，则线段的垂直平分线的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据中点坐标求出线段的中点，再由斜率公式求出的斜率，再由两条直线垂直求出垂直平分线的值，最后代入点斜式化为一般式即可. 【详解】已知点，，则线段的中点为， ，所以垂直平分线的斜率为，则， 所以垂直平分线方程为，即. 故选：B. 11．直线的倾角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】由，得， 所以直线的斜率为. 设直线的倾斜角为，则 , 所以. 所以直线的倾斜角是. 故选：C. 12．若过点和点的直线与直线平行，则m的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】利用直线平行的斜率相等求解. 【详解】由题可知，两直线斜率存在， 因为直线，所以两直线斜率相等， 直线的斜率， 直线的斜率， 于是. 故选：A. 13．若直线与互相垂直，则a等于（    ） A． B．1 C．或 D．1或 【答案】D 【分析】根据两直线垂直的系数关系易得答案. 【详解】因为与互相垂直， 所以， 解得或. 故选：D. 14．已知直线，下列说法正确的是（    ） A．图象不经过第三象限 B．在x轴上的截距是2 C．倾斜角为 D．与坐标轴围成的三角形面积是2 【答案】D 【分析】举反例排除A，直接求出x轴上的截距判断B，利用倾斜角与斜率的定义判断C，利用截距求得三角形面积，从而判断D. 【详解】直线，点满足方程，点在第三象限， 故图象经过第三象限，A错； 直线，令，则，在x轴上的截距为，故B错； 直线的斜率，而，故C错； 直线与坐标轴交点为，，则三角形面积，故D正确. 故选：D. 15．直线被圆：截得的弦长为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式与圆的弦长公式即可得解. 【详解】由圆的方程，则其圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 则弦长. 故选：B. 16．圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找出对称圆的圆心，再根据圆的标准方程即可解得. 【详解】由题，圆的圆心为，半径为， 直线可化为，斜率为，又知两对称圆圆心所在的直线与该直线垂直， 设对称圆的圆心为，则依题意得解得 所以所求的圆的方程为； 故选：C. 17．已知直线l与过点，的直线垂直，则直线l的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由M，N两点的坐标求出直线的斜率，再由直线l与直线垂直，求出直线l的斜率，进而由斜率与倾斜角的关系即可得解. 【详解】由直线过点，， 可知， 由直线l与直线垂直，所以， 故，即. 故选：B. 18．已知圆C的圆心坐标为，半径为4，则圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的标准方程即可求解． 【详解】由题意得，圆心坐标为，半径为4的圆的标准方程是：． 故选：． 19．点，到直线的距离都是4，满足条件的直线有（    ） A．一条 B．两条 C．三条 D．四条 【答案】C 【分析】先求得两点间距离,根据距离判断中垂线的情况;再由两条平行线可满足条件即可得解. 【详解】因为点, 所以由两点间距离公式可得 则点,到线段中垂线的距离都等于4 位于直线两侧且与直线平行的直线,有两条满足点,到直线的距离都是4 综上可知,共有3条直线满足点,到直线的距离都是4 故选:C 【点睛】本题考查了两点间距离公式,两平行线距离,属于基础题. 20．直线与圆的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法判定 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离公式结合直线与圆的位置关系即可求解. 【详解】由圆可得，圆心坐标为，半径. 则圆心到直线的距离. 则直线与圆的位置关系为相切． 故选：C. 二、填空题 21．已知A，B两点的坐标分别是，，直线相交于点M，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，点M的轨迹是 【答案】直线去掉点 【分析】由题意根据斜率的计算公式列出方程化简即可. 【详解】由题意不妨设，则，整理得， 所以点M的轨迹是直线去掉点. 故答案为：直线去掉点. 22．若某直线过点，则该直线的斜率为 ，倾斜角是 . 【答案】 / 【分析】根据两点坐标的斜率公式与倾斜角的斜率公式求解即可. 【详解】因为直线过点. 所以直线斜率为. 设直线倾斜角为，. 因为. 所以直线倾斜角为. 故答案为：；. 23．已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则 . 【答案】或或， 【分析】由题意，可得其中有2条直线平行（或重合），或者三线经过同一个点．再根据两条直线平行（或重合）的性质，三直线共点问题，求出的值即可． 【详解】直线：，：，：，不能围成三角形， 则其中有2条直线平行（或重合），或者三线经过同一个点， 若（或重合）或者（或重合）时，则或，解得或． 若三线经过同一个点，则直线：，：，的交点在上， 所以，解得． 故或或， 故答案为：或或， 24．已知动圆P与定圆C：（x+2）2+y2＝1相外切，又与直线x＝1相切，那么动圆圆心P的轨迹方程是 ． 【答案】y2＝﹣8x 【分析】设，由两圆位置关系、直线与圆位置关系列式化简即可得． 【详解】设圆心P到直线x＝1的距离等于r，P（x，y ），由题意可得 PC＝1+r，即 ＝1+1﹣x，化简可得 y2＝﹣8x. 故答案为：y2＝﹣8x． 25．在平面直角坐标系中，点到直线的距离为 ． 【答案】/ 【分析】由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】直线即，由点到直线的距离公式可得， 点到直线的距离. 故答案为：. 三、解答题 26．求倾斜角为直线的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线一般方程： (1)经过点； (2)在y轴上的截距为. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求直线的倾斜角，再根据斜率的定义求斜率，最后写出点斜式方程易得答案； （2）由（1）可知直线的斜率，根据经过的点坐标，写出斜截式方程易得答案. 【详解】（1）因为直线，令其倾斜角为，， 所以斜率, 所求直线的倾斜角为，因此所求直线的斜率为， 所以经过点的直线方程为：，其一般式方程为：. （2）由（1）可知所求直线斜率为，则在y轴上的截距为的直线方程为：， 其一般式方程为：. 27．设直线的方程为. (1)已知直线在x轴上的截距为，求的值； (2)已知直线的斜率为1，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一般式方程求出截距，结合条件可得答案； （2）先把一般式化为斜截式，根据斜率的值可求答案. 【详解】（1）令得，，由题意得，解得. （2）因为直线的斜率存在，所以直线的方程可化为 由题意得，解得． 28．已知圆． (1)写出圆C的圆心坐标和半径； (2)设直线为圆C的切线，求b的值． 【答案】(1)，2 (2) 【分析】（1）根据圆的标准方程可得圆心坐标和半径. （2）由圆心到切线的距离等于半径，可求出b的值. 【详解】（1）根据圆的标准方程为， 可得圆心坐标为，圆C的半径为2. （2）将切线，化为， 则圆心到切线的距离为2． 由点到直线距离公式，得 ， 解得， 即. 29．求经过直线与直线的交点，圆心为的圆的方程. 【答案】 【分析】求出两直线的交点，则圆的半径，然后由圆的标准方程得出答案. 【详解】设直线与直线的交点为， 由，解得，即， ∴圆的半径， ∵圆心为， ∴圆的方程为. 30．已知三角形三个顶点是，求AC边上的中线长度. 【答案】 【分析】根据线段中点坐标公式和两点间的距离公式即可求解. 【详解】三角形三个顶点是， 设AC边上的中点为，则， 所以AC边上的中点为， 则AC边上的中线长度为. $$专题06 直线与圆的方程 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 掌握两点间距离公式及中点公式 · 掌握直线的点斜式和斜截式方程 · 理解直线的一般式方程，两条直线平行的条件 · 理解两条直线垂直条件，点到直线的距离公式 · 理解直线与圆的位置关系 考点预测 · 直线的一般式，斜截式，点斜式方程 · 两条直线平行，垂直的条件 · 圆的方程 · 直线与圆的位置关系 · 掌握圆的方程 要点自测 （一）两点距离公式和中点坐标公式 数轴上A,B两点距离 数轴上点A的坐标为，点B的坐标为，则A，B两点间的距离： 。 两点间的距离公式 在平面直角坐标系中，两点，之间的距离公式为： 中点坐标公式 若点A，B的坐标分别为，，线段AB的中点M的坐标为：（ ， ） （二）直线的方程 直线的倾斜角 倾斜角的定义： 1 当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴 与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角． 2 当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 . 直线的倾斜角α的取值范围为 直线的斜率 1 定义：把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝ 2 过两点的直线的斜率公式 过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝ . 斜率与倾斜角的对应关系 倾斜角(范围) α＝ 0°<α<90° α＝90° 90°<α<180° 斜率(范围) k＝0 k>0 k<0 直线的截距 横截距：直线与x轴交于点A(a，0)，则 为直线在x轴上的截距，也称为横截距 纵截距：直线与y轴交于点B(0，b)，则 为直线在y轴上的截距，也称为纵截距 当直线经过原点时，a＝b＝ ；截距是一个数，可正可负，也可为零 直线的方程 点斜式方程 设直线经过点，且斜率为k，则直线方程表示为 。 不能表示垂直于x轴的直线 斜截式方程 设直线的纵截距为b，且斜率为k，则直线方程表示为 。 不能表示垂直于x轴的直线 一般式方程 (A和B不全为零)。 A，B不能同时为0 （三）两直线的位置关系 直线方程 斜截式 一般式 平行 ， 重合 ， 相交 垂直 （四）距离公式 距离 公式 点到直线的距离公式 已知一个定点，一条直线为l:Ax+By+C=0，则定点P到直线l的距离为d = 两条平行直线间距离公式 设有两条平行直线，，则它们之间的距离为d = （五）圆的方程 圆的标准方程 圆的一般方程 圆的标准方程：方程 (r>0)叫作以点(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程. 方程叫做圆的一般方程. 若圆心为坐标原点，半径为r，则圆的标准方程为 。 1 ，方程表示以 为圆心，以 为半径的圆； 3 ，方程表示一个点 4 ， （六）位置关系 点与圆的位置关系 分类 点在圆上 点在圆内 点在圆外 图示 判断方法 几何法 |MA|=r |MA|<r |MA|>r 代数法（标准方程） (x0-a)2 +(y0-b) 2=r2 (x0-a)2 +(y0-b) 2<r2 (x0-a)2 +(y0-b) 2>r2 代数法（一般方程） 直线与圆的位置关系 分类 相交 相切 相离 图示 交点个数 判断方法 几何法 d r d r d r 代数法 两组不同的解（ 0） 仅有一组解（ 0） 无解（ 0） （七）直线与圆相切关系 1.在平面直角坐标系中，给定一个点P和圆C，则有： （1）当点P在圆C上时，过点P可以作 条直线与圆C相切； （2）当点P在圆C外时，过点P可以作 条直线与圆C相切； （3）当点P在圆C内时，过点P可以作 条直线与圆C相切。 2.圆上一点切线方程的求法：先求切点与圆心连线的斜率k()，则由垂直关系可知切线斜率为，由点斜式方程可求 得切线方程.如果k=0或k不存在，则由图形可直接得切线方程. （八）直线与圆相交关系 半径r、圆心到直线的距离d、弦长l三者具有关系式：. （九）对称问题 点关于点对称 点P(x，y)关于点A(a，b)的对称点为 ． 即：点P(x，y)关于A(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足 考点突破 考点1 中点坐标公式 【例1】已知，则线段中点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以线段中点坐标为.故选：D 【突破训练】已知点，则线段AB的中点坐标为（     ） A． B． C． D． 考点2 两点间的距离公式 【例2】三角形的三个顶点为，D为中点，则的长为（   ） A．3 B．5 C．9 D．25 【答案】B 【详解】由题设，则.故选：B 【突破训练】已知点A（a,3）、B（7，-1）的距离为5，求a的值。 考点3 直线的倾斜角与斜率 【例3】已知，，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直接由两点的斜率计算公式计算即可. 【详解】由题意，，所以直线的斜率为. 故选：A. 【突破训练】已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 考点4 直线方程 【例4】经过点，斜率为的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】经过点，斜率为的直线方程为，即.故选：A. 【例5】若直线的斜率为，在轴上的截距为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解析】根据斜截式方程的定义求解即可 【详解】直线的斜率为，在轴上的截距为. 故选：D. 【突破训练】求满足下列条件的直线方程． (1)经过点，且斜率等于直线斜率的3倍； (2)过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为12． 考点5 两直线位置关系 【例6】已知直线，若，则a＝（    ） A．0 B． C．1 D．±1 【答案】B 【解析】由斜率相等、截距不相等得出的值. 【详解】因为，所以，所以， 又，两直线l1与l2不能重合， 则，即，故. 故选：B 【例7】过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过点且与直线垂直的直线方程为，即. 故选：A. 【突破训练】已知直线l1经过，直线l2经过点. (1)若l1∥l2，求的值； (2)若l1⊥l2，求的值. 考点6 点到直线的距离 【例8】点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线方程化为一般方程，然后直接代入点到直线的距离公式计算即可. 【详解】直线化为一般式方程为， 所以所求距离为. 故选：B 【突破训练】若点到直线l：的距离为，则（    ） A．5 B． C．5或 D．或15 考点7 两平行直线之间的距离 【例9】两直线：与：间的距离为______． 【答案】1 【详解】因为直线：与：平行， 由两平行线间的距离公式可得：， 故答案为：. 【突破训练】 考点8 圆的方程 【例10】以为圆心，4为半径的圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，写出圆的标准方程即得. 【详解】由圆心坐标为，半径为4，得所求圆的标准方程为. 故选：B 【例11】圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　) A．(2,3)　　　　　　　　　 B．(－2,3) C．(－2，－3) D．(2，－3) 【答案】D 【详解】圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为，即(2，－3)．故选：D. 【突破训练】已知圆的一条直径的端点分别是，，则该圆的方程为 ． 考点9 直线与圆位置关系 【例12】直线l：与圆C：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】A 【分析】利用圆心到直线的距离与半径比较大小可得答案. 【详解】圆C的圆心坐标为，半径为2，直线l的方程为， 圆心到直线l的距离为， 所以直线l与圆C的位置关系是相交. 故选：A. 【突破训练】直线与圆的位置关系是（） A．相交且直线过圆心 B．相交但直线不过圆心 C．相切 D．相离 考点10 圆的切线方程 【例12】圆：在点处的切线方程为 ； 【答案】 【解析】由切线与圆心和切点连线的垂直关系得切线斜率，再由点斜式方程可得答案. 【详解】由题意知圆心， ，，又过点， 所以切线方程为，即， 故答案为：. 【突破训练】圆在点处的切线方程为（    ） A. B． C． D． 考点11 弦长问题 【例13】直线截圆的弦长= . 【答案】 【详解】线l的方程为，圆心到直线l的距离． ∴此时直线l被圆C截得的弦长为． 故答案为：. 【突破训练】直线被圆截得的线段长为 . 考点12 直线与圆的综合 【例14】已知圆过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点作圆的切线，求切线方程. 【答案】(1)(2)或 【详解】（1）由已知，， 则其中点为，， 所以中垂线的斜率， 则中垂线为，所以点在上， 又点在直线， 联立，解得，即， 半径， 所以圆的方程为； （2）由（1）得，， 当过点的切线斜率不存在时，直线为，与圆相切； 当过点的斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到切线的距离， 解得， 所以直线方程为，即， 综上所述，切线方程为或. 【突破训练】已知点在圆上． (1)求该圆的圆心坐标及半径长； (2)过点，斜率为的直线与圆相交于两点，求弦的长． 模拟演练 一、选择题 1．下列不可以表示与轴垂直的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 2．直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 3．已知两条直线：，：．若，则的值为（    ） A．或 B． C． D． 4．已知直线方程：，则直线的斜率及其纵截距分别为（   ） A． B． C． D． 5．是的（    ）条件 A．必要不充分 B．充分不必要 C．既不充分也不必要 D．充要 6．已知点那么点A关于点M的对称点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆的方程为，则过点的圆的切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 8．过点且垂直于直线的直线方程为（    ） A． B． C． D． 9．直线的倾斜角为，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 10．已知点，，则线段的垂直平分线的方程是（     ） A． B． C． D． 11．直线的倾角为（    ） A． B． C． D． 12．若过点和点的直线与直线平行，则m的值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 13．若直线与互相垂直，则a等于（    ） A． B．1 C．或 D．1或 14．已知直线，下列说法正确的是（    ） A．图象不经过第三象限 B．在x轴上的截距是2 C．倾斜角为 D．与坐标轴围成的三角形面积是2 15．直线被圆：截得的弦长为（    ） A．1 B． C．2 D． 16．圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 17．已知直线l与过点，的直线垂直，则直线l的倾斜角是（   ） A． B． C． D． 18．已知圆C的圆心坐标为，半径为4，则圆C的标准方程为（    ） A． B． C． D． 19．点，到直线的距离都是4，满足条件的直线有（    ） A．一条 B．两条 C．三条 D．四条 20．直线与圆的位置关系是（　　） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法判定 二、填空题 21．已知A，B两点的坐标分别是，，直线相交于点M，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，点M的轨迹是 22．若某直线过点，则该直线的斜率为 ，倾斜角是 . 23．已知直线：，：，：，若直线，，不能围成三角形，则 . 24．已知动圆P与定圆C：（x+2）2+y2＝1相外切，又与直线x＝1相切，那么动圆圆心P的轨迹方程是 ． 25．在平面直角坐标系中，点到直线的距离为 ． 三、解答题 26．求倾斜角为直线的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线一般方程： (1)经过点； (2)在y轴上的截距为. 27．设直线的方程为. (1)已知直线在x轴上的截距为，求的值； (2)已知直线的斜率为1，求的值． 28．已知圆． (1)写出圆C的圆心坐标和半径； (2)设直线为圆C的切线，求b的值． 29．求经过直线与直线的交点，圆心为的圆的方程. 30．已知三角形三个顶点是，求AC边上的中线长度. $$