4.5.1 函数的零点与方程的根（8大题型）-2024-2025学年高一数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019必修第一册）

4.5.1 函数的零点与方程的根 知识点 1 函数的零点 1、函数零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点．即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值． 【要点辨析】 （1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； （2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； （3）函数的零点就是方程的实数根． 2、函数的零点与方程的解的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标．所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 知识点 2 函数零点存在定理 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 【要点辨析】 （1）定义不能确定零点的个数； （2）不满足定理条件时依然可能有零点； （3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件； （4）定理反之是不成立的． 2、函数零点存在定理的几何意义 在闭区间上有连续不断的曲线，且曲线的起始点与终点分别在轴的两侧，则连续曲线与轴至少有一个交点． 3、函数零点存在定理的重要推论 （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 1、零点个数的判断方法 （1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点． （2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． （3）图象法： ①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数． ②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数． （4）性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数． 2、判断函数零点所在区间的步骤 第一步：将区间端点代入函数求函数的值； 第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断； 第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点； 若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。 3、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 （1）直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； （2）数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； （3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解． 题型一 求函数的零点或方程的根 【例1】（24-25高二上·湖南邵阳·开学考试）函数的零点是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-1】（24-25高一上·山西大同·月考）（多选）函数的零点为（    ） A． B．1 C． D．3 【变式1-2】（24-25高一上·甘肃酒泉·期中）若函数的一个零点为，则另一个零点是 . 【变式1-3】（23-24高一下·安徽阜阳·期中）函数的零点是 ． 题型二 判断函数零点所在区间 【例2】（24-25高一上·辽宁抚顺·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高一上·河南·期末）若为函数的零点，则所在区间为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·北京·期中）在下列区间中，一定包含函数零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高一下·广东潮州·开学考试）已知实数，则函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 题型三 由函数零点所在区间求参数 【例3】（24-25高一上·浙江温州·期中）已知函数，若在上有解，则m的取值范围是 ． 【变式3-1】（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知函数的零点在区间内，则整数（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高一上·江苏无锡·期末）函数的零点在区间，则 . 【变式3-3】（23-24高一上·安徽亳州·期末）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． 题型四 判断函数的零点个数 【例4】（24-25高一上·吉林长春·期中）已知函数，则方程的解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-1】（23-24高一下·广东韶关·月考）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4-2】（23-24高一上·安徽·期末）已函数则函数的零点个数为 . 【变式4-3】（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，则函数的零点个数为 . 题型五 根据函数零点个数求参数 【例5】（24-25高一上·山东淄博·期中）若函数有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一上·广东潮州·期中）设函数，则满足条件“方程有三个实数解”的实数可能的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-2】（24-25高一上·山东·期中）已知函数，若关于的方程至少有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 . 【变式5-3】（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是 ． 题型六 函数零点的求和问题 【例6】（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-1】（23-24高一上·湖南衡阳·期末）定义在R上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实根，则方程在区间上的所有实根之和为（    ） A．30 B．14 C．12 D．6 【变式6-2】（23-24高一上·福建南平·期中）已知的定义域为，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式6-3】（23-24高一上·宁夏石嘴山·期中）（多选）已知函数，若存在，使得，则的取值可以是（    ） A． B．3 C． D． 题型七 函数零点的取值范围问题 【例7】（23-24高一下·广东茂名·期中）三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（23-24高一下·河南·开学考试）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（23-24高二下·河南焦作·期末）设方程的两根为，，则（    ） A．， B． C． D． 【变式7-3】（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知函数（其中），若关于的方程有四个不等的实数根，从小到大依次为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型八 二次函数零点的分布问题 【例8】（24-25高一上·北京延庆·月考）已知关于的方程两个实数根一个小于0，另一个大于0，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（24-25高一上·辽宁盘锦·期中）已知函数有一个零点在区间内，求实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【变式8-2】（24-25高一上·全国·期中）如果函数的两零点分别落在区间和上，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高一上·辽宁·期中）已知函数至少有一个零点在区间内，求实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.5.1 函数的零点与方程的根 知识点 1 函数的零点 1、函数零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点．即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值． 【要点辨析】 （1）函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； （2）函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； （3）函数的零点就是方程的实数根． 2、函数的零点与方程的解的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标．所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 知识点 2 函数零点存在定理 1、函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 【要点辨析】 （1）定义不能确定零点的个数； （2）不满足定理条件时依然可能有零点； （3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件； （4）定理反之是不成立的． 2、函数零点存在定理的几何意义 在闭区间上有连续不断的曲线，且曲线的起始点与终点分别在轴的两侧，则连续曲线与轴至少有一个交点． 3、函数零点存在定理的重要推论 （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 1、零点个数的判断方法 （1）直接法：直接求零点，令，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点． （2）定理法：利用零点存在定理，函数的图象在区间上是连续不断的曲线，且，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点． （3）图象法： ①单个函数图象：利用图象交点的个数，画出函数的图象，函数的图象与轴交点的个数就是函数的零点个数． ②两个函数图象：将函数拆成两个函数和的差，根据，则函数的零点个数就是函数和的图象的交点个数． （4）性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数． 2、判断函数零点所在区间的步骤 第一步：将区间端点代入函数求函数的值； 第二步：将所得函数值相乘，并进行符号判断； 第三步：若符号为正切在该区间内是单调函数，则函数在该区间内无零点； 若符号为负且函数图象连续，则函数在该区间内至少一个零点。 3、已知函数零点个数，求参数取值范围的方法 （1）直接法：利用零点存在的判定定理构建不等式求解； （2）数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； （3）分离参数法：分离参数后转化为求函数的值域（最值）问题求解． 题型一 求函数的零点或方程的根 【例1】（24-25高二上·湖南邵阳·开学考试）函数的零点是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】令，解得， 故零点为，故选：A 【变式1-1】（24-25高一上·山西大同·月考）（多选）函数的零点为（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】BD 【解析】由，得或. 所以函数的零点为1和3.故选：BD 【变式1-2】（24-25高一上·甘肃酒泉·期中）若函数的一个零点为，则另一个零点是 . 【答案】 【解析】因为函数的一个零点为， 所以，解得，所以，令，即，解得或， 所以的零点为和，故另一个零点是. 故答案为： 【变式1-3】（23-24高一下·安徽阜阳·期中）函数的零点是 ． 【答案】 【解析】由已知可得，当时，； 当时，由，得， 故的零点是． 题型二 判断函数零点所在区间 【例2】（24-25高一上·辽宁抚顺·期中）已知函数，在下列区间中，一定包含零点的区间的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于函数， 当时, ，则 ， ， ， ，， 所以根据零点存在定理可知，，，内不一定包含的零点， 内一定包含的零点．故选：C. 【变式2-1】（23-24高一上·河南·期末）若为函数的零点，则所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于在上均单调递增， 故在上单调递增， 又， 故在上有唯一零点，即.故选：B. 【变式2-2】（24-25高一上·北京·期中）在下列区间中，一定包含函数零点的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】显然单调递增，且图象连续，， 由零点存在定理可知，一定包含函数零点的区间是.故选：B 【变式2-3】（23-24高一下·广东潮州·开学考试）已知实数，则函数的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】实数，在定义域上递增， 则， ， ， ， ， 则， 则函数在内必有零点.故选：B 题型三 由函数零点所在区间求参数 【例3】（24-25高一上·浙江温州·期中）已知函数，若在上有解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题意，解得， 故答案为：． 【变式3-1】（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知函数的零点在区间内，则整数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知函数为增函数，且， 观察可知，，则的零点在区间内， 故.故选：B 【变式3-2】（23-24高一上·江苏无锡·期末）函数的零点在区间，则 . 【答案】2 【解析】由题意知，函数在上单调递减， 所以函数在上连续且单调递减， 又， 所以，则函数的零点分布在区间上， 又因为函数的零点在区间上，所以. 故答案为：2 【变式3-3】（23-24高一上·安徽亳州·期末）若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为在上均为增函数， 所以函数在区间上为增函数，且函数图象连续不间断， 故若在区间上存在零点， 则解得． 故常数a的取值范围为． 题型四 判断函数的零点个数 【例4】（24-25高一上·吉林长春·期中）已知函数，则方程的解的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】当时，，即，令函数， 函数与都是减函数，因此函数在上单调递减， 而，则函数在上有唯一零点； 当时，，即，令函数， 函数在上都单调递增，则函数在上单调递增， 而，则函数在上有唯一零点， 所以方程的解的个数是2.故选：C 【变式4-1】（23-24高一下·广东韶关·月考）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】函数的定义域为， 当时，，显然函数在上都单调递减， 因此函数在上单调递减，而， 则函数在上有唯一零点； 当时，，显然， 因此函数在区间上至少各有一个零点， 当时，由，得， 则在上的零点即为函数的图象与直线的交点横坐标， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图，    观察图象知，函数的图象与直线有两个交点，即有两个解， 所以函数的零点个数为3.故选：D 【变式4-2】（23-24高一上·安徽·期末）已函数则函数的零点个数为 . 【答案】6 【解析】函数的零点个数等价于函数与的图象交点个数， 当 时，， 所以， 所以当时，是周期为4的函数； 当时，； 所以的图象如图所示， 在同一坐标系下画出的图象， 因为，所以两函数有6个交点，即函数有6个零点． 【变式4-3】（23-24高一上·江苏无锡·期末）已知函数，则函数的零点个数为 . 【答案】 【解析】画出函数的图象，如图所示， 令，即，令，可得， 若，令，解得或； 若，令，解得， 当时，即，此时函数和的图象有4个交点，即4个零点； 当时，即，此时函数和的图象有1个交点，即1个零点； 当时，即， 此时函数和的图象有1个交点，即1个零点； 当时，即， 此时函数和的图象有1个交点，即1个零点. 综上可得，函数的零点个数为7个. 题型五 根据函数零点个数求参数 【例5】（24-25高一上·山东淄博·期中）若函数有零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数有零点，即函数与的图象有交点， 作出与的大致图象如图所示， 由图可知，故实数的取值范围是.故选：A. 【变式5-1】（24-25高一上·广东潮州·期中）设函数，则满足条件“方程有三个实数解”的实数可能的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】因为， 当时，则在上单调递减，在上单调递增，且， 当时，因为与在上单调递增，则在上单调递增， 则的图象如下所示： 方程有三个实数解，即与有三个交点，结合图象可知， 故符合题意的只有D.故选：D 【变式5-2】（24-25高一上·山东·期中）已知函数，若关于的方程至少有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】根据函数解析式，可得函数大致图象如下： 而恒过定点， 当与在处相切时，有仅有一个解， 所以，此时， 当过时，，此时， 结合图象，知时，交点至少两个. 故答案为： 【变式5-3】（24-25高一上·福建福州·期中）已知函数，若关于的方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是 ． 【答案】且. 【解析】，解得或， 画出及，的图象，如下： 其中，随着的增大，无限接近于直线， 故要想有4个不同的实根， 则需且，解得且. 故答案为：且. 题型六 函数零点的求和问题 【例6】（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知函数的定义域为R，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】由题知 是奇函数,则有： ,  关于对称， 且 , 时， , 恒过，且 关于对称， 方程的所有的根之和也即是两函数交点的横坐标和， 根据 对称性及解析式画出图象如下： 由图像可知有5个交点，其中一个交点横坐标为1, 另外四个，两两分别关于对称， 故五个交点横坐标和为, 即所有根之和5.故选：C. 【变式6-1】（23-24高一上·湖南衡阳·期末）定义在R上的奇函数满足，且在上单调递减，若方程在上有实根，则方程在区间上的所有实根之和为（    ） A．30 B．14 C．12 D．6 【答案】A 【解析】因为函数是奇函数，所以，且又因为， 所以即且函数关于对称， 令得，所以，即函数的最小正周期， 再由函数在上单调递减， 方程在有实根可知方程在有且仅有一个实根， 函数的大致图像如图所示：    由图可知函数与在区间有个交点，且两两对称 所以.故选：A 【变式6-2】（23-24高一上·福建南平·期中）已知的定义域为，且是奇函数，当时，，函数，则方程的所有的根之和为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】因为的定义域为，且是奇函数， 所以，则的图象关于对称，且， 当时，， 又因为函数， 所以的图象关于对称， 所以方程的所有的根之和即为两个函数图象交点的横坐标和， 和的图象，如图所示：    由图象知：和的图象有5个交点，其中一个交点的横坐标为1， 另外四个，两两分别关于对称， 所以5个交点的横坐标之和为，故选：C 【变式6-3】（23-24高一上·宁夏石嘴山·期中）（多选）已知函数，若存在，使得，则的取值可以是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】CD 【解析】设，作出函数与的图象，如图： 观察图形知，当时，直线与函数的图象有三个交点， 点、关于直线对称，则，且函数在上为增函数， 由，，得，因此， 所以的取值可以是，.故选：CD 题型七 函数零点的取值范围问题 【例7】（23-24高一下·广东茂名·期中）三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数，，，都是增函数， 所以函数，，均为增函数， 因为，所以函数的零点在上，即， 因为，所以函数的零点在上，即， 因为，所以函数的零点在上，即， 综上，．故选：B． 【变式7-1】（23-24高一下·河南·开学考试）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，得， 则为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 为函数与交点的横坐标， 在同一直角坐标系中，分别作出和的图象，如图所示，    由图可知，.故选：B 【变式7-2】（23-24高二下·河南焦作·期末）设方程的两根为，，则（    ） A．， B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得， 在同一直角坐标系中同时画出函数和的图象，如图所示： 因为，， 由图象可知，， 所以故A，D错误； ， 因为，所以，所以， 所以，即，故B错误，C正确.故选：C 【变式7-3】（23-24高一上·安徽合肥·期末）已知函数（其中），若关于的方程有四个不等的实数根，从小到大依次为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设，则，故可转化为， 即的图像与直线有4个不同的交点， 对应横坐标从小到大依次为， 如图所示，可知， 且， ， 则， 令，易知在上单调递减，即此时， 所以：.故选:D 题型八 二次函数零点的分布问题 【例8】（24-25高一上·北京延庆·月考）已知关于的方程两个实数根一个小于0，另一个大于0，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题可得，解得.故选：B. 【变式8-1】（24-25高一上·辽宁盘锦·期中）已知函数有一个零点在区间内，求实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解析】当函数只有一个零点，则，解得； 当函数有两个零点，且一个零点在上时， 则或或 解得或或, 综上所述，实数的取值范围是或.故选：C 【变式8-2】（24-25高一上·全国·期中）如果函数的两零点分别落在区间和上，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】为开口向上的抛物线， 由题意可得：，即解得：.故选：C 【变式8-3】（24-25高一上·辽宁·期中）已知函数至少有一个零点在区间内，求实数m的取值范围是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【解析】对于函数， ， 当，即时，没有零点，不符合题意. 当，即或时， 当时，，零点为， ，符合题意. 当时，，零点为， ，不符合题意. 当，即或时，有两个不相等的零点， 至少有一个零点在区间内， 则需或， 解得，， 另外若， 则，零点为或，不符合题意. 若， 则，零点为或， ，符合题意. 综上所述，的取值范围是：.故选：C 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$