4.4 数学归纳法（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

4.4 数学归纳法 题型一 对数学归纳法的理解 1．（24-25高二上·甘肃庆阳·月考）若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为 ． 【答案】 【解析】当时，. 故答案为： 2．（24-25高二上·福建莆田·月考）用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边所得的代数式是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，所以左边为.故选：C. 3．已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，k为偶数）时命题为真，则还需要再证（    ） A．时等式成立 B．时等式成立 C．时等式成立 D．时等式成立 【答案】B 【解析】由数学归纳法的证明步骤可知，假设（，k为偶数）时命题为真， 还需要再证明下一个偶数，即时等式成立.故选：B 4．（22-23高二下·河南·月考）某个与自然数有关的命题，如果当时该命题成立，可推得时该命题也成立，那么，若已知时该命题不成立，则可推得（    ） A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立 C．当时，该命题不成立 D．当时，该命题成立 【答案】C 【解析】可得题干等价于其逆否命题：当时该命题不成立， 则可推得时该命题也不成立． 所以，当时该命题不成立，则当时，该命题也不成立.故选：C. 题型二 数学归纳法中的增项问题 1．（24-25高二上·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，左边的代数式为， 当时，左边的代数式为， 故用时左边的代数式减去时左边的代数式的结果为： 故选：D． 2．（23-24高二下·辽宁·月考）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 【答案】D 【解析】由题意，不等式的左边中分子都为1，分母是从1开始到，故共有项， 又由变到时，左边由项增加到项， 从而左边增加了项.故选：D. 3．（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）用数学归纳法证明：时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】从到，等式的左边需要增乘的代数式是 .故选：D. 4．（24-25高二上·上海·月考）用数学归纳法证明：（为正整数）从到时，等式左边需增加的代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】等式左边需增加的代数式是： .故选：A 题型三 数学归纳法证明等式或不等式 1．用数学归纳法证明：． 【答案】证明见解析 【解析】当时，左式，右式，显然等式成立， 假设当时，等式成立，即， 则当时，， 故当时，等式也成立， 所以成立. 2．用数学归纳法证明以下恒等式： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】（1）①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立； ②假设当时，等式成立， 即， 则当时，左边 右边， 即当时，等式也成立； 综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立. （2）①当时，左边，右边，左边与右边相等，即时等式成立； ②假设当时，等式成立， 即， 则当时，左边 右边， 即当时，等式也成立； 综上所述，由①②可知，对于任意正整数，成立. 3．证明∶不等式成立. 【答案】证明见解析 【解析】①当时，左边右边，∴不等式成立. ②假设当时不等式成立，即. ③当时， 左边 ， ∴当时，不等式也成立. 综上可得，原不等式恒成立. 4．（24-25高二上·福建莆田·月考）用数学归纳法证明： 【答案】证明见解析 【解析】①当时，左边，左边右边，不等式成立； ②假设时不等式成立，即， 则当时，左边 ， 即当时，不等式也成立. 由①②可知，原不等式成立. 题型四 数学归纳法证明整除问题 1．（22-23高二下·安徽淮北·月考）用数学归纳法证明“已知n为正奇数，求证：能被整除”时，第二步假设当时命题为真后，需证 时命题也为真． 【答案】 【解析】为正奇数，第二步假设第项成立， 第三步证明相邻正奇数第项成立. 故答案为：. 2．求证：对任何正整数n，数都能被8整除 【答案】证明见解析 【解析】证明: 1°当n=1时，，命题成立． 2°假设n=k时，能被8整除， 则当n=k+1时，, 因为是8的倍数，而也是8的倍数，所以Ak+1也是8的倍数， 即n=k+1时，命题也成立 由以上1°、2°可知，对一切正整数n，能被8整除． 3．证明：当时，能被64整除． 【答案】证明见解析. 【解析】（1）当时，能被64整除． （2）假设当时，能被64整除， 则当时，． 故也能被64整除． 综合（1）（2）可知当时，能被64整除． 4．求证：对任意正整数，都能被整除． 【答案】证明见解析 【解析】证明：当时，，则能被整除， 假设当时，能被整除， 则当时，即, 因为、都能被整除，故能被整除， 即能被整除， 所以，当时，命题也成立， 因此，对任意正整数，都能被整除. 题型五 数学归纳法证明数列问题 1．（22-23高二下·陕西渭南·期中）在数列中，， (1)求，，； (2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论. 【答案】(1)，，；(2)猜想数列的通项公式为，证明见解析 【解析】（1），，； （2）猜想数列的通项公式为， 下面用数学归纳法证明此结论正确． 证明：①当时，左边，右边，结论成立， ②假设当时，结论成立，即， 那么， 也就是说，当时结论成立， 根据①和②可知，结论对任意正整数都成立，即. 2．（23-24高二下·北京房山·期中）已知数列中，且. (1)求数列的第2，3，4项； (2)根据（1）的计算结果，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 【答案】(1)，，；(2)猜想，证明见解析 【解析】（1）由且，则， ，； （2）由（1）的计算结果可猜想，证明如下： 当时，，等式成立； 假设当时等式成立，即有， 则当时，有， 即当时，等式成立； 故猜想成立. 3．（23-24高二下·四川成都·期中）数列满足，（）． (1)计算，，猜想数列的通项公式并证明； (2)求数列的前n项和； 【答案】(1)，，猜测，证明见解析；(2) 【解析】（1），. 猜测，下面用数学归纳法证明： 当时，由知结论成立； 假设结论对成立，即，则，故结论对成立. 综上，有成立. （2）设数列的前项和为，则. 所以. 故. 4．（23-24高二下·四川眉山·月考）在数列{an}中，． (1)求出，猜想的通项公式；并用数学归纳法证明你的猜想． (2)令，为数列的前n项和，求． 【答案】(1)，，，证明见解析；(2) 【解析】（1）∵， ∴ 因此可猜想: ； 当时，，等式成立， 假设时，等式成立，即， 则当时，， 即当时，等式也成立， 综上所述，对任意自然数，. （2）， ① ② 由①-②得： 1．（多选）已知一个命题，这里，当时，成立，并且当时它也成立，下列命题中错误的是（    ） A．对于成立 B．对于每一个自然数k成立 C．对于每一个偶数k成立 D．对于某些偶数可能不成立 【答案】ABC 【解析】由于命题，这里， 当时，成立，并且当时它也成立， 可得对于内的偶数均成立，而对于其它数不一定成立， 故对于不一定成立， 对于每一个自然数k不一定成立， 对于每一个偶数k不一定成立， 对于某些偶数可能不成立．故选：ABC． 2．（多选）已知数列满足，且（n为正整数），利用数列的递推公式猜想数列的通项公式为．下面是用数学归纳法的证明过程： （1）当时，满足，命题成立； （2）假设（k为正整数）时命题成立，即成立，则当时，由得，即是以为首项，1为公差的等差数列，所以，即，所以，命题也成立． 由（1）（2）知． 判断以下评述：（    ） A．猜想正确，推理（1）正确 B．猜想不正确 C．猜想正确，推理（1）（2）都正确 D．猜想正确，推理（2）不正确 【答案】AD 【解析】由化递推公式为通项公式知命题正确，推理(1)正确，故A正确；推理(2)不正确， 错在证明时，没用假设时的结论即，所以D正确．故选：AD 3．（多选）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（ ） A． B． C．凸n边形的内角和为 D．凸n边形的对角线条数 【答案】AB 【解析】A：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题也成立， 当时有，故当n为给定的初始值时命题不成立； B：假设当，时，命题成立，即， 当时有， 故当时命题也成立， 当时，等号左边为2，右边为，，所以当时命题不成立； C：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题也成立， 当时内角和为命题成立； D：假设当，时，命题成立，即， 当时有，故当时命题不成立. 综上可知，满足条件的选项为AB.故选：AB. 4．（22-23高二下·山西太原·月考）下题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？把错误的地方改正确．用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是．   证明，①当时，左边=，右边，等式成立． ②假设当时，等式成立，即．则当时， ， ． 上面两式相加并除以2，可得 ， 即当时，等式也成立． 由①②可知，等差数列的前n项和公式是 【答案】有错误，答案见解析 【解析】有错误，错误在于证明时，没有应用时的假设， 而是应用了倒序相加法，这不符合数学归纳法的证明过程. ②正确的证明方法： 假设当时，等式成立，即， 则当时， 这表明，当时，等式也成立. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.4 数学归纳法 题型一 对数学归纳法的理解 1．（24-25高二上·甘肃庆阳·月考）若用数学归纳法证明是31的倍数，在验证成立时，原式为 ． 2．（24-25高二上·福建莆田·月考）用数学归纳法证明：，在验证成立时，左边所得的代数式是（    ） A．1 B． C． D． 3．已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，k为偶数）时命题为真，则还需要再证（    ） A．时等式成立 B．时等式成立 C．时等式成立 D．时等式成立 4．（22-23高二下·河南·月考）某个与自然数有关的命题，如果当时该命题成立，可推得时该命题也成立，那么，若已知时该命题不成立，则可推得（    ） A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题成立 C．当时，该命题不成立 D．当时，该命题成立 题型二 数学归纳法中的增项问题 1．（24-25高二上·上海·期中）用数学归纳法证明，由到时，不等式左边应添加的项是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·辽宁·月考）利用数学归纳法证明不等式的过程中，由变到时，左边增加了（    ） A．1项 B．项 C．项 D．项 3．（23-24高二下·辽宁沈阳·月考）用数学归纳法证明：时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·上海·月考）用数学归纳法证明：（为正整数）从到时，等式左边需增加的代数式是（    ） A． B． C． D． 题型三 数学归纳法证明等式或不等式 1．用数学归纳法证明：． 2．用数学归纳法证明以下恒等式： (1)； (2). 3．证明∶不等式成立. 4．（24-25高二上·福建莆田·月考）用数学归纳法证明： 题型四 数学归纳法证明整除问题 1．（22-23高二下·安徽淮北·月考）用数学归纳法证明“已知n为正奇数，求证：能被整除”时，第二步假设当时命题为真后，需证 时命题也为真． 2．求证：对任何正整数n，数都能被8整除 3．证明：当时，能被64整除． 4．求证：对任意正整数，都能被整除． 题型五 数学归纳法证明数列问题 1．（22-23高二下·陕西渭南·期中）在数列中，， (1)求，，； (2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论. 2．（23-24高二下·北京房山·期中）已知数列中，且. (1)求数列的第2，3，4项； (2)根据（1）的计算结果，猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. 3．（23-24高二下·四川成都·期中）数列满足，（）． (1)计算，，猜想数列的通项公式并证明； (2)求数列的前n项和； 4．（23-24高二下·四川眉山·月考）在数列{an}中，． (1)求出，猜想的通项公式；并用数学归纳法证明你的猜想． (2)令，为数列的前n项和，求． 1．（多选）已知一个命题，这里，当时，成立，并且当时它也成立，下列命题中错误的是（    ） A．对于成立 B．对于每一个自然数k成立 C．对于每一个偶数k成立 D．对于某些偶数可能不成立 2．（多选）已知数列满足，且（n为正整数），利用数列的递推公式猜想数列的通项公式为．下面是用数学归纳法的证明过程： （1）当时，满足，命题成立； （2）假设（k为正整数）时命题成立，即成立，则当时，由得，即是以为首项，1为公差的等差数列，所以，即，所以，命题也成立． 由（1）（2）知． 判断以下评述：（    ） A．猜想正确，推理（1）正确 B．猜想不正确 C．猜想正确，推理（1）（2）都正确 D．猜想正确，推理（2）不正确 3．（多选）以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（ ） A． B． C．凸n边形的内角和为 D．凸n边形的对角线条数 4．（22-23高二下·山西太原·月考）下题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？如果有错误，错在哪里？把错误的地方改正确．用数学归纳法证明等差数列的前n项和公式是． 证明，①当时，左边=，右边，等式成立． ②假设当时，等式成立，即．则当时， ， ． 上面两式相加并除以2，可得 ， 即当时，等式也成立． 由①②可知，等差数列的前n项和公式是 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$