精品解析：河南省洛阳市新安县职业高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

新安职高2024—2025学年第一学期期中考试 高二数学试卷 考生注意：所有答案都要写在答题卡上，写在试卷上无效。 一、选择题（每小题3分，共30分。每小题中只有一个选项是正确的，请将正确选项涂在答题卡上） 1. “”是“”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 下列向量的数乘运算法则不正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，圆中的向量、、是（ ） A. 有相同起点的向量 B. 共线向量 C. 相等的向量 D. 模相等的向量 5. 已知点、，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，则（ ） A. 3 B. C. 0 D. 7. 已知椭圆的长轴长为8，短轴长为2，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 或 8. 双曲线上的一点到它的一个焦点的距离等于6，则点到另一个焦点的距离等于（ ） A. 2 B. 6 C. 10 D. 14 9. 顶点为原点，焦点为的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 如果直线不在平面内，那么直线就与平面平行 B. 当一条直线与一个平面平行时，它与平面内的任何一条直线平行 C. 当一条直线与一个平面垂直时，它与平面内的任何一条直线垂直． D. 阳光下，人在地面上的影子就是人在地面上的射影 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若正六边形边长为1，则_________． 12. ___________. 13. 已知，，，则_________． 14. 已知向量，，且，则_________． 15. 椭圆的离心率为_________． 16. 双曲线的渐近线方程是_________． 17. 抛物线的准线方程是__________． 18. 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就与这个平面内的任何一条直线都___________． 三、计算题（每小题8分，共24分） 19. 设，，求： （1）； （2）； （3）； （4） 20. 已知向量，，求：、、、． 21. 设方程表示焦点在轴上的双曲线，求实数的取值范围？ 四、证明题（每小题6分，共12分） 22. 如图，空间四边形ABCD中，分别是的中点.求证：四边形是平行四边形. 23. 已知点，求证：是直角三角形. 五、综合题（10分） 24. 已知椭圆，求： （1）求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点的坐标； （2）求以原点为顶点，椭圆的右焦点为焦点的抛物线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新安职高2024—2025学年第一学期期中考试 高二数学试卷 考生注意：所有答案都要写在答题卡上，写在试卷上无效。 一、选择题（每小题3分，共30分。每小题中只有一个选项是正确的，请将正确选项涂在答题卡上） 1. “”是“”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分必要条件的判定即可解得. 【详解】可推出，充分性成立， 不能推出，必要性不成立， 故是的充分条件. 故选：A 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的定义及向量的模的定义，即可判断. 【详解】若，则两向量有可能方向不同，故不一定成立，选项A错误； 向量之间无法比较大小，故选项B错误； 若，则一定成立，故选项C正确； 若，但方向不确定，故不一定成立，选项D错误； 故选：C. 3. 下列向量的数乘运算法则不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的运算法则即可求解. 【详解】选项：运用了向量的数乘，正确； 选项：运用了乘法分配律，正确； 选项：运用了乘法分配律，正确； 选项：因为向量有方向有大小，属于矢量，而数字只有大小没有方向，因此向量和数字之间不能相加减，错误. 故选：. 4. 如图所示，圆中的向量、、是（ ） A. 有相同起点的向量 B. 共线向量 C. 相等的向量 D. 模相等的向量 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的概念即可解得. 【详解】选项A：由图可知与起点不同，错误. 选项B：由图可知方向不同，不是共线向量，错误. 选项C：由题可知方向不同，不是相等向量，错误. 选项D：在圆中模相等，正确. 故选：D. 5. 已知点、，则的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量坐标的表示方法即可求解. 【详解】已知，，所以. 故选：. 6. 已知，，且，则（ ） A. 3 B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两向量垂直内积为零列出等式求解即可解得. 【详解】由题，，且， 则，解得. 故选：A 7. 已知椭圆的长轴长为8，短轴长为2，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆长轴和短轴写出椭圆标准方程即可解得. 【详解】由题，椭圆长轴长为，即， 短轴长为，即， 则，故， 当椭圆焦点在轴上时，椭圆方程为， 当椭圆焦点在轴上时，椭圆方程为. 故选：D. 8. 双曲线上的一点到它的一个焦点的距离等于6，则点到另一个焦点的距离等于（ ） A. 2 B. 6 C. 10 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】先由双曲线方程求出a，再由已知条件，利用双曲线的定义求解. 【详解】由双曲线可知， ∵双曲线上的一点到它的一个焦点的距离等于6， ， 设点到另一个焦点的距离等于x， ∴由双曲线定义可知，解得（舍去）， ∴点到另一个焦点的距离等于. 故选：D. 9. 顶点为原点，焦点为的抛物线的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题目条件，可设抛物物方程为，求出即可. 【详解】因为顶点为原点，焦点为，焦点在轴负半轴， 可设抛物物方程为，焦点为， 可得，即， 所以抛物线的标准方程为. 故选：. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 如果直线不在平面内，那么直线就与平面平行 B. 当一条直线与一个平面平行时，它与平面内的任何一条直线平行 C. 当一条直线与一个平面垂直时，它与平面内的任何一条直线垂直． D. 阳光下，人在地面上的影子就是人在地面上的射影 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系可判断A错误；由线面平行、线面垂直的性质可判断B错误、C正确；由射影的定义可判断D错误． 【详解】对A选项，直线可以与平面相交，故错误； 对B选项，该直线与平面内的直线可以平行，也可异面，故错误； 对C选项，由线面垂直的性质可知，选项正确； 对D选项，人在地面上的影子与光线的角度有关，根据射影的定义可知，选项错误. 故选：C 二、填空题（每小题3分，共24分） 11. 若正六边形边长为1，则_________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据正六边形的性质即可求解. 【详解】因为正六边形边长为1， 且是等边三角形， 故. 故答案为：1. 12. ___________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量的运算即可得解. 【详解】. 故答案为:. 13. 已知，，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的内积公式即可解得. 【详解】由题， . 故答案为： 14. 已知向量，，且，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示列出等式即可解得. 【详解】由题，，且， 则，解得. 故答案为： 15. 椭圆的离心率为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据椭圆方程结合离心率公式即可解得. 【详解】由题，椭圆方程为， 则，则， 则，离心率. 故答案为： 16. 双曲线的渐近线方程是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线方程写出其渐近线方程即可解得. 【详解】由题，双曲线方程为， 则，即， 则双曲线渐近线方程为， 故答案为： 17. 抛物线的准线方程是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的准线方程公式即可求解. 【详解】由可知， ， 则， 所以准线方程为. 故答案为：. 18. 如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就与这个平面内的任何一条直线都___________． 【答案】垂直 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质可判断结果. 【详解】如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线就与这个平面内的任何一条直线都垂直. 故答案为：垂直 三、计算题（每小题8分，共24分） 19. 设，，求： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】根据向量坐标的运算即可解得. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 【小问3详解】 . 【小问4详解】 . 20. 已知向量，，求：、、、． 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】根据向量坐标的内积运算、向量坐标模的运算以及向量内积的定义即可解得. 【详解】由题，， ， ， 即， 解得. 21. 设方程表示焦点在轴上的双曲线，求实数的取值范围？ 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的标准方程，写出焦点在x轴上的式子，求解得到答案. 【详解】已知方程表示焦点在x轴的双曲线， 由双曲线标准方程的定义，可得， 解得， 所以实数k的取值范围为. 四、证明题（每小题6分，共12分） 22. 如图，空间四边形ABCD中，分别是的中点.求证：四边形是平行四边形. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据中位线定理证明即可． 【详解】分别是的中点， ，，且， ∴四边形为平行四边形. 23. 已知点，求证：是直角三角形. 【答案】证明见详解 【解析】 【分析】由已知可得的坐标，根据可证明结论. 【详解】由已知可得， 所以， 所以. 即. 所以是直角三角形. 五、综合题（10分） 24. 已知椭圆，求： （1）求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点的坐标； （2）求以原点为顶点，椭圆的右焦点为焦点的抛物线的方程． 【答案】（1）长轴长为，短轴长为，离心率为，焦点坐标为. （2） 【解析】 【分析】（1）将椭圆方程化为标准方程求出，结合离心率公式即可解得. （2）根据椭圆右焦点坐标和顶点坐标求出抛物线方程即可解得. 【小问1详解】 由题，椭圆方程可化为， 则，， 则， 故椭圆长轴为，短轴为， 离心率，焦点坐标为. 【小问2详解】 由（1）可知椭圆右焦点为，设抛物线， 则，解得，即抛物线方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $