第六章 反比例函数（B卷·培优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记.巧练（北师大版，贵州专用）

第六章 反比例函数（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列几组量中，不成反比例的为（　　） A．工作总量一定，工作效率和工作时间 B．减数一定，被减数和差 C．面积一定，平行四边形的底和高 D．电压一定时，电流与电阻 2．若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则（　　） A．k＜2 B．k＜0 C．k＞2 D．k＞0 3．已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），均在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1＝y2 4．若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝的图象交于（1，﹣2），则另一个交点坐标为（　　） A．（2，1） B．（﹣1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1） 5．关于反比例函数，下列说法中错误的是（　　） A．x＞0时，y随x的增大而减小 B．当1＜x＜3时，1＜y＜3 C．它的图象位于第二、四象限 D．当x≤﹣1时，y有最小值为﹣3 6．如图，函数y1＝x﹣1和函数的图象相交于点M（m，1），N（n，﹣2），若y1＜y2，则x的取值范围是（　　） A．﹣1＜x＜2 B．x＜﹣1或0＜x＜2 C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，P是反比例函数图象上的一个动点，连接PA，PB，当△PAB的面积为定值时，相应的点P有且只有3个，则点P到直线AB的距离为（　　） A．1 B． C． D． 8．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为2，则该反比例函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 9．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米的反比例函数，y与x之间有如下表的关系： x/厘米 1 2 3 5 y/米 14 7 2.8 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为（　　） A．7米 B．14米 C．21米 D．28米 10．如图，反比例函数与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点，OA＝4，OC＝8，连接OD，OE，DE，记△OAD、△OCE的面积分别为S1、S2．若S1+S2＝8，则△ODE的面积为（　　） A．12 B．15 C． D．30 11．随着科技的进步，我国的生物医药行业发展迅速，最近某药品研究所开发一种抗菌新药，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系如图所示（当3≤x≤10时，y与x成反比例）．根据图中信息可知，血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间为（　　） A．4小时 B．小时 C．小时 D．小时 12．如图，一次函数y1＝x+1的图象与反比例函数的图象交于A（1，a），B（b，﹣1）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO，BO．得出以下结论：①点A和点B关于直线y＝﹣x对称；②当x＜1时，y2＞y1；③S△AOC＝S△BOD；④当x＞0时，y1，y2都随x的增大而增大．其中正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是 　 　． 14．验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.125米调整到0.4米，则近视眼镜的度数减少了 　 　度． 15．如图，A、B是反比例函数图象上的两点，A、B两点的横坐标分别是﹣4、﹣1，直线AB与y轴交于点C，若△AOB的面积为5，则k＝　 　． 16．如图，点A，点B分别在y轴，x轴上，OA＝OB，点E为AB的中点，连接OE并延长交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C，过点C作CD⊥x轴于点D，点D关于直线AB的对称点恰好在反比例函数图象上，则OE﹣EC＝　 　． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数（m为常数，m≠0）的图象交于点A（2，3），B（a，﹣2）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若点C是x轴正半轴上的一点，且∠BCA＝90°，求点C的坐标． 18．（10分）如图，一次函数y1＝﹣x+m图象与反比例函数图象相交于点A和点B（3，﹣1）． （1）求m和k的值； （2）求点A的坐标，并直接写出不等式的解集． 19．（10分）已知反比例函数与一次函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）的图象交于点A（1，4），B（m，1）． （1）求函数y1和y2的表达式． （2）若点P是反比例函数图象上一点，将点P先向右平移4个单位，再向下平移3个单位得点M，点M恰好落在一次函数图象上，求点P的坐标． 20．（10分）如图，正比例函数y＝﹣3x与反比例函数的图象交于A，B（1，m）两点，点C在x轴负半轴上，∠ACO＝45°． （1）m＝　 　，k＝　 　，点A的坐标为 　 　，点C的坐标为 　 　； （2）点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标． 21．（10分）如图，反比例函数与一次函数y＝2x+m的图象交于点A（1，4），BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接AB，若OD＝1，求△ABC的面积． 22．（12分）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，函数关系如表： R/Ω … 4 5 6 7 8 … I/A … a b c m n … （1）若a＝c+3， ①求c的值； ②求电流I（A）关于电阻R（Ω）的函数关系式． （2）通过计算，比较a﹣b与m﹣n的大小． 23．（12分）如图，是某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）当10≤x≤24时，求y与x的关系式； （2）大棚里栽培的蔬菜在温度为14℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天最适合生长的时间有多长？ 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x﹣3的图象与反比例函数的图象交于A（5，m），B两点，交x轴于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）若P为反比例函数在第一象限内的图象上的一点，当S△POC＝2S△AOC时，求点P的坐标； （3）将一次函数y1＝x﹣3的图象平移，使其经过坐标原点，若另一反比例函数的图象与平移后的一次函数的图象无交点时，直接写出b的取值范围． 25．（12分）我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： 【结论探究】 （1）从“数”的角度证明：a2+b2≥2ab； （2）从“形”的角度说明：当a＞0，b＞0时，a2+b2≥2ab； 【结论应用】 （3）若△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB＝2．△ABC的两个顶点A、B（A在第一象限，B在第三象限）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AB经过原点O． ①尺规作图：请在图中作出一个周长最小的△ABC； ②请用探究的结论证明所作的△ABC周长最小． 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 反比例函数（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分） 1．下列几组量中，不成反比例的为（　　） A．工作总量一定，工作效率和工作时间 B．减数一定，被减数和差 C．面积一定，平行四边形的底和高 D．电压一定时，电流与电阻 【解答】解：A．工作效率与工作时间的积为工作量，工作总量一定，工作效率和工作时间是成反比例关系，故本选项不符合题意； B．被减数和差的差等于减数，被减数和差不成反比例关系，故本选项符合题意； C．平行四边形的底和高积等于面积，面积一定，底和高成反比例关系，故本选项不符合题意； D．电流与电阻的积等于电压，电压一定时，电流与电阻是成反比例关系，故本选项不符合题意． 故选：B． 2．若反比例函数的图象分布在第一、三象限，则（　　） A．k＜2 B．k＜0 C．k＞2 D．k＞0 【解答】解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴2k＞0， 解得k＞0． 故选：D． 3．已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），均在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2的大小关系是（　　） A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1≤y2 D．y1＝y2 【解答】解：∵反比例函数y＝﹣， ∴该函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内y随x的增大而增大， ∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），均在反比例函数y＝﹣的图象上，且﹣2＜﹣1＜0， ∴y1＜y2， 故选：A． 4．若正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y＝的图象交于（1，﹣2），则另一个交点坐标为（　　） A．（2，1） B．（﹣1，2） C．（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1） 【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴两函数的交点关于原点对称， ∵一个交点的坐标是（1，﹣2）， ∴另一个交点的坐标是（﹣1，2）． 故选：B． 5．关于反比例函数，下列说法中错误的是（　　） A．x＞0时，y随x的增大而减小 B．当1＜x＜3时，1＜y＜3 C．它的图象位于第二、四象限 D．当x≤﹣1时，y有最小值为﹣3 【解答】解：A、∵k＝3＞0，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小；故本选项正确，不符合题意； B、∵k＝3＞0，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小；当1＜x＜3时，1＜y＜3，故本选项正确，不符合题意； C、∵k＝3＞0，反比例函数位于第一、三象限，故本选项错误，符合题意； D、∵k＝3＞0，反比例函数位于第一、三象限，且在每一个象限内y随x的增大而减小；当x≤﹣1时，y≥﹣3，则y有最小值为﹣3，故本选项正确，不符合题意； 故选：C． 6．如图，函数y1＝x﹣1和函数的图象相交于点M（m，1），N（n，﹣2），若y1＜y2，则x的取值范围是（　　） A．﹣1＜x＜2 B．x＜﹣1或0＜x＜2 C．﹣1＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣1＜x＜0或x＞2 【解答】解：∵M（m，1），N（n，﹣2）在函数y1＝x﹣1和函数上， ∴m＝2，n＝﹣1， 即M（2，1），N（﹣1，﹣2）， 则y1＜y2的范围如图中实线所示： 即x＜﹣1或 0＜x＜2． 故选：B． 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，P是反比例函数图象上的一个动点，连接PA，PB，当△PAB的面积为定值时，相应的点P有且只有3个，则点P到直线AB的距离为（　　） A．1 B． C． D． 【解答】解：过P作MN∥AB交y轴于M，交x轴于N，过N作NK⊥AB于K，设AB交x轴于T，如图： ∵当△PAB的面积为定值时，相应的点P有且只有3个， ∴在AB左侧，过P与AB平行的直线与反比例函数的图象只有一个交点（交点为P）， 设直线MN解析式为y＝﹣x+b， 联立得﹣x+b＝， ∴x2﹣bx+4＝0， ∴Δ＝b2﹣16＝0， 解得b＝4或b＝﹣4（舍去）， ∴y＝﹣x+4， 令y＝0得x＝4， ∴N（4，0）， 在y＝﹣x+5中，令y＝0得x＝5， ∴T（5，0）， ∴NT＝5﹣4＝1， 由y＝﹣x+5可知，∠NTK＝45°， ∵NK⊥AB， ∴△NTK是的等腰直角三角形， ∴NK＝＝＝， ∴点P到直线AB的距离为； 故选：B． 8．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作AB⊥x轴于点B，若△OAB的面积为2，则该反比例函数的解析式为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题知， 因为△OAB的面积为2，且AB⊥x轴， 所以， 即xAyA＝4． 又因为点A在反比例函数y＝的图象上， 所以k＝xAyA＝4， 所以反比例函数的解析式为y＝． 故选：D． 9．1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米的反比例函数，y与x之间有如下表的关系： x/厘米 1 2 3 5 y/米 14 7 2.8 当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为（　　） A．7米 B．14米 C．21米 D．28米 【解答】解：设y与x之间的函数表达式为， ∴， ∴k＝14， ∴y与x之间的函数表达式为； 当x＝0.5时，（米）， ∴当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米， 答：当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米； 故选：D． 10．如图，反比例函数与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点，OA＝4，OC＝8，连接OD，OE，DE，记△OAD、△OCE的面积分别为S1、S2．若S1+S2＝8，则△ODE的面积为（　　） A．12 B．15 C． D．30 【解答】解：∵四边形OABC是长方形，OA＝4，OC＝8， ∴∠BAO＝∠BCO＝∠B＝90°，BC＝OA＝4，AB＝OC＝8， ∴BA⊥y轴，BC⊥x轴， ∵反比例函数与长方形OABC在第一象限相交于D、E两点，△OAD、△OCE的面积分别为S1、S2，S1+S2＝8， ∴，， ∴， 解得：k＝8， ∴，，即S1＝4，S2＝4， ∴，， ∴AD＝2，EC＝1， ∴BD＝AB﹣AD＝8﹣2＝6，BE＝BC﹣EC＝4﹣1＝3， ∴ ∴S△ODE＝S长方形OABC﹣S△OAD﹣S△OCE﹣S△BDE， ＝OA•OC﹣S1﹣S2﹣S△BDE ＝4×8﹣4﹣4﹣9 ＝32﹣4﹣4﹣9 ＝15． ∴△ODE的面积为15． 故选：B． 11．随着科技的进步，我国的生物医药行业发展迅速，最近某药品研究所开发一种抗菌新药，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x（小时）之间的函数关系如图所示（当3≤x≤10时，y与x成反比例）．根据图中信息可知，血液中药物浓度不低于6微克/毫升的持续时间为（　　） A．4小时 B．小时 C．小时 D．小时 【解答】解：设正比例函数解析式为y＝kx，反比例函数解析式为， 把（3，8）分别代入解析式，得， 解得， 故函数的解析式为， 当y＝6时，， 解得， 故持续时间为（小时）， 故选：C． 12．如图，一次函数y1＝x+1的图象与反比例函数的图象交于A（1，a），B（b，﹣1）两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO，BO．得出以下结论：①点A和点B关于直线y＝﹣x对称；②当x＜1时，y2＞y1；③S△AOC＝S△BOD；④当x＞0时，y1，y2都随x的增大而增大．其中正确的有（　　）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：将x＝1代入y1＝x+1得， y1＝2， 所以点A的坐标为（1，2）， 同理可得，点B的坐标为（﹣2，﹣1）． 由A，B两点坐标得， 直线AB的函数解析式为y＝x+1． 又因为A，B的中点坐标为（）， 所以AB的中点在直线y＝﹣x上，且直线AB与直线y＝﹣x垂直， 所以点A和点B关于直线y＝﹣x对称． 故①正确． 由函数图象可知， 当x＜﹣2或0＜x＜1时，反比例函数的图象在一次函数图象的上方，即y2＞y1， 所以当x＜﹣2或0＜x＜1时，y2＞y1； 故②错误． 根据反比例函数k的几何意义可知， ． 故③正确． 由函数图象可知， 当x＞0时，y1随x的增大而增大，y2随x的增大而减小． 故④错误． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13．若反比例函数的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是 　k＞3　． 【解答】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴3﹣k＜0，解得k＞3． 故答案为：k＞3． 14．验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.125米调整到0.4米，则近视眼镜的度数减少了 　550　度． 【解答】解：设y＝（k≠0）， ∵（0.25，400）在图象上， ∴k＝400×0.25＝100， ∴函数解析式为：y＝， 当x＝0.125时，y＝＝800， 当x＝0.4时，y＝＝250， ∴度数减少了800﹣250＝550（度）， 故答案为：550． 15．如图，A、B是反比例函数图象上的两点，A、B两点的横坐标分别是﹣4、﹣1，直线AB与y轴交于点C，若△AOB的面积为5，则k＝　　． 【解答】解：作AE⊥x轴，垂足为E，作BF⊥x轴，垂足为F，B D⊥y轴，垂足为D，如图： ∵A、B是反比例函数图象上的两点，A、B两点的横坐标分别是﹣4、﹣1， 故将x＝﹣4代入得：，即A坐标为， 故将x＝﹣1代入得：y＝﹣k，即B坐标为（﹣4，﹣1）， ∵S长方形BDOF+S梯形AEFB＝S△AOB+S△AEO+S△ODB， 即， 解得：． 故答案为：． 16．如图，点A，点B分别在y轴，x轴上，OA＝OB，点E为AB的中点，连接OE并延长交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C，过点C作CD⊥x轴于点D，点D关于直线AB的对称点恰好在反比例函数图象上，则OE﹣EC＝　　． 【解答】解：∵点A，点B分别在y轴，x轴上，OA＝OB，点E为AB的中点， ∴直线OC的解析式为y＝x， 设C（a，a）， ∵点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上， ∴a2＝1， ∴a＝1， ∴C（1，1）， ∴D（1，0）， ∴设直线AB的解析式为y＝﹣x+b，则B（b，0），BD＝b﹣1． ∵点D和点F关于直线AB对称， ∴BF＝BD＝b﹣1， ∴F（b，b﹣1）， ∵F在反比例函数y＝的图象上， ∴b（b﹣1）＝1， 解得b1＝，b2＝（舍去）， ∴B（，0）， ∵C（1，1）， ∴OD＝CD＝1， ∴OC＝， 易证△ODC∽△OEB， ∴＝，即＝， ∴OE＝， ∴OE﹣EC＝OE﹣（OC﹣OE）＝2OE﹣OC＝﹣＝． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共98分） 17．如图，一次函数y＝kx+b（k，b为常数，k≠0）的图象与反比例函数（m为常数，m≠0）的图象交于点A（2，3），B（a，﹣2）． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若点C是x轴正半轴上的一点，且∠BCA＝90°，求点C的坐标． 【解答】解：（1）将点A、B的坐标代入反比例函数表达式得：m＝2×3＝﹣2a， 解得：a＝﹣3，m＝6， 即反比例函数的表达式为：y＝，点B（﹣3，﹣2）， 将点A、B的坐标代入一次函数表达式得： ，解得：， 则一次函数的表达式为：y＝x+1； （2）设点C（x，0）， 由点A、B、C的坐标得，AB2＝50，AC2＝（x﹣2）2+9，BC2＝（x+3）2+4， ∵∠BCA＝90°， 则AB2＝AC2+BC2， 即50＝（x﹣2）2+9+（x+3）2+4， 解得：x＝3或﹣4（舍去）， 即点C（3，0）． 18．如图，一次函数y1＝﹣x+m图象与反比例函数图象相交于点A和点B（3，﹣1）． （1）求m和k的值； （2）求点A的坐标，并直接写出不等式的解集． 【解答】解：（1）将点B坐标代入一次函数解析式得， ﹣3+m＝﹣1， 解得m＝2． 将点B坐标代入反比例函数解析式得， k＝3×（﹣1）＝﹣3． （2）由（1）知， 一次函数的解析式为y1＝﹣x+2，反比例函数的解析式为． 由﹣x+2＝得， 解得x1＝﹣1，x2＝3， 将x＝﹣1代入y1＝﹣x+2得， y1＝﹣（﹣1）+2＝3， 所以点A的坐标为（﹣1，3）． 由函数图象可知， 当﹣1＜x＜0或x＞3时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即﹣x+m＜， 所以不等式的解集为：﹣1＜x＜0或x＞3． 19．已知反比例函数与一次函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）的图象交于点A（1，4），B（m，1）． （1）求函数y1和y2的表达式． （2）若点P是反比例函数图象上一点，将点P先向右平移4个单位，再向下平移3个单位得点M，点M恰好落在一次函数图象上，求点P的坐标． 【解答】解：（1）反比例函数与一次函数y2＝k2x+b（k1，k2，b是常数，k1≠0，k2≠0）的图象交于点A（1，4），B（m，1）， ∴k1＝1×4＝m×1， ∴k1＝4，m＝4， ∴函数y1的表达式为y1＝， 将点A（1，4）、点B（4，1）代入y2＝k2x+b得， 解得， ∴函数y2的表达式为y2＝﹣x+5； （2）设P（a，），则点M坐标为（a+4，﹣3）， ∵点M恰好落在一次函数图象上， ∴﹣（a+4）+5＝﹣3， 解得：a＝2， ∴P（2，2）． 20．如图，正比例函数y＝﹣3x与反比例函数的图象交于A，B（1，m）两点，点C在x轴负半轴上，∠ACO＝45°． （1）m＝　﹣3　，k＝　﹣3　，点A的坐标为 　（﹣1，3）　，点C的坐标为 　（﹣4，0）　； （2）点P在x轴上，若以B，O，P为顶点的三角形与△AOC相似，求点P的坐标． 【解答】解：（1）将B（1，m）代入y＝﹣3x，得m＝﹣3×1＝﹣3， ∴B（1，﹣3）． 将B（1，﹣3）代入，得， ∴k＝﹣3． 如图，过点A作AD⊥x轴于点D，则∠ADC＝90°． ∵点A，B关于原点O对称， ∴A（﹣1，3）， ∴OD＝1，AD＝3． 又∵∠ACO＝45°， ∴CD＝AD＝3， ∴OC＝OD+CD＝1+3＝4， ∴C（﹣4，0）． （2）由（1）可知，B（1，﹣3），A（﹣1，3）． 当点P在x轴的负半轴上时，∠BOP＞90°， ∴∠BOP＞∠AOC． 又∵∠BOP＞∠ACO，∠BOP＞∠CAO， ∴△BOP与△AOC不可能相似． 当点P在x轴的正半轴上时，∠AOC＝∠BOP． ①若△AOC∽△BOP，则， ∵OA＝OB， ∴OP＝OC＝4， ∴P（4，0）； ②若△AOC∽△POB，则， 又∵，OC＝4， ∴， ∴． 综上所述，点P的坐标为（4，0）或． 21．如图，反比例函数与一次函数y＝2x+m的图象交于点A（1，4），BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数的图象于点B、C． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）连接AB，若OD＝1，求△ABC的面积． 【解答】解：（1）∵点A（1，4）在反比例函数图象上， ∴k＝1×4＝4， ∴反比例函数解析式为：y＝， ∵y＝2x+m的图象过点A（1，4）， ∴4＝2×1+m．解得m＝2， ∴一次函数解析式为：y＝2x+2． （2）将y＝1代入y＝得x＝4， ∴B（4，1）， 将y＝1代入y＝2x+2得x＝﹣， ∴C（﹣，1）， ∴BC＝4﹣（﹣）＝， ∴S△ABC＝×（4﹣1）＝． 22．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，函数关系如表： R/Ω … 4 5 6 7 8 … I/A … a b c m n … （1）若a＝c+3， ①求c的值； ②求电流I（A）关于电阻R（Ω）的函数关系式． （2）通过计算，比较a﹣b与m﹣n的大小． 【解答】解：（1）①∵使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系， ∴可设I＝， ∵当R＝4Ω时，I＝aA；当R＝6Ω时，I＝cA， ∴U＝4a＝6c， ∵a＝c+3， ∴4（c+3）＝6c， 解得：c＝6， ②∵c＝6， ∴U＝6c＝6×6＝36， ∴电流I（A）关于电阻R（Ω）的函数关系式为：I＝； （2）通过（1）和表格数据可知： U＝4a＝5b＝7m＝8n＝36， ∴a＝9，b＝，m＝，n＝， ∴a﹣b＝9﹣＝，m﹣n＝﹣＝， ∵＞， ∴a﹣b＞m﹣n 23．如图，是某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题： （1）当10≤x≤24时，求y与x的关系式； （2）大棚里栽培的蔬菜在温度为14℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天最适合生长的时间有多长？ 【解答】解：（1）设双曲线CD解析式为：（k≠0）， ∵C（10，20）， ∴k＝200， ∴y与x的关系式为：y＝（10≤x≤24）； （2）设AB的解析式为：y＝mx+n（0≤x≤5）， 把（0，10），（5，20）代入y＝mx+n中得： ， 解得：， ∴AB的解析式为：y＝2x+10， 当y＝14时，14＝2x+10， 解得：x＝2， 把y＝14代入y＝， 得：14＝， 解得：x＝， ∴． 答：这种蔬菜一天内最适合生长的时间有小时． 24．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝x﹣3的图象与反比例函数的图象交于A（5，m），B两点，交x轴于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）若P为反比例函数在第一象限内的图象上的一点，当S△POC＝2S△AOC时，求点P的坐标； （3）将一次函数y1＝x﹣3的图象平移，使其经过坐标原点，若另一反比例函数的图象与平移后的一次函数的图象无交点时，直接写出b的取值范围． 【解答】解：（1）将A（5，m）代入y1＝x﹣3得m＝5﹣3＝2， ∴A（5，2）， 将A（5，2）代入得：a＝2×5＝10， ∴反比例函数的解析式为； （2）∵一次函数y1＝x﹣3的图象与x轴交于点C， 令y＝0，则x﹣3＝0， ∴x＝3 ∴C（3，0）， ∴， ∵S△POC＝2S△AOC， ∴S△POC＝6， 设P点坐标为， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （3）∵将一次函数y1＝x﹣3的图象平移，使其经过坐标原点， ∴平移后直线解析式为y＝x， ∵反比例函数的图象与平移后的一次函数图象无交点， 则只需要经过第二、四象限即可， ∴b＜0． 25．我国著名数学家华罗庚曾用诗词表达了“数形结合”的思想，“数缺形时少直观，形少数时难入微”．请你利用“数形结合”的思想解决以下问题： 【结论探究】 （1）从“数”的角度证明：a2+b2≥2ab； （2）从“形”的角度说明：当a＞0，b＞0时，a2+b2≥2ab； 【结论应用】 （3）若△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB＝2．△ABC的两个顶点A、B（A在第一象限，B在第三象限）都在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AB经过原点O． ①尺规作图：请在图中作出一个周长最小的△ABC； ②请用探究的结论证明所作的△ABC周长最小． 【解答】（1）证明：∵（a﹣b）2≥0， ∴a2﹣2ab+b2≥0， ∴a2+b2≥2ab； （2）从“形”的角度说明：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，CE为△ABC的中线，且AD＝a，BD＝b，则a2+b2≥2ab； 证明：∵∠ACB＝90°，CE为中线， ∴CE＝（AD+BD）＝（a+b）， ∵∠ACD+∠A＝∠ACD+∠BCD＝90°， ∴∠A＝∠BCD， 又∵∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴△ACD∽△CBD， ∴＝， ∴CD2＝AD•BD＝ab， 根据垂线段最短，可得CE≥CD， ∴CE2≥CD2，即[（a+b）]2≥ab， ∴a2+b2≥2ab； （3）①作直线y＝x，交反比例函数图象于A、B两点，过点B作BC⊥AB，使BC＝AB，连接AC， 如图所示，△ABC即为所求； ②△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠ACB＝2， ∴AB＝BC•tan∠ACB＝2BC， ∴BC＝AB， ∴AC＝＝AB， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝AB+AB+AB＝AB， 设A（a，），则B（﹣a，﹣）， ∴AB＝＝2≥2， 当且仅当a＝，即a＝时，AB取得最小值2， 此时，△ABC的周长最小值为AB＝×2＝（3+），即A、B均在直线y＝x上，故①中所作△ABC周长最小． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/21 23:06:35；用户：赵玉琴；邮箱：13721589064；学号：37201216 试卷第2页，共36页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$