吉林省长春市第八中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

第 1 页 共 4 页 长春八中 2024—2025 学年（上）高二期中考试 数学试题 命 题 人：刘德荣 审题人：满宁宁 考试时间：120 分钟 分 值： 150 分 一、单选题 1．抛物线 2x ay 的焦点坐标为  0,1 ，则其准线方程为（ ） A． = 1x  B． 1x  C． 1y  D． y − =1 2．已知直线 1 : 2 0l x ay   ，  2 : 2 4 0l ax a y    ，若 1 2//l l ，则实数 a 的值是（ ） A．2 或 1 B．2 C． 1 D．−2或 1 3．“ 0k  ”是直线 1 0x ky   与圆    2 22 1 1x y    相切的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 2 4．短轴长为 4 5 ，离心率为 3 的椭圆的两个焦点分别为 F1､F2，过焦点 F1 的弦为 AB，则三角形 ABF2 的周长为（ ） A．12 5 B．18 3 C．24 D．24 2 5．《九章算术》有这样一个问题；今有女子善织，日增等尺，七日织三十五尺，第二日、第五日、 第八日所织之和为十八尺，问第九日所织尺数为( ) A．7 B．8 C．9 D．10 6.已知圆 2 2 2 4 0x y x y    关于双曲线   2 2 : 1 0 2 1 x yC m m m     的一条渐近线对称，则m （ ） A． 1 2 B． 1 7 C．± 1 2 D．± 1 7 7．在平面直角坐标系 xOy中，已知点  3,0A ，动点  ,P x y 满足 2 PA PO  ，则动点 P的轨迹与圆    2 21 1 1x y    的位置关系是（ ） A．相交 B．外切 C．相交或相切 D．内切 8．设双曲线x 2 a2 － y2 b2 ＝1(0<a<b)的半焦距为 c，直线 l过(a,0)，(0，b)两点，已知原点到直线 l的距离 为 3 4 c，双曲线的离心率为 （ ） 第 2 页 共 4 页 A． 2 B．2 C． 3 4 D．2 或 3 4 二、多选题 9．已知数列 na 的前 n项和为 nS ， 1 3a  ， 1 11n n a a   ，则（ ） A． 2 1 3 a B． 04 a C． 3 2 2024 a D． 37S =41 10．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点为 F ，经过点 F 且斜率为 3的直线 l与抛物线C交于点 ,A B两点（点A在第一象限），若 8AF  ，则以下结论正确的是（ ） A． 1p B． 2 111  BFAF C． BFAF 6 D． 3 316 AOBS 11．已知等差数列 na 的前 n项和为 1, 0nS a  ，且 3 16S S ，则下列说法正确的是（ ） A． 19 0S  B．当 9n  或 10 时， nS 取得最大值 C． 9 11 0a a  D． nS <0成立的 n 的最大值为 20 三、填空题 12． : 1 0l x y   与椭圆 2 2 : 1 4 2 x yC   交于 ,A B两点，短轴的上顶点为点 P，则 ABP 的面积 为 . 13．已知三角形 ABC的两个顶点 A，B 的坐标分别为（3，0）（-3，0），且 AC，BC所在直线的 斜率之积等于 m（ 0m ）,顶点 C的轨迹方程为 . 9  14．设双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     的半焦距 c，坐标原点到直线 bx ay ab  的距离等于 1 1 4 c  ，则 c的最小值为 . 四、解答题 15．已知数列 na 和 nb 都是等差数列，公差分别为 1d ， 2d ，数列 nc 满足 nnn bac 2 . (1)数列 nc 是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. (2)若 na 的公差为-2， nb 的公差为-3， 51 a ， 81 b ，求数列 nc 的通项公式. 第 3 页 共 4 页 16．已知圆 C经过点 M（0，-2）和 N（3，1），圆心 C在直线 013  yx 上．直线 l的方程为    2 1 1 6 0m x m y m     (1)求圆 C的标准方程；(2)求直线 l被圆 C截得的弦长的最大值和最小值． 17．已知曲线 C： 1 9 22  m yx （ 8m  且 0m  ）的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，直线 kxy  与C交 于点 A， B . (1)若 2m ，且四边形 1 2AF BF 是矩形，求 1 2AF AF 的值； (2)若 P是C上与A， B不重合的点，且直线 PA， PB的斜率分别为 1k ， 2k ，若 1 2 1 9 k k  ， 1 求此曲线的 C的离心率； 2 求 1 2F F ． 18.设等差数列{��}的前 n项和为 nS ，已知 33,24 113  Sa ． （1）求数列{��}的通项公式； （2）求数列{��}的前 n项和 nS ； （3）当 n为何值时， nS 最大？并求 nS 的最大值. 19．已知椭圆 2 2 2 2: 1 x yC a b   的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，且 1 2 4 3F F  ， 133, 2 A        是椭圆上 一点． （1）求椭圆方程的离心率； （2）若G为椭圆C上异于顶点的任意一点，M ，N分别为椭圆的右顶点和上顶点．直线GM 与 y 轴交于点 P，直线GN与 x轴交于点Q，求证： PN QM 为定值． 第 4 页 共 4 页 第 1 页 共 4 页 长春八中 2024—2025 学年（上）高二期中考试 数学试题 命 题 人：刘德荣 审题人：满宁宁 考试时间：120 分钟 分 值： 150 分 一、单选题 1．抛物线 2x ay 的焦点坐标为  0,1 ，则其准线方程为（ ） A． = 1x  B． 1x  C． 1y  D． 1y   【答案】D 2．已知直线 1 : 2 0l x ay   ，  2 : 2 4 0l ax a y    ，若 1 2//l l ，则实数 a 的值是（ ） A．2 或 1 B．2 C． 1 D． 2 或 1【答案】C 3．“ 0k  ”是直线 1 0x ky   与圆    2 22 1 1x y    相切的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 4．短轴长为 4 5 ，离心率为 2 3 的椭圆的两个焦点分别为 F1､F2，过焦点 F1 的弦为 AB，则三角形 ABF2 的周长为（ ） A．12 5 B．18 3 C．24 D．24 2【答案】C 5．《九章算术》有这样一个问题；今有女子善织，日增等尺，七日织三十五尺，第二日、第五日、 第八日所织之和为十八尺，问第九日所织尺数为( ) A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D 6.已知圆 2 2 2 4 0x y x y    关于双曲线   2 2 : 1 0 2 1 x yC m m m     的一条渐近线对称，则m （ ） A． 1 2 B． 1 7 C．± 1 2 D．± 1 7 【答案】B 7．在平面直角坐标系 xOy中，已知点  3,0A ，动点  ,P x y 满足 2 PA PO  ，则动点 P的轨迹与圆    2 21 1 1x y    的位置关系是（ ） A．相交 B．外切 C．相交或相切 D．内切【答案】A 8．设双曲线x 2 a2 － y2 b2 ＝1(0<a<b)的半焦距为 c，直线 l过(a,0)，(0，b)两点，已知原点到直线 l的距离 为 3 4 c，双曲线的离心率为 （ ） 第 2 页 共 4 页 A． 2 B．2 C． 3 4 D．2 或 3 4 【答案】B 二、多选题 9．已知数列 na 的前 n项和为 nS ， 1 3a  ， 1 11n n a a   ，则（ ） A． 2 1 3 a B． 04 a C． 3 2 2024 a D． 4137 S 【答案】BCD 10．已知抛物线 2: 2 ( 0)C y px p  的焦点为 F ，经过点 F 且斜率为 3的直线 l与抛物线C交于点 ,A B两点（点A在第一象限），若 8AF  ，则以下结论正确的是（ ） A． 1p B． 2 111  BFAF C． BFAF 6 D． 3 316 AOBS 【答案】BD 11．已知等差数列 na 的前 n项和为 1, 0nS a  ，且 3 16S S ，则下列说法正确的是（ ） A． 19 0S  B．当 9n  或 10 时， nS 取得最大值 C． 9 11 0a a  D． 0nS  成立的 n的最大值为 20【答案】BC 三、填空题 12． : 1 0l x y   与椭圆 2 2 : 1 4 2 x yC   交于 ,A B两点，短轴的上顶点为点 P，则 ABP 的面积 为 . 【答案】 3 1052  13．已知三角形 ABC的两个顶点 A，B 的坐标分别为（3，0）（-3，0），且 AC，BC所在直线的 斜率之积等于 m（ 0m ）,顶点 C的轨迹方程为 . 【答案】 )0(1 99 22  y m yx 14．设双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b     的半焦距 c，坐标原点到直线 bx ay ab  的距离等于 1 1 4 c  ，则 c的最小值为 . 【答案】4 四、解答题 15．已知数列 na 和 nb 都是等差数列，公差分别为 1d ， 2d ，数列 nc 满足 nnn bac 2 . (1)数列 nc 是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由. (2)若 na 的公差为-2， nb 的公差为-3， 51 a ， 81 b ，求数列 nc 的通项公式. 第 3 页 共 4 页 【答案】(1)数列 nc 是等差数列. 211 2ddcc nn  . (2) n829 nc 16．已知圆 C经过点 M（0，-2）和 N（3，1），圆心 C在直线 013  yx 上．直线 l的方程为    2 1 1 6 0m x m y m     (1)求圆 C的标准方程；(2)求直线 l被圆 C截得的弦长的最大值和最小值． 【答案】(1) 5)1()2( 22  yx (2)最长等于 52 ；最短等于 4 17．已知曲线 C： 1 9 22  m yx （ 8m  且 0m  ）的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，直线 kxy  与C交 于点 A， B . (1)若 2m ，且四边形 1 2AF BF 是矩形，求 1 2AF AF 的值； (2)若 P是C上与A， B不重合的点，且直线 PA， PB的斜率分别为 1k ， 2k ，若 1 2 1 9 k k  ， 1 求此曲线的 C的离心率； 2 求 1 2F F ． 【答案】(1)4 (2)① 3 10 ② 102 18.设等差数列{��}的前 n项和为 nS ，已知 33,24 113  Sa ． （1）求数列{��}的通项公式； （2）求数列{��}的前 n项和 nS ； （3）当 n为何值时， nS 最大？并求 nS 的最大值. 【答案】（1） 457  nan （2） nnSn 2 83 2 7 2  （3）当 n=6 时， nS 最大，且 nS 的最大值为 123 19．已知椭圆 2 2 2 2: 1 x yC a b   的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，且 1 2 4 3F F  ， 133, 2 A        是椭圆上 一点． （1）求椭圆方程的离心率； （2）若G为椭圆C上异于顶点的任意一点，M ，N分别为椭圆的右顶点和上顶点．直线GM 与 y 轴交于点 P，直线GN与 x轴交于点Q，求证： PN QM 为定值． 第 4 页 共 4 页 【答案】（1） 3 2 ；（2）证明见解析.