5.3 实际问题与一元一次方程 课时3 积分问题与行程问题 课件 2024-2025学年人教版七年级数学 上册

第五章 一元一次方程 5.3 实际问题与一元一次方程 课时3 积分问题与行程问题 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 比赛中的积分问题 6. 课堂小结 2. 知识回顾 7. 当堂小练 CONTENTS 3. 新课导入 5. 知识点2 行程问题 8. 拓展与延伸 1. 通过观察表格获取信息，探索实际问题(球赛积分及类似问题)中的数量关系，能根据等量关系列出方程； 2. 知道列方程解应用题时，为什么要检验方程的解是否符合题意. 学习目标 知识回顾 列一元一次方程方程解应用题的基本步骤： 1. 审：仔细阅读题目，理解题意，明确题目所给的条件和所求的问题. 2. 设：选择一个适当的字母（如）来表示题目中所求的未知数. 3. 列：根据等量关系，将未知数和已知条件结合起来，形成一个一元一次方程. 4. 解：运用代数方法解这个一元一次方程，求出未知数的值. 5. 检：将求得的解代回原题，检查是否符合题目的条件，确保解答正确. 6. 答：根据求解的结果，给出完整的答案，注意单位名称和文字说明. 新课导入 很多同学喜欢打篮球，也喜欢看篮球比赛，那你对篮球比赛中的积分规则有了解吗？ 新课讲解 知识点1 比赛中的积分问题 【探究】球赛积分表问题 某次篮球联赛积分表 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 【问题1】你从表格中得到什么信息？ 这次球赛共有8支队伍参赛. 每队都打了14场比赛. 积分按由高到低的顺序排列. 每队的胜场数、负场数和积分. 篮球比赛没有平局. ...... 新课讲解 队名 比赛 场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 【问题2】胜一场和负一场各积多少分？ 观察表中的最后一行：负14场得14分 观察表中的第一行：设胜一场得x分，则 10x+4=24. 解这个方程，得x=2. →负一场得1分. →胜一场得2分. 某次篮球联赛积分表 【问题3】各数据之间的数量关系是什么？ 每队的胜场数+负场数=比赛场次14. 每队胜场总积分=胜1场得分2×胜场数. 每队负场总积分=负1场得分1×负场数. 每队胜场总积分+负场总积分=总积分. 新课讲解 队名 比赛 场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 某次篮球联赛积分表 【问题4】一个队胜m场，则总积分为多少？ 一个队胜m场，则负_______场，则胜场积分为_____， 负场积分为_________，总积分为_________. (14-m) 2m 14-m m+14 【问题5】一个队负n场，则总积分为多少？ 一个队负n场，则胜_______场，则胜场积分为________，负场积分为_____，总积分为_______. (14-n) 2(14-n) n 28-n 【问题6】某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 解：设一支球队胜了y场，则负了(14-y)场. 若这支球队的胜场总积分等于负场总积分， 则得方程 2y=14-y. 解得 y= . 因为y(所胜的场数)的值必须是整数，所以y= 不符合实际，由此可以判定没有哪支球队的胜场总积分等于负场总积分. 这个问题说明：利用方程不仅能求具体数值，而且可以进行推理判断. 新课讲解 1. 解决有关表格的问题时，首先要根据表格中给出的相关信息，找出数量间的关系，然后再运用数学知识解决问题. 2. 用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义. 归纳 新课讲解 例 1. 学校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是5名参赛者的得分情况： 参赛者 A B C D E 答对题数 20 19 18 14 10 答错题数 0 1 2 6 10 得分 100 94 88 64 40 (1)由表格知，答对1题得____分， 答错1题得____分． (2)参赛者F得了82分，他答对了几道题？ (3)参赛者 G 说他得了90分，你认为可能吗？为什么？ 5 －1 解：(2)设他答对了x道题，则答错了(20－x)道题． 根据题意，得5x－(20－x)＝82， 解得x＝17. 所以他答对了17道题． (3)不可能．理由如下： 设参赛者G答对了m道题，则答错了(20－m)道题． 根据题意，得5m－(20－m)＝90，解得m＝ . 因为m只能是整数，所以不符合题意， 故参赛者G不可能得90分． 新课讲解 练一练 1. 某市中学生足球联赛共8轮(即每队需要比赛 8 场)，胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场不得分．某校中学生足球代表队的平场数是负场数的2倍，共得17分，则该队胜了多少场？ 解：设该队负了x场，则平了2x场，胜了(8－x－2x)场． 根据题意，得3(8－x－2x)＋2x＝17.解得x＝1. 所以 8－x－2x＝5. 答：该队胜了5场． 新课讲解 练一练 2. 在伦敦奥运会举办前夕，国家足球协会举办了一次足球热身赛，其计分规则及奖励方案（每人）如下表：当比赛进行到每队各比赛12场时，A队（11名队员）共积20分，并且没有负一场． (1) 试判断A队胜、平各几场？ (2) 若每赛一场每名队员均得出场费500元， 那么A队的某一名队员所得奖金与 出场费的和是多少？ 解：(1) 设A队胜利x场， ∵一共打了12场， ∴平了12-x场， ∴3x+（12-x）=20， 解得：x=4； ∴12-x=8， ∴A队胜4场，平8场； 胜一场 平一场 负一场 积分 3 1 0 奖金(元/人) 1500 700 0 (2) ∵每场比赛出场费500元， 12场比赛出场费共6000元， 赢了4场，奖金为1500×4=6000元， 平了8场，奖金为700×8=5600元， ∴奖金加出场费一共17600元； 答：出场费加奖金一共17600元． 新课讲解 比赛积分问题中，常见的相等关系： 某个队的参赛场数=该队的胜场数+该队的负场数+该队的平场数； 某个队的总积分=该队的胜场积分+该队的负场积分+该队的平场积分. 归纳 1. 并不是每种比赛都按胜、平、负情况积分，有的只按胜、平两种情况积分，所以审题时一定要认真理解比赛的积分规则. 2. 比赛中的积分与胜、负场数有关，同时也与比赛积分规则有关，需先弄清“胜一场积几分，平一场积几分，负一场积几分”. 注意 新课讲解 知识点2 行程问题 2. 为了适应经济发展，铁路运输提速。如果客车形式的平均速度增加40km/ h.那么提速前，这趟客车平均速度每小时行驶多少千米?. 分析：行程问题中常涉及的量有路程、平均速度、时间。它们之间基本关系是： 路程=平均速度×时间。 例 设提速前火车平均每小时行驶km，那么提速后火车平均每小时行驶 km， 提速后，货车行驶路程 km，平均速度 ，所需时间 ，三者之间有什么关系? (+40) 1110 +40km/h 10h 解：设提速前火车平均每小时km.由题意，得 10(+40) =1110 解得 =71 答：提速前火车平均速度为71km/h. 新课讲解 2. 甲、乙两人相距4km，以各自的速度同时出发。如果同向而行，甲2小时追上乙；如果相向而行，0.5小时相遇。试问两人的速度各是多少? 例 解：设甲的速度为：km/h，则乙的速度为：(4÷0.5－) km/h. ∵ 相向而行，0.5小时相遇 ∴ 甲、乙两人速度和为： 4÷0.5＝8 km/h ∴ 乙的速度为：(8－) km/h 由题意可得, 解得 ∴ 8－ 答：甲的速度是5km/h，乙的速度是3km/h。 新课讲解 归纳 路程=时间×速度 直线相遇：甲的路程 + 乙的路程 = 总路程 环形相遇：甲的路程 + 乙的路程 = 环形周长 ‌相遇问题 追及时间 = 路程差 ÷ 速度差 速度差 = 路程差 ÷ 追及时间 ‌追及问题 路程差 = 追及时间 × 速度差 直线追及：距离差 = 追者路程 - 被追者路程 = 速度差 × 追及时间 环形追及：曲线的周长= 快的路程 - 慢的路程 新课讲解 归纳 顺水行程 = (船速 + 水速) × 顺水时间 逆水行程 = (船速 - 水速) × 逆水时间 ‌流水行船问题 顺水速度 = 船速 + 水速 逆水速度 = 船速 - 水速 静水速度 = (顺水速度 + 逆水速度) ÷ 2 水速 = (顺水速度 - 逆水速度) ÷ 2 新课讲解 练一练 一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向匀速行驶、客车的行驶速度是70 km/h，卡车的行驶速度是60 km/h，客车比卡车早1 h经过B地. 求A，B两地相距的路程. 解：设A，B两地相距x km， 则 =1. 去分母，得7x-6x=420. 合并同类项，得x=420. 答：A，B两地相距420 km. 课堂小结 某个队的总积分=该队的胜场积分+该队的负场积分+该队的平场积分. 某个队的参赛场数=该队的胜场数+该队的负场数+该队的平场数； 积分问题 路程=时间×速度；顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度－水流速度. 包括相遇问题和追及问题，在相向而行与同向而行时要注意始发的时间和地点； 行程问题 当堂小练 1. 某人在一次篮球比赛中，包括罚球在内共出手22次，命中14球，得28分，除了3个3分球全中外，他还投中了____个2分球和____个罚球. 8 3 当堂小练 2. 某试卷由26道题组成，答对一题得8分，答错一题扣5分．今有一考生虽然做了全部的26道题，但所得总分为0，他做对的题有( ) A.10道 B.15道 C.20道 D.8道 解析：设他做对了 x 道题，则 8x-5(26-x)=0， 解得 x=10． A 当堂小练 3. 某次足球赛中，32支足球队将分为8个小组进行单循环比赛，小组比赛规则如下：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若小组赛中某队的积分为5分，则该队必是（　　） A．两胜一负 B．一胜两平 C．五平一负 D．一胜一平一负 B 当堂小练 4. 全国青少年校园足球联赛，是国内历史最久远、 覆盖范围最广的中学足球赛事，在小组赛中，每 小组有4个队，小组内进行单循环赛 (两支球队间 只比赛一场 )，已知胜一场积3分，平一场积1分， 负一场积0分，小组赛结束后，积分前两名 (相同 积分比较净胜球) 可以进入下一轮比赛．如表是某 次小组赛的积分表：如果本小组比赛中只有一场战平，根据此表，可以推断丁队的积分是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 排名 球队 积分 1 甲 6 2 乙 4 3 丙 4 4 丁 D 当堂小练 5. 2023-2024全国甲A篮球赛（CBA）共进行了52轮常规赛，最后辽宁队和新疆队进入总决赛．常规赛中，规定胜一场积2分，负一场积1分，每场比赛均分胜负，常规赛结束时，辽宁队积分为95分，求辽宁队在常规赛中胜了几场． 解：设辽宁队在常规赛中胜了场，负了场， 由据题意得， 解得. 答：辽宁队在常规赛中胜了43场． 当堂小练 6. 聪聪同学到某校游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如表）： 聪聪同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙解决： (1) 从表中可以看出，胜一场积 分，负一场积 分； (2) 某队在比完22场的前提下，胜场总积分能等于负场总积分吗？请说明理由． 校篮球赛成绩公告 比赛场次 胜场 负场 积分 22 12 10 34 22 14 8 36 22 0 22 22 2 1 解：(1)由题意得，负一场的积分为：22÷22=1（分）， 胜一场的积分为：(34-10×1)÷12=2（分）. 答案：1，2. (2)不可能，理由如下： 设胜场，负(22-)场，由题意得, 解得． 所以不可能胜场总积分能等于负场总积分． 当堂小练 7. 一份试卷共25道题，每道题都给出四个答案，其中只有一个是正确的，要求学生把正确答案选出来，每题选对得4分，不选或选错扣1分. （1）如果一个学生得90分，那么他选对几题？ （2）现有500名学生参加考试，有得83分的同学吗？为什么？ 解：(1) 设他选对x道题，则不选或选错了(25 – x)道题. 由题意列出方程4x - (25 – x) = 90， 解得 x=23. 答：他选对了23题. (2)不可能会由得83分的同学，理由如下： 设选对了y道题，则选错了（25 – y）道题. 由题意列出方程4y – (25 – y)=83， 解得 y=21.6 而答对的题数必须为整数，故不合题意舍去，不可能会有得83分的同学. 当堂小练 8. 在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.某队9场比赛保持不败. (1)如果这支球队9场比赛得到的积分是21分，你能算出这9场比赛中的胜场数和平场数吗？ (2)这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？ 解：(1)设胜x场，则平(9-x)场， 根据题意，得3x+(9-x)=21. 解得x=6. 所以9-x=3. 答：胜6场，平3场. (2)胜场总积分不能等于平场总积分，理由如下： 设胜x场，则平(9-x)场， 根据题意，得3x=9-x. 解得x=. 因为x为非负整数， 所以胜场总积分不能等于平场总积分. 当堂小练 10. 有一艘船在两码头之间航行，已知该船顺水航行需4小时到达，现在逆水航行4.5小时后还差8千米到达，水流速度为2千米/时，则两码头之间的距离为多少千米？ 解：设该船在静水中航行的速度为x千米/小时，则该船顺水航行的速度为(x+2)千米/时，逆水航行的速度为(x-2)千米/小时， 根据题意得：4(x+2)=4.5(x-2)+8，解得：x=18， ∴4(x+2)=4×(18+2)=80（千米）， ∴两码头之间的距离为80千米。 答：两码头之间的距离为80千米 当堂小练 9. A、B两地相距340千米，一列慢车从A地出发，每小时行48千米，一列快车从B地出发，每小时行72千米，两车相向而行，若快车先开出25分钟，则快车开出多长时间后，两车之间的距离是60千米？ 解： 设快车开出小时，则， 若是相遇前距离60千米： 解得 若是相遇后距离60千米： 解得 答：车开出2.5h或3.5h时间后，两车之间的距离是60千米。 当堂小练 10. 在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩， 下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话(如图)试根据图中信息，解答下列问题： (1) 小明他们一共去了几个成人，几个学生？ (2) 请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由. 解：(1) 设成人的人数为x，则学生人数为12-x， 根据总共的票价可列出方程35x+17.5(12-x)=350 . 解得=8，则12=4. 答：一共去了8个成人，4个学生. (2) 算一算团体票的最少费用，再比较它与350的大小. 购买团体票，共需要花费的费用： 35×16×0.6=336（元）＜350元. 答：买团体票便宜. 拓展与延伸 1. 下表中记录了一次实验中时间和温度的数据. （1）如果温度的变化是均匀的，21 min时的温度是多少？ （2）什么时间的温度是34℃？ 时间/min 0 5 10 15 20 25 30 温度/℃ 10 25 40 55 70 85 100 解:（1）由题意知时间增加5 min，温度升高15℃， 所以每增加1 min温度升高3℃. 则21 min时的温度为10+21×3 =73（℃） （2）设时间为x min，列方程得3x+10=34，解得x=8. 即第8分钟时温度为34℃. 拓展与延伸 2. 下表是某校七年级至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同. 年级 课外小组活动总时间/h 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 请将九年级课外兴趣小组的活动次数填入上表. 多1次 多2 h 解：从前两行可以得出，文艺小组活动的时间为每次2 h. 设科技小组活动的时间为每次x h.根据七年级课外活动的总时间，得2×4+3x=12.5，解得x=1.5. 根据八年级课外小组活动的总时间验证得出结论：文艺小组活动的时间为每次2 h,科技小组活动的时间为每次1.5 h. 设九年级文艺小组活动次数为m,则科技小组活动次数为. 又因为m和都必须为自然数， 所以当m=0时， = （不合题意）； 当m=1时， = （不合题意）； 当m=2时， = 2； 当m=3时， = （不合题意）； 所以九年级文艺小组活动次数为2，科技小组活动次数为2. $$