精品解析：上海市上海外国语大学附属中学2024-2025学年六年级上学期科创班数学期中考试试卷

2024学年第一学期初一年级数学期中考试试卷 （科创班） 考试时间：90分钟 满分：100分 本场考试不允许使用计算器 一、填空题（12题，每题5分，共60分） 1. 如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点C落在内，若，________． 2. 如图，，若，则________． 3. 已知是一个整数，则A被3除所得的余数为________． 4. 回文数是指按数字从前往后和从后往前读都相同的正整数，则最小的能被99整除的五位回文数是________． 5. 在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E，在BC上，BE=BF，连结AE，EF和CF，此时，若∠CAE=30°，那么∠EFC=_______． 6. 质数p使得恰有6个不同的正约数，则________． 7. 一个等腰三角形一边上的高等于一边长度的一半，则这个三角形的顶角是________． 8. 记，则被除所得的余数为________． 9. 如图，在中，将绕点A顺时针旋转至，将绕点A逆时针旋转至，得到，使，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有________． ①与面积相同； ②； ③若，连接和，则； ④若，，，则． 10. 在四边形中，，，，，则四边形的面积是________． 11. 如图，在凸四边形中，，且，，则________． 12. 有超过60000个不同的正约数，其中奇数与偶数的比为________．规定． 二、解答题（4题，每题10分，共40分） 13. 求所有的正整数n，使得在十进制下的所有数字都相同， 14. 如图，在与中，，延长交于点F，连接和． （1）如图1，当点B，A，E在同一直线上时，若，求的长； （2）如图2，当F是中点时，求证：． 15. 点是边上的任意一点，且，试过点作一条直线，使得分成的两部分面积相等，并说明理由． 16. 求方程的正整数解 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期初一年级数学期中考试试卷 （科创班） 考试时间：90分钟 满分：100分 本场考试不允许使用计算器 一、填空题（12题，每题5分，共60分） 1. 如图，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点C落在内，若，________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题主要是考查了三角形的内角和定理，折叠的性质，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 根据已知条件求出，根据三角形内角和定理表示出，然后根据折叠的性质及平角的定义得出，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 纸片的沿折叠， ，， ， ， ∴． 2. 如图，，若，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是掌握：等边对等角，三角形的一个外角等于不相邻两内角的和．据此解答即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 3. 已知是一个整数，则A被3除所得的余数为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了数的整除与余数，熟练掌握余数的性质是解题的关键； 首先提取公因式，然后分析5的幂次除以3的余数规律，在根据余数的性质，除以c的余数等于a除以c的余数乘以b除以c的余数的积，除以c的余数，即可得出答案． 【详解】解： ， 能被3整除． ∴，余数是2． 故答案为：2． 4. 回文数是指按数字从前往后和从后往前读都相同的正整数，则最小的能被99整除的五位回文数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整除，有理数的概念，理解整除和有理数的概念是解答读取关键． 设这个五位回文数为，则这个数表示为，表示出能被和整除的数，再结合假设，，从头开始寻找求解． 【详解】解：设这个五位回文数为， 则这个数表示为 因为， 所以这个数必须能被和整除， 所以必须被整除， 必须被整除． 假设，，从头开始寻找， 最后找到最小的满足条件的五位回文数是． 故答案为：． 5. 在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E，在BC上，BE=BF，连结AE，EF和CF，此时，若∠CAE=30°，那么∠EFC=_______． 【答案】30° 【解析】 【详解】在△ABE和△CBF中， ∵， ∴△ABE≌△CBF(SAS)， ∵AB=BC，∠ABC=90°，∠CAE=30°， ∴∠CAB=∠ACB=12(180°−90°)=45°，∠EAB=45°−30°=15°. ∵△ABE≌△CBF， ∴∠EAB=∠FCB=15°. ∵BE=BF，∠EBF=90°， ∴∠BFE=∠FEB=45°. ∴∠EFC=180°−90°−15°−45°=30°， 故答案为30°. 6. 质数p使得恰有6个不同的正约数，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查质数，正约数，根据质数的定义，进行推导求解即可． 【详解】解：∵为质数， ∴当时，， ∵， ∴不符合题意； 当时，， ∵， ∴符合题意； 当为大于3的质数时，不存在质数p使得恰有6个不同的正约数， 故答案为：3． 7. 一个等腰三角形一边上的高等于一边长度的一半，则这个三角形的顶角是________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是正确解答本题的关键； 分三种情况：当三角形是直角三角形时，底边上的高等于底边长度的一半；当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高等于腰长的一半；当等腰三角形是钝角三角形时，腰上的高等于腰长的一半，分类讨论即可； 【详解】解：当三角形是直角三角形时，底边上的高等于底边长度的一半， 设等腰三角形中，，是底边上的高，为底边，且． 是底边上的高， D为中点，即， ， ， ， ， 顶角； ， 当等腰三角形是锐角三角形时，腰上的高等于腰长的一半 设等腰三角形中，，是腰上的高，， 在中， ， ， 即此时顶角为； 当等腰三角形是钝角三角形时， 设等腰三角形中，，是腰延长线上的高，， 在中， ， 顶角， 综上所述：这个等腰三角形的顶角是或或． 故答案为：或或． 8. 记，则被除所得的余数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数的整除，余数有理数的混合运算的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意可得，故被除所得的余数即为的余数，然后进行计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴被除所得的余数即为的余数， ∵， ∴被除所得的余数即为： 故答案为： 9. 如图，在中，将绕点A顺时针旋转至，将绕点A逆时针旋转至，得到，使，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有________． ①与面积相同； ②； ③若，连接和，则； ④若，，，则． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】延长，并截取，连接，证明，得出，，根据，，得出，证明，得出，即可判断①正确；根据三角形中位线性质得出，根据，得出，判断②正确；根据时，， 得出，，，，根据四边形内角和得出 ，求出，判断③正确；根据②可知，，根据勾股定理得出，求出，判断④错误． 【详解】解：延长，并截取，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据旋转可知，，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即与面积相同，故①正确； ∵，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴，故②正确； 当时，， ∴，，，， ∵， ∴， 即，故③正确； ∵， ∴根据②可知，， ∵当时，，为中线， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上分析可知，正确的是①②③． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，中位线性质，勾股定理，四边形内角和，补角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明． 10. 在四边形中，，，，，则四边形的面积是________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意画出四边形，过点作于点，过点作于点，①过点作于点，②过点作交的延长线于点，分两种情况求解即可． 【详解】解：①如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴四边形的面积： ； ②如图，过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点， 由①知：，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积： ； 综上所述，四边形的面积为或． 故答案为：或． 【点睛】本题求梯形的面积，考查了等腰三角形的三线合一性质，勾股定理，平行四边形的判定，矩形的判定和性质等知识点，正确理解题意并画出图形是解题的关键． 11. 如图，在凸四边形中，，且，，则________． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据等边对等角得，，根据三角形内角和得，，继而得到，过点作于点，并交于点，连接，延长于点，过点作于点，作于点，说明平分，得，说明平分，得，说明平分，得，求出，即可得出结论． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ， ∴， 过点作于点，并交于点，连接，延长于点，过点作于点，作于点， ∴，， ∴，即平分， ∴， ∵， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即平分， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查等边对等角，三角形内角和，等腰三角形三线合一性质，垂直平分线的判定和性质，角平分线的判定和性质，三角形的外角等知识点．掌握等腰三角形的性质及角平分线的判定和性质是解题的关键． 12. 有超过60000个不同的正约数，其中奇数与偶数的比为________．规定． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了约数．熟练掌握约数，奇数，偶数的定义，分解质因数，是解题的关键． 将进行质因数分解,得，可知的任一正约数的形式为 ，其中，， 所以共有个不同的正奇数约数，个不同的正偶数约数，即可求出奇数与偶数的比值． 【详解】∵ ， ， ∴的任一正约数的形式为， 其中， ， ∴正奇数约数有：（个）， ∵偶数时， ∴正偶数约数有：（个）， ∴奇数与偶数的比：． 故答案为：． 二、解答题（4题，每题10分，共40分） 13. 求所有的正整数n，使得在十进制下的所有数字都相同， 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了指数运算，数字末尾规律，根据指数运算的出数字规律是解题的关键； 根据n的取值找到数字相同的规律，验证即可得出答案； 【详解】当时，，显然不符合所有数字都相同的条件． 当时，，不符合要求． 当时，，不符合条件． 当时，，不符合条件． 当时，，此时7777所有数字都相同，符合条件． ，的末位数字一定是6，所以的末位数字一定是7． 对于一个数所有数字都相同且末位数字是7，形如， （，m为正整数）， 随着n增大，增长的速度远远小于增长的速度． 当，， 当n再增大，不可能再出现这种所有数字都相同的形式． 综上，是使得在十进制下所有数字都相同的正整数． 14. 如图，在与中，，延长交于点F，连接和． （1）如图1，当点B，A，E在同一直线上时，若，求的长； （2）如图2，当F是中点时，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：如图，延长至，使，连接， ∵F是中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质； （1）在中，求出，再根据等腰直角三角形得到，代入求值即可； （2）延长至，使，连接，由倍长中线得到，得到，，再由等腰直角三角形证明，得到，，即可得到，，再由，结合，解得，即可得到． 【小问1详解】 解：当点B，A，E在同一直线上时，， 在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 略 15. 点是边上的任意一点，且，试过点作一条直线，使得分成的两部分面积相等，并说明理由． 【答案】 如图，直线即为所作． 【解析】 【分析】线段的垂直平分线交于点，连接、，作交于点，作直线即可． 【详解】解：作线段的垂直平分线交于点，连接、，作交于点，作直线， ∴点是线段的中点，， ∴，， ∴， ∴ 【点睛】本题考查作图—应用设计作图，考查了基本作图—作线段的垂直平分线，作一个角等于已知角，三角形中线的性质，平行线判定和性质，三角形的面积及等积变换．解题的关键是理解题意，利用数形结合的思想解决问题． 16. 求方程的正整数解 【答案】，，， 【解析】 【分析】本题考查不等式（组）的应用，将原方程化为，根据题意得，推出，解得，确定，按同样的方程可确定，则原方程化为，得，即可得解．根据题意将方程转化为不等式（组）是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∵求方程的正整数解， ∴、、、都是正整数， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴，即， ∵、、都是正整数， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵、都是正整数， ∴， 解得：， ∵是正整数， ∴， ∴， ∴方程的正整数解是，，，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $