3.1 椭圆综合练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1椭圆综合练习 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），F1，F2为椭圆的左右焦点，A为椭圆上一点，连接AF1并延长交椭圆于另一点B，若|AF2|＝|AF1|，|BF2|＝3|BF1|，则椭圆C的离心率为（　　） A． B． C． D． 2．已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长为，则其离心率为（　　） A． B． C． D． 3．曲线与曲线（k＜9且k≠0）的（　　） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 4．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（　　） A．（0，2） B．（0，1） C．（1，2） D．（0，1）∪（1，2） 5．已知椭圆与直线x﹣4y﹣6＝0交于A，B两点，点M（2，﹣1）满足＝，则a的值为（　　） A． B．6 C． D． 6．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A、B两点，其中B为上顶点，且，则椭圆C的离心率e＝（　　） A． B． C． D． 7．已知椭圆的下焦点是F1，上焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在x轴上，那么|PF2|：|PF1|＝（　　） A．2：7 B．1：7 C．1：2 D．3：4 8．方程表示椭圆的充要条件是（　　） A．﹣4＜m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．﹣4＜m＜2 D．﹣4＜m＜﹣1或﹣1＜m＜2 二．多选题（共3小题，每小题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。） （多选）9．设椭圆的焦点为F1、F2，点M在椭圆上，则（　　） A．焦点F1、F2坐标为（3，0），（﹣3，0） B．|MF1|的最大值为7，最小值为1 C．|MF1|+|MF2|＝8 D．△MF1F2为直角三角形的顶点M有4个 （多选）10．以下四个关于圆锥曲线的命题中，正确的是（　　） A．设A，B为两个定点，k为非零常数，||+||＝k，则动点P的轨迹为双曲线 B．曲线+＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则＜t＜4 C．方程2x2﹣5x+2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D．双曲线﹣＝1与椭圆+y2＝1有相同的焦点 （多选）11．已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点A，B的动点，则下列结论正确的是（　　） A．△PF1F2的周长为10 B．△PF1F2面积的最大值为 C．直线PA，PB的斜率之积为 D．椭圆C的焦距为6 三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是 　 　． 13．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l垂直于x轴并交椭圆C于A，B两点，若△ABF1是正三角形，则椭圆C的离心率是 　 　． 14．已知椭圆C的焦点F1、F2都在x轴上，P为椭圆C上一点，△PF1F2的周长为6，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆C的标准方程为 　 　． 四．解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．设椭圆，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，A是C上一点，且AF1与x轴垂直，直线AF2与C的另一个交点为B． （1）若直线AB的倾斜角为，求椭圆C的离心率； （2）若直线AB在y轴上的截距为1，且|AB|＝3|F2B|，求a，b． 16．已知椭圆C：的焦距为2，点在椭圆C上，A、B分别为椭圆的左、右顶点． （1）求椭圆C的方程； （2）若点P是椭圆C上第二象限内的点，点Q在直线上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积． 17．已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4．若直线l过点（﹣1，0），且与椭圆相交于不同的两点A，B． （1）求椭圆的标准方程； （2）若线段AB中点的纵坐标，求直线l的方程． 18．已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）． （1）求椭圆C的方程； （2）P，N是C上异于M的两点，若直线PM与直线PN的斜率之积为，证明：M，N两点的横坐标之和为常数． 19．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，|F1F2|＝2，为C上一点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若P为C上一点，且PF1⊥F1F2，求△F1PF2的面积． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1椭圆综合练习解析 一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），F1，F2为椭圆的左右焦点，A为椭圆上一点，连接AF1并延长交椭圆于另一点B，若|AF2|＝|AF1|，|BF2|＝3|BF1|，则椭圆C的离心率为（　　） A． B． C． D． 【分析】法（i）根据题意和椭圆的定义可得△AF1F2和△ABF2的各边边长，再结合余弦定理列方程，求解即可； 法（ii）求出sin∠OAF1＝＝e，在△ABF2中，由等腰三角形可得cos∠BAF2的值，由二倍角公式，可得离心率的大小． 【解答】解：如图所示： 由题意得|AF2|＝|AF1|，又|AF1|+|AF2|＝2a，则|AF2|＝|AF1|＝a， 因为|BF2|＝3|BF1|，|BF1|+|BF2|＝2a， 则，，故， 法（i）在△AF1F2中，由余弦定理得， 在△ABF2中，由余弦定理得， 所以， 化简得，即， 解得，即椭圆的离心率为． 法（ii）可得|AB|＝|BF2|， sin∠OAF1＝＝e，在△ABF2中，可得cos∠BAF2＝＝＝， 而∠BAF2＝2∠OAF1， 所以1﹣2e2＝，解得e＝． 故选：A． 【点评】本题考查椭圆的性质的应用及直线与椭圆的综合应用，属于中档题． 2．已知焦点在x轴上的椭圆的长轴长为，则其离心率为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据椭圆的定义求出长轴a，再根据a2＝b2+c2算出c即可． 【解答】解：椭圆的长轴长为，即， 得，又b2＝4， ∴， ∴椭圆C的离心率． 故选：D． 【点评】本题考查椭圆离心率的求法，是基础题． 3．曲线与曲线（k＜9且k≠0）的（　　） A．长轴长相等 B．短轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等 【分析】分析可知两曲线都表示椭圆，求出两椭圆的长轴长、短轴长、焦距以及离心率，可得出合适的选项． 【解答】解：曲线表示焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为6，离心率为，焦距为8的椭圆． 曲线（k＜9且k≠0）表示焦点在y轴上，长轴长为， 短轴长为，焦距为，离心率为的椭圆． 故选：C． 【点评】本题考查椭圆的性质，考查运算求解能力，属于基础题． 4．已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（　　） A．（0，2） B．（0，1） C．（1，2） D．（0，1）∪（1，2） 【分析】根据椭圆的标准方程，结合题意，建立方程组，可得答案． 【解答】解：已知方程表示焦点在y轴上的椭圆， 可得， 则m的取值范围是（1，2）． 故选：C． 【点评】本题考查了椭圆的性质，属于基础题． 5．已知椭圆与直线x﹣4y﹣6＝0交于A，B两点，点M（2，﹣1）满足＝，则a的值为（　　） A． B．6 C． D． 【分析】设A（4m+6，m），B（4n+6，n），利用A，B两点在直线上，也在椭圆上可得关于m，n，a的方程，从而可求a的值． 【解答】解：因为A，B两点在直线x﹣4y﹣6＝0上，故设A（4m+6，m），B（4n+6，n）， 又点M（2，﹣1）， 故， 因为，故，即n＝﹣2﹣m， 因为A，B两点在椭圆上，故，即， 故， 等式两边同时减去1，整理得到， 解得m＝﹣1或． 而，故， 故， 故选：A． 【点评】本题考查了直线与椭圆的位置关系的应用，属于中档题． 6．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A、B两点，其中B为上顶点，且，则椭圆C的离心率e＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据可得A的坐标，再代入椭圆方程化简可得离心率． 【解答】解：已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2， 过F1的直线交椭圆C于A、B两点，其中B为上顶点，且， 由题意，F1（﹣c，0），B（0，b）， 设A（x，y），则由，可得3（﹣c﹣x，﹣y）＝2（c，b）， 解得，即， 又A在椭圆上，故，即， 故，即离心率． 故选：B． 【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题． 7．已知椭圆的下焦点是F1，上焦点是F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在x轴上，那么|PF2|：|PF1|＝（　　） A．2：7 B．1：7 C．1：2 D．3：4 【分析】根据中点坐标公式，可求得点P的纵坐标，再代入椭圆方程，得到点P的横坐标，根据两点的距离公式，可分别求得PF1，PF2的长，即可得到答案． 【解答】解：设点P（x0，y0），由题意可知：a2＝9，b2＝4， 所以，所以， 因为线段PF1的中点在x轴上， 所以由中点坐标公式可知：，所以， 代入椭圆方程得：，所以点， 则， 所以． 故选：A． 【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题． 8．方程表示椭圆的充要条件是（　　） A．﹣4＜m＜﹣1 B．m＞﹣1 C．﹣4＜m＜2 D．﹣4＜m＜﹣1或﹣1＜m＜2 【分析】利用椭圆的标准方程，列出不等式组求解即可． 【解答】解：方程表示椭圆， 可得，解得﹣4＜m＜﹣1或﹣1＜m＜2． 故选：D． 【点评】本题考查椭圆标准方程的应用，是基础题． 二．多选题（共3小题，每小题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分。） （多选）9．设椭圆的焦点为F1、F2，点M在椭圆上，则（　　） A．焦点F1、F2坐标为（3，0），（﹣3，0） B．|MF1|的最大值为7，最小值为1 C．|MF1|+|MF2|＝8 D．△MF1F2为直角三角形的顶点M有4个 【分析】由椭圆的方程，可得a，b，c的值，由椭圆的性质逐一判断所给命题的真假． 【解答】解：椭圆中，可得焦点在y轴上，且a2＝16，b2＝7， 可得a＝4，b＝，c＝＝＝3， A中，可得焦点F1、F2坐标分别为（0，3），（0，﹣3），所以A不正确； B中，点M在椭圆上，所以|MF1|∈[a﹣c，a+c]，即|MF1|∈[1，7]，所以B正确； C中，|MF1|+|MF2|＝2a＝8，所以C正确； D中，因为c＞b，可得以F1F2为直径的圆与椭圆的交点有4个， 所以△MF1F2为直角三角形的顶点M有4个，所以D正确． 故选：BCD． 【点评】本题考查椭圆的性质的应用及圆与椭圆的交点个数的求法，属于中档题． （多选）10．以下四个关于圆锥曲线的命题中，正确的是（　　） A．设A，B为两个定点，k为非零常数，||+||＝k，则动点P的轨迹为双曲线 B．曲线+＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则＜t＜4 C．方程2x2﹣5x+2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D．双曲线﹣＝1与椭圆+y2＝1有相同的焦点 【分析】根据椭圆与双曲线的几何性质，即可分别求解． 【解答】解：对A选项，∵A，B为两个定点，k为非零常数，||+||＝k， ∴动点P的轨迹不满足双曲线的定义，∴A选项错误； 对B选项，∵曲线+＝1表示焦点在y轴上的椭圆， ∴t﹣1＞4﹣t＞0，∴＜t＜4，∴B选项正确； 对C选项，∵方程2x2﹣5x+2＝0的两根分别为，2，可分别作为椭圆和双曲线的离心率，∴C选项正确； 对D选项，∵双曲线﹣＝1与椭圆+y2＝1的焦点均为（，0），∴D选项正确． 故选：BCD． 【点评】本题考查椭圆与双曲线的几何性质，属基础题． （多选）11．已知F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点A，B的动点，则下列结论正确的是（　　） A．△PF1F2的周长为10 B．△PF1F2面积的最大值为 C．直线PA，PB的斜率之积为 D．椭圆C的焦距为6 【分析】根据椭圆C方程，求得，然后逐项判断． 【解答】解：∵椭圆C方程为：， ∴， ∴△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝2a+2c＝10，故A正确； △PF1F2面积的最大值为，此时P位于短轴的端点，故B正确； 设P（x0，y0）在椭圆上，且异于A（﹣3，0），B（3，0），则， ∴，故C错误； 椭圆C的焦距为2c＝4，故D错误． 故选：AB． 【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查运算求解能力，是基础题． 三．填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是 　　． 【分析】由椭圆的方程和焦点在x轴可得关于参数m的不等关系，进而求出m的范围． 【解答】解：由3m2＞2m+1＞0， 解得 或m＞1，即实数m的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆的定义，属于基础题． 13．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l垂直于x轴并交椭圆C于A，B两点，若△ABF1是正三角形，则椭圆C的离心率是 　　． 【分析】利用已知条件列出关系式，转化求解即可． 【解答】解：椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作直线l垂直于x轴并交椭圆C于A，B两点， 若△ABF1是正三角形， 可得，可得3a2﹣3c2＝2，可得3e2+2e﹣3＝0，e∈（0，1），解得e＝． 故答案为：． 【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是中档题． 14．已知椭圆C的焦点F1、F2都在x轴上，P为椭圆C上一点，△PF1F2的周长为6，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆C的标准方程为 　　． 【分析】由题意得|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝6，|PF1|+|PF2|＝2|F1F2|，利用椭圆的定义即可求解． 【解答】解：∵椭圆C的焦点F1、F2都在x轴上，P为椭圆C上一点，△PF1F2的周长为6， ∴设椭圆C的标准方程为（a＞b＞0），且|PF1|+|PF2|+|F1F2|＝6， 又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列， ∴|PF1|+|PF2|＝2|F1F2|， 则|F1F2|＝2，|PF1|+|PF2|＝4， ∴2c＝2，2a＝4， ∴a＝2，c＝1， ∴b＝＝， 则椭圆C的标准方程为． 故答案为：． 【点评】本题考查了椭圆的性质，属于中档题． 4． 解答题（共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．设椭圆，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，A是C上一点，且AF1与x轴垂直，直线AF2与C的另一个交点为B． （1）若直线AB的倾斜角为，求椭圆C的离心率； （2）若直线AB在y轴上的截距为1，且|AB|＝3|F2B|，求a，b． 【分析】（1）由题意可得点A的纵坐标，再由△AF2F1为以AF2为斜边的等腰直角三角形，可得离心率的值； （2）由题意可得点B的坐标，且b2＝2a，将点B的坐标代入椭圆的方程，可得a，b的值． 【解答】解：因为AF1⊥x轴，设A（﹣c，y0），设点A在第二象限， 将点A的坐标代入，解得y0＝， （1）若直线AB的倾斜角为，可得∠AF2F1＝， 所以△AF2F1为以AF2为斜边的等腰直角三角形， 所以， 即a2﹣c2＝2ac， 可得e2+2e﹣1＝0， 解得（舍去）或， 所以椭圆C的离心率为； （2）因为直线AB在y轴上的截距为1，设直线AB与y轴交于点H， 又因为AF1⊥x轴，O为F1F2的中点，所以OH为△AF1F2的中位线， 所以，即b2＝2a， 所以c2＝a2﹣2a，① 又|AB|＝3|BF2|，可得|AF2|＝2|BF2|，且|F2H|＝|BF2|， 根据相似比得B（2c，﹣1），将点B（2c，﹣1）的坐标代入椭圆方程得，② 将①代入②可得+＝1，解得a＝， 所以b＝＝． 即a，b的值分别为：，． 【点评】本题考查椭圆的性质的应用及直线与椭圆的综合应用，属于中档题． 16．已知椭圆C：的焦距为2，点在椭圆C上，A、B分别为椭圆的左、右顶点． （1）求椭圆C的方程； （2）若点P是椭圆C上第二象限内的点，点Q在直线上，且|BP|＝|BQ|，BP⊥BQ，求△APQ的面积． 【分析】（1）由题意，根据焦距和点得到方程组，求出a2＝4，b2＝3，得到椭圆方程； （2）设P（x，y），，根据垂直关系和相等关系得到方程组，求出，结合P是椭圆上第二象限内一点，求出，进而得到，从而求出三角形面积． 【解答】解：（1）因为椭圆C的焦距为2， 所以c＝1， 此时b2＝a2﹣1，① 因为点在椭圆C上， 所以，② 联立①②，解得a2＝4，b2＝3， 则椭圆C的方程为； （2）易知A（﹣2，0），B（2，0）， 不妨设P（x，y），，显然t≠0，x＜0，y＞0， 因为BP⊥BQ， 此时点P满足，③ 因为|BP|＝|BQ|， 所以，④ 联立③④，可得， 解得， 因为点P在第二象限，且满足， 解得， 此时x＝﹣1， 则， 将，x＝﹣1，代入③中， 解得t＝3， 所以， 因为A（﹣2，0）， 所以， 易知直线AP方程为3x﹣2y+6＝0， 此时点Q到直线AP的距离， 故． 【点评】本题考查椭圆的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题． 17．已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4．若直线l过点（﹣1，0），且与椭圆相交于不同的两点A，B． （1）求椭圆的标准方程； （2）若线段AB中点的纵坐标，求直线l的方程． 【分析】（1）根据题意求出a、b、c的值，即可求出椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理及中点公式求出直线斜率，即可求解． 【解答】解：（1）由题意可知，得，解得b2＝1． 所以椭圆的方程为． （2）由题意可知直线斜率存在， 设l：y＝k（x+1），设A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立方程组， 消y得（1+4k2）x2+8k2x+4k2﹣4＝0， 因为， 设AB中点坐标为（x0，y0）， 所以，所以， 所以或k＝1， 当，AB中点坐标为，直线l方程为：，即x﹣4y+1＝0． 当k＝1，AB中点坐标为，直线l方程为：，即x﹣y+1＝0． 【点评】本题主要考查了椭圆的性质在椭圆方程求解中的应用，还考查了直线与椭圆位置关系的应用，属于中档题． 18．已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）． （1）求椭圆C的方程； （2）P，N是C上异于M的两点，若直线PM与直线PN的斜率之积为，证明：M，N两点的横坐标之和为常数． 【分析】（1）利用椭圆经过点，，求出a，b然后求解椭圆方程． （2）设P，M，N三点坐标分别为（xP，yP），（xM，yM），（xN，yN），设直线PM，PN斜率分别为k1，k2，则直线PM方程为y﹣yP＝k1（x﹣xP），由方程组消去y，利用韦达定理．求解M，N的坐标，结合，推出xN+xM＝0．即M，N两点的横坐标之和为常数． 【解答】解：（1）因为椭圆经过点，所以；又因为，所以；又c2＝a2﹣b2，解得，所以椭圆C的方程为．……（4分） （2）设P，M，N三点坐标分别为（xP，yP），（xM，yM），（xN，yN）， 设直线PM，PN斜率分别为k1，k2，则直线PM方程为y﹣yP＝k1（x﹣xP）， 由方程组消去y，得， 由根与系数关系可得， 故， 同理可得， 又， 故， 则， 从而xN+xM＝0． 即M，N两点的横坐标之和为常数．………………………………（12分） 【点评】本题考查与的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力． 19．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，|F1F2|＝2，为C上一点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若P为C上一点，且PF1⊥F1F2，求△F1PF2的面积． 【分析】（1）由题意，根据条件先求解出c的值，然后根据椭圆定义求解出a的值，结合a2＝b2+c2求解出b的值，则方程可求； （2）根据PF1⊥F1F2先求解出P点坐标，然后由三角形面积公式求解出结果． 【解答】解：（1）不妨设椭圆C的焦距为2c， 因为|F1F2|＝2， 所以2c＝2， 解得c＝1， 即F1（﹣1，0），F2（1，0）， 此时，， 由椭圆的定义可得， 则， 故椭圆C的标准方程为； （2）因为PF1⊥F1F2， 所以xP＝﹣c＝﹣1， 解得， 则． 【点评】本题考查椭圆的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题． 学科网（北京）股份有限公司 $$