专题四 四边形的证明与计算 课件2025年中考数学人教版一轮复习专题复习（云南）

第二部分 题型突破篇 专题四 四边形的证明与计算 1 核心类型·突破练 2 核心类型·突破练 类型1 平行四边形的证明与计算 【典例1】 如图，在中,连接对角线,点,在线段上,连接 , ,,,且 . 3 （1）求证：四边形 是平行四边形; 证明： 四边形 是平行四边形， ,， . 在和 中， ， , ， ， ， 四边形 是平行四边形. 4 （2）若，，， ，求四边形 的周长. 解:如图，延长交于点 . 四边形 是平行四边形， , . ,, ， , ， ， 5 . 在中,由勾股定理，得 . 由（1）得四边形 是平行四边形, 四边形的周长为 . 名师点睛 平行四边形的判定的基本思路 （1）已知一组对边平行，证这组对边相等或另一组对边平行； （2）已知一组对边相等，证这组对边平行或另一组对边相等； （3）已知与对角线有关，证对角线互相平分. ［举一反三］ 1.（2024·北京）如图，在四边形中，是 的中点，，交于点，， . （1）求证：四边形 为平行四边形； 证明：是的中点， . ，是 的中位线， ， . ， 四边形 为平行四边形. 7 （2）若 ，，，求 的长. 解：由（1）知，是 的中位线， . ，， . ， . ， ， . 四边形 为平行四边形， . ，， . 8 类型2 矩形的证明与计算 【典例2】 如图，在菱形中，对角线，交于点，过点作 的垂线，垂足为，延长到点，使，连接 . 9 （1）求证：四边形 是矩形； 证明： 四边形 是菱形， 且 . ， ， 即， . ， 四边形 是平行四边形. ， ， 四边形 是矩形. 10 （2）若，，求 的长. 解： 四边形 是菱形， ，， . ， . 在 中，由勾股定理，得 , . ， ，解得 . 11 名师点睛 矩形的判定的基本思路 （1）已知四边形是一般四边形，证有三个角是直角或证对角线相互 平分且相等； （2）已知四边形是平行四边形，证有一个角是直角或对角线相等. 12 ［举一反三］ 2.（2024·昆明官渡区二模）如图，菱形的对角线，交于点 ， 点，分别在，的延长线上，且， . 13 （1）求证：四边形 是矩形； 证明： 四边形 是菱形， ， . ，，即 ， 四边形 是平行四边形. ， ， 平行四边形 是矩形. 14 （2）若，，求 的长. 解： 四边形 是菱形， ，， . 在中， ， ， . 四边形是矩形， . 15 在中， ， ， , 即的长为 . 16 3.（2024·昭通昭阳区一模）如图，为线段的中点，连接， ，且 ，过点作且，连接 . 17 （1）求证：四边形 是矩形； 证明：为线段的中点， . ， . 又， 四边形 是平行四边形. 且为线段 的中点， ，即 ， 四边形 是矩形. 18 （2）连接交于点，若 ，，求 的长. 解：由（1）知， . ， ， ， . 由四边形是矩形可知 . 在中，由勾股定理，得 . ，， ， ， ， 即,解得 ,的长为 . 19 4.（2024·昆明寻甸县二模）如图，平行四边形的对角线， 相 交于点，， . 20 （1）求证：四边形 是矩形； 证明： 四边形 是平行四边形， ，，， . ， ， ， ， ， 平行四边形 是矩形. 21 （2）若，平分，交边于点，过点作 于点，求 的长. 解：由（1）可知，四边形 是矩形， ，， . 平分 ， ， 是等腰直角三角形， ， . 22 ，，， ， . ， . ， 是等腰直角三角形， ，即的长为 . 类型3 菱形的证明与计算 【典例3】 （2024·昆明官渡区一模）如图，在平 行四边形中， ，是 的中点， 连接，过点作，交于点 . 24 （1）求证：四边形 是菱形； 证明： 四边形 是平行四边形， ，， . ， 四边形 是平行四边形. 是的中点， ， 四边形 是菱形. 25 （2）若平行四边形的周长为36，，求菱形 的面积. 解： 平行四边形 的周长为36， . ， ， ,解得 . 是的中点，， . ， . 26 名师点睛 菱形的判定的基本思路 27 ［举一反三］ 5.（2024·楚雄一模）如图，在平行四边形中，对角线与 相交 于点，于点，连接，， . 28 （1）求证：四边形 是菱形; 证明： 四边形是平行四边形，， ， ， . ， ， 是直角三角形，且 ， ， 平行四边形 是菱形. 29 （2）求 的周长. 解：由（1）知 . ， ， , 即， ， 的周长为 . 30 6.（2024·昆明西山区一模）如图，在矩形中，对角线 的垂直平 分线与相交于点，与相交于点，与相交于点 ，连接 ， . （1）求证：四边形 是菱形； 31 证明： 四边形 是矩形， ， . 垂直平分， . 在和 中， ， . 垂直平分,， ， ， 四边形 是菱形. 32 （2）若平分，，求矩形 的面积. 解：平分， . 四边形 是菱形， ， ， . ， . ， ， ， ， 矩形的面积为 . 33 7.（2024·保山一模）如图，在四边形 中， ，，对角线与相交于点 . （1）若，求证：四边形 是菱形； 证明：， . ， 四边形 是平行四边形. 对角线与相交于点， ， ， 平行四边形 是菱形. 34 （2）在（1）的条件下，过点作交于点，若 ， ，求 的长. 解：在菱形中，， . ，， , . ， ， ， ， ， ，即,解得 , . 35 类型4 正方形的证明与计算 【典例4】 （2024·楚雄二模）如图，在平行四边形 中， ，，过点作边的垂线交的延长线于点， 是 垂足，连接，，交于点 . 36 （1）求证：四边形 是正方形； 证明：，， . 四边形 是平行四边形， ， . 在与中， ，， 四边形 是平行四边形. ， ， 四边形 是正方形. 37 （2）若，求 的值. 解：由（1）知， . 四边形 是平行四边形， ，，， ， ，即 . ， . ，， . 由（1）知，， ， . 38 ［举一反三］ 8.如图，已知四边形为正方形，，为对角线 上一动点， 连接，过点作，交射线于点，以， 为邻边作矩形 ，连接 . （1）求证：矩形 是正方形. 39 证明：如图，过点作于点，过点作于点 . 四边形 为正方形， ， ， ，且 ， 四边形为正方形， . 四边形 是矩形， 40 , . 在和中， ， ， 矩形 为正方形. （2）探究： 的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是， 请说明理由. 解： 的值为定值. 矩形 为正方形， ， . 四边形 是正方形， ， ， . 42 在和中， ， . 而 , ,是定值. 名师点睛 正方形的判定的基本思路 44 $$