专题27.4 图形的相似（4大考点13类题型）（专项练习）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题27.4 图形的相似（4大考点13类题型）（专项练习） 第一部分【题型目录】 考点与题型目录 【考点1】成比例线段 【题型1】比例线段.....................................................1 【题型2】成比例线段...................................................2 【题型3】比例基本性质.................................................2 【考点2】相似多边形 【题型4】相似图形.....................................................3 【题型5】相似多边形...................................................3 【题型6】相似多边形的性质.............................................4 【考点3】平行线分线段成比例 【题型7】由平行判断线段成比例.........................................4 【题型8】由平行截线求相关线段的长度或比例.............................5 【题型9】由平行截线进行证明...........................................6 【题型10】由平行构造A（X）字型进行求值或证明.........................7 【题型11】黄金分割....................................................8 【考点4】直通中考与拓展延伸 【题型12】直通中考....................................................9 【题型13】拓展延伸....................................................9 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】比例线段 【1-1】（2024·江苏泰州·三模）为了将优质教育资源更好的惠及广大人民群众，某校设有凤凰路校区与春晖路校区，杨老师欲从凤凰路校区骑行去春晖路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间骑行的实际路程为，当地图上比例尺由变为时，则地图上两个校区的路程增加了 ． 【1-2】（2024·湖南益阳·模拟预测）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为 ． 【1-3】（22-23九年级下·河北承德·阶段练习）如图，将矩形纸片按照以下方法裁剪：剪去矩形边长的，边长的（称为第一次裁剪）；剪去剩下的矩形（阴影部分）边长的，长的（称为第二次裁剪）；如此操作下去，若第五次裁剪后，剩下的图形恰好是正方形，则原矩形的长宽比为（    ） A． B． C． D． 【题型2】成比例线段 【2-1】（23-24九年级上·四川达州·期末）已知线段、、满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【2-2】（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）已知，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【2-3】（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）已知，点C在线段上，是，的比例中项，则的长 ． 【题型3】比例基本性质 【3-1】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）已知a，b，c，d为四个不为0的数． (1)如果，求与的值； (2)如果，求证：． 【3-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【3-3】（23-24九年级上·全国·课后作业）如果（，，，均不为零），那么下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 【题型4】相似图形 【4-1】（24-25九年级上·上海闵行·期中）下列命题中，假命题是（　　） A．两个正方形一定相似 B．两个菱形一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似 【4-3】（20-21九年级上·河北保定·期中）如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（    ） A．1个 B．2个 C．3 D．4个 【题型5】相似多边形 【5-1】（2021九年级·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．点E在矩形ABCD的边BC上，连结AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的点B落在边AD上的点F处，得到矩形CDFE．若矩形CDFE与原矩形ABCD相似，则AD的长为 ． 【5-2】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）圆的外切正四边形与内接正四边形的边长之比是   ． 【题型6】相似多边形的性质 【6-1】（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的二面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则的值等于（   ） A． B． C．2 D． 【6-2】（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，矩形，小福在矩形左边分割出正方形，然后小龙在右边矩形的一组对边上分别取中点M，N分割出矩形和矩形，最后小马把矩形对半分割成矩形和矩形，若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比（    ） A． B． C． D． 【6-3】（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，四边形是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点A落在点H处，折痕为；使边落在边上，点B落在点G处（点H在点G的左侧），折痕为.若矩形与原矩形相似，且，则原矩形的面积为 . 【题型7】由平行判断线段成比例 【7-1】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知线段a、b、c，求作线段x，使，下列作法中（图中虚线均为平行线）不正确的是（   ） A．B．C． D． 【7-2】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，，点D、E分别在边、上，下列选项中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【7-3】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平行四边形中，是线段延长线上的一个点，连接，交于点，连接交于点，下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【题型8】由平行截线求相关线段的长度或比例 【8-1】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴的正半轴上，且，将沿x轴向右平移得到，与交于点F．若，则点D的坐标为 ． 【8-2】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，，它们依次交直线于点和点．如果，那么的值是 ． 【8-3】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，，，若，则的长为 ． 【题型9】由平行截线进行证明 【9-1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，已知，． (1)若，，．求的长； (2)求证：． 【9-2】（24-25九年级上·上海·假期作业）已知如图，点是边上一点，且，过点任作一条直线与、分别交于点和，求证：． 【9-3】（23-24八年级下·广东潮州·期中）中，D为中点，E为中点，直线交于F，求证：． 【题型10】由平行构造A（X）字型进行求值或证明 【10-1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，直线与双曲线交于A，B两点，交x轴于点C，若．则的面积为 ． 【10-2】（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，是的中线，点E是的中点，延长交于点F，若，则的长为 ． 【10-3】（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在中，，，垂足为，点在上，且，连接并延长交于点，，则的长为 ． 【10-4】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，矩形的边长，，E为的中点，F在边上，且，分别与、相交于点M，N． ①的度数是 ； ②线段的长为 ． 【题型11】黄金分割 【11-1】（24-25九年级上·陕西·期中）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点B落在点处，交于点E，若，则的值为 ． 【11-2】（2024·湖南·模拟预测）点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【11-3】（24-25九年级上·山西·期中）黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割，如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，则的长度为 ．    校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点（ 第三部分【直通中考与拓展延伸】 【题型12】直通中考 【12-1】．（2024·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：点与点关于原点对称；点是的中点；在的图象上任取点和点，如果，那么；．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【12-2】（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ． 【题型13】拓展延伸 【13-1】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，是等腰三角形，，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点F，交于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点E，连接．下列结论：①；②；③；④中，正确的有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【13-2】（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合思想的典型体现．如图，将弦图放置在以为原点的平面直角坐标系中，，分别是，轴正半轴上的动点，正方形中有如图四个全等的、、、，若是中点，连接并延长交于点，连接并延长交于，点是反比例函数（）图象上一点．    （1）若，则点的坐标为 ． （2）若点的坐标为，则 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题27.4 图形的相似（4大考点13类题型）（专项练习） 第一部分【题型目录】 考点与题型目录 【考点1】成比例线段 【题型1】比例线段.....................................................1 【题型2】成比例线段...................................................3 【题型3】比例基本性质.................................................5 【考点2】相似多边形 【题型4】相似图形.....................................................7 【题型5】相似多边形...................................................8 【题型6】相似多边形的性质.............................................9 【考点3】平行线分线段成比例 【题型7】由平行判断线段成比例........................................12 【题型8】由平行截线求相关线段的长度或比例............................14 【题型9】由平行截线进行证明..........................................16 【题型10】由平行构造A（X）字型进行求值或证明........................19 【题型11】黄金分割...................................................24 【考点4】直通中考与拓展延伸 【题型12】直通中考...................................................27 【题型13】拓展延伸...................................................31 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】比例线段 【1-1】（2024·江苏泰州·三模）为了将优质教育资源更好的惠及广大人民群众，某校设有凤凰路校区与春晖路校区，杨老师欲从凤凰路校区骑行去春晖路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间骑行的实际路程为，当地图上比例尺由变为时，则地图上两个校区的路程增加了 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例尺的运用，掌握比例尺的计算方法是解题的关键． 根据进行计算即可求解，计算时注意单位的换算，单位要统一． 解：实际路程为， 当比例尺为时，图示距离为， 当比例尺为时，图上距离为， ∴， 故答案为： ． 【1-2】（2024·湖南益阳·模拟预测）小明家乡有一小山，他查阅资料得到该山“等高线示意图”（如图所示），山上有三处观景台A，B，C在同一直线上，将这三点标在“等高线示意图”后，刚好都在相应的等高线上，设A、B两地的实际直线距离为m，B、C两地的实际直线距离为n，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了比例线段．根据题意，得出、两地的实际直线距离，、两地的实际直线距离，然后求根据比例线段求值即可． 解：由题意，得、两地的实际直线距离为，、两地的实际直线距离为， ， 即． 故答案为：2． 【1-3】（22-23九年级下·河北承德·阶段练习）如图，将矩形纸片按照以下方法裁剪：剪去矩形边长的，边长的（称为第一次裁剪）；剪去剩下的矩形（阴影部分）边长的，长的（称为第二次裁剪）；如此操作下去，若第五次裁剪后，剩下的图形恰好是正方形，则原矩形的长宽比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设原矩形的长为x，宽为y，则第一次裁剪所得矩形的长为，宽为，以此类推得出第五次剪所得矩形有，即可求出答案． 解：设原矩形的长为x，宽为y， 则第一次裁剪所得矩形的长为，宽为， 第二次裁剪所得矩形的长为，宽为， 第三次裁剪所得矩形的长为，宽为， 第四次裁剪所得矩形的长为，宽为， 第五次裁剪所得剩下的图形恰好是正方形， ，． 故选：A． 【点拨】本题考查矩形的性质，正方形的性质，熟悉掌握该知识点是解题关键． 【题型2】成比例线段 【2-1】（23-24九年级上·四川达州·期末）已知线段、、满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值． 【答案】(1)；(2)． 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．注意利用代数的方法解决较为简便． （1）利用，可设，，，则，然后解出的值即可得到、、的值； （2）根据比例中项的定义得到，即，然后根据算术平方根的定义求解． 解：（1）， 设，，， 又， ， 解得， ，，； （2）是、的比例中项， ， ， 或（舍去）， 即的值为． 【2-2】（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）已知，，，是成比例线段，其中，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段成比例的性质，根据线段中，最长线段与最短线段的积等于另外两段线段的积，由此即可求解． 解：当是最长线段时，则有， ∴，不符合题意，舍去； 当是最长线段时，则有， ∴，符合题意； 故选：B ． 【2-3】（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）已知，点C在线段上，是，的比例中项，则的长 ． 【答案】 【分析】此题考查了比例中项的定义，首先设，由线段，可求得的值，又由是，的比例中项，列方程即可求得线段的长． 解：∵，点C在线段上， ∴设，则， ∵是，的比例中项， ∴， 即， 整理得 解得：， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型3】比例基本性质 【3-1】（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）已知a，b，c，d为四个不为0的数． (1)如果，求与的值； (2)如果，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题主要考查了比例的性质： （1）先根据已知条件得到，再分别代入进行求解即可； （2）设，则，，再代入计算即可证明结论成立． 解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：设，则，， ∴，， ∴． 【3-2】（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 解：A. ， ∵是线段， ， ， 故A选项正确； B.若满足此时 ， ， ，故B选项错误； C.已知线段m，且 所以 当分子分母同时加上一个正数，分数变大，即 故C选项错误； D.若满足 此时，故D选项错误. 故选: A. 【3-3】（23-24九年级上·全国·课后作业）如果（，，，均不为零），那么下列比例式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的基本性质，根据比例的基本性质，将选项中给出的比列式进行变形即可，解题的关键是熟练掌握比例的基本性质． 解：、由，则，此选项不符合题意； 、由，则，此选项不符合题意； 、由，则，此选项符合题意； 、由，则，此选项不符合题意； 故选：． 【题型4】相似图形 【4-1】（24-25九年级上·上海闵行·期中）下列命题中，假命题是（　　） A．两个正方形一定相似 B．两个菱形一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似 【答案】B 【分析】本题考查了相似形的判定及命题的真假判断，根据相似图形的定义逐项判断即可求解，掌握正方形、菱形、等腰直角三角形和等边三角形的性质是解题的关键． 解：、两个正方形角都是直角一定相等，四条边都相等一定成比例，所以一定相似，故选项是真命题； 、两个菱形的边成比例，但角不一定相等，所以不一定相似，故选项是假命题； 、两个等腰直角三角形的底角都是一定相等，所以一定相似，故选项是真命题； 、两个等边三角形的角都是一定相等，所以一定相似，故选项是真命题； 故选：B． 【4-3】（20-21九年级上·河北保定·期中）如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（    ） A．1个 B．2个 C．3 D．4个 【答案】C 【分析】根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案． 解：矩形的原图与外框不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件； 正五边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件； 菱形的原图与外框相似，因为其对应角均相等，对应边均对应成比例，符合相似的条件． 综上，外框与原图一定相似的有3个， 故选：C． 【点拨】本题主要考查了相似图形的概念，注意边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形． 【题型5】相似多边形 【5-1】（2021九年级·全国·专题练习）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，AB＝2．点E在矩形ABCD的边BC上，连结AE，将矩形ABCD沿AE翻折，翻折后的点B落在边AD上的点F处，得到矩形CDFE．若矩形CDFE与原矩形ABCD相似，则AD的长为 ． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可． 解：∵矩形CDFE∽矩形ADCB， ∴＝，即＝， 整理得，AD2﹣2AD﹣4＝0， 解得，AD1＝1﹣（舍去），AD2＝， 故答案为：． 【点拨】本题考查的是相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 【5-2】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）圆的外切正四边形与内接正四边形的边长之比是   ． 【答案】/ 【分析】本题考查相似图形，余弦定理，相似比，熟练掌握相似图形的相似比是解题的关键； 根据题意作图，只需在中，找到即可求解； 解：根据题意作图如下，连接， 同圆的外切正四边形与内接正四边形相似， ， ， 在中， ， ， 圆的外切正四边形与内接正四边形的边长之比为：， 故答案为： 【题型6】相似多边形的性质 【6-1】（24-25九年级上·山西太原·阶段练习）如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的二面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则的值等于（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】此题考查了矩形的性质，相似多边形的性质，由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 解：由题意知， ， ∵裁出的每面彩旗与矩形绸布相似， ， ， ， (舍去)或 故选：D． 【6-2】（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，矩形，小福在矩形左边分割出正方形，然后小龙在右边矩形的一组对边上分别取中点M，N分割出矩形和矩形，最后小马把矩形对半分割成矩形和矩形，若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，相似多边形的性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 设，，由矩形与矩形相似得，求出，解方程得，先求出，进而可求出． 解：由题意得，，，． 设，， 则，， ∵是正方形， ∴， ∴． ∵矩形与矩形相似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 故选D． 【6-3】（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，四边形是一张矩形纸片.将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点A落在点H处，折痕为；使边落在边上，点B落在点G处（点H在点G的左侧），折痕为.若矩形与原矩形相似，且，则原矩形的面积为 . 【答案】 【分析】本题考查矩形的折叠问题、相似多边形的性质等知识点，掌握相似形的性质成为解题的关键． 先根据折叠的性质与矩形性质得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，可求得x，进而求得,最后求矩形的面积即可． 解：由折叠可得：，， ∵矩形中， ∴， 设的长为x，则， ∵矩形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即，解得：（负值不符合题意，舍去） ∴， ∴原矩形的面积为． 故答案为：． 【题型7】由平行判断线段成比例 【7-1】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）已知线段a、b、c，求作线段x，使，下列作法中（图中虚线均为平行线）不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 解：A、由图知，，则，即，正确，故选项不符合题意； B、由图知，，则，即，正确，故选项不符合题意； C、由图知，，则，即，正确，故选项不符合题意； D、由图知，，则，即，错误，故选项符合题意； 故选：D． 【7-2】（24-25九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，，点D、E分别在边、上，下列选项中不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，根据平行线分线段成比例定理即可逐一判断，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 解：A、能判断，故选项不符合题意； B、不能判断，故选项符合题意； C、能判断，故选项不符合题意； D、能判断，故选项不符合题意； 故选：B． 【7-3】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平行四边形中，是线段延长线上的一个点，连接，交于点，连接交于点，下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形的性质得到平行线，利用平行线分线段成比例定理计算判断即可． 解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故A正确； ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故C正确； ∵平行四边形， ∴， ∴, 故D正确； ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， 故B错误； 故选B． 【点拨】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． 【题型8】由平行截线求相关线段的长度或比例 【8-1】（2024·宁夏银川·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴的正半轴上，且，将沿x轴向右平移得到，与交于点F．若，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】由点，，可得，由平移的性质可知，，，则，可求，，进而可求点D的坐标． 解：∵点，， ∴， 由平移的性质可知，，， ∴， 解得，， ∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，平移的性质，平行线分线段成比例，点坐标等知识．熟练掌握等腰三角形的性质，平移的性质，平行线分线段成比例，点坐标是解题的关键． 【8-2】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，，它们依次交直线于点和点．如果，那么的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，利用平行线分线段成比例定理求解即可，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理． 解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【8-3】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，，，若，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，先根据建立等式求出，再根据建立等式，即可求出的值． 解：∵， ∴． ∵， ∴，即，解得，或（舍去）． ∵， ∴，即，解得， 故答案为：． 【题型9】由平行截线进行证明 【9-1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）如图，已知，． (1)若，，．求的长； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． （1）先求出，根据，得出，代入数据求出结果即可； （2）根据，得出，根据，得出，求出结果即可． 解：（1）∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【9-2】（24-25九年级上·上海·假期作业）已知如图，点是边上一点，且，过点任作一条直线与、分别交于点和，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】过点作，构造平行四边形，得到，再根据平行线分线段成比例定理，得到和，结合即可得证． 解：证明：过点分别作，， 得到四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， ， ， 即． 【点拨】本题考查的知识点是平行四边形性质、平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理． 【9-3】（23-24八年级下·广东潮州·期中）中，D为中点，E为中点，直线交于F，求证：． 【分析】本题主要考查了三角形中位线的性质及平行线分线段成比例定理，作的中点G，连接，证明，即可得出，进而可证明，即可得出． 解：证明：作的中点G，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型10】由平行构造A（X）字型进行求值或证明 【10-1】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，直线与双曲线交于A，B两点，交x轴于点C，若．则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是作于，于．设．利用平行线分线段成比例定理，求出点的坐标，再证明，利用梯形的面积公式求解即可． 解：如图，作于，于．设． 于，于， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， 故答案为：． 【10-2】（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，是的中线，点E是的中点，延长交于点F，若，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，平行线分线段成比例，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．取的中点H，连接，即可得出是的中位线，由中位线定理即可得出 ，由平行线分线段成比例即可得出，即可得出点F是的中点，进而可得出． 解：取的中点H，连接， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴． ∴点F是的中点， ∴， ∴， 故答案为：2． 【10-3】（24-25九年级上·山西运城·期中）如图，在中，，，垂足为，点在上，且，连接并延长交于点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 作与交于点，先得到，，再算出，进而知道，从而可知． 解：如图，作与交于点， ∴， ∴，， 又∵，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【10-4】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）如图，矩形的边长，，E为的中点，F在边上，且，分别与、相交于点M，N． ①的度数是 ； ②线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，矩形的性质，灵活根据不同的平行线表示线段之间的关系是解题的关键． ①证明是等腰直角三角形即可； ②和的延长线交于H，如图，先利用勾股定理得到，利用得到，则可计算出，接着利用得到，则可计算出，然后利用得到，可计算出，最后根据计算即可． 解：①∵矩形的边长，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：； ②延长和的延长线交于，如图， ∵是的中点， ∴， 由①可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ， ∴， 故答案为：． 【题型11】黄金分割 【11-1】（24-25九年级上·陕西·期中）宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．如图，把黄金矩形沿对角线翻折，点B落在点处，交于点E，若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识点，利用黄金比例表示各线段的长是解题的关键．设宽，根据比例表示长，证明，在中，利用勾股定理即可求得结果． 解：设宽为， ∵宽与长的比是， ∴长为：， 由折叠的性质可知，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， 变形得：， ∴， 故答案为∶． 【11-2】（2024·湖南·模拟预测）点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割点及黄金分割比，涉及无理数的估算，理解题意，根据黄金分割点及分割比的定义列式求出，再由无理数的估算即可得到答案，理解题意，准确列式求出是解决问题的关键． 解：是线段的黄金分割点， 如图所示： ， ， ， ， ，则， 故选：B． 【11-3】（24-25九年级上·山西·期中）黄金分割大量应用于艺术、大自然中，树叶的叶脉也蕴含着黄金分割，如图，P为的黄金分割点（），如果的长度为，则的长度为 ．    校园里一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点（ 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，熟练掌握黄金比是解题的关键． 根据黄金分割的定义可得，由此求解即可． 解：设，则， 由题意可得，， ∴， ∴，（不合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 第三部分【直通中考与拓展延伸】 【题型12】直通中考 【12-1】．（2024·新疆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，轴于点，连接交轴于点，结合图象判断下列结论：点与点关于原点对称；点是的中点；在的图象上任取点和点，如果，那么；．其中正确结论的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，根据反比例函数的性质逐项判断即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 解：∵直线与双曲线交于两点， ∴点与点关于原点对称，故正确； ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点，故正确； ∵， ∴在每一象限内，随的增大而减小， 当在同一象限内时，如果，那么；当不在同一象限内时，如果，那么，故错误； ∵轴， ∴， ∵点与点关于原点对称， ∴， ∵点是的中点， ∴，故正确； ∴正确结论有个， 故选：． 【12-2】（2024·江苏南通·中考真题）如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作，易得为等腰直角三角形，设，得到，证明，得到，进而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根据平行线分线段成比例，求出的长即可． 解：过点作，则：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点拨】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形． 【题型13】拓展延伸 【13-1】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）如图，是等腰三角形，，．以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点F，交于点G，分别以点F和点G为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点H，作射线交于点D；分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点E，连接．下列结论：①；②；③；④中，正确的有（    ）个. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据等腰三角形两底角相等与，得到，根据角平分线定义得到，根据线段垂直平分线性质得到，得到，推出，得到，推出；根据等角对等边得到，，根据三角形外角性质得到，得到，推出，即可证明；根据平行线成比例定理判断；根据三角形内角和定理和三线合一定理得到． 解：∵中，，， ∴， 由作图知，平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，，故③正确； ∴， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ∴， ∴，故②正确； 设，， 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴（负值舍去）， 即，故①正确； ∵，， ∴，故④正确； 故选：D． 【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，平行线成比例，以及线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，解决问题的关键是熟练掌握等腰三角形判定和性质，角平分线的定义和线段垂直平分线的性质． 【13-2】（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）“赵爽弦图”被人们称为“中国古代数学的图腾”，是数形结合思想的典型体现．如图，将弦图放置在以为原点的平面直角坐标系中，，分别是，轴正半轴上的动点，正方形中有如图四个全等的、、、，若是中点，连接并延长交于点，连接并延长交于，点是反比例函数（）图象上一点．    （1）若，则点的坐标为 ． （2）若点的坐标为，则 ． 【答案】 【分析】（1）证明四边形是正方形，由是的中点，可得，，则，由，，可得，由，可得，同理，则，设，则，计算求出满足要求的解，进而可得结果； （2）由（1）可知，，则，可求，即，，． 解：（1）解：由题意可知，，，， ∴，， ∴四边形是正方形， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∵点是反比例函数（）图象上， ∴， 解得，，（舍去）， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）可知，， ∵坐标为， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵点是反比例函数（）图象上， ∴， 故答案为：． 【点拨】本题考查了全等三角形的性质，正方形的判定与性质，平行线分线段成比例，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式等知识．熟练掌握全等三角形的性质，正方形的判定与性质，平行线分线段成比例，反比例函数与几何综合，反比例函数解析式是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$