专题9.4 空间几何体的表面积和体积（考点精讲）-【中职专用】2025年中职高考数学一轮复习讲练测（河南专用）

专题9.4 空间几何体的表面积和体积 【考纲要求】 1. 通过对棱柱、棱锥的研究，掌握棱柱、棱锥的表面积和体积计算公式．. 2. 通过对圆柱、圆锥、球的研究，掌握圆柱、圆锥、球的表面积和体积计算公式. 【考向预测】 1.棱柱、棱锥的表面积和体积计算 2.圆柱、圆锥、球的表面积和体积计算 知识点一：空间几何体的结构特征 1、多面体的结构特征 1.1棱柱 （1）棱柱的定义 定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 （2）棱柱的图形 （3）棱柱的分类及表示 ①按棱柱底面边数分类: ②按棱柱侧棱与底面位置关系分类: ③直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱 表示法：用各顶点字母表示棱柱，如图棱柱 1.2棱锥 （1）棱锥的定义 定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 （2）棱锥的图形 （3）棱锥的分类及表示 按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为： 三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 特别地，三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥 表示法：棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如图棱锥. 2、旋转体的结构特征 2.1圆柱 （1）圆柱的定义 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 圆柱的轴：旋转轴 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 （2）圆柱的图形 （3）圆柱的表示 圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱 2.2圆锥 （1）圆锥的定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 锥体：棱锥和圆锥统称为锥体 （2）圆锥的图形 （3）圆锥的表示 用表示它的轴的字母表示，如图，圆锥 2.3球 球的表面积和体积 （1）球的表面积： （2）球的体积: 知识点二：直观图 1、空间几何体的直观图的绘制方法 （1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点, 画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点, 且使”(或）, 它们确定的平面表示水平面； （2）画底面. 已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段； （3）画侧棱. 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半； （4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图. 2、斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 知识点三：柱、锥、球的表面积和体积 几何体 表面积 体积 柱体（棱柱，圆柱） 椎体（棱锥，圆锥） 球 知识点四：圆柱、圆锥的侧面展开图及侧面积公式 几何体 圆柱 圆锥 图示 侧面积公式 常用结论 1.球的截面的性质 (1)球的截面是圆面,且球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面； (2)球心到截面的距离与球的半径及截面的半径的关系为 考点一：空间几何体的面积 【例1】已知某圆柱体的底面半径为，高为，则该圆柱体的侧面的面积为（       ） A． B． C． D． 【变式探究】已知长方体的长、宽、高分别为5，4，3，那么该长方体的表面积为（       ） A．20 B．47 C．60 D．94 【例2】若一个正方体的体对角线长为a，则这个正方体的全面积为（       ） A． B． C． D． 【变式探究】用长为4，宽为2的矩形绕其一边旋转构成一个圆柱，则此圆柱的侧面积为（       ） A．8π B．16π C．24π D．32π 【例3】若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且直角边长为，则该圆锥的侧面积为（        ） A． B． C． D． 【变式探究】已知圆锥的轴截面是边长为1的等边三角形，则该圆锥表面积为（       ） A． B． C． D． 【例4】一个正方体的顶点都在同一个球的球面上，该正方体的棱长为a，则球的表面积是（       ） A． B． C． D． 【变式探究】正方体的外接球与内切球的表面积之比是（       ） A． B．3 C． D． 【例5】半径为2cm的小金属球共有125个，熔化后铸成一个大金属球，如果不计损耗，可铸成的大金属球的表面积为（       ） A．100 B．400 C．100 D．400 【变式探究】长､宽､高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 . 【例6】三棱锥中，已知两两垂直，且，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【变式探究】已知圆柱的轴截面是正方形，若圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积之比为 ． 考点二：空间几何体的体积 【例1】已知某圆柱的高为5，底面半径为，则该圆柱的体积为（       ） A．6π B．9π C．12π D．15π 【变式探究】如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是，那么圆柱的体积等于（       ） A． B． C． D． 【例2】若一个圆锥的底面半径为1，母线长为，则圆锥的体积是（       ） A． B． C． D． 【变式探究】已知一个圆锥的母线长为6，侧面积为，则此圆锥的体积为（       ） A． B． C． D． 【例3】如图所示，正方体的棱长为1，则三棱锥D-ACD1的体积是（       ） A． B． C． D．1 【变式探究】在底面半径为1的圆锥中，若该圆锥侧面展开图的面积是2π，则该圆锥的体积为 . 【例4】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积是 . 【变式探究】一平面截一球得到直径为的圆面，球心到这个平面的距离是，则该球的体积是（       ） A． B． C． D． 【例5】已知一个圆柱的表面积等于侧面积的，且其轴截面（过其轴的一个平面与该圆柱形成的截面）的周长为16，则该圆柱的体积为 . 【变式探究】若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球体积扩大为原来的（       ） A．倍 B．4倍 C．倍 D．倍 【例6】已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（       ） A． B． C． D． 【变式探究】“圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的侧面及上、下底面均相切，则该圆柱的体积与球的体积之比为（       ） A．2 B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9.4 空间几何体的表面积和体积 【考纲要求】 1. 通过对棱柱、棱锥的研究，掌握棱柱、棱锥的表面积和体积计算公式．. 2. 通过对圆柱、圆锥、球的研究，掌握圆柱、圆锥、球的表面积和体积计算公式. 【考向预测】 1.棱柱、棱锥的表面积和体积计算 2.圆柱、圆锥、球的表面积和体积计算 知识点一：空间几何体的结构特征 1、多面体的结构特征 1.1棱柱 （1）棱柱的定义 定义：一般地，有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行 ，由这些面所围成的多面体叫做棱柱 底面(底)：两个互相平行的面 侧面：其余各面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：侧面与底面的公共顶点 （2）棱柱的图形 （3）棱柱的分类及表示 ①按棱柱底面边数分类: ②按棱柱侧棱与底面位置关系分类: ③直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱 表示法：用各顶点字母表示棱柱，如图棱柱 1.2棱锥 （1）棱锥的定义 定义：有一面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥 底面：多边形面 侧面：有公共顶点的各三角形面 侧棱：相邻侧面的公共边 顶点：各侧面的公共顶点 （2）棱锥的图形 （3）棱锥的分类及表示 按照棱锥的底面多边形的边数，棱锥可分为： 三棱锥、四棱锥、五棱锥…… 特别地，三棱锥又叫四面体，底面是正多边形，且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥 表示法：棱锥也用顶点和底面各顶点字母表示，如图棱锥. 2、旋转体的结构特征 2.1圆柱 （1）圆柱的定义 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体 圆柱的轴：旋转轴 圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面 圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边 （2）圆柱的图形 （3）圆柱的表示 圆柱用表示它的轴的字母表示，如图，圆柱 2.2圆锥 （1）圆锥的定义 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体 轴：旋转轴叫做圆锥的轴 底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面 侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面 母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边 锥体：棱锥和圆锥统称为锥体 （2）圆锥的图形 （3）圆锥的表示 用表示它的轴的字母表示，如图，圆锥 2.3球 球的表面积和体积 （1）球的表面积： （2）球的体积: 知识点二：直观图 1、空间几何体的直观图的绘制方法 （1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点, 画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点, 且使”(或）, 它们确定的平面表示水平面； （2）画底面. 已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段； （3）画侧棱. 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半； （4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图. 简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图. 2、斜二测画法保留了原图形中的三个性质 ①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变． 知识点三：柱、锥、球的表面积和体积 几何体 表面积 体积 柱体（棱柱，圆柱） 椎体（棱锥，圆锥） 球 知识点四：圆柱、圆锥的侧面展开图及侧面积公式 几何体 圆柱 圆锥 图示 侧面积公式 常用结论 1.球的截面的性质 (1)球的截面是圆面,且球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面； (2)球心到截面的距离与球的半径及截面的半径的关系为 考点一：空间几何体的面积 【例1】已知某圆柱体的底面半径为，高为，则该圆柱体的侧面的面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，则该圆柱体的侧面的面积为， 故选：D. 【变式探究】已知长方体的长、宽、高分别为5，4，3，那么该长方体的表面积为（       ） A．20 B．47 C．60 D．94 【答案】D 【解析】长方体的长、宽、高分别为5，4，3， 所以该长方体的表面积为， 故选：D. 【例2】若一个正方体的体对角线长为a，则这个正方体的全面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设正方体的棱长为x，则，即， 所以正方体的全面积为， 故选：A. 【变式探究】用长为4，宽为2的矩形绕其一边旋转构成一个圆柱，则此圆柱的侧面积为（       ） A．8π B．16π C．24π D．32π 【答案】B 【解析】若以边长4为轴，旋转成一个圆柱，则侧面积， 若以边长2为轴，旋转成一个圆柱，则侧面积， 故选：B. 【例3】若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且直角边长为，则该圆锥的侧面积为（        ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为圆锥的轴截面是直角边长为的等腰直角三角形， 所以圆锥的母线长为，底面直径长为，半径为， 则此圆锥的侧面积为， 故选：B． 【变式探究】已知圆锥的轴截面是边长为1的等边三角形，则该圆锥表面积为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由圆锥的轴截面是边长为1的等边三角形可知： 圆锥的底面圆半径，母线长， 所以圆锥的表面积为， 故选：D. 【例4】一个正方体的顶点都在同一个球的球面上，该正方体的棱长为a，则球的表面积是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】正方体的对角线是球的直径， 所以，则， 所以球的表面积， 故选：D. 【变式探究】正方体的外接球与内切球的表面积之比是（       ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【解析】设正方体的棱长为，则其外接球的半径为，内切球的半径为， 所以正方体的外接球与内切球的表面积之比是， 故选：B. 【例5】半径为2cm的小金属球共有125个，熔化后铸成一个大金属球，如果不计损耗，可铸成的大金属球的表面积为（       ） A．100 B．400 C．100 D．400 【答案】D 【解析】设大金属球的半径为， 则， 所以其表面积为， 故选：D. 【变式探究】长､宽､高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 . 【答案】 【解析】设球的半径为，由于长方体的体对角线为其外接球的直径， 则，故该球的表面积为， 故答案为：. 【例6】三棱锥中，已知两两垂直，且，则三棱锥的外接球的表面积为 . 【答案】 【解析】 以线段为相邻的三条棱为长方体，连接,,,即为三棱锥， ∵如图所示，长方体的外接球与三棱锥的外接球相同， ∴则其外接球直径为长方体对角线的长，设外接球的半径为， 则，解得， 则， 故答案为:. 【变式探究】已知圆柱的轴截面是正方形，若圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的表面积与球的表面积之比为 ． 【答案】3∶2 【解析】设球的半径为R，由题意得圆柱的底面半径为R，高为2R， ∴圆柱的表面积为：S1＝2πR×2R＋2πR2＝6πR2，球的表面积为：S2＝4πR2， 所以圆柱的表面积与球的表面积之比为：， 故答案为：3∶2. 考点二：空间几何体的体积 【例1】已知某圆柱的高为5，底面半径为，则该圆柱的体积为（       ） A．6π B．9π C．12π D．15π 【答案】D 【解析】由题意得该圆柱的体积为， 故选：D. 【变式探究】如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是，那么圆柱的体积等于（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为圆柱的轴截面为正方形，设圆柱的底面半径为r， 则高为2r，，则， 故圆柱的体积为， 故选：D. 【例2】若一个圆锥的底面半径为1，母线长为，则圆锥的体积是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为圆锥的底面半径为1，母线长为， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积为， 故选：C. 【变式探究】已知一个圆锥的母线长为6，侧面积为，则此圆锥的体积为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆锥的底面半径为，高为，则，得， 所以圆锥的高为， 因此该圆锥的体积， 故选：C． 【例3】如图所示，正方体的棱长为1，则三棱锥D-ACD1的体积是（       ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】三棱锥D-ACD1的体积等于三棱锥D1-ACD的体积， 三棱锥D1-ACD的底面ACD是直角边长为1的等腰直角三角形，高D1D=1， ∴三棱锥D-ACD1的体积为V=×1×1×1=， 故选：A. 【变式探究】在底面半径为1的圆锥中，若该圆锥侧面展开图的面积是2π，则该圆锥的体积为 . 【答案】 【解析】设圆锥每线长为，底面半径为， 则圆锥侧面展开图的面积为，得， 所以圆锥的体积为， 故答案为：. 【例4】三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，长分别为a，b，c，则这个三棱锥的体积是 . 【答案】 【解析】 不妨设，，，且两两互相垂直， ， 又，，平面，， 平面， ， 故答案为：. 【变式探究】一平面截一球得到直径为的圆面，球心到这个平面的距离是，则该球的体积是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 设球心为，截面圆心为，连接， 则垂直于截面圆，如图所示， 在中，，， 球的半径， 球的体积， 故选：B. 【例5】已知一个圆柱的表面积等于侧面积的，且其轴截面（过其轴的一个平面与该圆柱形成的截面）的周长为16，则该圆柱的体积为 . 【答案】 【解析】令圆柱高为，底面半径为， 则，可得， 所以圆柱的体积为， 故答案为：. 【变式探究】若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍，则球体积扩大为原来的（       ） A．倍 B．4倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【解析】若球的最大截面圆面积扩大为原来的2倍， 则球的半径扩大为原来的倍， 则球体积扩大为原来的倍， 故选：C. 【例6】已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则该圆柱的外接球的体积为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图，O为外接球球心，母线BB1长度为2，底面半径r=O2B=1， 易得外接球半径， ∴外接球体积， 故选：B. 【变式探究】“圆柱容球”是指圆柱形容器里放了一个球，且球与圆柱的侧面及上、下底面均相切，则该圆柱的体积与球的体积之比为（       ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得：圆柱的高及底面圆的直径为球的直径， 设球的半径为R，则圆柱的体积为：， 球的体积为， 所以圆柱的体积与球的体积之比为， 故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$