专题9.3 空间中的垂直关系（考点精练）-【中职专用】2025年中职高考数学一轮复习讲练测（河南专用）

专题9.3 空间中的垂直关系 1．已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2. 下列说法中可以判断直线平面的是（       ） A．直线l与平面内的一条直线垂直 B．直线l与平面内的两条直线垂直 C．直线l与平面内的两条相交直线垂直 D．直线l与平面内的无数条直线垂直 3. 在三棱锥中，平面，垂足为，且，则点一定是的（       ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 4．在长方体中，，，，直线与平面所成的角是（       ） A．45° B．90° C．正切值为2 D．正切值为 5．若一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为（       ） A． B． C． D． 6．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，，则这个三棱锥的四个面中，是直角三角形的个数有 个. 7．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的 直线都垂直，那么此直线与该平面垂直. 8．正方体的个顶点中任意选择个点，记这个点确定的平面为，则垂直于直线的平面的个数为 ． 9．平行四边形的对角线交点为O，点P在平行四边形所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是 . 10．如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，侧面底面，求证：平面平面． 11．如图，已知在平面内有平行四边形，点是它的对角线的交点，点在外，且，.求证：. 12．如图，是正方形，直线底面，，是的中点. （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正切值. 1．如图，将一张三角形纸片沿着BC边上的高AD翻折后竖立在桌面上，则折痕AD所在直线与桌面所成的角等于（     ） A． B． C． D． 2．已知二面角的平面角是锐角，平面上有一点C到的距离为3，点C到棱AB距离为4，那么（       ） A． B． C． D． 3．如图，正方体的棱长为1，则点到平面的距离是（ ） A． B． C． D．4 4．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，则与平面所成角的正弦值为（       ） A． B． C． D． 5．已知矩形的两边，，平面，且，则二面角的正切值为（ ） A． B． C． D． 6．在正方体中，与平面所成的角的正切值为 . 7．如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有 个． ①AC⊥SB； ②AB∥平面SCD； ③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD； ④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角． 8．在正方体中，二面角平面角的正切值为 . 9．如图，在直二面角中，和分别在平面和上，它们都垂直于，且，，，则 ． 10．如图，四棱锥中，底面四边形为菱形，，为等边三角形. （1）求证：； （2）若，，求直线与平面所成的角. 11．如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA （1）求证：PB⊥平面APD； （2）若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD． 12．如图，在矩形中，，，沿对角线把△折起，使点移到点，且在平面内的射影恰好落在上． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9.3 空间中的垂直关系 1．已知m，n是两条不重合的直线，是一个平面，，则“”是“”的（       ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由线面垂直的性质知，若，，则成立，即充分性成立； 根据线面垂直的定义，必须垂直平面内的两条相交直线，才有，即必要性不成立， 故选：A. 2. 下列说法中可以判断直线平面的是（       ） A．直线l与平面内的一条直线垂直 B．直线l与平面内的两条直线垂直 C．直线l与平面内的两条相交直线垂直 D．直线l与平面内的无数条直线垂直 【答案】C 【解析】根据线面垂直的判定定理： 直线垂直平面内两条相交直线，强调两条、相交，A 、B不正确，C正确； 根据线面垂直定义： 直线垂直平面内得任一条直线，此时强调任一条，不是无数条，因为这无数条直线可能是平行的，D不正确， 故选：C． 3. 在三棱锥中，平面，垂足为，且，则点一定是的（       ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】如图所示，分别连接， 因为平面，可得 又因为，利用勾股定理，可得， 所以点一定是的外心， 故选: B. 4．在长方体中，，，，直线与平面所成的角是（       ） A．45° B．90° C．正切值为2 D．正切值为 【答案】A 【解析】长方体中， 直线平面，所以就是直线与平面所成的角， 在中，，， 所以， 所以， 故选：A. 5．若一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍，则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为， 因为圆锥的侧面积是底面积的2倍，所以，解得， 设该圆锥的母线与底面所成角，则，所以， 故选：C. 6．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，，则这个三棱锥的四个面中，是直角三角形的个数有 个. 【答案】4 【解析】由于平面，所以， 所以三角形和三角形是直角三角形， 由于，所以， 三角形是直角三角形，由于，所以平面， 所以，所以三角形是直角三角形， 所以三棱锥四个面中，是直角三角形的个数有个， 故答案为：. 7．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面上的 直线都垂直，那么此直线与该平面垂直. 【答案】两条相交 【解析】直线与平面垂直的判定定理： 如果一条直线与一个平面上的两条相交直线都垂直，那么此直线与该平面垂直， 故答案为：两条相交． 8．正方体的个顶点中任意选择个点，记这个点确定的平面为，则垂直于直线的平面的个数为 ． 【答案】2 【解析】 与直线垂直的平面有平面和平面， 所以与直线垂直的平面的个数为， 故答案为：2． 9．平行四边形的对角线交点为O，点P在平行四边形所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是 . 【答案】垂直 【解析】如图: 因为四边形为平行四边形,所以点为和的中点, 因为,所以, 因为,所以, 因为平面,平面,且, 所以平面. 故答案为:垂直. 10．如图所示，在四棱锥中，底面是矩形，侧面底面，求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【解析】证明：由底面为矩形，则， ∵面面，面面，面，∴面， 又平面，∴平面平面． 11．如图，已知在平面内有平行四边形，点是它的对角线的交点，点在外，且，.求证：. 【答案】证明见解析 【解析】证明：因为四边形是平行四边形， 点是它的对角线的交点，所以， 又因为，所以，同理， 因为，所以， 又因为，平面，平面， 所以. 12．如图，是正方形，直线底面，，是的中点. （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）证明： 连接，交于，连接， 四边形为正方形，为中点， 又为中点，， 平面，平面， 平面. （2）解：平面，直线与平面所成角即为， ，  设，则， ． 1．如图，将一张三角形纸片沿着BC边上的高AD翻折后竖立在桌面上，则折痕AD所在直线与桌面所成的角等于（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意可知，所以平面， 所以折痕AD所在直线与桌面所成的角等于， 故选：C. 2．已知二面角的平面角是锐角，平面上有一点C到的距离为3，点C到棱AB距离为4，那么（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图，作于点，平面于点，连接， 因为平面，所以， 又，且平面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因此，，， 所以， ， 故选：B. 3．如图，正方体的棱长为1，则点到平面的距离是（ ） A． B． C． D．4 【答案】C 【解析】，利用等体积法，设题目所求高为， 则有，由此解得， 故选：C. 4．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，则与平面所成角的正弦值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，取的中点，连接， 三棱柱为直三棱柱，则平面， 又平面，所以， 又由题意可知为等腰直角三角形，且为斜边的中点，从而， 而平面，平面，且，所以平面， 则为与平面所成的角.在直角中， ， 故选：C. 5．已知矩形的两边，，平面，且，则二面角的正切值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 如图所示，在平面内，过作的垂线，垂足为，连接， 因为平面， 平面，所以， 因为， ，故平面， 因为平面，故， 所以为的平面角， 在直角三角形中， ，，故， 故， 故选：B. 6．在正方体中，与平面所成的角的正切值为 . 【答案】 【解析】如图所示，连接， 因为平面，所以即为在平面上的射影， 所以即为所求， 设正方体的棱长为，在中，， 故答案为：． 7．如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有 个． ①AC⊥SB； ②AB∥平面SCD； ③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD； ④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角． 【答案】4 【解析】因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD．因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD． 又BD∩SD＝D，所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确． 因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AB∥平面SCD，故②正确． 因为AD是SA在平面ABCD内的射影，所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD．故③正确． 因为AB∥CD，所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，故④正确， 故答案为：4． 8．在正方体中，二面角平面角的正切值为 . 【答案】 【解析】如图取的中点，连接， 在正方体中，可知， 所以，所以二面角的平面角为， 设，所以，所以， 故答案为：. 9．如图，在直二面角中，和分别在平面和上，它们都垂直于，且，，，则 ． 【答案】 【解析】连接， 在直二面角中，，，所以， 又，则， 又，所以在△、△中， ， 故答案为：． 10．如图，四棱锥中，底面四边形为菱形，，为等边三角形. （1）求证：； （2）若，，求直线与平面所成的角. 【答案】（1）证明见解析 （2）.  【解析】（1） 证明：因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形， 取线段的中点,连接，则.   又因为为等边三角形，所以． 因为平面，平面，且， 所以直线平面， 又因为， 所以． （2）解：因为为等边三角形，且其边长为，所以， 又，所以，所以.  因为，所以面，  所以为直线与平面所成的角， 在中，，所以， 故直线和平面所成的角为. 11．如图，在四面体PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA （1）求证：PB⊥平面APD； （2）若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析. 【解析】证明：(1)由AD⊥平面PAB，面，则， 又PB⊥PA，， 则PB⊥平面APD； (2)由（1）及面，则面面APD， 又面面APD，AG⊥PD，面APD， 所以面， 而面， 所以AG⊥BD． （2）证：∵底面是菱形，∴， ∵平面，∴， ∵，∴平面，平面， ∴． 12．如图，在矩形中，，，沿对角线把△折起，使点移到点，且在平面内的射影恰好落在上． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】（1）证明：在平面内的射影恰好落在上， 即为在面上的射影，而，所以， ∵，，∴平面， 又平面， ∴平面平面． （2）解：由（1）知：，在中，有， 即，∴， 又，，即面， ∴二面角的平面角是， ∴， ∴二面角的余弦值是． 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$