专题9.2 空间中的平行关系（考点精练）-【中职专用】2025年中职高考数学一轮复习讲练测（河南专用）

专题9.2 空间中的平行关系 1．设有直线和平面，下列命题中正确的命题是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2. 若直线平行于平面，则下面结论正确的是（       ） A．直线一定与平面内所有直线平行 B．直线一定与平面内所有直线异面 C．直线一定与平面内唯一一条直线平行 D．直线一定与平面内一组平行直线平行 3. 在正方体中，为的中点，则下列直线中与平面平行的是（ ） A． B． C． D． 4．在空间四边形中，分别在上，且满足，则直线与平面的位置关系是（       ） A．平面 B．平面 C．与平面相交 D．以上都有可能 5．设、、为平面，、为直线，给出下列条件： ①，，，                  ②， ③，                                   ④，， 其中能推出的条件是（       ）. A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 6．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是 . 7．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是PA上一点，当点E满足条件： 时，PC∥平面EBD． 8．已知m，n为两条不同的直线，为平面，有下列命题：①，；②，；③，．其中正确的命题是 .（填序号） 9．已知A、B、C、D四点不共面，且平面，，，，，，则四边形EFHG是 四边形． 10．如图，已知为平行四边形所在平面外一点，为的中点，求证：平面． 11．如图所示，在正方体中，，，分别是，，的中点．求证：平面平面． 12．如图，几何体的底面ABCD为平行四边形，点M为PC中点，证明：平面BDM． 1．如图，正方体中，、分别为棱、上的点，在平面内且与平面平行的直线（       ） A．有一条 B．有二条 C．有无数条 D．不存在 2．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，点F在棱PA上，PF＝λAF，若PC∥平面BDF，则λ的值为（       ） A．1 B． C．3 D．2 3．如图所示的四个正方体中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号为（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．②④ 4．已知正方体的棱长为1，，分别是下底面的棱，的中点，是上底面的棱上的一点，，过，，的平面交上底面于，在上，则等于（       ） A． B． C． D． 5．已知两个平面、，在下列条件下，可以判定平面与平面平行的是（       ） A．、都垂直于一个平面 B．平面内有无数条直线与平面平行 C．l、m是内两条直线，且， D．l、m是两条异面直线，且，，， 6．下列说法正确的 .（填序号） ①如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行； ②如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行； ③分别在两个平行平面内的两条直线互相平行； ④过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行． 7．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点，则与平面的关系是 ． 8．一棱长为4的正四面体木块如图所示，是棱的中点，过点将木块锯开，使截面平行于棱和，则截面 的面积为 . 9．已知平面平面，点P是平面，外一点（如图所示），且直线，分别与，相交于点A，B，C，D，若，，，则 . 10．如图，在三棱锥中，E，F分别是AB，AP的中点. （1）求证：平面； （2）若三棱锥的各棱长均为2，求它的表面积. 11．如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证： （1）平面PCD； （2）平面平面PBC． 12．在正方体中，，，分别是，，的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与所成角的正切值. 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9.2 空间中的平行关系 1．设有直线和平面，下列命题中正确的命题是（       ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【解析】A选项，由面面平行的定义可知直线m和平面无公共点，即，A正确； B选项，缺少m、n相交，B错误； C选项，在正方体中，平面ABCD，平面ABCD，但，C错误； D选项，直线n可能在平面，D错误， 故选：A． 2. 若直线平行于平面，则下面结论正确的是（       ） A．直线一定与平面内所有直线平行 B．直线一定与平面内所有直线异面 C．直线一定与平面内唯一一条直线平行 D．直线一定与平面内一组平行直线平行 【答案】D 【解析】对于A，当直线平行于平面时，直线与平面内的直线平行或异面，所以A错误， 对于B，当直线平行于平面时，直线与平面内的直线平行或异面，所以B错误， 对于CD，当直线平行于平面时，过直线的平面与平面相交，则交线与直线平行，并且这些交线是一组平行线，所以C错误，D正确， 故选：D. 3. 在正方体中，为的中点，则下列直线中与平面平行的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图所示， 连结交于，连接，则易知，所以平面， 故选：B. 4．在空间四边形中，分别在上，且满足，则直线与平面的位置关系是（       ） A．平面 B．平面 C．与平面相交 D．以上都有可能 【答案】A 【解析】∵，∴， 又∵，，∴平面， 故选：A． 5．设、、为平面，、为直线，给出下列条件： ①，，，                  ②， ③，                                   ④，， 其中能推出的条件是（       ）. A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【解析】①有如下反例：故，不能推出； ②面面平行的判定：平行于同一个平面的两个平面平行，能推出； ③有如下反例：故，不能推出； ④面面平行的推论：如果两个平面的垂线平行，那么这两个平面平行，能推出， 故选：C. 6．梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α的位置关系是 . 【答案】平行 【解析】因为AB∥CD，AB⊂平面α，CD平面α， 由线面平行的判定定理可得CD∥α， 故答案为：平行． 7．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E是PA上一点，当点E满足条件： 时，PC∥平面EBD． 【答案】为的中点 【解析】当为的中点时，平面EBD． 证明：设过BD的平面与直线的交点为， 连接，设，连接， 则为的中点. 因为平面，平面，平面平面， 故，故为的中点，故即为， 故答案为：为的中点． 8．已知m，n为两条不同的直线，为平面，有下列命题：①，；②，；③，．其中正确的命题是 .（填序号） 【答案】② 【解析】①，，则或或相交.判断错误； ②，.判断正确； ③，，则或.判断错误， 故答案为：②. 9．已知A、B、C、D四点不共面，且平面，，，，，，则四边形EFHG是 四边形． 【答案】平行 【解析】由题，平面平面， 因为平面，所以， 又平面平面，所以， 则，同理，所以四边形EFHG是平行四边形， 故答案为：平行． 10．如图，已知为平行四边形所在平面外一点，为的中点，求证：平面． 【答案】证明详见解析． 【解析】 证明：连接、交点为，连接， 则为的中位线，． 平面，平面， 平面． 11．如图所示，在正方体中，，，分别是，，的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【解析】证明：如图，连接． 因为，分别是，的中点，所以． 因为∥，，所以四边形为平行四边形， 所以，所以． 因为平面，平面，所以平面． 同理可证平面． 又因为，，平面， 所以平面平面． 12．如图，几何体的底面ABCD为平行四边形，点M为PC中点，证明：平面BDM． 【答案】证明见解析 【解析】 证明：连接AC交BD于点O， 因为底面ABCD为平行四边形， 所以O为AC中点，在△PAC中，又M为PC中点，所以OM∥PA， 又PA⊄平面BDM，OM⊂平面BDM， 所以PA∥平面BDM． 1．如图，正方体中，、分别为棱、上的点，在平面内且与平面平行的直线（       ） A．有一条 B．有二条 C．有无数条 D．不存在 【答案】C 【解析】设平面，且， 又平面，平面，平面， 显然满足要求的直线l有无数条， 故选：C. 2．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，点F在棱PA上，PF＝λAF，若PC∥平面BDF，则λ的值为（       ） A．1 B． C．3 D．2 【答案】A 【解析】连结AC，交BD于O，连结OF， ∵四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，∴AO＝OC， ∵点F在棱PA上，PF＝λAF，PC∥平面BDF， ∴OF∥PC，∴λ＝1， 故选：A. 3．如图所示的四个正方体中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号为（   ） A．①② B．③④ C．①②③ D．②④ 【答案】C 【解析】 正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点， 在图①中，∵BC∥PN，AC∥PM，AC∩BC=C，PN∩PM=P，∴平面ABC∥平面PMN，∵AB⊂平面ABC，∴AB∥平面MNP，故①能得出AB∥平面MNP； 在图②中，∵AC∥MN，BC∥PN，AC∩BC=C，MN∩PN=N，∴平面ABC∥平面PMN，∵AB⊂平面ABC，∴AB∥平面MNP，故②能得出AB∥平面MNP； 在图③中，BC∥MN，AC∥PN，BC∩AC=C，MN∩PN=N，∴平面ABC∥平面PMN，∵AB⊂平面ABC，∴AB∥平面MNP，故③能得出AB∥平面MNP； 在图④中，AB∩PB=B，PB⊂平面PMN，∴AB∩平面PMN=B，故④不能得出AB∥平面MNP， 故选：C． 4．已知正方体的棱长为1，，分别是下底面的棱，的中点，是上底面的棱上的一点，，过，，的平面交上底面于，在上，则等于（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 如图所示，易知平面平面， 则，因为，所以， 所以， 所以.， 故选：A. 5．已知两个平面、，在下列条件下，可以判定平面与平面平行的是（       ） A．、都垂直于一个平面 B．平面内有无数条直线与平面平行 C．l、m是内两条直线，且， D．l、m是两条异面直线，且，，， 【答案】D 【解析】A选项，如图所示， 、都垂直于一个平面，但、相交，故A错误； B选项，如图， 已知，平面内有无数条直线与平行，则这些直线也与平行，故B选项错误； C选项，当l、m是两条平行直线时，不能判定平面与平面平行，C错误； D选项， 因为，，则在平面内存在，因为l、m是两条异面直线，所以为相交直线，因为，，所以，，故可以判定平面与平面平行， 故选：D. 6．下列说法正确的 .（填序号） ①如果一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行； ②如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行； ③分别在两个平行平面内的两条直线互相平行； ④过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面平行． 【答案】②④ 【解析】对①：只有一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么有两个平面平行，故①错误； 对②：根据平面平行的判定定理，显然成立，故②正确； 对③：在两个平行平面内的两条直线，可以平行，也可以为异面直线，故③错误； 对④：根据平面平行的判定定理，显然成立，故④正确，综上所述，正确的有②④， 故答案为：②④. 7．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为的中点，为的中点，则与平面的关系是 ． 【答案】平行 【解析】 取的中点，连接， 分别为中点，， 又四边形为平行四边形，为中点，， ，四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面， 故答案为：平行. 8．一棱长为4的正四面体木块如图所示，是棱的中点，过点将木块锯开，使截面平行于棱和，则截面 的面积为 . 【答案】4 【解析】 在平面内作直线，交于点， 在平面内作直线，交于点，过点作直线，交于点，所以， 所以四点共面，且面与直线和都平行， 因为正四面体中，所以， 所以四边形是边长为2的正方形，所以面积为， 故答案为：． 9．已知平面平面，点P是平面，外一点（如图所示），且直线，分别与，相交于点A，B，C，D，若，，，则 . 【答案】 【解析】因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 所以，即，所以， 故答案为：． 10．如图，在三棱锥中，E，F分别是AB，AP的中点. （1）求证：平面； （2）若三棱锥的各棱长均为2，求它的表面积. 【答案】(1)证明过程见解析；(2) 【解析】（1）证明：因为E，F分别是AB，AP的中点， 所以EF是三角形ABP的中位线，所以EF//PB， 因为平面，平面， 所以平面. （2）解：若三棱锥的各棱长均为2， 则该三棱锥为正四面体，四个面是全等的等边三角形， 故它的表面积为． 11．如图，已知四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点.求证： （1）平面PCD； （2）平面平面PBC． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析﹒ 【解析】证明：（1）由题意，四棱锥的底面ABCD为平行四边形， 点M、N、Q分别是PA、BD、PD的中点，∴N是AC的中点，∴， ∵平面PCD，平面PCD， ∴平面PCD； （2）由(1)知，平面PBC，平面PBC，∴MN∥平面PBC， ∵ABCD为平行四边形， ∴N是BD中点， 又∵Q是PD中点， ∴在△PBD中，NQ∥PB， ∵PB平面PBC，NQ平面PBC， ∴NQ∥平面PBC， ∵MN∩NQ=N，MN、NQ平面MNQ， ∴平面平面PBC． 12．在正方体中，，，分别是，，的中点. （1）证明：平面平面； （2）求直线与所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】(1)证明：∵∥且EN平面MNE ,BC平面MNE ， ∴BC∥平面MNE , 又∵∥且EM平面MNE , 平面MNE , ∴∥平面MNE又∵,  ∴ 平面∥平面, (2)解：由（1）得∥，∴ 为直线MN与所成的角， 设正方体的棱长为a， 在△中，，， ∴． 3 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$