第2章 圆 单元测试 2024-2025学年湘教版数学九年级下册

第2章圆 单元训练卷 时间: 120分钟 满分: 120分 一、单选题(每题3分，共30分) 1．下列说法正确的是(　　) A．长度相等的弧是等弧 B．直径是圆中最长的弦 C．弧是半圆 D．三点确定一个圆 2．已知⊙O的半径为9 cm，若OA＝10 cm，则点A与⊙O的位置关系是(　　) A．点A在⊙O外 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O内 D．不能确定 3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC的度数为(　　) A．100° B．90° C．80° D．50° 4．如图，半圆的半径为6，将三角尺的30°角顶点放在半圆上，这个角的两边分别与半圆相交于点A，B，连接AB，则AB的长为(　　) A．3 B．12 C．2 D．6 5．已知圆内接正六边形的半径为2，则该内接正六边形的边心距为(　　) A． B．2 C．3 D． 6．如图，AB是⊙O的直径，C，D是半圆的两个三等分点，弦CE⊥AB于点F，若⊙O的半径为4，则弦CE的长为(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 7．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1，点O，A，B，C均在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立平面直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为(　　) A．(－1，－1) B．(－2，－1) C．(－1，－2) D．(－2，－2) 8．如图是一个钟表表盘(⊙O)，连接整点2时与整点10时的B，D两点并延长，交过整点8时的⊙O的切线于点P，若表盘的半径长为，则切线长PC为(　　) A．3 B．2 C．2 D．3 9．如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10 cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14 cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B，下列说法错误的是(　　) A．圆形铁片的半径是4 cm B．四边形AOBC为正方形 C．弧AB的长度为4π cm D．扇形OAB的面积是4π cm2 10．如图，在正方形ABCD中，边长AD＝2，分别以A，D为圆心，线段AD的长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为(　　) A．π－ B．π－2 C．π D．π－ 二、填空题(每题3分，共24分) 11．如图，体育课上，小明的实心球成绩为9.6 m，他投出的实心球落在________号区域．(填序号) 12．在社会实践活动中，小明同学用一个半径为12 cm的定滑轮带动重物上升．如图，滑轮上一点A绕点O逆时针旋转120°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了______ cm. 13．古希腊数学家曾给出一个估算地球周长(或子午圈长)的简单方法．如图，点A和点B分别表示埃及的赛伊尼和亚历山大两地，B地在A地的北方，两地的经度大致相同，且实际距离为800 km.当太阳光线在A地直射时，同一时刻在B地测量太阳光线偏离直射方向的角为α，实际测得α是7.2°.由此估算地球周长约为________ km. 14．如图，P是直线y＝－x＋4上的一点，以点P为圆心，1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与x轴相切时，点P的坐标为____________． 15．如图，点O是△ABC的外心，连接OA，OB，若∠OBA＝20°，则∠AOB的度数为____________． 16．如图，△ABC的内切圆⊙O分别与AB，BC，AC相切于点D，E，F，且AD＝3，BC＝5，则△ABC的周长为________． 17．如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC分别相切于D，E两点，连接DE，AO，延长AO交DE于点F，若∠ACB＝70°，则∠AFD的度数是__________． 18．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙A切y轴于点B，且点A在反比例函数y＝(x>0)的图象上，连接OA交⊙A于点C，且C为OA中点，则图中阴影部分的面积为________． 三、解答题(共66分) 19．(6分)如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.求证：△ABC是等边三角形． 20．(8分)如图，AB是⊙O的弦，C，D为直线AB上两点，OC＝OD，求证：AC＝BD. 21．(8分)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，D是BC的中点，以A为圆心，r为半径作⊙A. (1)若点B，D，C均在⊙A外，求r的取值范围； (2)若以AB为半径作⊙A，交BC于点M，求CM的长． 22．(9分)如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，CD＝CB， ∠D＝∠A. (1)求证：BD是⊙O的切线； (2)若BC＝2，求BD的长． 23．(8分)如图，在△ABC中，∠B＝60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点P. (1)求证：AP＝AC； (2)若AC＝3，求PC的长． 24．(8分)如图，在破损车轮上有三根固定杆AB，BC，AC. (1)画出该破损车轮所在圆的圆心(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)； (2)若＝，固定杆BC＝16, AB＝10，求车轮的半径． 25．(9分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在AC上，经过A，B，E三点的⊙O交BC于点D，且D是的中点． (1)求证：AB是⊙O的直径； (2)若AB＝8，∠C＝60°，求阴影部分的面积； (3)当∠CAB为锐角时，试探索∠CAB与∠EBC的关系，并说明理由． 26．(10分)为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目．滚铁环器材由铁环和推杆组成．小明对滚铁环的启动阶段进行了研究．如图，滚铁环时，铁环⊙O与水平地面相切于点C，推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD，点O，A，B，C，D在同一平面内．当推杆AB与铁环⊙O相切于点B时，手上的力量通过切点B传递到铁环上，会有较好的启动效果． (1)求证：∠BOC＋∠BAD＝90°； (2)实践中发现，切点B只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平稳启动．当点B在该区域内最低位置时，点A距地面的距离AD最小，此时测得cos∠BAD＝.已知铁环⊙O的半径为25 cm，推杆AB的长为75 cm，则AD的最小值为________． 答案 一、1．B　2．A　3．A　4．D　5．C　6．D　7．C　8．B　9．C 10．A　方法点睛：如图，设两弧的交点为E，连接AE，DE，易得△AED是等边三角形，求出扇形AED的面积，扇形DAE的面积，△AED的面积，则 S扇形AED－S△AED＋S扇形DAE的值，即为阴影部分的面积． 二、11．③ 12．8π 13．40 000　点拨：设地球的半径是r km，地心用字母O表示． ∵太阳光线是平行的，∴∠AOB＝α＝7.2°， ∵的长为800 km，∴＝800， ∴πr＝20 000，∴2πr＝40 000， 即地球周长约为40 000 km. 14．(3，1)或(5，－1)　15．140°　16．16 17．35°　点拨：如图，连接OE，OD，OB，设OB与DE交于点H， ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴AO，BO分别是∠CAB，∠CBA的平分线， ∴∠OAB＝∠CAB，∠OBA＝∠CBA， ∵∠ACB＝70°， ∴∠CAB＋∠CBA＝180°－∠ACB＝110°， ∴∠OAB＋∠OBA＝∠CAB＋∠CBA＝(∠CAB＋∠CBA)＝55°， ∴∠AOB＝180°－(∠OAB＋∠OBA)＝125°. ∵⊙O与AB，BC分别相切于点D，E， ∴BD＝BE. 又∵OD＝OE， ∴OB是DE的垂直平分线， ∴∠OHF＝90°， ∴∠AFD＝∠AOB－∠OHF＝125°－90°＝35°. 18．2－　点拨：如图，连接AB，BC，则AB⊥OB. ∵反比例函数的表达式为y＝(x>0)， ∴S△AOB＝×4＝2. 在Rt△AOB中，∵C为OA的中点， ∴BC＝AC. 又∵AB＝AC， ∴BC＝AB＝AC，∴△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°. 设AB＝x，则OB＝＝. 在Rt△AOB中， ∵OB＝AB·tan∠BAC， ∴＝x，解得x＝2，即AB＝2. ∴S扇形ABC＝＝π. ∴阴影部分的面积为S△AOB－S扇形ABC＝2－. 三、19．证明：∵∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 20．证明：作OH⊥AB于H，如图，则AH＝BH. ∵OC＝OD，OH⊥AB， ∴CH＝DH， ∴CH－AH＝DH－BH， 即AC＝BD. 21．解：(1)在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10， ∴AC＝＝8. ∵D是BC的中点，∴AD＝BC＝5. ∵点B，D，C均在⊙A外，∴0＜r＜5. (2)过点A作AH⊥BC于点H， 则S△ABC＝AB·AC＝BC·AH， ∴AH＝＝＝. 在Rt△ABH中，根据勾股定理， 得BH＝＝， 根据垂径定理，得BH＝MH. ∴CM＝BC－2BH＝10－×2＝. 22．(1)证明：连接OB，则OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠BOC＋2∠OBC＝180°. ∵∠BOC＝2∠A， ∴∠A＋∠OBC＝90°. ∵BC＝CD， ∴∠D＝∠CBD. ∵∠A＝∠D，∴∠A＝∠CBD， ∴∠CBD＋∠OBC＝90°， ∴∠OBD＝90°， ∴OB⊥BD.又∵OB为⊙O的半径， ∴BD是⊙O的切线． (2)解：由(1)知∠OBC＋∠CBD＝90°， ∴∠BOC＋∠D＝90°. ∵∠D＝∠CBD， ∴∠OBC＝∠BOC， ∴OC＝BC. 又∵OB＝OC，∴OC＝BC＝OB， ∴△OBC为等边三角形， ∴∠BOC＝60°. ∵BC＝2， ∴OB＝2， ∴在Rt△OBD中，BD＝OB·tan 60°＝2. 23．(1)证明：连接OA. 根据题意，得∠OAP＝90°. ∵∠B＝60°， ∴∠AOC＝2∠B＝120°. ∴∠P＝∠AOC－∠OAP＝120°－90°＝30°. ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA＝×(180°－120°)＝30°. ∴∠P＝∠OCA， ∴AP＝AC. (2)解：∵AC＝3， ∴AP＝AC＝3. ∵∠OAP＝90°，∠P＝30°， ∴易得OA＝，OP＝2， ∴OC＝. ∴PC＝OP＋OC＝3. 24．解：(1)如图，点O为所求作的圆心． (2)如图，连接AO，OB，OC，设BC交OA于点D. ∵＝，∴AB＝AC. 又∵OB＝OC，∴OA垂直平分BC， ∴BD＝CD＝BC. ∵BC＝16，∴BD＝8. ∵AB＝10， ∴根据勾股定理，得AD＝＝6. 设车轮的半径为R， 则在Rt△BOD中，R2＝82＋(R－6)2，解得R＝， ∴车轮的半径为. 25．(1)证明：如图，连接AD. ∵D是的中点， ∴∠BAD＝∠CAD. 又∵AB＝AC， ∴AD⊥BD， ∴∠ADB＝90°， ∴AB是⊙O的直径． (2)解：如图，连接OE，过点O作OH⊥BE，交BE于点H. ∵∠C＝60°，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形， ∴∠BAC＝60°， ∴∠BOE＝120°， ∴∠AOE＝60°， ∴∠OBE＝∠AOE＝30°. ∵AB＝8，∴OA＝OB＝4. ∴易得OH＝2，BE＝4 .∴S阴影＝S扇形OAE＋S△BOE＝＋×2×4＝π＋4. (3)解：∠CAB＝2∠EBC. 理由：∵∠EBC＝∠CAD，∠BAD＝∠CAD， ∴∠CAB＝2∠CAD＝2∠EBC. 26．(1)证明：∵⊙O与水平地面相切于点C, ∴OC⊥CD.∵AD⊥CD，∴AD∥OC. ∵AB与⊙O相切于点B， ∴AB⊥OB，∴∠OBA＝90°. 如图，过点B作BE∥AD， ∴∠BAD＝∠EBA，BE∥OC，∴∠BOC＝∠OBE， ∴∠BOC＋∠BAD＝∠OBE＋∠ABE＝∠OBA＝90°. (2)50 cm ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$