第十七章勾股定理作业设计-2024-2025学年人教版数学八年级下册

数学作业设计 人教版八年级下册《勾股定理》 学校：广州市知用学校 姓名：李毅 一、单元信息 一、基本信息 基本 信息 学科 年级 学期 教材版本 单元名称 数学 八年级 第二学期 人教版 勾股定理 单元组织方式 ☑自然单元□重组单元 课 时 信 息 序号 课时名称 对应教材内容 1 勾股定理（1） 第17.1(P22-24) 2 勾股定理（2） 第17.1(P25-26) 3 勾股定理（3） 第17.1(P26-27) 4 勾股定理的逆定理（1） 第17.2(P31-32) 5 勾股定理的逆定理（2） 第17.2(P32-33) 二、单元分析 （一）课标要求 1、经历勾股定理及其逆定理的探索过程，能用两个定理解决一些简单的实际问题； 2、初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，会用这两个定理解决一些几何问题。 课标在“知识技能”方面指出：体验探索勾股定理的多种证明过程，掌握勾股定理及其逆定理；在“数学思考”方面指出：学生搜集并研究勾股定理的多种证明方法，体会数形结合思想，建立数学模型意识；体会通过推理探索数学结论，发展推理能力；能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式 （二）教材分析 本章主要通过“赵爽弦图”开始对面积关系的探究，发现并证明勾股定理，进而学会用勾股定理解决与直角三角形有关的问题和其它许多数学问题，包括生活中的实际问题。它是在学生已经学习了“三角形”“全等三角形”“整式运算中的公式”等内容之后安排的。知识结构上，遵循几何研究的一般路径（图形-性质-应用）；研究方法上，让学生经历“图形的认知、观察计算猜想--研究图形性质并证明--运用性质解决问题”等活动过程，渗透数形结合的思想方法，发展数学直观，逻辑推理等能力。 通过本单元的学习，学生能够建立起完善的知识结构，感受勾股定理是平面几何最重要的定理，也是数学中最重要的定理之一。 （三）学情分析 从学生的认知规律看:在“三角形”一章，学生已经认识了三角形的边角概念、直角三角形.的概念、各角的关系；认识到直角三角形是一-种极常见而又特殊的三角形。在“全等三角形”一章,通过画图探究得到过直角三角形全等的一-个方法:“斜边和一个直角边分别相等的两个直角三角形全等”；这些知识的学习让学生能够从直观把握直角三角形的一些特征，同时在几何知识的学习中积累的方法也为勾股定理的学习打下了坚实的基础。 从学生的学习习惯、思维规律看:八年级(下)学生已经具有一定的自主学习能力和独立思考能力，积累了一定的数学学习活动经验，并在心灵深处渴望自己是一个发现者、研究者和探究者，因此对于用勾股定理及其逆定理解决简单的实际问题充满了强烈的好奇心与探究兴趣。本单元的学习难点是:灵活运用勾股定理解决实际问题 三、单元学习与作业目标 1.知道勾股定理及其逆定理的内容，通过作业练习，熟练掌握在直角三角形中已知两边求第三边的方法； 2.结合全等三角形、等腰三角形等应用勾股定理及逆定理，拓展学生数学思维，并结合整式运算中的完全平方公式和平方差公式准确运算，培养学生思维的严谨性和良好的运算习惯，提升运算能力和推理能力；领悟分类讨论、数形结合等数学思想。 3.经历勾股定理及其逆定理的应用过程，加深对新知的理解，构建几何运算的大系统观，发展学生的数学思维能力。了 解我国古代在数学发展中的卓越成就，增强民族自豪感。 四、单元作业设计思路 1.以单元整体知识为基础点，亮化作业情境，优选作业类型。 整体把握《勾股定理》单元知识脉络，尽可能创设贴近生活实际的作业素材，设计图文并茂的作业，呈现方式有趣，作业类型多变，促使学生主动思考，乐于完成。 2.以学生个体差异为出发点，丰富作业层次，严控作业时长。 为尽可能满足不同层次学生的需求，将作业分为二大层次，第一层次是基础性作业，具有普查性和巩固性，为学生必做题。第二层次是发展性作业，体现应用性和创新性，为学生选做题。 3.以多元评价主体为落脚点，渗透思想教育，鼓励自主学习。 守护学生身心健康，作业设计结合相关内容有机渗透思想教育，采用多元的评价主体和多样的评价方式，鼓励学生自我监控学习过程和结果，培养学生自主学习意识，全面达成素质教育目标 五、作业内容 基础性作业 1.选择题 （1）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是( ) A.6,8,10 B.8,15,17 C.5,12,13 D.3,4,5 （2）如图，两个较大正方形的面积分别为225和289,则字母A所代表的正方形的面积为（ ） A.4 B.8 C.16 D.6 （3）如果将长为6 cm.宽为4 cm的长方形纸片折叠-次， 那么这条折痕的长不可能是( ) A.8cm B.5cm C.5.5cm D.1cm （4）如图，等边△ABC的边长为4，点D是边AC上的一动点，连接BD，以BD为斜边向上作等腰Rt△BDE，连接AE，则AE的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D． （5）如图，x轴、y轴上分别有两点A(3，0)、B(0，2)，以点A为圆心，AB为半径的弧交x轴负半轴于点C，则点C的坐标为（    ） A．(﹣1，0) B．(2-，0) C．(-3，0) D．(3-，0) （6）如图，赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形两条直角边长分别为m和n．若mn=32，大正方形的边长为10，则小正方形的边长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 （7）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BC=5，以AB，AC为边作正方形，这两个正方形的面积和为（     ） A．5 B．9 C．16 D．25 2.填空题 （1）风景秀丽的永嘉境内分布着许多国家级旅游景点，北斗卫星拍摄到永嘉小若岩风景区与埭头古村以及两条相互垂直的乡间公路的位置如图所示，A点的坐标为（2,4），B点的坐标为（6,1）．现要在两条乡间公路上各建一个便民服务点C，D，形成一条便民服务通道．试求四边形ABCD的最小周长______． （2）如图，分别以等腰Rt△ACD的边AD，AC，CD为直径画半圆，AD＝2，则阴影部分的面积是__________ （3）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，几分钟后船到达点D的位置，此时绳子CD的长为10米，问船向岸边移动了__米． （4）．已知长方形ABCD的长为5，宽为4，点E，F分别位于AB，AD上，且AE=AF=3,点G是长方形ABCD上一点，△EFG是直角三角形，则Rt△EFG的斜边长为______． 3.解答题 （1）课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题： ①试说明； ②从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题． （2）如图所示，长方形纸片ABCD的长AD＝8cm，宽AB＝4cm，将其沿着折痕EF折叠，使点D与点B重合． ①求证：BE＝BF； ②求折叠后△BEF的面积． （3）．如图，在△ABC中，AD⊥BC,垂足为D，∠B=60°，∠C=45°． ①求∠BAC的度数． ②若AC=2，求AD的长． （4）小明将一副三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其他各边的长．若已知CD=，求AB的长． （5）．我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心． ①如图1，点P在线段BC上，∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，BP＝CD．求证：点P是△APD的准外心； ②如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC的准外心P在△ABC的直角边上，试求AP的长． （6）如图，在中，，垂足为，，延长至，使得，连接． ①求证：； ②若，，求的周长和面积． 【时间要求】20分钟 【评价设计】采用教师评价形式进行。 作业评价表 星级评价区（评价指标5项，每项1颗星） 解法创新 答案正确 过程完整 卷面整洁 知识全面 自我评价 本次作业你觉得可以给自己打（）课☆ 老师评价 本次作业，你的表现____________________,老师给你（）颗☆，望继续努力 优秀4-5颗星良好3颗星合格2颗星不合格1颗星 【作业意图】数学作业的设计意图是通过一系列选择题、填空题和解答题来测试学生对于勾股定理的理解和应用能力。这些问题涉及到直角三角形的性质和计算，旨在帮助学生巩固基本概念和运算方法，并培养逻辑推理和问题解决能力。 通过选择题，学生可以对基本概念进行辨析和运用，锻炼快速判断和筛选的能力。填空题要求学生进行计算和推导，练习运用公式和计算技巧。解答题则要求学生进行更深入的思考和分析，需要综合运用所学知识解决实际问题。 以上作业的设计旨在培养学生的几何直观和推理思维，提高他们的数学运算和问题解决能力。同时，通过不同类型的问题设置，帮助学生理解几何形状之间的关系和性质，加深对几何学的认识和理解。 发展性作业 1.通过上网等方式查找勾股定理的有关史料、趣事及其他证明方法，请用尽可能多的方法可以验证勾股定理?并于同伴进行交流。 2.如图①，直角三角形的三边上分别有一个正方形、执行下面的操作:由两个小正方形向外分别作直角三角形，再分以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形。图②是1次操作后的图形。 (1)试画出2次操作后的图形. (2)如果原来直角三角形斜边长为1cm,写出2次操作后的图形中所有正方形的面积和. (3)如果一直画下去，你能想象出它的样子吗?，你能动手尝试画一画吗?观察一下它像一个什么形状的图形。 3.“绘制本章的思维导图”, 建构思维网络.梳理本章勾股定理的有关知识， 用思维导图的形式表现出来. 【时间要求】10分钟 【评价设计】采用教师评价形式进行。 作业评价表 星级评价区（评价指标5项，每项1颗星） 解法创新 答案正确 过程完整 卷面整洁 知识全面 自我评价 本次作业你觉得可以给自己打（）课☆ 老师评价 本次作业，你的表现____________________,老师给你（）颗☆，望继续努力 优秀4-5颗星良好3颗星合格2颗星不合格1颗星 【作业意图】作业的设计意图是帮助学生深入理解和应用勾股定理以及与之相关的几何概念。通过第一题，引导学生主动探索勾股定理的历史背景、证明方法和趣事，培养他们的自主学习能力和团队合作意识。 在第二题中，通过图形操作的方式，让学生通过实际绘制和观察，发现几何图形的变化规律，进一步巩固勾股定理的几何意义。同时，通过计算面积的方式，培养学生的计算能力和逻辑思维。 第三题要求学生运用思维导图的方式整理和梳理本章的知识，帮助他们建立起知识结构并形成对勾股定理的整体认识。 总体上，作业的设计旨在通过多种方式培养学生的探究精神、观察力、计算能力和整理归纳能力，从而加深对勾股定理及其相关知识的理解和应用。 单元检测 一、认真选一选，你一定很棒！ 1.分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②13，5，12　③1，2，3；④9，40，41；⑤3，4，5.其中能构成直角三角形的有（　　）组　 A.2 B.3 C.4 D.5 2.已知△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，则它的三条边之比为（ ）　 A.1∶1∶ B.1∶∶2 C.1∶∶ D.1∶4∶1 3.已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ）　 A.　　 B.3 　C.+2 　 D. 4.如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（ ） A.12米 B.13米 C.14米 D.15米 5.放学以后，萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分，萍萍用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为（ ） A.600米　 B.800米 　 C.1000米 　 D.不能确定 6.如图1所示，要在离地面5米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L＝5.2米，L＝6.2米，L＝7.8米，L＝10米四种备用拉线材料中，拉线AC最好选用（ ） A.L1　　 B.L2　　 C.L3　　 D.L4 7.如图2，分别以直角△ABC的三边AB，BC，CA为直径向外作半圆.设直线AB左边阴影部分的面积为S，右边阴影部分的面积和为S，则（ ） A.S＝S　　 B.S＜S　　C.S＞S D.无法确定 8.在△ABC中，∠C＝90°，周长为60，斜边与一直角边比是13∶5，则这个三角形三边长分别是（　 ） A.5，4，3 B.13，12，5 　 C.10，8，6 D.26，24，10 9.如图3所示，AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE＝（ ） A.1 　 B. C. D.2 10.直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（ ） A.182 　　 B.183 　　　 C.184 　　　 D.185 二、仔细填一填，你一定很准！ 11.根据下图中的数据，确定A＝   ，B＝    ，x＝    . 12.直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为       . 13.直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为          . 14.如图5，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处.树折断之前有      米. 15.如果一个三角形的三个内角之比是1∶2∶3，且最小边的长度是8，最长边的长度是        . 16.在△ABC中，AB＝8cm，BC＝15cm，要使∠B＝90°，则AC的长必为      cm. 17.如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是     ． 　 18.甲、乙两只轮船同时从港口出发，甲以16海里/时的速度向北偏东75°的方向航行，乙以12海里/时的速度向南偏东15°的方向航行，若他们出发1.5小时后，两船相距        海里.　　 三、细心做一做，你一定会成功！ 19.古埃及人用下面方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后用桩钉成如图所示的一个三角形，其中一个角便是直角，请说明这种做法的根据. 20.从旗杆的顶端系一条绳子，垂到地面还多2米，小敏拉起绳子下端绷紧，刚好接触地面，发现绳子下端距离旗杆底部8米，小敏马上计算出旗杆的高度，你知道她是如何解的吗？ 21.如图7，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 22.（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图8，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积. （2）现有一张长为6.5cm，宽为2cm的纸片，如图9，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形.（要求：先在图9中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据） 23.学校科技小组研制了一套信号发射、接收系统.在对系统进行测试中，如图10，小明从路口A处出发，沿东南方向笔直公路行进，并发射信号，小华同时从A处出发，沿西南方向笔直公路行进，并接收信号.若小明步行速度为39米／分，小华步行速度为52米／分，恰好在出发后30分时信号开始不清晰. （1）你能求出他们研制的信号收发系统的信号传送半径吗？（以信号清晰为界限） （2）通过计算，你能找到题中数据与勾股数3、4、5的联系吗？试从中寻找求解决问题的简便算法. 学科网（北京）股份有限公司 $$