专题8.4 直线与圆锥曲线的位置关系 (考点精讲)-【中职专用】2025年单独招生考试数学一轮复习讲练测（浙江专用）

专题8.4 直线与圆锥曲线的位置关系 一、【考纲要求】 1.掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线的交点个数的判断方法（包括判别式法、图像法等）； 2.理解并掌握直线与圆锥曲线相切、相离、相交等位置关系的判定条件； 3.会求直线与圆锥曲线交点坐标并利用根与系数的方法求弦长 二、【考向预测】 1.直线与圆锥曲线位置关系的判断及交点坐标； 2.弦长与面积问题 三、【知识清单】 知识点1 直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置关系判断 设直线方程为，椭圆方程为 联立消去y得一个关于x的一元二次方程 ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为： 知识点2 直线与双曲线的位置关系 1、直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程 ， （1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切. 2、直线与双曲线弦长求法 若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）．（具体同椭圆相同） 知识点3 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系判断 （1）关系有三种情况：相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）. （2）以抛物线与直线的位置关系为例： ①直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. ②直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点. [常用结论与提醒] 直线与抛物线相交弦长问题 （1）一般弦长 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为. ①弦长公式：（为直线的斜率，且）. ②, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. ③直线的方程为. （2）焦点弦长 如图，是抛物线过焦点的一条弦， 设，，的中点， 过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； ①以为直径的圆必与准线相切. ②(焦点弦长与中点关系) ③. ④若直线的倾斜角为，则. ⑤，两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. ⑥为定值. 四、【方法技巧】 1.直线与圆锥曲线位置关系的判定方法 （1）联立直线的方程与圆锥曲线的方程. （2）消元得到关于x或y的一元二次方程. （3）利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系. 2. 求直线与圆锥曲线交点问题，只需联立直线的方程与圆锥曲线的方程,消元得到关于x或y的一元二次方程(斜率存在情况)，最后解方程即可. 3.求面积问题一般需结合弦长公式及点到直线距离公式求解. 五、【考点分类剖析】 考点一：直线与椭圆位置关系的判定 例1.直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】C 【分析】由直线与椭圆的位置关系求解即可. 【解析】因为直线过点， 而为椭圆的右端点和上端点， 故直线与椭圆相交. 故选：C. 【变式练习1】已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【答案】B 【分析】求出直线所过定点，判断该定点与椭圆位置关系即可判断直线与椭圆位置关系. 【解析】，即，令，解得， 则直线所过定点，代入椭圆方程，，则该定点在椭圆内， 则直线与椭圆的位置关系为相交. 故选：B. 【变式练习2】若直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由直线过定点，结合点与椭圆的位置关系列出不等式，即可得到结果. 【解析】直线恒过点(0,1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，即，解得， 又. 故选：D 【变式练习3】已知以为焦点的椭圆与直线有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设椭圆方程与直线方程联立，根据判别式等于0求得和的关系式，同时椭圆的焦点坐标求得半焦距得到和的另一个关系式，两个关系式联立方程即可求得和，则椭圆的长轴可得． 【解析】设椭圆方程为， 直线代入椭圆方程，消得：， ，整理，得 又，由焦点在轴上， 所以，联立解得：，,故椭圆方程为，则长轴长为； 故选：C 【变式练习4】直线和曲线的位置关系为 . 【答案】相交 【分析】根据直线过点且在椭圆内部可得出结论. 【解析】曲线为：可得 直线恒过，由知定点在椭圆内部， 所以直线与椭圆的位置关系为相交. 故答案为：相交. 【变式练习5】给定四条曲线：①；②；③；④．其中与直线仅有一个交点的曲线是 ．（填序号） 【答案】①③④ 【分析】判断直线和圆的位置关系时，只要比较圆心到这条直线的距离与半径的大小即可.当时，直线和圆只有一个交点；判断直线和椭圆的交点个数的时候，联立直线方程和椭圆方程，整理后判断是否为0，当时，只有一个交点. 【解析】①中，圆心到直线的距离为，圆的半径为，故满足题意； ②中，联立方程整理可得：，，故不满足题意； ③中，联立方程整理得：，，故满足题意； ④中，联立方程整理得：，，故满足题意. 满足题意的有①③④. 故答案为：①③④ 考点二：直线与椭圆的交点坐标 例2. 已知直线，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线方程与椭圆方程，消y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理可得，进而得出中点的横坐标，代入直线方程求出中点的纵坐标即可. 【解析】由题意知， ，消去y，得， 则，， 所以A、B两点中点的横坐标为：， 所以中点的纵坐标为：， 即线段AB的中点的坐标为. 故选：B 【变式练习1】直线：与椭圆：的一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将直线方程与椭圆方程联立解方程即可得出答案. 【解析】由可得，解得或 当时，，当时， 所以直线与椭圆的交点坐标为 故选：D 【变式练习2】过椭圆的左焦点作斜率为1的直线与椭圆C分别交于点A，B，是坐标原点，则 . 【答案】 【分析】联立方程，解得A，B点坐标，代入数量积坐标公式得到结果. 【解析】设直线方程为：，代入椭圆方程可得：， 解得： 即 ∴ 故答案为 【变式练习3】已知椭圆的上､下顶点分别为，右焦点为，为直线与椭圆的交点，则直线的斜率为 . 【答案】 【分析】由椭圆方程得三点的坐标，直线的方程与椭圆方程联立，得交点的坐标，再求直线的斜率. 【解析】椭圆的上､下顶点分别为，右焦点为， 则有，，， 直线的方程为，由，解得， 则有，即直线的斜率为. 故答案为： 【变式练习4】已知椭圆，直线与轴交于点，与椭圆交于，两点，若，则 . 【答案】 【分析】联立直线与椭圆的方程组，求出点A，B坐标，再利用给定的向量关系求出a值即得. 【解析】由解得或，而，则点A(0，1)，， 而P(-1，0)，，又，则有，解得，即. 故答案为： 考点三：椭圆弦长 例3.经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的长为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】由椭圆的标准方程可得，进而可得直线方程，联立椭圆方程，结合韦达定理和弦长公式计算即可求解. 【解析】在中，，所以，即，故左焦点为， 而，故直线为， 联立，得， 设，由韦达定理得， 由弦长公式得. 故选：B. 【变式练习1】已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题写出直线的点斜式方程,与椭圆方程联立，求出两交点坐标，利用两点距离公式计算即得. 【解析】依题意，可得直线的方程为：，代入中，整理解得：， 当，；当时，，故有, 则. 故选：D. 【变式练习2】过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且，则这样直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】先求过左焦点的通径长度，由椭圆的性质：过左焦点的弦长最短为通径长，最长为长轴长，结合已知弦长判断直线的条数即可. 【解析】左焦点为，若直线垂直x轴，则直线为， 代入椭圆方程得，可得，此时通径长， 所以，由椭圆性质知：的直线有仅只有一条. 故选：B 【变式练习3】过椭圆的焦点的最长弦和最短弦的长分别为 ． 【答案】4、3 【分析】过椭圆焦点的最长弦为长轴,最短弦为垂直于长轴的弦. 【解析】过椭圆焦点的最长弦为长轴，其长度为； 最短弦为垂直于长轴的弦， 因为，将代入，得， 解得，即， 所以最短弦的长为． 故答案为：4、3 【变式练习4】过焦点在轴上的椭圆的顶点引一条弦，弦的最大长度为，则 . 【答案】 【分析】设，由，利用二次函数的性质求解. 【解析】依题意，设，则，， 则， 当时，由二次函数的性质得，当时，，不符合题意； 当时，由二次函数的性质得，当时，，不符合题意； 当时，由二次函数的性质得， 当时，，即， 解得或（舍去）， 故答案为：2 考点四：直线与椭圆相交的面积问题 例4 ．已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的基本性质得到椭圆的值，写出椭圆方程. （2）写出直线方程，联立方程组，由韦达定理得到和，用交点弦长公式得到线段长，由点到直线距离得到三角形高，从而算出三角形面积. 【解析】（1）由题意可知：，则， ∵，∴， ∴， ∴椭圆 （2），∴直线：， 联立方程组得, 设， 则， 点到直线的距离 ∴    【变式练习1】已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求C的标准方程； (2)若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到，，即可得到答案. （2）首先设，，根据直线与椭圆联立，结合根系关系得到，设直线l与x轴的交点为，再根据求解即可. 【解析】（1）由题意得，，， 又，则， 则， 所以C的标准方程为. （2）由题意设，，如图所示： 联立， 整理得， ， 则，， 故. 设直线l与x轴的交点为， 又，则， 故， 结合，解得. 【变式练习2】如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点． (1)求焦点坐标，焦距，短轴长； (2)若直线的倾斜角为，求的面积． 【答案】(1)焦点坐标为，，焦距为，短轴长为； (2). 【分析】（1）根据椭圆方程求得，再根据求出，再根据相关定义即可求解； （2）通过直线与椭圆方程建立方程组，化简得到关于的一元二次方程，进而得到，根据图象可得，进而得解. 【解析】（1）设长半轴、短半轴、焦距分别为，由已知方程得到，，所以，，由得， 故焦点坐标为，，焦距为，短轴长为； （2）设，， 由已知得直线的方程为，与联立方程组得， 则，， 故， 令的面积为，所以. 考点五：直线与双曲线的位置关系 例5.直线与双曲线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【答案】B 【分析】联立直线方程和双曲线方程消去y然后可解出x，从而得出直线和双曲线位置关系，得出答案. 【解析】由得  整理得，； 所以，故直线和双曲线只有一个交点； 又双曲线的渐近线方程为： 与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点. 所以直线和双曲线的位置关系为相交． 故选：B 【变式练习1】直线与双曲线的交点情况是（    ） A．恒有一个交点 B．存在m有两个交点 C．至多有一个交点 D．存在m有三个交点 【答案】C 【分析】联立方程组得，当时，无解；当时，有一解． 【解析】将代入得 当时，无解； 当时，，所以至多有一个交点． 故选：C 【变式练习2】下列直线中与双曲线有两个不同交点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A、D选项通过与双曲线方程联立即可判断；B、C选项由于与渐近线方程平行，所以与双曲线只有一个交点，从而可以得出结论. 【解析】因为双曲线的渐近线方程为，因为直线、与渐近线平行，故与双曲线只有一个交点； 联立，得，无解，故与双曲线无交点； 联立，得，，故与双曲线有2个交点； 故选：D 【变式练习3】过双曲线：左焦点为和点直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】求出直线l的斜率，即可得其方程，判断该直线和双曲线渐近线平行，即可判断答案. 【解析】由题意得双曲线：左焦点为， 则直线l的斜率为， 故直线l的方程为，而双曲线的渐近线方程为， 故直线l与平行，且l过双曲线的左焦点， 故直线与双曲线的交点个数是1， 故选：B 【变式练习4】已知直线，若双曲线与均无公共点，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线渐近线与之间的位置关系，即可容易判断. 【解析】的斜率分别是； 对A：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为， 又，故曲线与有两个公共点，不满足题意，A错误； 对B：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为， 又，故双曲线与有两个公共点，不满足题意，B错误； 对C：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为， 又，故双曲线与都没有公共点，满足题意，C正确； 对D：该双曲线是焦点在轴上的双曲线，其过第一象限的渐近线为， 又，故双曲线与没有公共点，与有两个公共点，不满足题意，D错误. 故选：C. 【变式练习5】已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立直线方程和双曲线方程，利用判别式结合韦达定理可求实数的取值范围. 【解析】由题设，有，得， 因为直线与双曲线的右支交于不同的两点，故，解得， 故选：D. 【变式练习6】若过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有3条，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据双曲线的几何性质，得到在双曲线上，求得，得到的值，进而求得双曲线的离心率. 【解析】由题意，过点与双曲线有且只有一个公共点的直线有3条， 根据双曲线的几何性质，可得在双曲线上，可得，解得， 又由双曲线的实半轴长，则半焦距， 所以该双曲线的离心率. 故选：C. 【变式练习7】直线与双曲线有且只有一个公共点，则实数 ． 【答案】或 【分析】 由消去y，对二次系数是否为0分类讨论可得. 【解析】由消去y，整理得， 当时，由得； 又注意到直线恒过点，且渐近线的斜率为时，直线与渐近线平行时也成立． 故答案为：或 【变式练习8】过点且与双曲线仅有一个公共点的直线共有 条. 【答案】4 【分析】过点且分别与渐近线平行的两条直线与双曲线有且仅有一个交点；过点且与双曲线相切的直线与双曲线有且仅有一个公共点． 【解析】由双曲线得其渐近线方程为． ①过点且分别与渐近线平行的两条直线与双曲线有且仅有一个交点； ②设过点且与双曲线相切的直线为，联立，化为得到，解得． 则切线分别与双曲线有且仅有一个公共点． 综上可知：过点且与双曲线仅有一个公共点的直线共有4条． 故答案为：4． 【变式练习9】已知双曲线与直线无公共点，则正数的一个取值可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意可知，只需直线的斜率大于等于渐近线的斜率即可. 【解析】双曲线的一条渐近线的斜率为, 若双曲线与直线无公共点， 只需, 解得. 故的一个取值可以为. 故答案为：（答案不唯一）. 【变式练习10】写出同时满足下列条件①②的直线方程： （写出一个满足条件的答案即可）. ①在轴上的截距为2；②与双曲线只有一个交点. 【答案】或或或.（只答其中之一即可） 【分析】由轴上的截距为2可设直线为，代入双曲线方程后，方程只有一解或两个相等的实根，求得即可. 【解析】因为直线在轴上的截距为2，设直线为， 代入双曲线方程得， 当时，，此时直线方程为或， 当时，二次函数判别式，解得， 此时直线方程为或. 考点六：直线与双曲线相交的弦长问题 例6.过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】确定直线的方程，代入双曲线方程，求出，的坐标，即可求线段的长． 【解析】由双曲线的方程得，，直线的方程为① 将其代入双曲线方程消去得，，解之得，． 将，代入①，得，， 故． 故选：C． 【变式练习1】过双曲线左､右焦点分别作倾斜角为的直线与双曲线相交于轴上方两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】的方程为，解得得到，同理计算得到答案. 【解析】，则的方程为：，联立方程， 解得，（舍去负值），故； 同理可得：，故. 故选：C. 【变式练习2】直线与双曲线有两个交点为，，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】直线方程与双曲线方程联立方程组，直接解得交点坐标，再计算两点间距离． 【解析】由，得，， ∴. 故选：C． 【变式练习3】已知双曲线，过右焦点的直线交双曲线于两点，若中点的横坐标为4，则弦长为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】D 【分析】设出直线，与联立，根据韦达定理，可求出的值，再根据弦长公式求得弦的长． 【解析】：双曲线，则，所以右焦点， 根据题意易得过的直线斜率存在，设为， 联立， 化简得， 所以， 因为中点横坐标为4，所以， 解得，所以， 则， 则． 故选D． 【变式练习4】已知双曲线：，则双曲线的渐近线方程是 ；直线与双曲线相交于，两点，则 . 【答案】 【分析】由已知可判断双曲线为焦点在轴上的双曲线，可知，，表示渐近线方程即可；由可求的值，从而得到交点坐标，即可得到距离. 【解析】由双曲线：知双曲线的焦点在轴，且，， 即，，所以双曲线的渐近线方程为； 当时，， 设，则，所以. 故答案为：；. 【变式练习5】过双曲线的左焦点作弦，使，则这样的直线的条数为 . 【答案】2 【分析】根据直线与双曲线相交于左支和左右两支分类讨论，弦长的最小值，最后根据已知，得出结论. 【解析】 当直线不存在斜率时，直线方程为，此时把代入双曲线方程中可得：，此时，这样有两条直线过左焦点作弦只与双曲线左支相交，使； 直线与双曲线左右两支都相交时，弦的最小值为，所以过左焦点作弦与左右两支都相交，使的直线是不存在的. 故答案为：2 【变式练习6】已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长 . 【答案】10 【分析】由条件可知：且，从而求出的值，从而求出双曲线方程，则可设直线的方程，联立直线与双曲线，利用弦长公式即可求出弦长的值. 【解析】∵双曲线：的一条渐近线方程是， ∴，即，∵左焦点，∴ ∴，∴，， ∴双曲线方程为，直线的方程为， 设，由， 消可得，∴，， ∴． 故答案为：10. 考点七：直线与双曲线的面积问题 例8已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）设所求双曲线方程为，，把点代入，即可得出答案． （2）根据题意设直线的方程为，联立直线与双曲线的方程，分别用点到直线的距离公式，弦长公式，三角形面积公式，建立方程，即可得出答案． 【解析】（1）因为双曲线的两条渐近线互相垂直， 所以双曲线为等轴双曲线， 所以设所求双曲线方程为，， 又双曲线经过点， 所以，即， 所以双曲线的方程为，即． （2）根据题意可知直线的斜率存在，又直线过点， 所以直线的方程为， 所以原点到直线的距离， 联立，得， 所以且， 所以，且， 所以， 所以的面积为， 所以，解得，所以， 所以直线的方程为或． 【变式练习1】已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，焦距为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，直线l：交双曲线C于A，B两点，求的面积． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）由双曲线的渐近线方程和焦距，列方程组求出，得到双曲线C的标准方程； （2）直线与双曲线联立方程组，求出弦长，点到直线距离公式求出的高，可求面积． 【解析】（1）由题意得：，解得，，， 所以双曲线C的标准方程为． （2）设，联立方程组消去y整理得， 则，，， ， 原点到直线AB的距离， 所以． 【变式练习2】已知过点的双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是. （1）求双曲线的方程； （2）若是坐标原点，直线：与双曲线的两支各有一个交点，且交点分别是，，的面积为，求实数的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由渐近线方程可设双曲线的方程是，将点代入解得，可得结果； （2）联立直线与双曲线的方程，根据韦达定理可得，，由三角形的面积公式可得，列出关于的方程，解出即可. 【解析】（1）因为双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是， 所以可设双曲线的方程是，则，解得. 所以双曲线的方程是. （2）由消去整理，得. 由题意知解得且. 设，，则 ，. 因为与双曲线的交点分别在左､右两支上，所以， 所以，所以， 则. 所以， 即， 解得或，又， 所以. 考点八：直线与抛物线的位置关系 例8.直线与抛物线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【答案】B 【分析】因为直线与抛物线的对称轴平行，即可得出答案. 【解析】因为直线与抛物线的对称轴平行， 故直线与抛物线只有一个公共点． 故选：B. 【变式练习1】已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 【答案】C 【分析】将直线方程和抛物线方程联立，使得方程仅有一个实数根，求出对应的的取值个数即可. 【解析】联立直线和抛物线方程可得， 整理可得， 直线l与有一个公共点等价于方程只有一个实数根， 当时，方程为仅有一解，符合题意； 当时，一元二次方程仅有一解， 即，解得， 所以满足题意得直线有三条，即，和. 故选：C 【变式练习2】命题p：直线与抛物线有且仅有一个公共点，命题q：直线与抛物线相切，则命题p是命题q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】C 【分析】由充分必要条件的概念结合抛物线的性质可得结果． 【解析】∵抛物线的对称轴为轴， ∴一条直线与抛物线有且仅有一个公共点，则该直线与抛物线相切或者该直线与轴垂直， ∵直线存在斜率，与轴不垂直， ∴“直线与抛物线有且仅有一个公共点”等价于“直线与抛物线相切”，则命题p是命题q的充要条件. 故选：C. 【变式练习3】．已知过点的直线与抛物线相交于不同的两点，为直线斜率，则k的取值范围为 . 【答案】 【分析】直线的方程为，与抛物线的方程联立可化为，由题意可得，解出即可． 【解析】直线的方程为：， 联立，化为， 直线与抛物线相交于不同的两点， ，即，解得，且． 斜率的取值范围是． 故答案为：． 【变式练习4】若直线：与曲线恰好有一个公共点，试求实数的取值集合. 【答案】 【分析】对参数进行分类讨论，联立方程组，根据方程组根的个数确定交点个数，即可求解. 【解析】当时直线：与曲线恰有一个公共点，符合题意； 当时，联立方程组，整理得 若时，则，此时与有一个公共点，符合题意； 若时，则，解得， 此时直线与曲线相切只有一个公共点，符合题意， 综上可得，实数的取值集合为. 故答案为：. 考点九：直线与抛物线相交的弦长问题 例9.若抛物线与直线交于，两点，则等于（    ） A． B．12 C． D．13 【答案】C 【分析】联立直线与抛物线方程，利用弦长公式计算即得. 【解析】由消去y并整理得，， 设，，则，， . 故选：C 【变式练习1】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若中点的横坐标为4，则（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】由抛物线焦点弦长公式结合中点坐标公式即可求解. 【解析】设， 由题设有，由抛物线的焦半径公式有： 而. 故选：B. 【变式练习2】已知双曲线（，）的渐近线方程为，则直线交抛物线所得的弦长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】由双曲线的渐近线方程得出，进而得出直线方程，再联立直线与抛物线方程，结合弦长公式及韦达定理求解即可． 【解析】因为双曲线（，）的渐近线方程为， 所以， 所以，代入抛物线得，， 设直线与抛物线的交点为，则， 所以， 故选：D． 【变式练习3】设抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】联立方程得韦达定理，即可根据焦点弦公式求解. 【解析】由得，， 由题意可知直线的斜率存在，故设其方程为， 联立与可得， 设，则，故， 因此，当且仅当时取等号， 故选：C 【变式练习4】已知抛物线：，若第一象限的A，B两点在抛物线上，焦点为F，，，，则直线的斜率k的值为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义及弦长公式可求得结果. 【解析】设，， 根据抛物线定义，，，得， 由，且，得， 故答案为：． 【变式练习5】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若弦中点纵坐标为2，则 ． 【答案】6 【分析】将抛物线化为标准形式，得到焦点和准线方程，由焦点弦弦长公式求出答案. 【解析】由得，所以焦点坐标为，准线为， 设弦中点纵坐标为， 故． 故答案为：6 【变式练习6】已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得抛物线方程为，直线方程为，联立方程组，结合抛物线的焦点弦长公式，即可求解. 【解析】如图所示，由抛物线的焦点为， 可得，解得，所以抛物线的方程为， 又由过点且斜率为的直线， 联立方程组，整理得，其中， 设，可得， 又由抛物线的定义，可得. 故答案为：. 考点十：直线与抛物线相交的面积问题 例10.斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点. (1)求线段的长. (2)为原点，求的面积. 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）求出直线方程，与抛物线方程联立，应用韦达定理，结合焦点弦长公式可得结果； （2）利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，然后由三角形的面积公式求解． 【解析】（1）∵抛物线的焦点坐标为，直线的斜率为1， ∴直线方程为， 由，得， 设，则， 则由抛物线焦点弦长公式得：． （2）点到直线的距离为， 则的面积． 【变式练习1】已知抛物线C：的焦点与双曲线E：的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为. (1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程. (2)斜率为1且纵截距为的直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求的面积 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由双曲线的渐近线方程为，可得，继而得到双曲线的右焦点为，即为抛物线的焦点坐标，可得，即得解； （2）联立直线与抛物线，可得，再由直线过抛物线的焦点，故，三角形的高为O到直线的距离，利用点到直线公式，求解即可. 【解析】（1）因为双曲线E的渐近线方程为. 所以，解得，从而，即， 所以右焦点为，从而，解得， 抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程依次分别为，. （2）    由题意直线，它过抛物线的焦点， 联立抛物线方程得，化简并整理得， 显然，， 所以， 点到直线的距离为， 所以，即的面积为. 【变式练习2】已知抛物线：上的点到其准线的距离为5. (1)求抛物线的方程； (2)已知为原点，点在抛物线上，若的面积为6，求点的坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）结合抛物线的定义求得，由此求得抛物线的方程. （2）设，根据三角形的面积列方程，求得的值，进而求得点的坐标. 【解析】（1）由抛物线的方程可得其准线方程， 依抛物线的性质得，解得. ∴抛物线的方程为. （2）将代入，得. 所以，直线的方程为，即. 设， 则点到直线的距离，又， 由题意得，解得或. ∴点的坐标是或. 【变式练习3】已知抛物线为坐标原点，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点. (1)若直线的斜率为1，求； (2)若与的面积之差的绝对值为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据题意得到直线的方程，再联立抛物线方程得到的值，从而利用弦长公式即可得解； （2）假设直线为，联立抛物线方程得到的值，再分别求得与的面积关于的表达式，进而得到关于的方程，解之即可得解. 【解析】（1）依题意，设， 因为抛物线的焦点为， 又直线的斜率为1，所以直线方程为， 联立，消去，得， 则， 所以. （2）易知直线斜率为时，与抛物线只有一个交点，不合题意； 设直线方程为， 联立，消去，得， 则， 因为，， 所以，解得， 所以直线的方程为或，即或. 考点十一：抛物线实际应用 例11.如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为2.5m，水面宽度为8m，当水面上涨0.9m后，水面的宽度为（    ）    A．6.4m B．6m C．3.2m D．3m 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线的方程，进而求得正确答案. 【解析】以拱顶为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系， 设抛物线的方程为， 依题意可知，抛物线过点， 所以， 所以抛物线方程为， 所以当时，， 解得，所以当水面上涨0.9m后，水面的宽度为. 故选：A    【变式练习1】假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（    ）（，，）    A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m 【答案】D 【分析】建立平面直角坐标系，求得抛物线方程并将水面宽度坐标化即可求得结果. 【解析】以为原点，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，    设抛物线的标准方程为（）， 由题意可得，代入得，得，故抛物线的标准方程为， 设（，），则，则， 即可得， 所以截面图中水面宽的长度约为， 故选：D. 【变式练习2】如图某地一拱桥垂直轴截面是抛物线，已知水利人员在某个时刻测得水面宽，则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设B点的坐标为，代入抛物线方程求解，即得解 【解析】设B点的坐标为，由抛物线方程，得， 则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为1米 故选：D． 【变式练习3】如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，已知行车道总宽度米，那么车辆通过隧道的限制高度是多少米？ 【答案】3.25米 【分析】抛物线的应用，第一步选择适当的建系方式，顶点在原点，数形结合设抛物线方程然后确定一点坐标代入求解.然后由横坐标确定纵坐标，就是隧道的限制高度. 【解析】隧道截面抛物线的顶点为原点，如下图： 对称轴为轴，建立直角坐标系，，设抛物线方程，将点代入抛物线方程得， 抛物线方程为，行车道总宽度， 将代入抛物线方程，， 限度为． 故答案为：3.25米． 2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.4 直线与圆锥曲线的位置关系 一、【考纲要求】 1.掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线的交点个数的判断方法（包括判别式法、图像法等）； 2.理解并掌握直线与圆锥曲线相切、相离、相交等位置关系的判定条件； 3.会求直线与圆锥曲线交点坐标并利用根与系数的方法求弦长 二、【考向预测】 1.直线与圆锥曲线位置关系的判断及交点坐标； 2.弦长与面积问题 三、【知识清单】 知识点1 直线与椭圆的位置关系 1、直线与椭圆的位置关系判断 设直线方程为，椭圆方程为 联立消去y得一个关于x的一元二次方程 ①直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点）； ②直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)； ③直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点． 2、直线与椭圆相交的弦长公式 （1）定义：连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦． （2）求弦长的方法 ①交点法：将直线的方程与椭圆的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求． ②根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被椭圆截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则弦长公式为： 知识点2 直线与双曲线的位置关系 1、直线与双曲线的位置关系判断 将双曲线方程与直线方程联立消去得到关于的一元二次方程 ， （1）当，即，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个交点； （2）当，即，设该一元二次方程的判别式为， 若，直线与双曲线相交，有两个公共点； 若，直线与双曲线相切，有一个公共点； 若，直线与双曲线相离，没有公共点； 注意：直线与双曲线有一个公共点时，可能相交或相切. 2、直线与双曲线弦长求法 若直线与双曲线（，）交于，两点， 则或（）．（具体同椭圆相同） 知识点3 直线与抛物线的位置关系 1、直线与抛物线的位置关系判断 （1）关系有三种情况：相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）. （2）以抛物线与直线的位置关系为例： ①直线的斜率不存在，设直线方程为， 若，直线与抛物线有两个交点； 若，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点； 若，直线与抛物线没有交点. ②直线的斜率存在. 设直线，抛物线， 直线与抛物线的交点的个数等于方程组，的解的个数， 即二次方程（或）解的个数. ①若， 则当时，直线与抛物线相交，有两个公共点； 当时，直线与抛物线相切，有个公共点； 当时，直线与抛物线相离，无公共点. ②若，则直线与抛物线相交，有一个公共点. [常用结论与提醒] 直线与抛物线相交弦长问题 （1）一般弦长 设为抛物线的弦，，，弦AB的中点为. ①弦长公式：（为直线的斜率，且）. ②, 推导：由题意，知，① ② 由①-②，得，故，即. ③直线的方程为. （2）焦点弦长 如图，是抛物线过焦点的一条弦， 设，，的中点， 过点，，分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点，，， 根据抛物线的定义有，， 故. 又因为是梯形的中位线，所以， 从而有下列结论； ①以为直径的圆必与准线相切. ②(焦点弦长与中点关系) ③. ④若直线的倾斜角为，则. ⑤，两点的横坐标之积，纵坐标之积均为定值，即，. ⑥为定值. 四、【方法技巧】 1.直线与圆锥曲线位置关系的判定方法 （1）联立直线的方程与圆锥曲线的方程. （2）消元得到关于x或y的一元二次方程. （3）利用判别式Δ，判断直线与圆锥曲线的位置关系. 2. 求直线与圆锥曲线交点问题，只需联立直线的方程与圆锥曲线的方程,消元得到关于x或y的一元二次方程(斜率存在情况)，最后解方程即可. 3.求面积问题一般需结合弦长公式及点到直线距离公式求解. 五、【考点分类剖析】 考点一：直线与椭圆位置关系的判定 例1.直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【变式练习1】已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定 【变式练习2】若直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式练习3】已知以为焦点的椭圆与直线有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为（    ） A． B． C． D． 【变式练习4】直线和曲线的位置关系为 . 【变式练习5】给定四条曲线：①；②；③；④．其中与直线仅有一个交点的曲线是 ．（填序号） 考点二：直线与椭圆的交点坐标 例2. 已知直线，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】直线：与椭圆：的一个交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】过椭圆的左焦点作斜率为1的直线与椭圆C分别交于点A，B，是坐标原点，则 . 【变式练习3】已知椭圆的上､下顶点分别为，右焦点为，为直线与椭圆的交点，则直线的斜率为 . 【变式练习4】已知椭圆，直线与轴交于点，与椭圆交于，两点，若，则 . 考点三：椭圆弦长 例3.经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的长为（    ） A． B． C．2 D． 【变式练习1】已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】过椭圆的左焦点作直线和椭圆交于A、B两点，且，则这样直线的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式练习3】过椭圆的焦点的最长弦和最短弦的长分别为 ． 【变式练习4】过焦点在轴上的椭圆的顶点引一条弦，弦的最大长度为，则 . 考点四：直线与椭圆相交的面积问题 例4 ．已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为． (1)求椭圆的方程； (2)设斜率为且过的直线与椭圆交于两点，求的面积． 【变式练习1】已知椭圆C：的焦距为，离心率为. (1)求C的标准方程； (2)若，直线l：交椭圆C于E，F两点，且的面积为，求t的值. 【变式练习2】如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，，一条直线经过与椭圆交于，两点． (1)求焦点坐标，焦距，短轴长； (2)若直线的倾斜角为，求的面积． 考点五：直线与双曲线的位置关系 例5.直线与双曲线的位置关系是（　　） A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定 【变式练习1】直线与双曲线的交点情况是（    ） A．恒有一个交点 B．存在m有两个交点 C．至多有一个交点 D．存在m有三个交点 【变式练习2】下列直线中与双曲线有两个不同交点的是（    ） A． B． C． D． 【变式练习3】过双曲线：左焦点为和点直线与双曲线的交点个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式练习4】已知直线，若双曲线与均无公共点，则可以是（    ） A． B． C． D． 【变式练习5】已知直线的方程为，双曲线的方程为若直线与双曲线的右支交于不同的两点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式练习6】若过点且与双曲线有且只有一个公共点的直线有3条，则该双曲线的离心率是（   ） A． B． C．2 D．4 【变式练习7】直线与双曲线有且只有一个公共点，则实数 ． 【变式练习8】过点且与双曲线仅有一个公共点的直线共有 条. 【变式练习9】已知双曲线与直线无公共点，则正数的一个取值可以为 ． . 【变式练习10】写出同时满足下列条件①②的直线方程： （写出一个满足条件的答案即可）. ①在轴上的截距为2；②与双曲线只有一个交点. 考点六：直线与双曲线相交的弦长问题 例6.过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A，B两点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】过双曲线左､右焦点分别作倾斜角为的直线与双曲线相交于轴上方两点，则（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】直线与双曲线有两个交点为，，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【变式练习3】已知双曲线，过右焦点的直线交双曲线于两点，若中点的横坐标为4，则弦长为（    ） A． B． C．6 D． 【变式练习4】已知双曲线：，则双曲线的渐近线方程是 ；直线与双曲线相交于，两点，则 . 【变式练习5】过双曲线的左焦点作弦，使，则这样的直线的条数为 . 【变式练习6】已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长 . 考点七：直线与双曲线的面积问题 例8已知双曲线的中心为坐标原点，点在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直. (1)求双曲线的标准方程； (2)若过点的直线与双曲线交于，两点，的面积为，求直线的方程. 【变式练习1】已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，焦距为． (1)求双曲线C的标准方程； (2)若O为坐标原点，直线l：交双曲线C于A，B两点，求的面积． 【变式练习2】已知过点的双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是. （1）求双曲线的方程； （2）若是坐标原点，直线：与双曲线的两支各有一个交点，且交点分别是，，的面积为，求实数的值. 考点八：直线与抛物线的位置关系 例8.直线与抛物线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．无数 【变式练习1】已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．1条、2条或3条 【变式练习2】命题p：直线与抛物线有且仅有一个公共点，命题q：直线与抛物线相切，则命题p是命题q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【变式练习3】．已知过点的直线与抛物线相交于不同的两点，为直线斜率，则k的取值范围为 . 【变式练习4】若直线：与曲线恰好有一个公共点，试求实数的取值集合. 考点九：直线与抛物线相交的弦长问题 例9.若抛物线与直线交于，两点，则等于（    ） A． B．12 C． D．13 【变式练习1】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若中点的横坐标为4，则（   ） A．16 B．12 C．10 D．8 【变式练习2】已知双曲线（，）的渐近线方程为，则直线交抛物线所得的弦长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式练习3】设抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线相交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式练习4】已知抛物线：，若第一象限的A，B两点在抛物线上，焦点为F，，，，则直线的斜率k的值为 ． 【变式练习5】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，若弦中点纵坐标为2，则 ． 【变式练习6】已知抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于两点，则 ． 考点十：直线与抛物线相交的面积问题 例10.斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于，两点. (1)求线段的长. (2)为原点，求的面积. 【变式练习1】已知抛物线C：的焦点与双曲线E：的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为. (1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程. (2)斜率为1且纵截距为的直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求的面积 【变式练习2】已知抛物线：上的点到其准线的距离为5. (1)求抛物线的方程； (2)已知为原点，点在抛物线上，若的面积为6，求点的坐标. 【变式练习3】已知抛物线为坐标原点，过抛物线焦点的直线交抛物线于两点. (1)若直线的斜率为1，求； (2)若与的面积之差的绝对值为，求直线的方程. 考点十一：抛物线实际应用 例11.如图是某抛物线形拱桥的示意图，当水面处于位置时，拱顶离水面的高度为2.5m，水面宽度为8m，当水面上涨0.9m后，水面的宽度为（    ）    A．6.4m B．6m C．3.2m D．3m 【变式练习1】假设一水渠的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的渠口宽为，渠深为，水面距为，则截面图中水面宽的长度约为（    ）（，，）    A．0.816m B．1.33m C．1.50m D．1.63m 【变式练习2】如图某地一拱桥垂直轴截面是抛物线，已知水利人员在某个时刻测得水面宽，则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式练习3】如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米，已知行车道总宽度米，那么车辆通过隧道的限制高度是多少米？ 2原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$