第27章相似—— 相似三角形判定及模型分析2024-2025学年人教版数学九年级下册

相似三角形判定及模型分析 一:预备定理（平行线法）A型x型 1．（23-24九年级上·济南·期中）如图，点是平行四边形的边延长线上一点，连接，交于点．写出图中任意一对相似三角形，并说明理由． 2．（23-24九年级上·青岛期中）如图，D、E、F分别是的、、边上的点，且，，求证：． 3.（23-24九年级上·日照.期末）阅读资料：小明是一个爱动脑筋的学生，他在学习了有关圆的切线性质后，意犹未尽，又查阅到了与圆的切线相关的一个问题： 如图1，已知PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，延长BA交切线PC与P，连接AC、BC、OC． 因为PC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，所以∠OCP=∠ACB=90°，所以∠B=∠2． 在△PAC与△PCB中，又因为：∠P=∠P，所以△PAC∽△PCB，所以=，即PC2=PA•PB． 问题拓展： （Ⅰ）如果PB不经过⊙O的圆心O（如图2）等式PC2=PA•PB，还成立吗？请证明你的结论； 综合应用： （Ⅱ）如图3，⊙O是△ABC的外接圆，PC是⊙O的切线，C是切点，BA的延长线交PC于点P； （1）当AB=PA，且PC=12时，求PA的值； （2）D是BC的中点，PD交AC于点E．求证：=． 、 二:SAS判定方法 4.(九年级上·山东济南·期中）如图，在与中，，且．求证：．    5．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，点P为线段上一点，在的同侧作等腰直角三角形和等腰直角三角形，与，分别相交于点E，F，与交于点H．(1)求证：；(2)求的度数． 6．（22-23九年级上·山东日照·期末）【基础巩固】 （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在中，E是上一点，连结，．已知，，．求证：． 【拓展提高】 （3）如图3，四边形内接于，相交于点E．已知的半径为2，，，． ①求证： 三：AAA判定方法 7．（24-25九年级上·山东济南·期中）如图，在中，点，分别在边，上，，． (1)求证：； (2)若，，求线段的长． 8．（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，点、在线段上，△是等边三角形，． (1)证明：； (2)线段、、之间有怎样的数量关系？请说明理由． 9．（22-23九年级上·山东济宁·期末）如图，是的外接圆，点O在边上，的平分线交于点D，连接、，过点D作的平行线与的延长线相交于点P． (1)求证：是的切线；(2)求证：； (3)若，，求的长． 10．（2023·山东潍坊期末）如图所示，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE. 求证：△ABE∽△ADC . 11．（2024·山东济南·一模）如图，中，，，点在边上，以点为圆心，的长为半径的圆与相切于点，分别交和边于点和，连接，，． (1)求证：平分；(2)求证：； (3)若，求图中阴影部分的面积． （1）一线三等角 12．（21-22九年级上·山东日照·期末）如图，在四边形ABCD中，，点P为AB上一点，连接PD、PC，． (1)求证：； (2)若点P恰为AB的中点，且，，求PC的长． 13．（2024·北京·一模）如图，四边形为正方形，． (1)证明： (2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明 (2）母子型 14．（2023·贵州安顺·中考真题）（11·西宁）已知：如图，BD为⊙O的直径，AB＝AC，AD交BC与E，AE＝2，ED＝4． （1）求证：△ABE∽△ADB；（2）求AB的长； （3）延长DB到F，使BF＝OB，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由． 15．（22-23九年级上·山东日照·期末）如图，在的外接圆中，是的中点，交于点，连结． （1）列出图中所有相似三角形； （2）连结，若在上任取一点（点除外），连结交于点，是否成立？若成立，给出证明；若不成立，举例说明． （3）射影定理 16.（24-25九年级上·山东青岛·期中）问题探究 （1） 如图1所示，在中，，是的高．求证：①；②． 迁移运用 （2）如图2所示，圆内接四边形中，对角线是直径，，，若，，求． 17．（2023·山东日照·期末）如图，在正方形ABCD中，E是BC上的一点,连结AE，作BF⊥AE，垂足为H,交CD于F,作CG∥AE,交BF于G. 求证：（1） CG=BH；（2）FC2=BF·GF；（3）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$