11.2.2三角形的外角 课时作业2024—2025学年人教版数学八年级上册

11.2.2三角形的外角 课时作业2024—2025学年人教版八年级上册数学 一、单选题 1．在劳动课上，小雅同学设计了一个形状如图所示的零件，其中，，，，，则∠D的度数为（    ）    A．35° B．45° C．30° D．24° 2．如图，直线，，，则度数是（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线ab，将一个含30°角的三角尺按如图所示的位置放置，若∠1＝20°，则∠2的度数为（   ） A．150° B．140° C．130° D．120° 4．如图，∠O=∠1，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠7，∠8=90°则∠O的度数为（   ） A．10° B．15° C．18° D．20° 5．如图，和分别是的内角平分线和外角平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线，若，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，平分和，若，则（    ） A． B． C． D． 7．已知直线a∥b，将一副三角板按如图所示放置在两条平行线之间，则∠1的度数为（　　） A．65° B．70° C．75° D．80° 8．如图，若∠A=27°，∠B=45°，∠C=38°，则∠DFE等于（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图所示，△ABC的外角∠1+∠2＝240°，那么∠A＝______. 10．已知在中，，是的高，，则 °． 11．如图，已知，，则的值为 ． 12．如图，已知AEBD，，，则 ． 13．如图，分别平分的外角、内角，若，以下结论：；②；③④平分⑤ （填序号）．    三、解答题 14．已知中，，，D为BC边延长线上一点，BM平分，E为射线BM上一点． (1)如图，连接CE． ①若，求的度数； ②若CE平分，求的度数． (2)若直线CE垂直于的一边，请求出的度数． 15．如图所示，，，，求和的度数． 16．中，的角平分线与三角形的外角的平分线相交于点E， (1)如图一，已知，求的度数； (2)如图一，求证：； (3)如图二，F是的延长线上一点，的角平分线交于G，交于H，探究与之间的数量关系并说明理由． 17．发现与探究    【发现】根据三角形外角的性质可推理得：如图1在四边形中，判断与的数量关系．请将如下说理过程补充完整． 解：，理由：延长交于点， ∵是的外角， ∴________________________________， 同理，是的外角， ∴________________________________， ∴（等量代换）． 【验证】 某木材零件如图2所示，图纸要求，，零件样品生产出来后，经测量得到，请你用“发现”得到的结论判断该零件样品是否符合规格，并说明理由． 【探究】如图3是某公司开发的可调躺椅示意图（数据如图所示），与的交点为，且，，保持不变，为了舒适，需调整的大小，使，请直接写出，应将图中______（填“增加”或“减小”）______°． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C C B C B B C A 1．C 【分析】如图，延长交延长线于点，交于点M，可证，再根据，求出、度数，根据四边形内角和计算即可． 【详解】解：如图，延长交延长线于点，交于点M，    ，， ， ，， ，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，三角形外角性质等知识，解题关键是学会添加辅助线． 2．C 【分析】根据平行线的性质得出，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：，， ∴， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质及三角形外角的性质是解题关键． 3．B 【分析】由题意得∠CAD=90°，∠C=30°，从而求得∠CAE=70°，由平行线的性质得∠CBF=∠CAE=70°，利用三角形的外角性质求得∠CHB=40°，从而可求∠2的度数． 【详解】解：如图， 由题意得：∠CAD=90°，∠C=30°， ∵∠1=20°， ∴∠CAE=180°-∠CAD-∠1=70°， ∵ab, ∴∠CBF=∠CAE=70°， ∵∠CBF是△CBH的外角， ∴∠CHB=∠CBF-∠C=40°， ∴∠2=180°-∠CHB=140°． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等． 4．C 【分析】设∠O=x，进而根据三角形外角的性质表示出∠2，即可表示出∠3，同理表示出∠4，可得∠5，再表示出∠6，即可∠7，最后根据∠8=∠O+∠7得出答案即可． 【详解】设∠O=x， ∵∠2是△ABO的外角，且∠O=∠1， ∴∠2=∠O+∠1=2x， ∴∠3=∠2=2x． ∵∠4是△BCO的外角， ∴∠4=∠O+∠3=3x， ∴∠5=∠4=3x． ∵∠6是△CDO的外角， ∴∠6=∠O+∠5=4x， ∴∠7=∠6=4x． ∵∠8是△DEO的外角， ∴∠8=∠O+∠7=5x， 即5x=90°， 解得x=18°． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的外角的性质，根据三角形外角的性质得出待求角之间的等量关系是解题的关键． 5．B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等．根据角平分线的定义可得，，再根据三角形外角的性质可得，化简可得，进一步找出其中的规律，即可求出的度数． 【详解】解：∵和分别是的内角平分线和外角平分线， ，， 又，， ， ， 同理可得：， ， ∴， 则， 故选：B． 6．B 【分析】AD、CM交于点E，AM、BC交于点F，AD、BC交于点H，根据三角形外角性质可证的外角和的外角是同角，分别可表示为与，根据角平分线性质可得，，将、代入计算即可求出． 【详解】解：AD、CM交于点E，AM、BC交于点F，AD、BC交于点H，如图， ∵的外角和的外角是同角， ∵，， ∵平分和， ∴，， ∴，， ∵在中，， 在中， ∴，； ∵， ∴， ， 整理得，， 化简得， 将，代入，解得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形外角性质，角平分线有关的计算，灵活运用三角形外角性质及角平分线性质是解题关键． 7．C 【分析】延长AB交直线a于C．首先证明∠1=∠2，再根据∠2=∠CDB+∠CBD计算即可． 【详解】解：延长AB交直线a于C． ∵a∥b， ∴∠1＝∠2， ∵∠2＝∠CDB+∠CBD，∠CDB＝30°，∠CBD＝45°， ∴∠1＝∠2＝75°， 故选：C． 【点睛】本题考查平行线的性质、特殊直角三角形的性质、三角形的外角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8．A 【分析】根据三角形外角的性质三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AEB=∠A+∠C=65°，∠DFE=∠B+∠AEC，进而可得答案． 【详解】解：∵∠A=27°，∠C=38°， ∴∠AEB=∠A+∠C=65°， ∵∠B=45°， ∴∠DFE=65°+45°=110°， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 9．60° 【详解】如图，∠3为∠A外角∠1＋∠2＋∠3＝360° 而∠1＋∠2＝240°，∴∠3＝120° ∵∠A＋∠3＝180°∴∠A＝60°故答案为60°. 10．或. 【分析】根据题意画出图形，当为锐角三角形或钝角三角形两种情况解答，结合已知条件即可得出的度数． 【详解】解：（1）如图，当为锐角三角形时， ， ； （2）如图，当为钝角三角形时， ， ． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，关键在于根据题意画出图形，分别进行讨论解答． 11．40° 【分析】根据平行线的性质求出∠BFD的度数，由补角的定义求出∠CFD的度数，根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵AB//FE， ∴∠BFD＝∠ABC＝70°， ∴∠CFD＝180°﹣∠BFD＝110°； 又∵∠CDE＝∠CFD+∠BCD， ∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CFD＝150°﹣110°＝40°． 故答案为：40°． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题关键． 12．/45度 【分析】由平行线的性质可得，再利用三角形的外角性质即可求． 【详解】解： ，， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，内错角相等． 13．①②③⑤ 【分析】根据角平分线定义得出， ，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴；②正确； 在中，， ∵平分的外角， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴；③正确； ∵平分， ∴， ∵，， ∴不等于，故④错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故⑤正确，    故答案为：①②③⑤． 【点睛】本题考查的是三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，掌握角平分线的定义、三角形内角和定理是解题的关键． 14．(1)①∠BEC=41°；②∠BEC=30°； (2)∠BEC的度数为49°或131°或11° 【分析】（1）①根据三角形的内角和得到∠ABC=82°，由角平分线的定义得到∠ABE=∠ABC=41°，根据平行线的性质即可得到结论； ②根据邻补角的定义得到∠ACD=180°-∠ACB=142°，根据角平分线的定义得到∠CBE=∠ABC=41°，∠ECD=∠ACD=71°，根据三角形的外角的性质即可得到结论； （2）①如图1，当CE⊥BC时，②如图2，当CE⊥AB于F时，③如图3，当CE⊥AC时，根据垂直的定义和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】（1）解：①∵∠A=60°，∠ACB=38°， ∴∠ABC=82°， ∵BM平分∠ABC， ∴∠ABE=∠ABC=41°， ∵CEAB， ∴∠BEC=∠ABE=41°； ②∵∠A=60°，∠ACB=38°， ∴∠ABC=82°，∠ACD=180°-∠ACB=142°， ∵BM平分∠ABC，CE平分∠ACD， ∴∠CBE=∠ABC=41°，∠ECD=∠ACD=71°， ∴∠BEC=∠ECD-∠CBE=30°； （2）①如图1，当CE⊥BC时， ∵∠CBE=41°， ∴∠BEC=49°； ②如图2，当CE⊥AB于F时， ∵∠ABE=41°， ∴∠BEC=90°+41°=131°， ③如图3，当CE⊥AC时， ∵∠CBE=41°，∠ACB=38°， ∴∠BEC=180°-41°-38°-90°=11°． 综上可得：∠BEC的度数为49°或131°或11°． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的画出图形辅助解决问题是解题的关键． 15．，． 【分析】先根据∠BDF=∠E+∠α，求∠α，再根据∠α=∠C+∠β，求∠β. 【详解】解：∵是的一个外角（外角的定义）， ∴（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）． ∴（等式的性质，等量代换）． 又∵是的一个外角（外角的定义）， ∴（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）， ∴（等式的性质，等量代换）． 【点睛】此题考查三角形外角的性质，解题关键在于求出∠α. 16．(1) (2)见解析 (3) 【分析】此题主要考查了角平分线定义，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，准确识图，理解角平分线定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理是解决问题的关键． （1）根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算可得出答案； （2）根据三角形的外角性质得到，，根据角平分线的定义得到，，进而证明结论； （3）先求得，同理可得：，再由角平分线的定义可得，，再求解即可． 【详解】（1）解：，， ， 是的平分线， ， 是的平分线， ， ， 即； （2）证明：是的外角， ， ， 是的外角， ， 平分，平分， ，， ， ． ； （3）解：如图，设与相交于点，与相交于点， 在中，， 在中，， ， ， ， 同理可得：， 、分别是和的角平分线， ，， 由得：． 17．发现：，；验证：不符合规格，理由见解析；探究：增加，5 【分析】（1）发现：延长交于点，根据三角形的外角定理得出，，即可得出结论； （2）验证：由“发现”中的结论可得，则， 求出符合规格的零件，即可得出结论； （3）探究：根据三角形的内角和定理和对顶角相等得出，再根据“发现”中的结论得出，即可得出结论． 【详解】解：（1）发现： 解：， 理由：延长交于点， ∵是的外角， ∴， 同理，是的外角， ∴， ∴（等量代换）． 故答案为：，； （2）验证： 由“发现”可知：， ∴， ∵符合标准的零件，， ∴符合标准的零件， ∵， ∴该零件不符合规格； （3）探究： ∵， ∴， ∴， ∵，保持不变， ∴应增加 故答案为：增加，5． 【点睛】本题主要考查了三角形的外角定理，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握三角形那个的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$