第23章旋转练习卷-2024—2025学年人教版数学九年级上册

第23章旋转练习卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．下列图形中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，将绕顶点A逆时针旋转得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知正方形的边长为，如果将线段绕着点旋转后，点落在的延长线上的处，则的长为（ ）． A．6 B． C．18 D． 4．如图，在平面直角坐标系中，将线段绕点O逆时针旋转得到线段，若点A的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．如图1，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗，与地面的夹角为，，小亮同学将它扶起平放在地面上（如图2），则灰斗柄绕点转动的角度为（   ） A． B． C． D． 6．如图，将绕点C顺时针旋转，点B的对应点为点E，点A的对应点为点D，当点E恰好落在边上时，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7．如图，中，，，射线绕点逆时针旋转，得到射线，若射线与直线相交，则交点记作点．给出3个结论：①当时，；②当时，；③当时，射线与直线没有交点．上述结论中，所有正确结论的序号是　　    A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 8．如图，将绕点A逆时针旋转后得到，点B，C的对应点分别为D，E，点B恰好在边上，且点D在的延长线上，连接，若，则下列结论一定正确的是（） A． B． C．旋转角是 D． 二、填空题 9．在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标是 ． 10．如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，交于点，则 ． 11．如图，矩形中，顶点，，，将矩形绕点逆时针旋转，每秒旋转，则第100秒旋转结束时，点的坐标为 ． 12．如图，绕点O逆时针旋转得到， 若，则 度． 13．如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，则的长为 14．数学课堂上，为探究旋转的性质，同学们进行了如下操作：如图所示，将一个三角形硬纸板，放置在一张白纸上，描出硬纸板的形状，并用图钉固定点A，将三角形硬纸板绕点A顺时针旋转一定角度后，再描出形状得到，经测量，则 ． 15．如图，在中，，是的中位线，点是线段上一动点（点除外），将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连接，，若，，则面积的最大值是 ． 三、解答题 16．在平面直角坐标系中，． (1)画出关于原点对称的； (2)画出绕点A顺时针旋转后得到的． 17．如图，将绕点A逆时针旋转α得到，点B的对应点D落在上，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 18．如图，在中，，，，连接，将线段绕点顺时针旋转90°得到线段，连接． (1)依题意，补全图形，并证明：； (2)求的度数； (3)若为线段的中点，连接，请用等式表示线段与之间的数量关系，并证明． 19．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的顶点均在格点上． (1)画出关于原点O的中心对称图形． (2)将绕点E顺时针旋转得到，画出． (3)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ． 20．综合与实践 【问题情境】“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，旋转角小于，点B的对应点为点D，点C的对应点为点E，交于点O，延长交于点P． 【数学思考】（1）试判断与的数量关系，并说明理由． 【深入探究】（2）在图形旋转的过程中，老师让同学们提出新的问题． ①“乐学小组”提出问题：如图2，如果，当时，求的度数； ②“善思小组”提出问题：如图3，如果，．当时，求线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B B B C D A 1．A 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转所得的图形能与原图形重合，则该图形为中心对称图形，掌握其定义即可解题． 【详解】解：A．是中心对称图形，故本选项符合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 2．C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，先找到旋转角，再根据进行计算即可求解． 【详解】解：根据题意可知旋转角， 所以． 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，掌握以上知识是解答本题的关键． 根据正方形的性质和勾股定理求出，可得，然后利用勾股定理计算的长即可． 【详解】解：在正方形中，， ， 由旋转得， ， ， 故选：B． 4．B 【分析】本题考查直角坐标系中的旋转问题，解题的关键是掌握旋转的性质，根据证明．作轴于点C，作轴于点D，根据旋转的性质可得，，根据证明，推出，，可得 ． 【详解】解：如图，为旋转后线段，作轴于点C，作轴于点D， 点的坐标是， ，， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ，， ， 又， ， 在和中， ， ， ，， ， 故选：B． 5．B 【分析】连接并且延长至，根据旋转的性质和平角的定义，由角的和差关系即可求解．考查了生活中的旋转现象，本题关键是由角的和差关系得到的度数． 【详解】解：如图：连接并且延长至， 依题意，． 故灰斗柄绕点转动的角度为． 故选：B 6．C 【分析】本题考查了旋转的基本性质和等腰三角形内角和，由旋转的性质可知，与对应相等，与对应相等，从而通过等腰三角形内角和关系可求的度数． 【详解】解：由旋转的性质可知，， ，， ， 故选：C． 7．D 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质得到，，①如图，由，，得到，，根据等腰三角形的性质得到①正确；②如图，由，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到，故②正确；③如图，由，，得到当时，，于是得到当时，射线与直线没有交点．故③正确． 【详解】解：，， ，， ①如图，，，   ，， ， ，故①正确； ②如图，，   ， ， ，故②正确； ③如图，，，   当时，， 当时，射线与直线没有交点．故③正确； 故选：D． 8．A 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，由旋转的性质可得，由等腰三角形的性质可求，可得，即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转后得到， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴，即旋转角为， ∴， ∴， ∵， ∴与不平行， ∵， ∴， 故选：A． 9． 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的坐标的特征；根据关于原点对称的点，横纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是：， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了直角三角形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，由直角三角形的性质结合勾股定理可得，，由旋转的性质可得，，，，证明为等腰直角三角形，得出，即可得解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转及点的坐标变化规律，能由所给旋转方式得出第100秒旋转结束时点的位置，与第4秒旋转结束时点的位置相同是解题的关键．根据所给旋转方式可知每旋转八秒，点的坐标重复出现，再根据四边形是矩形，求出点坐标可解决问题． 【详解】解：， 每旋转八次，点的坐标重复出现． 余4， 第100秒旋转结束时点的位置，与第4秒旋转结束时点的位置相同． 连接和， 四边形是矩形， 和互相平分， ，， ，， 点的坐标为． 又， 第4秒旋转结束时的点与点关于坐标原点对称， 此时点的坐标为． 即第100秒旋转结束时，点的坐标为． 故答案为：． 12．33 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．根据旋转的性质得到，然后计算即可． 【详解】解：∵绕点O逆时针旋转得到， ∴， ∴． 故答案为：33． 13． 【分析】此题考查了旋转的性质以及勾股定理，先根据旋转的性质得出，，，，再证明，根据勾股定理求出，再利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 14．/35度 【详解】解：将三角形硬纸板绕点A顺时针旋转一定角度，根据旋转的性质，旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的方向， ， ，， ， ，， ， 故答案为：． 15． 【分析】过点G作的延长线于点H，根据是的中位线，得出，，，证出四边形是直角梯形，根据旋转可得，证明，得出，设，则，勾股定理得出，从而得出，再根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点G作的延长线于点H， ∵是的中位线， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是直角梯形， 根据旋转可得， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴开口向下， ∴时，最大，最大值为， 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，三角形中位线定理，二次函数的性质，旋转的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查中心对称图形、旋转作图： （1）找出三个顶点关于原点的对称点，顺次连接即可； （2）找出三个顶点绕点A顺时针旋转后的对应点，顺次连接即可． 【详解】（1）解：如下图所示； （2）解：如下图所示． 17．(1)见解析 (2) 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理： （1）根据旋转的性质得到，推出，再根据平角的定义和三角形内角和定理即可得出结论； （2）根据平行线的性质得到，证明是等边三角形，求出，设，则，利用股沟定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵将绕点A逆时针旋转α得到， ∴， ∴．     ∵， ∴． （2）解：∵， ∴．     ∵， ∴．     ∴是等边三角形． ∵， ∴． ∴． ∴． 设，则． 在中，， ∴．     解得（负值舍去）． ∴． 18．(1)画图和证明见解析； (2)135° (3)，证明见解析． 【分析】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，三角形内角和定理，勾股定理等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先根据题意画出对应的图形，只需要利用证明即可证明； （2）连接，如图所示．先由等腰直角三角形的性质得到再证明由全等三角形的性质得到．则可以推出，利用三角形内角和定理即可得到； （3）如图所示，延长至K，使得，连接．证明．得到，，则．进一步证明．得到．由此证明，得到．在等腰直角中，，则，即可证明． 【详解】（1）解：补全图形，如图所示． 证明：∵ 线段绕点C顺时针旋转90°得到线段， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，如图所示． 由（1）可得是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵， ∴； 由可得． ∴． ∴； （3）解：，理由如下： 如图所示，延长至K，使得，连接． ∵为线段的中点， ∴． ∵， ∴． ∴，． ∴，． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 由可得， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵在等腰直角中，， ∴． ∵， ∴． 19．(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出； （3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得到答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，根据旋转的性质：旋转中心到两对应点的距离相等； 旋转中心在线段的中垂线上，即为图中点P； 由图象可知，该点的坐标为． 故答案为：． 20．（1），理由见解析；（2）①；②6． 【分析】（1）由旋转的性质可得：，，再证明，从而可得结论； （2）①由全等三角形的性质证明，，求解，再进一步求解即可；②利用勾股定理求解，证明，可得，可得．结合，可得，证明，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：．理由：如图1，连接AF， 由旋转的性质知，，， ∵， ∴， ∴； （2）解：①如图2，由旋转可得，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ②如图3，∵，，， ∴． 由旋转的性质知，，，，． ∵，， ∴， ∴， ∴． 由（1）得， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角形的内角和定理的应用，掌握旋转的性质是解本题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$