22.1二次函数的图像和性质 课时作业2024-2025学年人教版九年级数学上册

人教版九年级上册数学22.1二次函数的图像和性质 课时作业 一、单选题 1．关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．对称轴是直线 B．最大值为 C．当时，随的增大而减小 D．与轴只有一个交点 2．二次函数的图象与轴交于，两点，点在二次函数上，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 3．把抛物线的图象通过怎样平移可以得到抛物线的图象（    ） A．先向上平移3个单位，再向右平移5个单位 B．先向下平移3个单位，再向左平移5个单位 C．先向上平移5个单位，再向右平移3个单位 D．先向下平移5个单位，再向左平移3个单位 4．如图，若抛物线经过原点，则抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D．或 5．抛物线y＝（x＋1）2＋3的顶点坐标是（    ） A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3） 6．已知二次函数y = x2 - x + ，若x = a时，y < 0:则当x = a - 1时，对应的函数值范围判断合理的是（　　　）. A．y < 0 B．0 < y < C． < y < D．y > 7．将函数y=3x2的图象如何变换可以得到抛物线y=3(x+1)2－4的图象(     ) A．先向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度 B．先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度 C．先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度 D．先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度 8．已知抛物线经过，两点，若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．二次函数，当时，则的取值范围是 ． 10．如图，线段AB=10，点P在线段AB上，在AB的同侧分别以AP、BP为边长作正方形APCD和BPEF，点M、N分别是EF、CD的中点，则MN的最小值是 . 11．已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④当时，．其中正确的结论有 个． 12．点（-1，a）、（-2，b）是抛物线上的两个点，那么a和b的大小关系是a b（填“>”或“<”或“=”）． 13．若点M(﹣2，y1)，N(﹣1，y2)，P(8，y3)在抛物线y＝﹣x2 +2x上，则y1，y2，y3由小到大的顺序为 ． 三、解答题 14．如图，抛物线 y=ax2+bx+3经过A（1，0）、B（4，0）两点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由． （3）如图2，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上存在点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？求点M的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，已知直线y＝x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C(﹣1，0)． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标； (2)探究：在抛物线上直线AB下方是否存在一点P，使ABP面积最大？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； 16．已知抛物线与轴交于，两点，与轴的负半轴交于点，且，连接BC． (1)求抛物线的解析式． (2)P是抛物线上位于BC下方的一动点，且点P的横坐标为t． ①求的最大面积． ②是否存在一点，使，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17．在平面直角坐标系中，二次函数（a，b，c是常数，且）的图象如图所示． (1)求这个二次函数的表达式； (2)当时，求y的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C A C C D A 1．D 【分析】根据二次函数的性质求解判断即可． 【详解】 是直线的对称轴， 故A正确， 最大值为， 故B正确， 抛物线单调递减， 故C正确， ， 函数与轴有两个交点， 故D错误． 故选：D. 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与系数的关系． 2．B 【分析】本题主要考查了二次函数图象与x轴的交点坐标与系数的关系，图象上点的坐标的特征，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 由已知可得，求得，再将代入可求出，，进而判断即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于，两点， ∴a、b为方程的两个根， ∴， ∴， ∵点在二次函数上， ∴， ∴， 可得方程组， 解得， ∴，故A正确． ∴，故B正确． ∵，故C正确． ∵， ∴，即，故D错误． 故选：D． 3．C 【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到． 【详解】解：∵y=2（x+3）2-5的顶点坐标为（-3，-5），y=2x2的顶点坐标为（0，0）， ∴将抛物线y=2（x+3）2-5向右平移3个单位，再向上平移5个单位，可得到抛物线y=2x2的图象． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数图象的平移，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标． 4．A 【分析】把代入可得，然后根据二次函数图像开方向向下确定a的值即可解答． 【详解】解：把代入得，， ∴， ∵抛物线开口向下， ∴抛物线的解析式为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数图像的性质等知识点，掌握二次函数图像的性质是解答本题的关键． 5．C 【分析】根据函数顶点式解析式写出顶点坐标即可． 【详解】解：抛物线y＝2（x＋1）2＋3的顶点坐标是（﹣1，3）． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键． 6．C 【分析】易求得抛物线对称轴，可以找出a的取值范围，即可确定a-1的的取值范围，即可解题 【详解】解：由题意可知：对称轴为 当 时， 当x=0时，y= 当x=1时，y= ∵x=a，y<0， ∴0<a<1， ∴-1<a-1<0， ∵当x=-1时，y= ∴当x=a-1时， . 故选：C. 【点睛】本题考查了抛物线的性质：当抛物线开口朝上时，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；本题中确定a的取值范围是解题的关键. 7．D 【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点，即可判断是如何平移得到． 【详解】解：∵y=3x2的顶点为（0，0），y=3(x+1)2－4的顶点为：（－1，－4）， ∴函数y=3(x+1)2－4的图象是由y=3x2先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度得到； 故选择：D. 【点睛】本题考查了二次函数的平移问题，讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可． 8．A 【思维构建】已知抛物线开口向上，且，则点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离． ，分别位于抛物线对称轴的两侧，或，，由题意得，抛物线的对称轴是直线．，抛物线开口向上，抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，又，，即．，．综上所述，． 9． 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据二次函数可得对称轴为，结合自变量的取值方法，代入进行计算，即可求解． 【详解】解：已知二次函数， ∴对称轴为，开口向上， ∴当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大； ∴当时，，是最大值；时，是最小值； 当时，，是最大值；时，是最小值； ∴当时，， 故答案为： ． 10．5 【分析】设MN=y，PC=x，根据正方形的性质和勾股定理列出y2关于x的二次函数关系式，求二次函数的最值即可． 【详解】作MG⊥DC于G，如图所示： 设MN=y，PC=x， 根据题意得：GN=5，MG=|10-x|， 在Rt△MNG中，由勾股定理得：MN2=MG2+GN2， 即y2=52+（10-x）2． ∵0＜x＜10， ∴当10-x=0，即x=10时，y2最小值=25， ∴y最小值=5．即MN的最小值为5； 故答案为5． 【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、二次函数的最值．熟练掌握勾股定理和二次函数的最值是解决问题的关键． 11．2 【分析】由抛物线开口向下可知a＜0，再结合对称轴可得b＞0，由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，则c＞0，即可判定①；当x=-1时，有a-b+c＜0，即b＞a+c，可判定②；对称轴，可得，可得，可判定③；根据图象知道当时，随的增大而减小，可以判定④． 【详解】解：抛物线开口朝下， ， 对称轴， ， 抛物线与轴的交点在轴的上方， ， ，故①正确； 根据图象知道当时，， ，故②正确； 对称轴， ， ，故③错误； 根据图象知道当时，随的增大而减小，y＞0不是一直成立，故④错误． 正确的有①②共2个 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质并灵活运用数形结合思想成为解答本题的关键． 12．＜ 【详解】把点（-1，a）、（-2，b）分别代入抛物线，则有： a=1-2-3=-4，b=4-4-3=-3， -4<-3， 所以a<b， 故答案为＜. 13．y3＜y1＜y2 【分析】将各点的坐标分别代入解析式求出y1、y2、y3的值，比较即可解决问题． 【详解】把M（﹣2，y1），N（﹣1，y2），P（8，y3）分别代入抛物线y=﹣+2x中， 得到y1=﹣6，y2=﹣，y3=﹣16， ∴y3＜y1＜y2， 故答案为y3＜y1＜y2． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数图象上的点的坐标满足二次函数的解析式是解题的关键. 14．（1） y=x2-x+3．（2） 最小值为9．（3） （，）或（，）． 【分析】（1）把点A（1，0）、B（4，0）两点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解； （2）A、B关于对称轴对称，连接BC，则BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC，四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC；根据勾股定理求得BC，即可求得； 试题解析： （3）分两种情况分别讨论，即可求得． 【详解】解：（1）由已知得， 解得． 所以，抛物线的解析式为y=x2-x+3． （2）∵A、B关于对称轴对称，如图1，连接BC， ∴BC与对称轴的交点即为所求的点P，此时PA+PC=BC， ∴四边形PAOC的周长最小值为：OC+OA+BC， ∵A（1，0）、B（4，0）、C（0，3）， ∴OA=1，OC=3，BC==5， ∴OC+OA+BC=1+3+5=9； ∴在抛物线的对称轴上存在点P，使得四边形PAOC的周长最小，四边形PAOC周长的最小值为9． （3）∵B（4，0）、C（0，3）， ∴直线BC的解析式为y=-x+3， ①当∠BQM=90°时，如图2，设M（a，b）， ∵∠CMQ＞90°， ∴只能CM=MQ=b， ∵MQ//y轴， ∴△MQB∽△COB， ∴，即， 解得b=， 代入y=-x+3得=-a+3， 解得a=， ∴M（，）； ②当∠QMB=90°时，如图3， ∵∠CMQ=90°， ∴只能CM=MQ， 设CM=MQ=m， ∴BM=5-m， ∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC， ∴△BMQ∽△BOC， ∴，解得m=， 作MN∥OB， ∴△CMN∽△CBO， ∴，即， ∴MN=，CN=， ∴ON=OC- CN=3-=， ∴M（，）． 综上，在线段BC上存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形，点M的坐标为（，）或（，）． 15．(1)y＝x2﹣x﹣2，(，﹣) (2)存在，P(2，﹣3) 【分析】（1）求出A（4，0）、B（0，一2），再将A、B、C点坐标分别代入二次函数解析式，即可求解； （2）设P点坐标为，过点P作PD⊥AC于点D，交AB于点E，则E的坐标表示为，，即可求解． 【详解】（1）解：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴A（4，0）、B（0，﹣2）， 将A、B、C点坐标分别代入二次函数解析式y＝ax2+bx+c， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为：， 化成顶点式为：， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：存在，理由如下： 设P点坐标为， 如图，过点P作PD⊥AC于点D，交AB于点E， 则E的坐标表示为， ∴ ∵a＝﹣1＜0， ∴当x＝2时S△ABP有最大值，求得P（2，﹣3）． 【点睛】本题考查二次函数综合，考查待定系数法求解析式、二次函数的性质等，解题的关键是利用数形结合的思想把代数和几何图像结合起来． 16．(1) (2)①2；②存在，1或2 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）①根据三角形面积公式和二次函数最值进行求解即可；②过点作轴，根据列式，再利用，，求解即可； 本题主要考查二次函数的综合运用，掌握待定系数法和数形结合的方法是解题的关键． 【详解】（1）解： 点，，且点在轴负半轴， 点． 设抛物线的解析式为． 将点，代入， 得解得 抛物线的解析式为． （2）①点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ． 当时，最大，最大值为2． ②存在． 如图，过点作轴，则，，， ． ，， ，解得，， 的值为1或2． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质．熟练掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）由题意知，抛物线经过，三点，将三点坐标代入，计算求解即可； （2）由，可得对称轴为直线，图象开口向上，由二次函数的图象与性质可知，当时，最小的函数值在顶点取到，在时，取到函数的最大值，然后计算作答即可． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线经过，三点， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为． （2）解：∵， ∴对称轴为直线，图象开口向上， ∴由二次函数的图象与性质可知，当时，最小的函数值在顶点取到，即， 当时，， ∴当时，y的取值范围是． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$