导数（三大题型）专题讲义-2025届高三数学二轮复习

导数专题（三大题型） 题型一：端点效应 端点效应的概念： 1，假设题干给出含参不等式在上恒成立，求参数的取值范围.若恰好满足，则称该不等式具有端点效应.具有端点效应的含参不等式恒成立问题的一种常用的解题方法是带参讨论，寻找讨论的分界点是解题的关键.既然要恒成立，且，那么在右侧附近函数值不能减少，所以，由此可得到成立的必要条件（不一定是充分条件），从而找到讨论的分界点。之后，再讨论所求的必要条件的充分性。 其基本步骤如下： （1）代入端点值，缩小参数范围：原函数的一阶导数在端点一定是恒大于0或者恒小于0，以此初步得到一个参数的范围； 常见的几种缩小参数范围的思路： 1) 若在上恒成立，则在区间端点处也成立，即此法应用于区间端点值包含参数的情况. 2) 若在上恒成立，且则此法应用于区间端点的函数值为零的情况. 3) 若在上恒成立，且，则此法应用于区间端点的函数值为零且导数值也为零的情况. 4) 若在上恒成立，则 ，此法应用于区间端点值包含参数的情况. （2）证明充分性，求结果：利用第一步中的参数的范围去判定函数是否单调； 1) 如果函数单调，则由端点得到的范围就是最终答案； 2) 如果函数不单调，则利用端点确定的范围进一步讨论函数的最值. 2，如何判断端点效应是否失效？当函数多次刚好求导到与参数a无关时，若导函数恒大于0，则有效；不恒大于0则失效（一开始考虑分离参数或者如果二阶导数可分析单调性也可以此确定参数范围） 【精选例题】 1．（2023理科甲卷）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 2．（2020·全国1卷）已知函数. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围. 考点过关练习 3．（2023·文科甲卷）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 4．（16年文科2卷）已知函数. （I）当时，求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）若当时，，求的取值范围. 5．（19年文科1卷）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围． 6．（24年高考1卷）. 已知函数 （1）若，且，求的最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围． 7.（24年高考甲卷）已知函数． （1）当时，求的极值； （2）当时，，求取值范围． 题型二：隐零点（一阶导数在某个区间存在一个零点，但零点具体数值无法计算得出） 1．（18年文科1卷）已知函数． （1）设是的极值点．求，并求的单调区间； （2）证明：当时，． 2．设函数.当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（） 3,设函数，其导函数为. （1）求函数的单调区间； （2）若，为整数，且当时，，求的最大值. 4．已知函数．当时，证明：． 题型三：极值点偏移 【1】对称化构造法 主要用来解决与两个极值点之和，积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下： (1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点． (2)构造函数，即对结论型，构造函数或； (3)对结论型，构造函数，通过研究的单调性获得不等式． (4)判断单调性，即利用导数讨论的单调性． (5)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系． (6)转化，即利用函数f(x)的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求． 【2】差值代换法（韦达定理代换令.） 差值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之差作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用差值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解． 【3】比值代换法 比值换元的目的也是消参、减元，就是根据已知条件首先建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点的比值作为变量，从而实现消参、减元的目的．设法用比值(一般用表示)表示两个极值点，即，化为单变量的函数不等式，继而将所求解问题转化为关于的函数问题求解． 1．（21年新课标一卷）已知函数. （1）讨论的单调性； （2）设，为两个不相等的正数，且，证明： 2. （22年全国甲卷）已知函数． （1）若,求a的取值范围； （2）证明：若有两个零点,则． 3．已知函数有两个零点． (1)求a的取值范围； (2)设是的两个零点，证明：． 4．已知函数，其中为常数，且．若，且函数有两个不相等的零点，，证明：． 5．已知函数，. 若函数在定义域内有两个不同的极值点，. （i）求实数a的取值范围； （ii）当时，证明：. 6．已知函数 (，为常数)在内有两个极值点. （1）求参数的取值范围； （2）求证：. 7．已知函数 若函数有两个极值点，求证： 学科网（北京）股份有限公司 $$ 导数专题答案 1．（2023甲卷）已知函数 (1)当时，讨论的单调性； (2)若恒成立，求a的取值范围． 【分析】（1）求导,然后令,讨论导数的符号即可; （2）构造,计算的最大值,然后与0比较大小,得出的分界点,再对讨论即可. 【详解】（1） 令,则 则 当 当,即. 当,即. 所以在上单调递增,在上单调递减 （2） 设 设 所以. 若, 即在上单调递减,所以. 所以当,符合题意. 若 当,所以. . 所以,使得,即,使得. 当,即当单调递增. 所以当,不合题意. 综上,的取值范围为. 【点睛】关键点点睛:本题采取了换元,注意复合函数的单调性在定义域内是减函数,若,当,对应当. 2．（2020·全国·1卷）已知函数. （1）当a=1时，讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围. 【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可. (2)首先讨论x=0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a的取值范围. 【详解】(1)当时，，， 由于，故单调递增，注意到，故： 当时，单调递减， 当时，单调递增. (2)分离参数 由得，，其中， ①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意； ②.当时，分离参数a得，， 记，， 令， 则，， 故单调递增，， 故函数单调递增，， 由可得：恒成立， 故当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因此，, 综上可得，实数a的取值范围是. 3．（2023·文科甲卷）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围． 【分析】（1）代入后，再对求导，同时利用三角函数的平方关系化简，再利用换元法判断得其分子与分母的正负情况，从而得解； （2）法一：构造函数，从而得到，注意到，从而得到，进而得到，再分类讨论与两种情况即可得解； 法二：先化简并判断得恒成立，再分类讨论，与三种情况，利用零点存在定理与隐零点的知识判断得时不满足题意，从而得解. 【详解】（1）因为，所以， 则 ， 令，由于，所以， 所以， 因为，，， 所以在上恒成立， 所以在上单调递减. （2） 构建， 则， 若，且， 则，解得， 当时，因为， 又，所以，，则， 所以，满足题意； 当时，由于，显然， 所以，满足题意； 综上所述：若，等价于， 所以的取值范围为. 4．（16年文科2卷）已知函数. （I）当时，求曲线在处的切线方程； （Ⅱ）若当时，，求的取值范围. 【详解】试题分析：（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解. 试题解析：（I）的定义域为.当时， ， 曲线在处的切线方程为 （II）当时，等价于 设，则 ， （i）当，时，，故在上单调递增，因此； （ii）当时，令得 . 由和得，故当时，，在单调递减，因此. 综上，的取值范围是 5．（19年文科1卷）已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围． 【分析】（1）求导得到导函数后，设为进行再次求导，可判断出当时，，当时，，从而得到单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数，通过二次求导可判断出，；分别在，，和的情况下根据导函数的符号判断单调性，从而确定恒成立时的取值范围. 【详解】（1） 令，则 当时，令，解得： 当时，；当时， 在上单调递增；在上单调递减 又，， 即当时，，此时无零点，即无零点     ，使得 又在上单调递减    为，即在上的唯一零点 综上所述：在区间存在唯一零点 （2）若时，，即恒成立 令 则， 由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减 且，， ， ①当时，，即在上恒成立 在上单调递增 ，即，此时恒成立 ②当时，，， ，使得 在上单调递增，在上单调递减 又， 在上恒成立，即恒成立 ③当时，， ，使得 在上单调递减，在上单调递增 时，，可知不恒成立 ④当时， 在上单调递减     可知不恒成立 综上所述： 6（24年全国1卷）. 已知函数 （1）若，且，求最小值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若当且仅当，求的取值范围． 【分析】（1）求出后根据可求的最小值； （2）设为图象上任意一点，可证关于的对称点为也在函数的图像上，从而可证对称性； （3）根据题设可判断即，再根据在上恒成立可求得. 【小问1详解】 时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， 【小问2详解】 的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. 【小问3详解】 因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上为减函数，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 7.（24年甲卷）. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）当时，恒成立，求的取值范围． 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值，无极大值. 【小问2详解】 ， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 题型二，隐零点 1．（18年文科1卷）已知函数． （1）设是的极值点．求，并求的单调区间； （2）证明：当时，． 【分析】（1）先确定函数的定义域，利用，求得a=，从而确定出函数的解析式，再解不等式即可求出单调区间； （2）方法一：结合指数函数的值域，可以确定当时，，之后构造新函数，利用导数研究函数的单调性，从而求得，利用不等式的传递性，证得结果. 【详解】（1）的定义域为，，则，解得：，故．易知在区间内单调递增，且， 由解得：；由解得：， 所以的增区间为，减区间为． （2）［方法一］：【最优解】放缩法 当时，. 设，则. 当时，； 当时，.所以是的最小值点. 故当时，.因此，当时，. ［方法二］：【通性通法】隐零点讨论 因为，所以在区间内单调递增．设，当时，，当时，，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，所以． 设，则． 所以在区间内单调递减，故，即成立． ［方法三］：分离参数求最值 要证时，即，则证成立． 令，则． 令，则，由知在区间内单调递减，从而在内单调递增，在区间内单调递减． 所以，而，所以恒成立，原命题得证． 2．设函数. 当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：） 当时，，所以， 而， 因为均为上的增函数， 故为上的增函数， 而，， 故在上有且只有一个零点， 且且时，；当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故， 因为，所以， 所以， 而整数，使得关于x的不等式有解，故， 故存在整数满足题意，且的最小值为0. 3．设函数，其导函数为. （1）求函数的单调区间； （2）若，为整数，且当时，，求的最大值. 【详解】（1）的定义域为， ， 若，则，在上单调递增； 若，则解得. 当变化时，，变化如下表： - 0 + 减 极小值 增 综上所述：若，在上单调递增； 若，的单调减区间是：，增区间是：. （2）由于， 所以. 故当时， 等价于（），① 令， 则. 由（1）知，当时，函数在上单调递增， 而，，所以在存在唯一的零点.故在存在唯一的零点.设此零点为，则.当时，；当时，.所以在的最小值为. 又由，可得，所以.由于①式等价于， 故整数的最大值为2. 4．已知函数．当时，证明：． 当时，要证，只需证， 即证，等价于证明 令，则 令，则，所以对恒成立， 故 在 单调递减， 又，所以， 所以在上恰有一个零点，且． 当时，，即，所以在单调递增； 当时，，即，所以在单调递减， 所以． 又因为，即，即，即，即， 所以 所以， 又因为，所以，即， 因此，即，圆 题型三：极值点偏移 1.（21年新课标1卷） （1）函数的定义域为， 又， 当时，，当时，， 故的递增区间为，递减区间为. （2）因为，故，即， 故， 设，由（1）可知不妨设. 因为时，，时，， 故. 先证：， 若，必成立. 若， 要证：，即证，而， 故即证，即证：，其中. 设， 则， 因为，故，故， 所以，故在为增函数，所以， 故，即成立，所以成立， 综上，成立. 设，则， 结合，可得：， 即：，故， 要证：，即证，即证， 即证：，即证：， 令， 则， 先证明一个不等式：. 设，则， 当时，；当时，， 故在上为增函数，在上为减函数，故， 故成立 由上述不等式可得当时，，故恒成立， 故在上为减函数，故， 故成立，即成立. 综上所述， 2，（22年甲卷）（1）因为, 令,得 当单调递减；当单调递增, 所以, 若,则,即, 所以的取值范围为. （2）由（1）知, 单调递减；当单调递增, 若有两个零点,则一个零点小于1,一个零点大于1,不妨设 要证,即证, 因为,即证,因为,即证 即证, 即证, 下面证明时,, 设, 则 , 设, 所以,而, 所以,所以, 所以在单调递增，即,所以 令 , 所以在单调递减, 即,所以； 综上, ,所以. 解法二： （比值换元） 由（1）知有两个零点,则方程有两个实根, 因为时递减,时递增, 不妨设, 由得, 所以要证,即证,即证, 即证, 设,即证, 设,则, 所以为增函数,, 所以成立. 3．已知函数有两个零点． (1)求a的取值范围； (2)设是的两个零点，证明：． 【答案】(1)；(2)证明见解析. (1)解：由，得， 设，则，， 因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 又因为，所以， ， ， 所以a的取值范围是． (2)证明：不妨设， 由（1）知，则，，， 又在上单调递增， 所以等价于，即． 设， 则． 设，则， 设，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增，又因为，，， 所以存在，使得，当时，，即， 当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增． 又因为，， 所以当时，，当时，， 所以当时，，单调递减， 因为，所以， 所以，即原命题得证． 4．已知函数，其中为常数，且． 若，且函数有两个不相等的零点，，证明：． 证明：， 令，得， 当时，函数在，递减，在单调递增， 函数有两个不相等的零点，， 不妨设，则，， 构造函数，，则， ， 在单调递减，， ，恒成立． ，恒成立． 即， ，，且函数在单调递增， ，． 5．已知函数，. 若函数在定义域内有两个不同的极值点，. （i）求实数a的取值范围； （ii）当时，证明：. （i）函数定义域为， 因为函数在内有两个不同的极值点，， 即等价于函数在内有两个不同的零点，. 设，由， 当时，，在上单调递增，至多只有一个零点； 当时，在上，单调递增； 在上，单调递减， 所以，当时，， 函数有两个零点，则必有， 即，解得， 又， 易证，证明如下： 令，， 当时，，单减，当时，单增， 故，故，得证. ，所以在和上各有一个零点， 故有两个零点时，a的范围为； （ii） 欲证，由，，则只需证：. 不妨设，则且， 则， 所以 令，则， 记，， 由，即在上单调递增， 故，即成立. 故. 6．已知函数 (，为常数)在内有两个极值点. （1）求参数的取值范围； （2）求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【详解】解：(1)由，得. 记，由题意知，在上存在两个零点. 因为，则 当时，，在上递增，至多只有一个零点，不合题意； 当时，令，得． （i）若，即时，在上递减，在上递增， 则 . 当，且，，此时， 从而在和上各有一个零点， 所以，在上存在两个零点. （ii）若，即时，在上递减，至多只有一个零点，不合题意. （iii）若，且，即时，此时在上只有一个零点，而在上没有零点，不合题意. 综上所述，； （2）若函数在上存在两个零点， 即，则，两式相减可得 要证，即证 即 令，即 设，则 所以在区间上单调递增，则 即，那么原不等式成立 7．已知函数 若函数有两个极值点，求证： 要证，只需证：， 若有两个极值点，即函数有两个零点，又， 所以是方程的两个不同实根， 即，解得， 另一方面，由，得， 从而可得， 于是．不妨设， 设，则．因此，． 要证，即证：， 即当时，有， 设函数，则， 所以为上的增函数．注意到，，因此，． 于是，当时，有． 所以成立，． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$