精品解析：浙江省中职学校（东杭联考）2024-2025学年高二上学期期中数学试题

2024年度浙江省中职高二年级第一学期期中考试 数学试卷 本试卷共4页，三大题.满分100分，考试时间90分钟. 注意事项： 1.所有试题均需在答题卡上作答，未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分.在试卷和草稿纸上作答无效. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡和试卷上. 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题卡上. 4.在答题卡上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑. 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，错涂、多涂或未涂均不得分） 1. 已知命题小李是中国人，小李是浙江人，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 下列命题正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 单位向量都相等 C. 方向相反的两个向量互为相反向量 D. 向量不能比较大小 3. 如图所示的有向线段可以表示向量（ ） A. B. C. D. 4. 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，ABCD是边长为1的正方形，则（ ） A. 2 B. C. D. 0 6. （ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 若，均为非零向量，且向量，则下列说法正确的是（ ） A. 与共线，且方向相反 B. 与垂直 C. 与共线，且方向相同 D. 与互为相反向量 9. “”是“关于的函数单调递减”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 10. 若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 中国是瓷器的故乡，瓷器是古代劳动人民的一个重要的创造，中国陶瓷是世界上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美，现有椭圆形明代瓷盘，建立如图所示平面直角坐标系经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的标准方程为（ ） A. B. C. D. 12. 已知命题，则p是q的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 13. 已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 14. 如图所示，四边形中，点是线段的中点，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 15. 已知双曲线的两个焦点为和，经过右焦点的直线与双曲线右支相交于M，N两点，且，则的周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 16. 小李操控无人机进行航拍，他先是操作机器往正东方向飞行（用向量表示）.接着机器转而向正北方向飞行（用向量表示），则向量的实际含义是无人机向_______方向飞行了______m. 17. 设，则“”是“”的______条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）. 18. 抛物线的准线方程为______. 19. 两个向量，的模与它们夹角的余弦值之积称为向量与的内积（或数量积），记作，即.已知，，，则向量与的夹角______. 20. 已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长满足，则椭圆的离心率为______. 三、解答题（本大题共6小题，共35分.解答应写出文字说明及演算步骤） 21. 化简： （1）； （2）. 22. 已知椭圆：. （1）求椭圆的顶点坐标； （2）求与椭圆焦点相同，且离心率为的椭圆的标准方程. 23. 已知平行四边形的4个顶点分别为，，，. （1）求； （2）求点D的坐标. 24. 已知抛物线的顶点为原点，焦点坐标为. （1）求该抛物线的标准方程； （2）若抛物线上的一点到焦点的距离为，求的坐标. 25. 如图，已知双曲线的两个焦点为和，焦距为. （1）求该双曲线的标准方程； （2）点P在双曲线上，且，求的面积. 26. 已知椭圆上一点到两焦点，的距离之和等于4. （1）求椭圆的标准方程； （2）O为坐标原点，过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，求两点间的距离. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年度浙江省中职高二年级第一学期期中考试 数学试卷 本试卷共4页，三大题.满分100分，考试时间90分钟. 注意事项： 1.所有试题均需在答题卡上作答，未在规定区域内答题，每错一个区域扣卷面总分1分.在试卷和草稿纸上作答无效. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡和试卷上. 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题卡上. 4.在答题卡上作图，可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑. 一、单项选择题（本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题列出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，错涂、多涂或未涂均不得分） 1. 已知命题小李是中国人，小李是浙江人，则p是q的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分性和必要性的定义，结合题意即可求解. 【详解】若小李是中国人，则小李不一定是浙江人，即命题p成立时，命题q不一定成立，故充分性不成立； 若小李是浙江人，则小李一定是中国人，即命题q成立时，命题p一定成立，故必要性成立； 故p是q的必要不充分条件. 故选：B. 2. 下列命题正确的是（ ） A. 零向量没有方向 B. 单位向量都相等 C. 方向相反的两个向量互为相反向量 D. 向量不能比较大小 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的基本概念即可求解. 【详解】对于A选项，零向量有方向，它的方向是任意的，故A选项错误； 对于B选项，模相等但方向可能不同，故单位向量不一定相等，故B选项错误； 对于C选项，方向相反、模相同的两个向量互为相反向量，故C选项错误； 对于D选项，向量既有长度又有方向，所以向量不能比较大小，故D选项正确. 故选：D. 3. 如图所示的有向线段可以表示向量（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的概念判断即可. 【详解】已知有向线段由指向， 向量的书写需加上标， 所以有向线段可以表示向量， 故选：D. 4. 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程，结合题意即可求解. 【详解】因为方程表示焦点在x轴上的椭圆， 所以， 即实数m的取值范围是. 故选：A. 5. 如图，ABCD是边长为1的正方形，则（ ） A. 2 B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法法则和向量的模即可解得 【详解】由题， , 故选：B 6. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的运算律化简即可. 【详解】原式. 故选：B. 7. 已知双曲线的方程为，则该双曲线的焦距为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线方程求出，即可求出其焦距. 【详解】因为双曲线的方程为， 则，所以， 则该双曲线的焦距为. 故选：C. 8. 若，均为非零向量，且向量，则下列说法正确的是（ ） A. 与共线，且方向相反 B. 与垂直 C. 与共线，且方向相同 D. 与互为相反向量 【答案】A 【解析】 【分析】根据共线向量的概念分析即可. 【详解】已知，均为非零向量，且向量， 可知与共线，且方向相反，故A正确， C错误， 与共线不垂直，故B错误， 与方向相反，但长度不相同，所以不是相反向量，故D错误， 故选：A. 9. “”是“关于的函数单调递减”的（       ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用一次函数的单调性，再结合充要条件的定义判定即可. 【详解】若，则函数单调递减，满足充分性； 若函数单调递减，则，满足必要性， 所以“”是“关于的函数单调递减”的充要条件， 故选：D. 10. 若，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的概念、向量共线和垂直的坐标表示可判断结果. 【详解】对于A，因为，所以不成立； 对于B，因为，所以不成立； 对于C，因为，所以不成立； 对于D，，，所以成立， 故选：D. 11. 中国是瓷器的故乡，瓷器是古代劳动人民的一个重要的创造，中国陶瓷是世界上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美，现有椭圆形明代瓷盘，建立如图所示平面直角坐标系经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程结合图中信息求解即可. 【详解】从图中可以看出椭圆的长轴在x轴上，可设椭圆标准方程为. 根据图中信息可以得到长半轴长，短半轴长，所以椭圆的标准方程为. 故选：C. 12. 已知命题，则p是q的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断即可. 【详解】命题或，而， 则，故p是q的必要不充分条件. 故选：B． 13. 已知双曲线的方程为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线渐近线方程的定义求解即可. 【详解】已知双曲线的方程为， 所以， 故该双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 14. 如图所示，四边形中，点是线段的中点，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的减法性质求解. 【详解】因为点是线段的中点，所以， 根据向量的减法性质，得到. 故选：C. 15. 已知双曲线的两个焦点为和，经过右焦点的直线与双曲线右支相交于M，N两点，且，则的周长为（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的定义即可得解. 【详解】∵双曲线，∴，即， 由双曲线的定义可知①， ②， 又， ①②，得 ， ∴， ∴的周长为. 故选：D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 16. 小李操控无人机进行航拍，他先是操作机器往正东方向飞行（用向量表示）.接着机器转而向正北方向飞行（用向量表示），则向量的实际含义是无人机向_______方向飞行了______m. 【答案】 ①. 东北 ②. 【解析】 【分析】根据向量加法的三角形法则可得到向量对应的有向线段，从而得出结果. 【详解】由向量加法的三角形法则可得向量，如图所示： 由题可知，. 则. 向量的方向为东北方向，长度为. 故答案为：东北，. 17. 设，则“”是“”的______条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）. 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的概念即可得解. 【详解】由可推出，充分性成立， 但由无法推出，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 故答案为：充分不必要. 18. 抛物线的准线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出准线方程即可得解. 【详解】抛物线， 所以， 所以准线方程为， 故答案为：. 19. 两个向量，的模与它们夹角的余弦值之积称为向量与的内积（或数量积），记作，即.已知，，，则向量与的夹角______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出，利用向量夹角的取值范围即可得解. 【详解】因为，则， 因为向量与的夹角的取值范围为， 所以， 故答案为：. 20. 已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长满足，则椭圆的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意列出关于，，的关系式，即可求得椭圆的离心率. 【详解】由题设可知，且， 故，即， 即，所以. 故答案为：. 三、解答题（本大题共6小题，共35分.解答应写出文字说明及演算步骤） 21. 化简： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据向量加减法的运算法则进行化简． 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 22. 已知椭圆：. （1）求椭圆的顶点坐标； （2）求与椭圆焦点相同，且离心率为的椭圆的标准方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆方程的结构特征判断得其焦点位置，同时求得，从而得解； （2）根据题意假设椭圆为，利用（1）中结论得到关于的方程组，解之即可得解. 【小问1详解】 因为椭圆：， 所以椭圆的焦点在轴上，，， 故，， 则椭圆的顶点坐标为. 【小问2详解】 由（1）知椭圆的焦点在轴上，且， 不妨设椭圆的方程为， 因为椭圆与椭圆焦点相同，且离心率为， 所以，解得，， 所以椭圆的方程为. 23. 已知平行四边形的4个顶点分别为，，，. （1）求； （2）求点D的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两点向量坐标公式计算. （2）平行四边形中向量与向量相等，求解得到点D的坐标. 【小问1详解】 由两点向量坐标公式，向量的坐标为终点坐标减去起点坐标， 故. 【小问2详解】 平行四边形中向量与向量相等， ， . 求解得到：. 故：. 24. 已知抛物线的顶点为原点，焦点坐标为. （1）求该抛物线的标准方程； （2）若抛物线上的一点到焦点的距离为，求的坐标. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义即可求解. （2）由抛物线的几何意义即可求点的坐标. 【小问1详解】 由题意可设抛物线的标准方程为，因为焦点为， 所以，所以，故抛物线标准方程为. 【小问2详解】 设，由（1）得， 由已知得，由抛物的定义得，解得，所以. 所以的坐标为或. 25. 如图，已知双曲线的两个焦点为和，焦距为. （1）求该双曲线的标准方程； （2）点P在双曲线上，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线方程得到，再由焦距得到，利用得到，即可求解. （2）设，结合，根据双曲线的定义和勾股定理，即可求解. 【小问1详解】 因为双曲线焦距为，所以，即， 双曲线中，， 又，代入得到，得到， 所以该双曲线的标准方程是. 【小问2详解】 由（1）可知，双曲线中， 设， 根据双曲线的定义可知，，即， 又，所以， 得到， 所以. 26. 已知椭圆上一点到两焦点，的距离之和等于4. （1）求椭圆的标准方程； （2）O为坐标原点，过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，求两点间的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义与焦点坐标求得，从而得解； （2）利用点斜率求得直线方程，再联立直线与椭圆方程组求得两点坐标，再利用两点间距离公式即可得解. 【小问1详解】 因为椭圆的焦点为，所以， 因为椭圆上一点到两焦点的距离之和等于4，所以， 则， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 因为直线过点且倾斜角为，即其斜率为， 所以直线方程为，即， 联立，解得或， 则不妨设， 所以两点间的距离为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $