湖南省宁远县第一中学2024-2025学年高三上学期数学周练(二)

2024年下期宁远一中高三数学周练(二) 时量:120分钟 满分:150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求） 1. 设集合，，若，则( ) A. B. C. D. 2. 设，是单位向量，则的最小值是( ) A. B. C. D. 3. 圆与圆外切，则( ) A. B. C. D. 4. 若，则( ) A. B. C. D. 5. 已知正三棱锥，点，，，都在半径为的球面上，若，，两两 互相垂直，则球心到截面的距离为( ) A. B. C. D. 6．已知数列满足，，则( ) A. B. C. D. 7．已知函数的最小值为，则( ) A. B. C. D. 8．已知， 分别为椭圆 ： 的左，右焦点，过的一条直线与 交于，两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是( ) A. B. C. D. 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的是( ) A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，，则的取值范围是 D. 若且，则 10. 高三年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动， 每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列 说法正确的有( ) A. 所有可能的方法有种 B. 如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 C. 如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种 D. 如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 11．定义在的函数，其导函数为，且满足，若 ，且，则下列不等式一定正确的是( ) A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．计算 (为虚数单位). 13． 已知P为△ABC所在的平面内一点，满足，△ABC的面积为，则△ABP 的面积为 ． 14． 若实数，，成等差数列，点在动直线上的射影为，点， 则线段长度的最小值是 ． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值． 16.(15分)如图，三棱锥中，底面，，，， 点满足，是的中点． (1)请写出一个的值使得平面，并加以证明； (2)若二面角大小为，且，求点到平面的距离． 17. (15分) 已知等差数列的前项和为，且，. (1)数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 18.(17分)已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值集合. 19.(17分)在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为： 首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人 对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区” 的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后 的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不 同对阵的结果相互独立. (1)若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁； ①求甲获得第四名的概率； ②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望； (2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰， 直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由. 2024年下期宁远一中高三数学周练(二)参考答案 ADBC ACAB 9．BCD 10. BC 11．ACD 12．； 13．； 14．. 15.(1). (6分) (2) (法一) . (法二) . (7分) 16.（1）当时，满足题意． 在中，因为是的中点，是的中点，所以， 又平面，且平面， 所以平面． （2）由勾股定理得， 因为底面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 而平面，故， 故就是二面角的平面角，所以， 所以为等腰直角三角形，且， 过作于，则平面，易得， 所以点到平面的距离为． 17. (1)设等差数列的公差为，由，，可得 ，解得，， ∴数列的通项公式为：. (2) ， ∴数列的前项和 . 18.(1)由题意得：定义域为，则， 当时，，则单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，令，解得， ∴当时，；当时，， ∴的单调递增区间为；单调递减区间为； 综上所述：当时，则的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递增区间为；单调递减区间为. (2)当时，，不合题意； 当时，由(1)知；则； 令，则， ∴当时，；当时，； ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴， ∴实数的取值集合为． 19.（1）①记“甲获得第四名”为事件，则； ②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量， 则的所有可能取值为2，3，4， 连败两局：， 可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负； ， ； 故的分布列如下： 2 3 4 故数学期望； （2）“双败淘汰制”下，甲获胜的概率， 在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为， 由，且 所以时，，“双败淘汰制”对甲夺冠有利； 时，，“单败淘汰制”对甲夺冠有利； 时，两种赛制甲夺冠的概率一样. 2024年下期宁远一中高三数学周练(二) 时量:120分钟 满分:150分 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求） 1. 设集合，，若，则( A ) A. B. C. D. 2. 设，是单位向量，则的最小值是( D ) A. B. C. D. 3. 圆与圆外切，则( B ) A. B. C. D. 4. 若，则( C ) A. B. C. D. 5. 已知正三棱锥，点，，，都在半径为的球面上，若，，两两 互相垂直，则球心到截面的距离为( A ) A. B. C. D. 6．已知数列满足，，则 ( C ) A. B. C. D. 7．已知函数的最小值为，则( A ) A. B. C. D. 8．已知， 分别为椭圆 ： 的左，右焦点，过的一条直线与 交于，两点，且，，则椭圆长轴长的最小值是( B ) A. B. C. D. 解析：设，则，，， 所以， 所以，当且仅当，即时取等号. 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列说法正确的是( BCD ) A. 若，则 B. 若，且，则 C. 若，，则的取值范围是 D. 若且，则 10. 高三年级安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动， 每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列 说法正确的有( BC ) A. 所有可能的方法有种 B. 如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有61种 C. 如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有25种 D. 如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有20种 解析：对于选项A，安排甲、乙、丙三位同学到A，B，C，D，E五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动， 故有种选择方案，错误； 对于选项B，如果社区A必须有同学选择，则不同的安排方法有(种)，正确； 对于选项C：如果同学甲必须选择社区A，则不同的安排方法有(种)，正确； 对于选项D：如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，再分为丙与甲、乙两名同学在一起和不在一起两种情况，则不同的安排方法共有(种)，错误. 11．定义在的函数，其导函数为，且满足，若 ，且，则下列不等式一定正确的是( ACD ) A. B. C. D. 解析：对于,由，且，得，所以. 由，得在上单调递增，因此，故正确； 对于，令，则， 当时，，即在上单调递增， 当时，的正负无法判断，故无法判断，即是否成立，故不一定正确； 对于，令，则，故在上单调递增， 所以，，两边取对数得，即，故正确； 对于，由选项知，取，得 ，因此，故正确. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．计算 (为虚数单位). 13． 已知P为△ABC所在的平面内一点，满足，△ABC的面积为，则△ABP 的面积为 ． 14． 若实数，，成等差数列，点在动直线上的射影为，点， 则线段长度的最小值是 ． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) (1)已知，，求的值； (2)已知，求的值．(必修第一册教材第110页第7题) 解：(1). (6分) (2) (法一) . (法二) . (7分) 16.(15分)如图，三棱锥中，底面，，，，点满足，是的中点． (1)请写出一个的值使得平面，并加以证明； (2)若二面角大小为，且，求点到平面的距离． 解：（1）当时，满足题意． 在中，因为是的中点，是的中点，所以， 又平面，且平面， 所以平面． （2）由勾股定理得， 因为底面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 而平面，故， 故就是二面角的平面角，所以， 所以为等腰直角三角形，且， 过作于，则平面，易得， 所以点到平面的距离为． 17. (15分) 已知等差数列的前项和为，且，. (1)数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 解：(1)设等差数列的公差为，由，，可得 ，解得，， ∴数列的通项公式为：. (2) ， ∴数列的前项和 . 18.(17分)已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)若恒成立，求实数的取值集合. 解：(1)由题意得：定义域为，则， 当时，，则单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，令，解得， ∴当时，；当时，， ∴的单调递增区间为；单调递减区间为； 综上所述：当时，则的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递增区间为；单调递减区间为. (2)当时，，不合题意； 当时，由(1)知；则； 令，则， ∴当时，；当时，； ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴， ∴实数的取值集合为． 19.(17分)在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军.比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为： 首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人 对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获第四名，紧接着，“败区” 的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获第三名；最后，剩下的两人进行最后 的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获第二名.甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不 同对阵的结果相互独立. (1)若，经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁； ①求甲获得第四名的概率； ②求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望； (2)除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰， 直至决出最后的冠军.哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由. 解：（1）①记“甲获得第四名”为事件，则； ②记在甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量， 则的所有可能取值为2，3，4， 连败两局：， 可以分为：连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负； ， ； 故的分布列如下： 2 3 4 故数学期望； （2）“双败淘汰制”下，甲获胜的概率， 在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为， 由，且 所以时，，“双败淘汰制”对甲夺冠有利； 时，，“单败淘汰制”对甲夺冠有利； 时，两种赛制甲夺冠的概率一样. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$