18.2.1矩形 课时作业2024—2025学年人教版数学八年级下册

18.2.1矩形 课时作业2024—2025学年人教版八年级下册数学 一、单选题 1．如图，矩形中，在轴上，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交轴的正半轴于点，则点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，将矩形纸片沿折叠，使点落在对角线上的点处．若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB边的中点，连接CD并延长至点E，使DE＝CD．连接AE，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，若BF＝7，则AB的长为（　　） A．3.5 B．7 C．10 D．14 4．如图，在矩形中，两条对角线相交于点，，，矩形的面积是（    ） A． B． C．8 D．12 5．如图，将矩形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落到点的位置，与CD交于点E，若AB=8，AD=2，则图中阴影部分的周长为（    ） A．20 B．14 C．10 D． 6．如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH＝CF，AE＝CG，∠EHF＝60°，∠GHF＝45°．若AH＝2，AD＝5＋．则四边形EFGH的周长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，E为CD的中点，射线AE交BC的延长线于点F，P为BC上一点，当∠PAE=∠DAE时，PF的长为（     ） A．4 B．5 C． D． 8．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湿地隔开，若测得BM的长为12 km，则M，C两点间的距离为（    ） A．5 km B．6 km C．9 km D．12 km 二、填空题 9．如图，在矩形中，，点E，F分别是上的动点，，连接，则的最小值是 ． 10．已知矩形的角平分线交于点，，，则的长为 ． 11．如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点C与A重合，若长方形的长BC为16cm，宽AB为8cm，则的面积为 ． 12．如图，矩形的对角线相交于点，若，则 ． 13．在Rt△中有一个内角为30°，且斜边和较短直角边之和为15cm，则这个直角三角形的斜边长上的中线长为 cm. 三、解答题 14．八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线，如果一条对角线用了38盆红花，还需要从花房运来多少盆红花？为什么？如果一条对角线用了49盆呢？ 15．如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB＝∠AED＝90°，点E在AB上，点D在AC上． （1）若F是BD的中点，求证：CF=EF； （2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使AE恰好在AC上（如图2）．若F为BD上一点，且CF=EF，求证：BF= DF； （3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3）．若F是BD的中点．探究CE与EF的数量关系，并证明你的结论． 16．如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为(秒)． (1)线段的长为 ． (2)用含的代数式表示线段的长． (3)求当为何值时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形？ (4)直接写出以线段为腰，为等腰三角形时的值． 17．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，且，．求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B B A A D D 1．C 【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理，实数与数轴等知识，能求出的长度是解题的关键． 根据长方形的性质得到，根据勾股定理求出，再求出答案即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 故选C． 2．D 【分析】根据折叠的性质以及矩形的性质，可知，，结合已知根据直角三角形两锐角互余，即可求得． 【详解】四边形是矩形， , , , 折叠, ，， ． 故选D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角两锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键． 3．B 【分析】利用“SAS”证△BCD≌△AED得∠CBD＝∠EAD，据此知BC∥EF，由BF∥CE可得四边形BCEF是平行四边形，据此知CE＝BF＝7，最后根据DE＝CD＝CE可得答案． 【详解】解：∵D为AB边的中点， ∴AD＝BD， 在△BCD和△AED中， ∵， ∴△BCD≌△AED（SAS）， ∴∠CBD＝∠EAD， ∴BC∥AE，即BC∥EF， 又∵BF∥CE， ∴四边形BCEF是平行四边形， ∴CE＝BF＝7， ∴CD＝CE＝3.5， ∴AB＝2CD＝7， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质和平行四边形的判定及性质． 4．B 【分析】根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半可得，再根据勾股定理求出，最后即可求出矩形的面积． 【详解】解：∵为矩形，， ∴， ∵， ∴，， ∴矩形的面积是， 故选：B 【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，勾股定理．此题难度不大． 5．A 【分析】根据折叠的性质可以得到、，再根据阴影部分即可求解； 【详解】解：根据折叠的性质可以得到、， 阴影部分的周长为 故答案为A． 【点睛】此题主要考查了矩形和折叠的性质，掌握矩形和折叠的性质，理解阴影部分的周长是解题的关键． 6．A 【分析】证明四边形EFGH为平行四边形，作交于点P，交于点K，设，表示出，，，，进一步表示出，，，利用勾股定理即可求出a的值，进一步可求出边形EFGH的周长． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形， ∴，， ∵，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴四边形EFGH为平行四边形， 作交于点P，交于点K， 设， ∵，，，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵， ∴ABKH为矩形，即， ∵，， ∴， 即， 解得：， ∴四边形EFGH的周长为：， 故选：A. 【点睛】本题考查矩形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，解题的关键是利用求出a的值． 7．D 【分析】根据矩形的性质结合等角对等边，进而得出CF的长，再利用勾股定理得出AP的长． 【详解】解：∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠F， 又∵∠PAE＝∠DAE， ∴∠PAE＝∠F， ∴PA＝PF， 在△ADE和△FCE中，， ∴△ADE≌△FCE（AAS） ∴CF＝AD＝4， 设CP＝x，PA＝PF＝x＋4，BP＝4−x， 在直角△ABP中， 22＋（4−x）2＝（x＋4）2， 解得：x＝， ∴AP的长为：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理等知识，正确得出FC的长是解题关键． 8．D 【详解】分析：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可解决问题． 详解：在Rt△ACB中．     ∵∠ACB=90°，AM=BM，∴CM=AB=BM．     ∵BM=12km，∴CM=12km．      故选D． 点睛：本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半的应用，属于中考常考题型． 9．5 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，涉及轴对称最短路线问题，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．连接，作点关于的对称点，连接，，根据轴对称的性质可得，，根据矩形的性质可得，，进一步可知四边形是矩形，根据矩形的性质可得，的最小值等于的最小值，即的长度，进一步求的长，即可确定的最小值． 【详解】解：连接，作点关于的对称点，连接，，如图所示： 则，， 在矩形中，，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 的最小值等于的最小值，即的长度， ，， ， 根据勾股定理，得， 的最小值为5， 故答案为：5 10． 【分析】本题考查了矩形性质和含角的直角三角形性质，勾股定理的应用，根据矩形性质求出， ，求出和的度数，求出和，即可求出，解题的关键关键是掌握知识点的应用． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11． 【分析】设BF=x，则FC=16﹣x，在Rt△ABF中利用勾股定理求出x的值，由折叠，可得AE=AF=CF，过G点作于M，由面积求出，进而可得出△AEF的面积． 【详解】解：设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴. 过F点作于H， ∵折叠， ∴∠AFE=∠CFE， ∵AD∥BC， ∴∠AFE=∠AEF， ∴AE=AF=CF， 则ED=AD-AE=16-10=6 过G点作于M， 则， ，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形性质，轴对称性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积，掌握矩形性质，轴对称性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积，解题关键是利用勾股定理，构造方程． 12．6 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握矩形的对角线相等且互相平分，等边三角形三边相等． 根据矩形的性质得出，通过证明是等边三角形，得出，即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：6． 13．5 【详解】试题解析：设斜边为xcm， ∵有一个内角为30°， ∴较短的直角边为xcm， ∴x+x=15， 解得x=10． 所以，这个直角三角形的斜边长上的中线长为5cm. 故答案为5. 14．如果一条对角线用了38盆红花，还需要从花房运来38盆红花；如果一条对角线用了49盆红花，还需要从花房运来48盆红花．理由见解析 【分析】根据“矩形的对角线相等且相互平分”求解． 【详解】解：如果一条对角线用了38盆红花，还需要从花房运来38盆红花；理由如下： ∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴一条对角线用了38盆红花， ∴还需要从花房运来红花38盆； 如果一条对角线用了49盆红花，还需要从花房运来48盆红花；理由如下： 一条对角线用了49盆红花，中间一盆为对角线交点，49-1=48， ∴还需要从花房运来红花48盆． 【点睛】本题目是一道考查矩形性质的问题，根据矩形的对角线相等且相互平分的性质解决问题，难度中等． 15．（1）证明过程详见解析；（2）证明过程详见解析；（3）CE=FE，证明过程详见解析． 【详解】试题分析：（1）直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，同理可得出CF=DF=BF，因此CF=EF； （2）延长EF交CB于点G，由CF=EF可得∠FEC=∠ECF，又因∠FEC+∠EGC=∠ECF+∠FCG=90°，所以∠FCG=∠EGC，因此CF=FG．由等量代换可知EF=FG；再证△EDF≌△GBF即可得BF= DF； （3）取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF．那么关键就是证明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线，我们不难得出EM=PN=AD，EC=MF=AB，我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结论．我们知道PN是△ABD的中位线，那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形，那么对角就相等，于是90°+∠CNF=90°+∠MEF，因此∠CNF=∠MEF，那么两三角形就全等了．我们可证明∠CFE是直角．那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形，于是得出的结论． 试题解析：（1）在直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线， ∴EF=DF=BF， 同理可得出CF=DF=BF． ∴CF=EF； （2）如图1， 延长EF交CB于点G， ∵CF=EF， ∴∠FEC=∠ECF； ∵∠FEC+∠EGC=∠ECF+∠FCG=90°， ∴∠FCG=∠EGC， ∴CF=FG， ∴EF=FG； ∵DE∥CB， ∴∠EDF=∠GBF， ∠DEF=∠BGF， ∴△EDF≌△GBF， ∴BF= DF； （3）如图2，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF， ∵DF=BF， ∴FM∥AB，且FM=AB， ∵AE=DE，∠AED=90°， ∴AM=EM，∠AME=90°， ∵CA=CB，∠ACB=90° ∴CN=AN=AB，∠ANC=90°， ∴MF∥AN，FM=AN=CN， ∴四边形MFNA为平行四边形， ∴FN=AM=EM，∠AMF=∠FNA， ∴∠EMF=∠FNC， ∴△EMF≌△FNC， ∴FE=CF，∠EFM=∠FCN， 由MF∥AN，∠ANC=90°，可得∠CPF=90°， ∴∠FCN+∠PFC=90°， ∴∠EFM+∠PFC=90°， ∴∠EFC=90°， ∴△CEF为等腰直角三角形， ∴∠CEF=45°， ∴CE=FE． 考点：三角形的中位线定理；直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；三角形全等的判定及性质；平行四边形的判定及性质． 16．(1) (2)当时，；当时， (3)秒或秒 (4)秒或秒或秒 【分析】（1）如图，过点作于点，则四边形是矩形，，，然后由勾股定理可求出答案； （2）分两种情况当时，；当时，．则可得出答案； （3）分两种情况，由平行四边形的性质列出方程可得出答案； （4）分两种情况，由等腰三角形的性质列出方程可得出答案． 【详解】（1）如图，过点作于点， ， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，，， ∴，， ∴， ∴在中， ， ∴． 故答案为：． （2）∵动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为， ∴， ∴当点到达点时，， 当点到达点时，， ∴当点在线段上，， ∴， ∴当点在线段的延长线上时，， ∴， ∴线段的长：当时，；当时，． （3）∵动点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒个单位的速度向终点运动，当动点到达点时，动点也同时停止运动．设点的运动时间为，且， ∴，， ∵， ∴当时，点、、、为顶点的四边形是平行四边形， 当点在线段上时， ， 解得：； 当点在线段的延长线上时， ， 解得：． ∴为秒或秒时，以点、、、为顶点的四边形是平行四边形 （4）当点在线段上，且， ∴， ∴， 当点在线段上，且， 如图，过点作于点，连接， 由（1）可知：， ∴， ∴， 即， ∴， 当点在线段的延长上，且， 如图，连接， ∴， ∴． 综上所述，以线段为腰，为等腰三角形时的值为秒或秒或秒． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查矩形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，本题采用了分类讨论的思想方法．熟练掌握梯形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 17． 【分析】本题考查了矩形的判定和性质、平行四边形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键． 根据矩形的判定得到四边形是矩形，由矩形的性质求出，根据角的和差即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 故的度数为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$