立体几何初步常见十一种证明解题方法-2025年高三数学一轮复习

立体几何初步常见十一种证明解题方法 高中的立体几何是按照从局部到整体的方式呈现的，首先安排的是对空间几何体的整体认识，要求发展学生的空间想像能力，几何直观能力，而没有对演绎推理做出要求 . 在“空间点、直线、平面之间的位置关系”的研究中，以长方体为模型，通过说理（归纳出判定定理，不证明）或简单推理进行论证（归纳并论证明性质定理）， 在“空间向量与立体几何”的学习中，又以几何直观、逻辑推理与向量运算相结合，完善了空间几何推理论证的理论基础，并对空间几何中较难的问题进行证明 . 可见在立体几何这三部分中，把空间想像能力，逻辑推理能力，适当分开，有所侧重地、分阶段地进行培养，这一编排有助于发展学生的空间观念、培养学生的空间想象能力、几何直观能力，同时降低学习立体几何的门槛，同时体现了让不同的学生在数学上得到不同的发展的课标理念 . 题型一：多点共线 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 例1．如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见详解 (2)图形见详解 【分析】（1）通过证明在平面与平面的交线上,来证得在直线上. （2）取的中点P，连接，易证，则即为所求截面. 【详解】（1）平面平面, 由于平面 所以平面, 同理平面, 所以平面， 所以,即点在直线上. （2）如图所示，取的中点，连接， 因为，， 所以，故共面. 则即为所求截面. 跟踪训练1．如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 【答案】证明见解析 【分析】推导出、、是平面与平面的公共点，由此能证明，，三点共线． 【详解】证明：，，，与，分别在平面的两侧， ，、、、构成一个平面， ，．，， 、、是平面与平面的公共点， 、、都在平面与平面的交线上， ，，三点共线． 题型二：多线共点问题 公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 例2．如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解. 【分析】（1）连结，根据点分别是的中点，利用平行关系的传递性得到∥即可; （2）易得与相交，设交点为P，则能得到平面，平面，结合平面平面，即可得证； 【详解】（1）如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴. ∵四边形为平行四边形，∴， ∴， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 跟踪训练2．在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证： (1)四边形EFGH为梯形； (2)直线EH，BD，FG相交于一点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到平行关系及比例关系，进而得到，且，故四边形为梯形； （2）由（1）得到相交于一点，因为平面，平面，而平面平面，所以，证明出结论. 【详解】（1）由题意，作图如下： 连接、，因为空间四边形中，分别是的中点， 所以，且， 又因为，所以，且， 所以，且， 故四边形为梯形. （2）由（1）知四边形为梯形，且是梯形的两腰， 所以相交于一点. 设交点为， 因为平面，所以平面， 同理平面，而平面平面，所以， 故点是直线的公共点，即直线相交于一点. 题型三：空间中点线共面问题 公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 例3．（2024·四川凉山·三模）如图，在正四棱柱中，，，点，，，分别在棱，，，上，．    (1)证明：点在平面中； 【详解】（1）取中点，中点，连接，，．    ∵， ∴四边形为平行四边形 ∴① 又∵，， ∴． ∴四边形为平行四边形 ∴②, 由①②得． ∴，，，四点共面，即点在平面中． 2．（2019·全国·高考真题）图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2. （1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； 【详解】(1)证：，，又因为和粘在一起. ，A，C，G，D四点共面. 又. 平面BCGE，平面ABC，平面ABC平面BCGE，得证. 题型四．直线和平面平行的判定 (1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面； (2)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号： 例4．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，    (1)求证：//平面； 【详解】（1）    连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且， 由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//， 又平面，平面，于是//平面. 跟踪训练4．（2022·全国·高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直． (1)证明：平面； 【详解】（1）如图所示： 分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面． 题型五．直线和平面平行的性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行，则线线平行. 符号: 例5．（2011·福建·高考真题）如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则 . 【答案】 【详解】根据题意，因为平面，平面， 且平面平面 所以. 又是的中点，所以是的中点. 因为在中，，故. 故答案为： 跟踪训练5．．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面PAD，，点N是AD的中点．求证： (1)； (2)平面PAB． 【详解】（1）∵平面PAD，平面ABCD，平面平面， ∴． （2）由（1）知，， 又N是AD的中点，，∴， ∴四边形ABCN是平行四边形，∴， 又平面PAB，平面PAB，∴平面PAB． 题型六．平面与平面平行的判定 (1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行； (2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 简记为：线面平行，则面面平行. 符号： 例6．（2013·陕西·高考真题）如图,四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, . （1）证明: A1BD // 平面CD1B1; 试题解析：（Ⅰ）∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=，由棱柱的性质可得BB1和DD1平行且相等，故四边形BB1D1D为平行四边形，故有BD和B1D1平行且相等．而BD不在平面CB1D1内，而B1D1在平面CB1D1内，∴BD∥平面CB1D1．同理可证，A1BCD1为平行四边形，A1B∥平面CB1D1．而BD和A1B是平面A1BD内的两条相交直线，故有平面A1BD∥平面CD1B1 ． 跟踪训练6．．（2024·河南·二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.    (1)证明：平面平面； 【详解】（1）在正六棱柱中， 因为底面为正六边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，所以平面平面. 题型七．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 简记为：面面平行，则线线平行. 符号： 补充：平行于同一平面的两平面平行； 夹在两平行平面间的平行线段相等； 两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行； 例7．（2024·四川巴中·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，，E，F分别是棱，的中点. (1)证明：平面. 【详解】（1）证明：取的中点，连接，. 因为F，H分别是棱，的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为E，H分别是棱，的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. 因为，平面，且，所以平面平面. 因为平面，所以平面. 跟踪训练7．．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，三棱锥中，平面平面，，，，为线段中点，点线段上，点，分别在线段，上． （1）若平面平面，求线段的长； 【详解】（1）∵面面，面面，又面面， ∴，又， ∴，由为线段中点，且， ∴． 题型八．直线与平面垂直判断 ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 简记为：线线垂直，则线面垂直. 符号： 例8．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，已知三棱柱中，，平面，，M为边上的动点． (1)当时，求证：平面； 【详解】（1）平面， 又平面，， ，，， 又，平面， 平面． 跟踪训练8．．（2024·四川雅安·三模）四棱锥中，，底面为等腰梯形，，，为线段的中点，. (1)证明：平面； 【详解】（1）因为为线段的中点，所以， 在等腰梯形中，作于，则由得， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以， 因为，平面，所以平面， 因为在平面内，所以， 因为在平面内，所以平面. 题型九.直线与平面垂直性质 性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行。 符号： 性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行 符号： 推论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． 符号语言：a∥b, a⊥α，⇒b⊥α 例9．（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； 【详解】（1）由， 得，又，在中， 由余弦定理得, 所以，则，即， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 故； 跟踪训练9．（2024·安徽芜湖·模拟预测）在梯形ABCD中，，，，，BD与AE交于点G.如图所示沿梯形的两条高AE，BF所在直线翻折，使得. (1)求证：； 【详解】（1）证明：，且，平面， 平面，同理平面，； 又，∴四边形为平行四边形，则有且； 又且，且 ∴四边形为平行四边形. . 题型十．平面与平面垂直的判定 ⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。 简记为：线面面垂直，则面面垂直. 符号： 推论：如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则这个平面与另一个平面垂直。 例10 ．（2022·全国·高考真题）如图，四面体中，，E为的中点． (1)证明：平面平面； 【详解】（1）因为，E为的中点，所以； 在和中，因为， 所以，所以，又因为E为的中点，所以； 又因为平面，，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 跟踪训练10．．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱柱中，平面．    (1)证明：平面平面；. 【详解】（1）证明：因为平面，平面, 所以, 又因为，即， 平面，, 所以平面， 又因为平面, 所以平面平面. 题型11.平面与平面垂直的性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 简记为：面面垂直，则线面垂直. 例11．（2024·陕西西安·三模）在四棱锥中，平面平面，，，，． (1)证明：． 【详解】（1）因为，，所以，， 由余弦定理可得，所以，则． 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面PAD． 因为平面PAD，所以． 跟踪训练11．（2024·广东河源·二模）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，. (1)证明：平面； 【详解】（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得， 由侧面底面，侧面底面平面， 得平面，又平面，则， 又侧面是正三角形，是的中点，则， 又平面，所以平面. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 立体几何初步常见十一种证明解题方法 高中的立体几何是按照从局部到整体的方式呈现的，首先安排的是对空间几何体的整体认识，要求发展学生的空间想像能力，几何直观能力，而没有对演绎推理做出要求 . 在“空间点、直线、平面之间的位置关系”的研究中，以长方体为模型，通过说理（归纳出判定定理，不证明）或简单推理进行论证（归纳并论证明性质定理）， 在“空间向量与立体几何”的学习中，又以几何直观、逻辑推理与向量运算相结合，完善了空间几何推理论证的理论基础，并对空间几何中较难的问题进行证明 . 可见在立体几何这三部分中，把空间想像能力，逻辑推理能力，适当分开，有所侧重地、分阶段地进行培养，这一编排有助于发展学生的空间观念、培养学生的空间想象能力、几何直观能力，同时降低学习立体几何的门槛，同时体现了让不同的学生在数学上得到不同的发展的课标理念 . 题型一：多点共线 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线 例1．如图，已知，，，分别是正方体的棱，，，的中点，且与相交于点. (1)求证：点在直线上； (2)作出过、、三点的截面；（写出作图过程并保留作图痕迹） 跟踪训练1．如图所示，，，，与，分别在平面的两侧，，．求证：，，三点共线. 题型二：多线共点问题 公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 例2．如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 跟踪训练2．在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证： (1)四边形EFGH为梯形； (2)直线EH，BD，FG相交于一点． 题型三：空间中点线共面问题 公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 例3．（2024·四川凉山·三模）如图，在正四棱柱中，，，点，，，分别在棱，，，上，．    (1)证明：点在平面中； 2．（2019·全国·高考真题）图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2. （1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； 题型四．直线和平面平行的判定 (1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面； (2)判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号： 例4．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，    (1)求证：//平面； 跟踪训练4．（2022·全国·高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直． (1)证明：平面； 题型五．直线和平面平行的性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行，则线线平行. 符号: 例5．（2011·福建·高考真题）如图，在正方体中，，E为AD的中点，点F在CD上，若平面，则 . 跟踪训练5．．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面PAD，，点N是AD的中点．求证： (1)； (2)平面PAB． 题型六．平面与平面平行的判定 (1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行； (2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 简记为：线面平行，则面面平行. 符号： 例6．（2013·陕西·高考真题）如图,四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, . （1）证明: A1BD // 平面CD1B1; 跟踪训练6．．（2024·河南·二模）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.    (1) 证明：平面平面； 题型七．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 简记为：面面平行，则线线平行. 符号： 补充：平行于同一平面的两平面平行； 夹在两平行平面间的平行线段相等； 两平面平行，一平面上的任一条直线与另一个平面平行； 例7．（2024·四川巴中·模拟预测）如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，，E，F分别是棱，的中点. (1)证明：平面. 跟踪训练7．．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，三棱锥中，平面平面，，，，为线段中点，点线段上，点，分别在线段，上． （1）若平面平面，求线段的长； 题型八．直线与平面垂直判断 ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 简记为：线线垂直，则线面垂直. 符号： 例8．（2024·陕西榆林·模拟预测）如图，已知三棱柱中，，平面，，M为边上的动点． (1)当时，求证：平面； 跟踪训练8．．（2024·四川雅安·三模）四棱锥中，，底面为等腰梯形，，，为线段的中点，. (1)证明：平面； 题型九.直线与平面垂直性质 性质Ⅰ：垂直于同一个平面的两条直线平行。 符号： 性质Ⅱ：垂直于同一直线的两平面平行 符号： 推论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． 符号语言：a∥b, a⊥α，⇒b⊥α 例9．（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得． (1)证明：； 跟踪训练9．（2024·安徽芜湖·模拟预测）在梯形ABCD中，，，，，BD与AE交于点G.如图所示沿梯形的两条高AE，BF所在直线翻折，使得. (1) 求证：； 题型十．平面与平面垂直的判定 ⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定定理：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直。 简记为：线面面垂直，则面面垂直. 符号： 推论：如果一个平面平行于另一个平面的一条垂线，则这个平面与另一个平面垂直。 例10 ．（2022·全国·高考真题）如图，四面体中，，E为的中点． (1)证明：平面平面； 跟踪训练10．．（2023·全国·高考真题）如图，在三棱柱中，平面．    (1) 证明：平面平面；. 题型11.平面与平面垂直的性质定理：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。 简记为：面面垂直，则线面垂直. 例11．（2024·陕西西安·三模）在四棱锥中，平面平面，，，，． (1)证明：． 跟踪训练11．（2024·广东河源·二模）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，. (1)证明：平面； ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$