河北省秦皇岛经济技术开发区第四中学2024-2025学年九年级第三次月考测试数学试卷（冀教版）

2024-2025学年度初中数学九年级第三次月考测试 满分100分；考试时间：90分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每题3分，共36分） 1．公安部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1500个，9月份销售个，设7月份到9月份销售量的月增长率为，那么与的函数关系是（    ） A． B． C． D． 2．关于x的函数是二次函数，则m的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．0 3．如图，是⊙O的直径，、是⊙O上的两点，若，则（    ） A．10° B．20° C．30° D．40° 4．如图，正方形内接于⊙O，点P在弧上，则（     ）．    A． B． C． D． 5．要得到抛物线的图像，只需要将抛物线的图像（　　） A．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 B．先向上平移3个单位，再向右平移2个单位 C．先向下平移3个单位，再向左平移2个单位 D．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 6．已知二次函数，随的增大而减小，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．下列对抛物线性质的描写中，正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．函数y有最大值 8．设是抛物线上的三点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．如图，⊙O中，若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 10．若抛物线与x轴只有一个交点，且过点，则（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个底面半径为2，母线长为3的圆锥形漏斗模型（如图），则这个圆锥形漏斗的侧面积是（   ） A． π B． C． D． 12．如图，抛物线的对称轴为直线，与 x 轴的一个交点坐标为，与y轴交点为，其部分图象如图所示．现给以下结论：①；②；③当 时，x的取值范围是；④；⑤ 方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数有（   ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 第II卷（非选择题） 二、填空题（每题3分，共12分） 13．请写出一个二次函数，使它的图象同时满足下列两个条件：①开口向下，②与y轴的交点是（0，1），你写出的函数表达式是 ． 14．抛物线的图象向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图象的顶点坐标为 ． 15．如图，在矩形中，，，⊙O是以为直径的圆，则直线与⊙O的位置关系是 ． 16．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，P是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，Q是线段的中点，连接，则线段的最大值是 ．    三、解答题（共52分） 17．（8分）已知二次函数y=ax2（a<0）的图象经过点． (1)求的值，并写出这个二次函数的表达式． (2)判断该二次函数的图象是否经过点，并说明理由． 18．（8分）下图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，请用无刻度的直尺在给定网格中按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)在图1中，的三个顶点均在格点上，请画出的外心 (2)在图2中，请画出的角平分线，交⊙O于点． 19．（8分）如图，抛物线与y轴交于点C．已知抛物线顶点纵坐标为．点P在此抛物线上，其坐标为．    (1)求出抛物线的对称轴和解析式． (2)当时，求出n的取值范围． (3)若此抛物线在点P左侧部分（包括点P）恰有三个点到x轴的距离为1．直接写出m的取值范围． 20．（8分）2024年龙年春节就要到了，为满足市场需求，某超市在春节前夕购进一款商品．每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得低于45元，且利润率不高于，根据以往销售经验，当售价定为每盒45元时，每天可以卖出700盒，若每盒售价提高1元，则每天要少卖出20盒． (1)试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数表达式． (2)要使每天销售的利润为6000元，且让顾客得到最大的实惠，每盒售价应定为多少元？ (3)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少元？ 21．（10分）如图，在中，，，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，直线，交CB的延长线于点E． (1)求证：DF是⊙O的切线； (2)求的值． 22．（10分）某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离称跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当和确定时，有两种设计方案可供选择；①抛物线型；②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． (1)如图1，若设计成抛物线型，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立坐标系，求此函数表达式； (2)如图2，若设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径； (3)现有一艘宽为15米的货船，船舱顶部为方形，并高出水面2.2米．从以上两种方案中，任选一种方案，判断此货船能否顺利通过你所选方案的桥？并说明理由． 试卷第6页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C B B D A B A 题号 11 12 答案 C C 1．A 【难度】0.94 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用．设增长率为，根据“7月份销售1500个，9月份销售个”列得函数关系式即可求解． 【详解】解：设增长率为， 根据题意得：， 故选：A． 2．B 【难度】0.94 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得：． 故选B． 【点睛】本题考查二次函数的定义．一般地，我们把形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数． 3．B 【难度】0.94 【知识点】圆周角定理 【分析】根据，求出的度数，根据圆周角定理求出的度数． 【详解】∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，掌握一条弧所对的圆周角是这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 4．C 【难度】0.94 【知识点】根据正方形的性质求线段长、圆周角定理 【分析】根据正方形的性质得到弧圆周，则，然后根据圆周角定理求解． 【详解】解：如图，连接、， 正方形内接于， 圆周， ， ． 故选C．    【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了正方形的性质． 5．B 【难度】0.85 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】根据图形在平面直角坐标系中的平移规律：上加下减，左加右减，即可得出答案． 【详解】解：将抛物线的图像先向上平移3个单位，再向右平移2个单位可得的图像； 故选：B． 【点睛】此题考查了二次函数的图像在平面直角坐标系中的平移，熟练掌握图形的平移规律是解答此题的关键． 6．B 【难度】0.85 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数性质，根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵二次函数， ∴，对称轴为直线， ∴抛物线开口向上，当时，随的增大而减小， 故选：． 7．D 【难度】0.85 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据二次函数的性质进行解答即可． 【详解】A．抛物线中，开口向下，故A选项不合题意； B．抛物线的对称轴是直线，故B选项不合题意； C．抛物线的解析式为：，顶点坐标为，故C选项不合题意； D．抛物线中，开口向下，y有最大值1，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的性质，属于二次函数基本性质的考查，难度不大．解答的关键是熟知二次函数的顶点式及其性质． 8．A 【难度】0.85 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】把点的坐标分别代入可求得的值，比较大小可求得答案． 本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键 【详解】解：是抛物线上的三点， ， ， 故选：A． 9．B 【难度】0.85 【知识点】圆周角定理 【分析】根据圆周角定理求出∠C，根据三角形外角的性质计算即可． 【详解】解：由圆周角定理得，∠C＝∠BOD＝70°， ∴∠AEC＝∠C＋∠CDA＝100°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆周角定理，三角形外角的性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 10．A 【难度】0.65 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，解答该题的技巧性在于找到抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标设抛物线的解析式．根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是直线．故设抛物线解析式为，直接将代入，通过解方程来求n的值． 【详解】解：∵抛物线过点， 对称轴是直线， 又抛物线与x轴只有一个交点， 顶点为， 设抛物线解析式为， 把代入，得：， 即 故选：A． 11．C 【难度】0.85 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题主要考查了圆锥的计算．根据圆锥的侧面积，代入数进行计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积． 故选：C． 12．C 【难度】0.65 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由抛物线的开口方向，对称轴方程，与坐标轴的交点情况可判断①②③④，由图象可得直线与抛物线有两个交点，可判断⑤，从而可得答案． 【详解】解：由题意及图象得：，， 对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与 x 轴的一个交点坐标为， ∴当时，可得：，故②正确； ∵抛物线的对称性及对称轴可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， ∴当时，x的取值范围是，故③错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， 即，故④正确， ∵由图象可得直线与抛物线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故⑤正确； 所以正确的个数有4个； 故选：C． 13．（不唯一） 【难度】0.94 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】设二次函数为，由题意可得，，写出符合条件的二次函数即可． 【详解】解：设二次函数为， 由题意可得， 二次函数可为： 故答案为：（不唯一） 【点睛】此题考查了二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的图像与性质． 14． 【难度】0.85 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式，即可求出顶点坐标． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到解析式：， 故所得抛物线的顶点坐标为：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律，解决本题的关键是熟记“左加右减，上加下减”． 15．相交 【难度】0.85 【知识点】判断直线和圆的位置关系 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，本题先求解圆心到直线的距离与圆的半径，再根据可得答案；熟记直线和圆的位置关系的判定方法是解题关键． 【详解】解：如图所示：过的中点作于． 则， ∵， ∴， ∵，即圆心到直线的距离半径， ∴直线与相交； 故答案为：相交． 16． 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与x轴的交点坐标、与三角形中位线有关的求解问题、圆与函数的综合(圆的综合问题) 【分析】本题考查了二次函数与轨迹圆综合，中位线定理以及勾股定理，熟练掌握二次函数与轨迹圆最值问题是解题的关键．连接、，利用勾股定理可得，可知是的中位线，则，当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大，则此时最大，求解即可． 【详解】解：如图，连接、， 令，则， 故点， ∵， ∴， 设圆的半径为，则，    ∵点Q、O分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， 当B、C、P三点共线，且点C在之间时，最大， 则此时最大， 此时， 故答案为：． 17．(1)， (2)二次函数的图象是不经过点，理由见解析 【难度】0.85 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征． （1）利用待定系数法即可求解； （2）通过计算自变量为时的函数值为，则可根据二次函数图象上点的坐标特征判断点不在这个二次函数图象上． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， 二次函数的表达式为：； （2）二次函数的图象是不经过点， 理由：由（1）知：； 当时，， 二次函数的图象是不经过点． 18．(1)见详解 (2)见详解 【难度】0.65 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、判断三角形外接圆的圆心位置、格点作图题 【分析】本题考查垂直平分线的性质，角平分线的性质，熟练掌握相关性质作图即可求解； （1）根据垂直平分线的性质，，的垂直平分线交点即是点； （2）根据角平分线的性质，找到的中点为点，连接即为角平分线． 【详解】（1）解：根据题意，作图如下： （2）解：根据题意，作图如下： 19．(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】此题重点考查二次函数的图象与性质、解一元二次方程等知识与方法． （1）由得出抛物线的顶点坐标为，从而得到，得出，即可得解； （2）由点P在此拋物线上，其坐标为，得出，当时，，当时，，由（1）得抛物线的顶点坐标为，当点与抛物线的顶点重合时，则，由此即可得出答案； （3）当点到轴的距离为时，或，当时，则，得出，，当时，则，得出，，再结合图象即可得出答案． 【详解】（1）解：， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线顶点纵坐标为， ， ， 抛物线的解析式为：； （2）解：点P在此拋物线上，其坐标为， ， 当时，， 当时，， 由（1）得抛物线的顶点坐标为， ∴当点与抛物线的顶点重合时，则， ∴当时，的最大值和最小值分别为和， ∴的取值范围是； （3）解：当点到轴的距离为时，或， 当时，则， 解得：，， 当时，则， 解得：，， 如图，点，，，到轴的距离均为1，   ， 抛物线在点左侧部分（包括点）恰有三个点到轴的距离为1， 的取值范围是． 20．(1) (2)售价应定为元 (3)当时，最大，最大值为元 【难度】0.65 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查的是二次函数、一次函数与一元二次方程在实际生活中的应用，主要利用了利润盒商品子所获得的利润销售量，求得销售量与x之间的函数关系式是解题的关键． （1）根据“当售价定为每盒元时，每天可以卖出盒，每盒售价每提高元，每天要少卖出盒”即可得出每天的销售量与每盒售价x（元）之间的函数关系式； （2）根据利润盒商品所获得的利润销售量列出方程，解方程取符合条件的值即可； （3）根据利润盒商品所获得的利润销售量列出函数解析式，根据函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由题意得销售量； （2）解：由题意得：， 解得：，， ∵利润率不高于， ∴， ∴， ∴售价应定为元． （3）解：， 由∵， ∴随x的增大而增大， ∴当时，最大，最大值为元． 21．(1)见解析 (2) 【难度】0.85 【知识点】用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线、求角的正切值 【分析】（1）连接OD．根据BC为⊙O的直径，可得．根据，可得，从而得到．进而得到．即可求证； （2）连接BG，可先证得BG∥EF，从而得到．然后在和中，由勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：连接OD． ∵BC为⊙O的直径， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵OD为⊙O的半径， ∴DF为⊙O的切线； （2）解：连接BG， ∵BC为⊙O的直径， ∴． ∵， ∴， ∴BG∥EF， ∴． 在和中， ∵，， ∴， ∴， 解得． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握切线的判定，圆周角定理，直角三角形的性质是解题的关键． 22．(1) (2)12.5米 (3)①若设计成抛物线型时，货船不能顺利通过该桥；②若设计成圆弧型时，货船能顺利通过该桥；理由见解析 【难度】0.65 【知识点】垂径定理的实际应用、用勾股定理解三角形、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为，将点代入，求出的值，即可确定函数的解析式； （2）设圆心为，连接交于点，连接，在中，，解得，即可求该圆弧所在圆的半径12.5米； （3）①若设计成抛物线型时，当时，，由米米，可知货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时，设米，过点作交弧于点，过点作交于点，连接，在中，，求出米，可得米，再由2.5米米，即可判断货船能顺利通过该桥． 【详解】（1）解： ， ，， ， ， 设抛物线的解析式为， ， 解得， 抛物线的解析式为， 即； （2）解：设圆心为，连接交于点，连接， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， 该圆弧所在圆的半径12.5米； （3）解：①若设计成抛物线型时，当时，， 米米， 货船不能顺利通过该桥； ②若设计成圆弧型时， 设米， 过点作交弧于点，过点作交于点，连接， 米， 在中，， ， 米， 米， 米， 米米， 货船能顺利通过该桥． 【点睛】本题考查二次函数的应用，垂径定理，勾股定理，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，垂径定理，勾股定理是解题的关键． 答案第14页，共15页 答案第1页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $$