第四章 因式分解 讲义2024－2025学年北师大版数学八年级下册

第四章因式分解 第1讲 因式分解 专题一 因式分解常用思路 【知识聚焦】 多项式的形式多种多样，所以因式分解的方法也有多种.要迅速选择恰当的方法，必须注意从多项式的项数、各项符号、各项之间的关系几方面综合分析.一般地可遵循下列步骤进行： (1)先看各项有无公因式，有公因式的先提取公因式； (2) 提公因式后或各项无公因式，再看多项式的系数：若多项式为两项，则考虑用平方差公式分解因式：若多项式为三项，可考虑用完全平方公式； 若多项式有四项或四项以上，则考虑综合运用上面的方法； (3)若上述方法都不能分解，则考虑把多项式重新整理、变形，再按上面步骤进行： (4)检查分解后的每个因式是否是质因式，要分解到多项式的每个因式在要求的数的范围内都不能再分解为止. 【典例精讲】 题型1 利用提公因式法分解因式 【例 1】分解因式： (1)3x³y³–x²y³+2x⁴y;(2)– axy–ax²y²+2axz; (3)2(x+y)²--(y+x)³;(4)5a(x--y)²+10a(y--x)³. 【分析】找出公因式，运用公因式法分解，注意首项为负时，有公因式-1. 举一反三。 1.分解因式： (1)12xyz–9x²y²; (2)8a²b²–12ab²+24abˣc; (3)21a²b(2x-3y)²--14a(3y--2x)³; (4)(x+y-z)(x-y+z)--(y+z-x)(z-x-y). 题型2 利用平方差公式因式分解 【例2】把下列各式因式分解： (3)(a+b+c+d)²-(a-b+c-d)²; (4)xy³-4xy. 【分析】注意平方差公式的特点： 举一反三。 2.把下列各式因式分解： (3)9(m﹣n)²﹣4(m﹢n)²;(4)a²(x﹣y)﹢b³(y﹣x). 题型3 利用完全平方差公式因式分解 【例3】把下列各式分解因式： (1)4a²+12ab+9b²;(2)9x²-24xy+16y²; (3)16(2m﹢n)²﹣8n(2m﹢n)﹢n².(4)(x²﹢4)²﹢8x(x²﹢4)﹢16x². 【分析】抓住完全平方公式的特点： 举一反三。 3.把下列各式分解因式： (1)3x³--12x²y+12xy²;(2)9(a-b)²+12(a²-b²) +4(a+b)². 题型4立方公式 4.分解因式： 题型5 先分组，后因式分解 【例5】阅读理解：观察下列因式分解的过程： (1)x²-xy+4x-4y=(x²-xy)+(4x-4y) =x(x-y)+4(x-y) =(x﹣y)(x+4). (2 =(a+b-c)(a-b+c). 第(1)题分组后能直接提取公因式，第(2) 题分组后能直接运用公式. 仿照上述分解因式的方法，把下列各式分解因式： (1)a²-ab+ ac-bc; (2)x²-4y²-z²+ 4yz. 【分析】抓住系数的特点，适当分组，使得前后两组之间有公因式可提或者可用公式法. 举一反三。 5.把下列各式分解因式： (1)5x²+6y-15x-2xy; (2)7a²+ ab-21a-3b; (3)ax²+3x²-4a-12;(4)9m²-6m+2n-n²; (5)4x²﹣4xy﹣a²+y²;(6)1﹣㎡﹣n²+2mn. 题型6 拆项(拆成两项或多项)或添项的方法因式分解 【例6】因式分解： 【分析】把某些项进行拆分，或者添加某些项，使之能用公式或提取公因式分解. 举一反三· 6.分解因式： (1)x⁴+x²+1; (2)x⁴-7x²y²+81y⁴; (3)x³-11x+20;(4)x³+6x²+11x+6. 题型7 换元法分解因式 【例7】分解因式: ( xy--1)²+(x+y-2)(x+y-2xy). 【分析】通过换元，使之原式易于用公式或提取公因式法分解. 举一反三。 7.分解因式： (1)(x⁴+x²-4)(x⁴+x²+3)+10;(2)(x+y-2xy)(x+y-2)+( xy﹣1)². 学科网（北京）股份有限公司 $$