云南省文山市第一中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试卷

试卷第 1页，共 4页 2024 年 9 月高一数学月考卷 全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟 学校： 姓名： 班级： 考号： 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、班级、考场号、座位号在答题 卡上填写清楚，并将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.解答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，解答非选择题时，将答案写在题卡 上，写在本试卷上无效。 一、单选题（本大题共 8小题，，每小题 5分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1．若 1 1 0 b a   ,则下列结论不正确的是( ) A．�2 < �2 B．�� > �2 C．� + � < 0 D． � + � = � + � 2．设�，�是两个集合,则“� ∩ � = �”是“� ⊆ �”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列关系中：①0 ∈ 0 ，②∅ ⊆ 0 ，③ 0,1 ⊆ 0,1 ，④ �, � = �, � 正确的 个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知 ,a b R ,下列四个条件中,使 a b 成立的充分不必要的条件是( ) A． 1a b  B． 1a b  C． � > � D．2� > 2� 5．设集合� = 3,5 ，集合� = �∣�� − 1 = 0 ，若� ⊆ �,则实数�取值集合的真子集的个 数为（ ）. 试卷第 2页，共 4页 A．2 B．4 C．7 D．8 6．对任意的实数�, �, �,在下列命题中的真命题是（ ） A．“�� > ��”是“� > �”的充分不必要条件 B．“�� = ��”是“� = �”的充分不必要条件 C．“�� > ��”是“� > �”的必要不充分条件 D．“�� = ��”是“� = �”的必要不充分条件 7．已知集合� = � ∈ �∗ −1 < � < 3 ,� = � �� + 2 = 0 ,若 A B B ,则实数�的取值集 合为（ ） A． −1, − 2 B． −1,0 C． −2,0,1 D． −2, − 1,0 8．下列等式恒成立的是（ ） A．�2 + �2 ≤ 2�� B．�2 + �2 ≥− 2�� C．� + � ≥ 2 �� D．�2 + �2 ≤− 2�� 二、多选题（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多 个选项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分） 9．如图中阴影部分所表示的集合是（ ） A．� ∩ ∁�� B．�∩ ∁�� C． ∁� �∪� ∩ � D． ∁� �∩ � ∩ � 10．设�,�是两个非空集合，定义�⊗� = {(�, �) � ∈ �, � ∈ �}．若� = {0,1,2}， � = { − 1,1,2}则�⊗ �中元素的个数不可能是( ) A．9 B．8 C．7 D．6 11．若�, � ∈ �,且�� > 0,则下列不等式中,恒成立的是（ ） A．�2 + �2 ≥ 2�� B．� + � ≥ 2 �� C． 1 � + 1 � > 2 �� D．� � + � � ≥ 2 三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15 分．将答案填在题中横线上） 试卷第 3页，共 4页 12．已知 2 < � < 3, − 2 < � <− 1,设� = 2� − �,则 y 的范围是 ． 13．命题“∃� < 0 ，�2 − 2� − 1 > 0”的否定是 ． 14．已知集合� = −3, − 2,3,5 , � = � � ≤ � ,若�∩�为单元素集，则�的最小 值为 ． 四、解答题（本大题共 5小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分）已知� = �且� = �| − 1 < � < 6 ,� = {�|� ≤ 1或� ≥ 3}.求： (1)� ∩ �, A B ； (2) ∁�� ∩ ∁�� . 16．（15 分）（1）当� ≠ 0时,比较 � − 1 2与 � + 1 2的大小； （2）当� < � < 0 时,求证：� � < � � ． 17．（15 分）某园林建设公司计划购买一批机器投入施工.据分析,这批机器可获得的利润 �万元与运转时间�年的函数解析式为� =− �2 + 12� − 9（� ≤ 11，且� ∈ �∗）． (1)当这批机器运转第几年时,可获得最大利润？最大利润为多少？ (2)当运转多少年时，这批机器的年平均利润最大？ 试卷第 4页，共 4页 18．（17 分）已知集合� = � －2 ≤ � ≤ 5 , � = � � + 1 ≤ � ≤ 2� − 1 ， （1）若命题�: ∀� ∈ �, � ∈ �是真命题,求 m 的取值范围； （2）命题�: ∃� ∈ �, � ∈ �是真命题,求 m 的取值范围. 19.（17 分）（1）若 0, 0, 1x y x y    ,求 1 � + 9 �的最小值． （2）已知� > 2,求� + 1 �−2 的最小值. （3）已知 0 < � < 1 2 ,求�(1 − 2�)的最大值. 答案第 1页，共 6页 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C B A C D D B AD BCD AD 1．A 【详解】由 1 1 0 b a   可得� < � < 0，对于选项 A，因为� < � < 0，所以有�2 > �2, 故 A 错； 对于选项 B，因为� < � < 0，所以�� > �2，故 B 正确； 对于选项 C，因为� < � < 0，所以� + � < 0，故 C 正确； 对于选项 D，因为� < � < 0，所以 � + � = � + � ，故 D 正确， 2．C 【详解】试题分析：若� ∩ � = �，对任意� ∈ �，则� ∈ � ∩ �，又� ∩ � ⊆ �， 则� ∈ �，所以� ⊆ �，充分性得证，若� ⊆ �，则对任意� ∈ �，有� ∈ �，从而� ∈ � ∩ �，反之若� ∈ � ∩ �，则� ∈ �，因此� ∩ � = �，必要性得证，因此应选充 分必要条件．故选 C． 3． B 【详解】对于①：因为 0 是 0 的元素，所以 0 ∈ 0 ，故①正确； 对于②：因为空集是任何集合的子集，所以∅ ⊆ 0 ，故②正确； 对于③：因为集合 0,1 的元素为 0，1，集合 0,1 的元素为 0,1 ， 两个集合的元素全不相同，所以 0,1 , 0,1 之间不存在包含关系，故③错误； 对于④：因为集合 �, � 的元素为 �, � ，集合 �, � 的元素为 �, � ， 两个集合的元素不一定相同，所以 �, � , �, � 不一定相等，故④错误； 综上所述：正确的个数为 2 答案第 2页，共 6页 4． A 【详解】A 选项 1a b  是 a b 的充分不必要的条件； B 选项 1a b  是 a b 的必要不充分条件； C 选项 � > � 是 a b 的即不充分也不必要条件； D 选项2� > 2�是 a b 的充要条件； 5．C 【详解】当� = 0 时，� = ∅，满足� ⊆ �， 当� ≠ 0时，� = 1 � ，因为� ⊆ �，所以1 � = 3 或1 � = 5，得� = 1 3 或� = 1 5 ， 综上，实数�取值的集合为 1 10, , 3 5       ， 所以实数�取值集合的真子集的个数为23 − 1 = 7， 6．D 【详解】因为实数�不确定，“�� > ��”与“ a b ”既不充分也不必要，又“�� = �� ⇐ � = �” 得“�� = ��”是“� = �”的必要不充分条件，所以正确选项为 D. 【点睛】当�� = ��时，不一定可以得到� = �，因为此时� = 0 时不满足一定有 � = �；但是当� = �时，则一定有�� = ��. 7．D 【详解】� = � ∈ �∗ −1 < � < 3 = 1,2 ，因为 A B B ，所以� ⊆ �， 当� = 0 时，集合� = � �� + 2 = 0 = �，满足� ⊆ �； 当� ≠ 0时，集合� = � �� + 2 = 0 = � =− 2 � ， 由� ⊆ �，  1,2A  得− 2 � = 1 或− 2 � = 2，解得� =− 2或� =− 1， 答案第 3页，共 6页 综上，实数�的取值集合为 −2, − 1,0 . 【点睛】易错点睛：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，其中易忽 略� = 0 时，集合� = �满足� ⊆ �，而错解. 8．B 【详解】显然当 0, 0a b  时，不等式�2 + �2 ≤ 2��不成立，故 A 错误； ∵ � + � 2 ≥ 0， ∴ �2 + �2 + 2�� ≥ 0， ∴ �2 + �2 ≥− 2��，故 B 正确，D 错误； �.显然当� < 0，� < 0 时，不等式� + � ≥ 2 �� 不成立，故 C 错误； 9．AD 【详解】 A 选项：∁�� =①+②，则� ∩ ∁�� =②，故 A 正确； B 选项：∁�� =①+④，则�∩ ∁�� =④，故 B 错误； C 选项：∁� �∪ � =①，则 ∁� �∪� ∩ � = ∅，故 C 错误； D 选项：∁� �∩ � =①+②+④， ∁� �∩ � ∩ � =②，故 D 正确. 10．BCD 【详解】解：因为 P＝{0，1，2}，Q＝{﹣1，1，2}， 所以 a 有 3 种选法，b 有 3 种取法， 可得 P⊗Q 中元素为 (0, 1), (0,1), (0, 2), (1, 1), (1,1), (1, 2), (2, 1), (2,1), (2, 2)   . 所以 P⊗Q 中元素的个数是 9（个）． 11．AD 【分析】利用基本不等式分析判断 AD；举例说明判断 BC. 【详解】对于 A，∀�, � ∈ �，不等式�2 + �2 ≥ 2��成立，A 正确； 答案第 4页，共 6页 对于 B，由于�, � ∈ �，且�� > 0，当 0, 0a b  时，� + � < 0，而 2 �� > 0，不 等式不成立，B 错误； 对于 C，由于�, � ∈ �，且�� > 0，当 0, 0a b  时，1 � + 1 � < 0，而 2 �� > 0，不等式 不成立，C 错误； 对于 D，由�, � ∈ �，且�� > 0，得� � > 0, � � > 0，则� � + � � ≥ 2 � � ⋅ � � = 2，当且仅当 � = �时取等号，D 正确. 12．{� 5 < � < 8}. 【详解】因为 4 < 2� < 6,1 <− � < 2，所以 5 < 2� − � < 8， 13．∀� < 0，�2 − 2� − 1 ≤ 0 【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题∃� < 0 ，�2 − 2� − 1 > 0， 则该命题的否定是：∀� < 0，�2 − 2� − 1 ≤ 0． 14．−3 【详解】因为� = −3, − 2,3,5 , � = � � ≤ � ，且�∩ �为单元素集，所以−3 ≤ � <− 2， 所以�的最小值为−3． 15．（13 分）【详解】（1）� = �| − 1 < � < 6 又∵ � = {�|� ≥ 3或� ≤ 1} ∴ � ∩ � = {�| − 1 < � ≤ 1或 3 ≤ � < 6};（3 分） � ∪ � = �.（6 分） （2）根据题意，∁�� = {�|� ≤− 1或� ≥ 6};（8 分） ∁�� = {�|1 < � < 3}（10 分） 答案第 5页，共 6页 所以 ∁�� ∩ ∁�� = ∅.（13 分） 16.（15 分）【详解】（1） � − 1 2 − � + 1 2 = �2 − 2� + 1 − �2 + 2� + 1 =− 4�,(3 分) 若� > 0， 4 0a  ，所以 � − 1 2 < � + 1 2,（5 分） 若� < 0，−4� > 0，所以 � − 1 2 > � + 1 2,（7 分） 综上：若� > 0， � − 1 2 < � + 1 2；若� < 0， � − 1 2 > � + 1 2.（8 分） （2）由于� � − � � = � 2−�2 �� = �−� �+� �� ，（10 分） 因为� < � < 0，所以� − � > 0，� + � < 0，�� > 0，（12 分） 所以 �−� �+� �� < 0，所以� � < � � .（15 分） 17．（15 分）【详解】（1）� =− �2 + 12� − 9 =− � − 6 2 + 27，（5 分） 因为� ≤ 11，且� ∈ �∗，所以当� = 6 时，� =− �2 + 12� − 9取得最大值， 故这批机器运转第 6 年时，可获得最大利润，最大利润为 27 万元；（7 分） （2）设年平均利润为�， 因为� ≤ 11，且� ∈ �∗，则� = � � =− � − 9 � + 12 = 12 − � + 9 � ≤ 12 − 2 � ⋅ 9 � = 6，（11 分） 当且仅当 9x x  ，即� = 3 时，等号成立，（13 分） 故当运转 3 年时，这批机器的年平均利润最大.（15 分） 18．(17 分)【详解】解:::（1）因为命题�: ∀� ∈ �, � ∈ �是真命题,所以� ⊆ �,(2 分) 当� = ∅时，�+ 1 > 2�− 1，解得� < 2；（4 分） 当� ≠ ∅时， �+ 1 ≤ 2� − 1 �+ 1 ≥− 2 2� − 1 ≤ 5 ，解得 2 ≤ � ≤ 3.（6 分） 答案第 6页，共 6页 综上，m 的取值范围为 � � ≤ 3 .（8 分） （2）因为�: ∃� ∈ �, � ∈ �是真命题，所以 A B   ，（10 分） 所以� ≠ ∅，即� ≥ 2，所以�+ 1 ≥ 3，（12 分） 所以 A B   只需满足 1 5m  即可，即� ≤ 4. （15 分） 故 m 的取值范围为 � 2 ≤ � ≤ 4 .（17 分） 19.（17分）【详解】（1）1 � + 9 � = � + � 1 � + 9 � = 10 + 9� � + � � ≥ 10 + 2 9� � ⋅ � � = 16 ， （2 分） 当且仅当 9� � = � �即� = 1 4 , � = 3 4 时，等号成立，（4 分） 即 1 � + 9 �的最小值为 16.（5 分） （2）∵ � > 2， ∴ � − 2 > 0，（6 分） ∴ � + 1 �−2 = � − 2 + 1 �−2 + 2 ≥ 2 � − 2 ⋅ 1 �−2 + 2 = 4，（8 分） 当且仅当� − 2 = 1 �−2 (� > 2)，即� = 3 时取等号.（10 分） ∴当� = 3 时，� + 1 �−2 的最小值为 4.（11 分） （3） 10 2 x  ， ∴− 1 <− 2� < 0， ∴ 0 < 1 − 2� < 1，（12 分） ∴ �(1 − 2�) = 1 2 ⋅ 2� ⋅ 1 − 2� ≤ 1 2 ⋅ [2�+(1−2�)] 2 4 = 1 2 × 1 4 = 1 8 ，（14 分） 当且仅当 2� = 1 − 2�，即� = 1 4 时取等号，（16 分） 即当� = 1 4 时，�(1 − 2�)的最大值为1 8 .（17 分）