3.1圆同步练习 2024-2025学年 北师大版数学九年级下册

3.1圆 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，菱形的边，，P是上一点，，Q是边上一动点，将梯形沿直线折叠，A的对应点，当的长度最小时，的长为（    ） A．5 B． C． D．7 2．已知的半径为，点在外，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．设P为外一点，若点P到的最短距离为3，最长距离为7，则的半径为（    ） A．2 B．4 C．4或10 D．2或5 4．以坐标原点为圆心，以5为半径作圆，则下列各点中，一定在上的是（    ） A． B． C． D． 5．已知的半径是4，点P在内，则的长可能是（　　） A．3 B．4 C． D．5 6．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，，点C为平面内一动点，，连接，点M是线段上的一点，且满足．当线段取最大值时，点M的坐标是（    ） A． B． C． D． 7．已知的直径为4cm．若点P到圆心O的距离为3cm，则点P（　　） A．在上 B．在内 C．在外 D．无法确定 8．平面内一点离上的点最近距离为，离上的点最远距离为，则的半径为（      ） A． B．或 C． D．或 9．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为4，那么点P与⊙O的位置关系是（    ） A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．点P与圆心O重合 10．如图，在中，，，，点E是中点．以B为圆心，为半径画圆，则点E与的位置关系是（   ） A．点E在内 B．点E在上 C．点E在外 D．无法判断 11．若的半径为8cm，点P到圆心的距离为7cm，则点P与的位置关系（    ） A．P在内 B．P在上 C．P在外 D．无法确定 12．已知的半径为4，若，则点P与的位置关系是（　　） A．点P在上 B．点P在内 C．点P在外 D．无法判断 二、填空题 13．已知，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在边AB上，且BE＝1，以点B为圆心，BE长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP． （1）如图①，在点P移动过程中，AP长度的最小值是 ． （2）如图②，将AP绕点A逆时针旋转90°至A，连接BP′，在点P移动过程中，B长度的最小值是 ． 14．一个圆的面积为2π cm2，则它的周长为 cm(用含π的式子表示) 15．已知平面上点P到圆周上的点的最长距离为8，最短距离为4，则此圆的半径为 ． 16．如图，在矩形中，，，点E，F分别为边上的点，且，G为中点，P为边上一动点，则的最小值为 ． 17．已知⊙A的半径为5，圆心A（4，3），坐标原点O与⊙A的位置关系是 ． 三、解答题 18．数学兴趣小组探究平面内横、纵坐标满足特定关系的动点的运动轨迹问题： (1)组长提出问题：动点随着t的变化形成的运动轨迹是什么? 甲同学的思考：t取3个特殊值得到3个点坐标，发现3点在一条直线上，可以利用待定系数法求出该直线的表达式；乙同学的思考：令，，通过消去t得到y与x的函数关系式． ______（填甲或乙）同学的方法更严谨，点运动轨迹的函数表达式为______； (2)如图，在平面直角坐标系中，已知点，，Q为坐标系内一点且，点M从点A出发以每秒8个单位的速度沿x轴向左运动，同时点N从点O出发以每秒6个单位的速度沿y轴向上运动，点P是MN的中点，设运动时间为t.求点P的运动轨迹的函数表达式，并计算当时PQ的最小值； (3)老师给出坐标平面内两个动点：，. 丙学说：点T、K的运动轨迹都是直线；丁同学说：点T、K在运动过程中不可能重合；请你判断两人结论是否正确并说明理由． 19．我们规定：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”． 理解： （1）如图1，已知A、B是⊙O上两点，请在圆上找出满足条件的点C，使△ABC为“智慧三角形”（画出点C的位置，保留作图痕迹）； （2）如图3，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，点Q是直线y＝3上的一点，若在⊙O上存在一点P，使得△OPQ为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时PQ的长和点Q的坐标 20．【问题探究】 （1）如图1，在四边形中，，是的中点，F是上一动点（足够长），将沿折叠，得到，点B的对应点为P，连接，求的最小值； 【问题解决】 （2）如图2，某景区有一块五边形的场地为场地出入口，为吸引更多游客，计划在该场地内部修建一个观景亭M欣赏周围美景，在边上修建一个喷水池N（大小忽略不计），其中，点F在上，且，观景亭M恰好在以为直径的上，并在观景亭M和喷水池N以及喷水池N与出入口E之间沿等距离的挂上灯笼进行装饰，为了节约成本，要使得线段之和最短，试求的最小值． 21．如图1，在正方形中，点E在上（不与点B，C重合），点F在边上，，连接交于点M． (1)求证：； (2)如图2，连接与交于点G，连接交于点H． ①求证：； ②当时，求的值； (3)如图3，若E是的中点，以点B为圆心，为半径作，P是上的一个动点，连接交于点N，则的最大值为 ． 22．如图1，在中，点D是边上的中点．、分别垂直射线于点E、F． （1）求证：； （2）求证：； （3）如图2，在矩形中，为直径的半圆O上有一个动点P，连接、．利用图1中得到的结论：探求的最小值是多少． 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A B A A C B A A 题号 11 12 答案 A A 1．D 【分析】作于，根据菱形的性质可判断为等边三角形，则，，再利用勾股定理计算出，再利用点与圆的位置关系得到当点在上时，的值最小，即可求出． 【详解】作于，如图， 菱形的边，， 为等边三角形， ，， ， ， 在中， . 梯形沿直线折叠，A的对应点， 点 在以点为圆心，为半径的弧上， 当点在上时，的值最小，此时， ∵， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，圆的基本性质，解决本题的关键是确定点在上时，的值最小． 2．D 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，熟悉点和圆的位置关系的判断是关键．根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆心的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外． 【详解】解：的半径为，点在外， ， 故选：D． 3．A 【分析】根据P为⊙O外一点，若点P到⊙O的最短距离为3，最长距离为7，可以得到圆的直径，从而可以求得圆的半径． 【详解】解：∵P为⊙O外一点，若点P到⊙O的最短距离为3，最长距离为7， ∴⊙O的直径为：7-3=4， ∴⊙O的半径为2， 故选：A． 【点睛】本题考查点和圆的位置关系，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 4．B 【分析】先根据勾股定理算出点到圆心的距离，再利用点与圆的位置关系进行判断：到圆心的距离等于半径的点必在圆上、到圆心的距离小于半径的点必在圆内、到圆心的距离大于半径的点必在圆外． 【详解】解：A.到圆心的距离，点在内，故选项错误； B.到圆心的距离，点在上，故选项正确； C.到圆心的距离，点在外，故选项错误； D.到圆心的距离，点在外，故选项错误． 故选：B 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系以及数量关系、勾股定理，用数量关系来判断位置关系，典型的数形结合． 5．A 【分析】根据点和圆的位置与圆的半径的关系求得的范围即可解答． 【详解】解：∵的半径为4，点在内， ∴， 选项中只有3符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，熟知点和圆的位置与圆的半径的关系是解答的关键． 6．A 【分析】由题意可得点在以点为圆心，为半径的上，在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，先证，得，从而当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值，然后分别证，，利用相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵点为平面内一动点，， ∴点在以点为圆心，为半径的上， 在轴的负半轴上取点，连接，分别过、作，，垂足为、，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当取得最大值时，取得最大值，结合图形可知当，，三点共线，且点在线段上时，取得最大值， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴轴，， ∴， ∵， ∴， ∴即， 解得， 同理可得，， ∴即， 解得， ∴， ∴当线段取最大值时，点的坐标是， 故选A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆的一般概念以及坐标与图形，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 7．C 【分析】利用点到圆心的距离与圆的半径之间的大小关系，进行判断即可． 【详解】解：∵的直径为4cm， ∴的半径为2cm， ∵点P到圆心O的距离为3cm，大于的半径， ∴点P在外； 故选C． 【点睛】本题考查点与圆的位置关系．熟练掌握利用点到圆心的距离与圆的半径之间的大小关系，来判断点与圆之间的位置关系，是解题的关键． 8．B 【分析】本题应分为两种情况来讨论，关键是得出：当点P在⊙O内时，直径=最近点的距离+最远点的距离；当点P在⊙O外时，直径=最远点的距离-最近点的距离． 【详解】解：点应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论： ①如图，当点在圆内时，最近点的距离为，最远点的距离为， 则直径是， ∴半径是； ②如图，当点在圆外时，最近点的距离为，最远点的距离为， 则直径是， ∴半径是． 故选． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，在解答此题时注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键． 9．A 【分析】根据⊙O的半径为r和点P到圆心的距离OP＝d的大小关系判断即可． 【详解】解：∵⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为4， 而4＜5， ∴点P在⊙O内， 故选：A． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系，设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；①点P在圆内⇔d＜r． 10．A 【分析】首先利用勾股定理求得直角三角形斜边的长，然后求得点E与点B的距离，从而求得第E与圆B的位置关系． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3， 由勾股定理得到：， ∵E为AB的中点， ∴BE=AB=2.5． ∵BC=3， ∴BE＜BC， ∴点E在⊙B的内部， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，点与圆的位置关系，直角三角形斜边上的中线，根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，来判断点和圆的位置关系． 11．A 【分析】本题考查点与圆的位置的关系．比较点到圆心的距离与半径的大小关系，即可得出结果． 【详解】解：∵的半径为8cm，点P到圆心的距离为7cm，， ∴P在内； 故选A． 12．A 【分析】本题考查点与圆的位置关系．若圆半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．判断圆的半径与大小即可解答． 【详解】解：∵的半径，点P到圆心O的距离， ∴， ∴点P在上． 故选：A 13． 3 【分析】（1）当点P在线段AB上时，AP的长度有最小值，即可求解； （2）由“SAS”可证△PAB△AD，可得D＝PB＝1，点的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆上，则当在对角线BD上时，B最小，再利用勾股定理求对角线BD的长，则得出B的长． 【详解】解：（1）∵点P在⊙B上移动， ∴当点P在线段AB上时，AP的长度有最小值， 最小值＝AB﹣PB＝4﹣1＝3， 故答案为：3． （2）如图，连接BP， 由旋转得：AP＝A，∠PA＝90°， ∴∠PAB＋∠BA＝90°， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝90°， ∴∠BA＋∠DA＝90°， ∴∠PAB＝∠DA， 在△AD和△PAB中， ∴△AD△PAB（SAS）， ∴D＝PB＝1， ∴点P在以点D为圆心，D为半径的圆上， ∴当在对角线BD上时，B最小， 在Rt△ABD中，∵AB＝AD＝4， ∴BD＝＝＝， ∴B＝BD﹣D＝﹣1， 即B长度的最小值为﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，圆的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是找出线段的最小值1． 14．2π 【分析】首先根据圆的面积公式，求出圆的半径是多少；然后根据圆的周长公式，求出这个圆的周长为多少即可． 【详解】解：设圆的半径是rcm， 则πr2=2π， 解得r=， 所以它的周长为： ． 故答案为2π 【点睛】此题主要考查了算术平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根． 15．2或6 【分析】根据已知条件能求出圆的直径，即可求出半径，此题点的位置不确定所以要分类讨论． 【详解】①当点在圆外时， ∵圆外一点和圆周的最短距离为4，最长距离为8， ∴圆的直径为8﹣4＝4， ∴该圆的半径是2； ②当点在圆内时， ∵点到圆周的最短距离为4，最长距离为8， ∴圆的直径＝8+4＝12， ∴圆的半径为6， 故答案为2或6． 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系的应用，能根据已知条件求出圆的直径是解此题的关键． 16．/ 【分析】因为，点为的中点，根据直角三角形斜边上中线的性质得出，所以是以为圆心，以为半径的圆弧上的点，作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长；根据勾股定理求得，即可求得，从而得出的最小值； 【详解】解：，点为的中点， ， 是以为圆心，以为半径的圆弧上的点， 作关于的对称点，连接，交于，交以为圆心，以为半径的圆于，此时的值最小，最小值为的长； ， ，， ， ， ； 的最小值为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，矩形的性质，勾股定理，点到圆上一点的距离，判断出点的位置是解题的关键． 17．在⊙A上 【分析】先根据两点间的距离公式计算出OA，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点O与⊙A的位置关系． 【详解】解：∵点A的坐标为（4，3）， ∴OA==5， ∵半径为5， ∴OA=r， ∴点O在⊙A上． 故答案为：在⊙A上． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，当点P在圆外⇔d＞r；当点P在圆上⇔d=r；当点P在圆内⇔d＜r． 18．(1)乙， (2) (3)丙同学的结论错误；丁同学的说法正确． 【分析】（1）乙的方法：用表示，进而得到关于的解析式即可； （2）分和两种情况，先求出的坐标，利用中点坐标公式，求出点坐标，根据点到圆上的距离求得的最小值，利用两点间的距离公式，求出的最小值，即可得解； （3）①利用（1）中小远的方法，求出点的轨迹，进行判断即可． 【详解】（1）解：乙的方法更严谨， 令，， ∴， ∴， ∴点运动轨迹的函数表达式为； 故答案为：乙，； （2）解：∵，， ∴，， ∴移动到点的位置需要的时间为：秒， ①当时，， ，， 则：； ②当时，， ∴，，即： 则：； 综上：， 令，，消去，得的运动轨迹的函数表达式为， 当时，， ∴， ∵ ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∴的值最小值为， （3）①∵， 令，则：； ∴， ∴点的轨迹为抛物线； ∵，令，则：， ∴； ∴点的轨迹为直线；则丙同学的结论错误 联立，整理，得：， ∵， ∴方程没有实数根，即抛物线和直线没有交点， 即点在运动过程中不可能重合，丁同学的说法正确． 【点睛】本题考查坐标与图形，二次函数和一次函数的综合应用．熟练掌握两点间的距离公式，中点坐标公式，正确的求出函数的解析式，利用二次函数的性质进行求解，是解题的关键． 19．（1）见解析；（2），Q(0,3) 【分析】（1）连结BO并且延长交圆于C1，连结AO并且延长交圆于C2，即可求解； （2）根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形，根据题意可得一条直角边为1，当斜边最短时，另一条直角边最短，则面积取得最小值，由垂线段最短可得斜边最短为3，从而得到点Q坐标，再根据勾股定理可求另一条直角边即PQ长． 【详解】解：（1）如图所示，过直径做△ABC即可；      （2）如图所示： 由“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形， 根据题意可得一条直角边OP＝1，               ∴PQ最小时，△POQ的面积最小， 根据勾股定理可知，当斜边OQ最短时，PQ最小，面积取得最小值， 由垂线段最短可得斜边最短为3，即OQ=3， ∴Q（0，3）， 由勾股定理可得PQ＝＝， ∴当面积取得最小值时，点Q的坐标为(0，3)，PQ的长为. 【点睛】本题考查了圆与勾股定理的综合应用，掌握圆的相关知识，熟练应用勾股定理，明确“智慧三角形”的定义是解题的关键. 20．（1）；（2） 【分析】（1）由点E是的中点及折叠的性质可知，进而可得以E为圆心、以为半径的经过点A、P．用勾股定理解求出，当E、P、D三点共线时，可取最小值，，由此可解； （2）作点E关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，，在四边形中，，当O、M、N、四点共线时，此时最小，最小值为的长度． 【详解】解：（1）由点E是的中点及折叠的性质可知：，且点F是的角平分线与的交点． ∴以E为圆心、以为半径的经过点A、P．                     ∵点E是中点，， ．                     在中，由勾股定理得，即， ．                     由图可知：当E、P、D三点共线时，可取最小值， ， 长的最小值为．                         （2）作点E关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，，在四边形中，，当O、M、N、四点共线时，此时最小，最小值为的长度．                     ，由对称可知，， ．                     由题意可得， ．                 在中，由勾股定理得：，即， ， ， 的最小值为．                     【点睛】本题考查折叠的性质，圆的基本性质，线段的最值问题，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 21．(1)见解析 (2)①见解析；② (3)2 【分析】（1）证明，则，利用互余关系即可证明； （2）①证明，则，再由（1）的证明即可证明； ②分别过G、H作的垂线，垂足分别为K、Q；设，则可得，则可得，由相似三角形的性质得，进而得，则由勾股定理可分别求得，从而求得结果； （3）延长交于点W，过P作于Y，过P作交射线于点J；易证，则，从而，当最大时，最大；证明，则可得，当最大时，最大，此时点P与点W重合，Y与M重合；由面积关系求出，则可得的值，最后求得结果； 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 即， ； （2）①证明：四边形是正方形， ， ， ， ， 再由（1）的证明知：， ， 即； ②解：如图，分别过G、H作的垂线，垂足分别为K、Q； 则； ∵四边形为正方形， ， ， ， 设， 由①知，， ， ， ； ， ， ， ， 即， ； ， ， ， 即， 由勾股定理得：，； ， ， ， 又由（1）知，， 由勾股定理得， ； （3）解：如图，延长交于点W，过P作于Y，过P作交射线于点J； ， ， ， ， 则当最大时，最大； ，， ， ； ， ， ； ∵点E是的中点，， ， 由勾股定理得， ， 即， 上式表明：当最大时，最大，从而最大； 此时点P与点W重合，Y与M重合； ， ， 则， ， 的最大值为； 故答案为：2． 【点睛】本题是正方形的综合，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，圆上点到切线的距离最大为直径等知识，综合性较强，构造适当的辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键． 22．（1）见详解；（2）见详解；（3）的最小值为388 【分析】（1）由题意易得，，然后可证，则问题可证； （2）由图1及勾股定理可得：，，，进而可得，，然后根据线段的和差关系可得，，两式相加即可得证； （3）取AB的中点F，连接PF，由（2）中结论可得：，由题意易得，要使为最小，只需满足PF的值为最小，根据圆外的点到圆上的点的最值问题可得当点O、P、F三点共线时，PF可取最小值，连接OF，交⊙O于点P，过点O作OH⊥AB于点H，进而可得，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点D是边上的中点， ∴， ∵， ∴（AAS）， ∴； （2）由图1及勾股定理可得： ，，， 由（1）可得：，， ∴，， ∵， ∴，， ∴ =， = = =， ∴； （3）取AB的中点F，连接PF，如图所示： 由（2）中结论可得：， ∵，DE是⊙O的直径， ∴， ∴， 要使为最小，只需满足PF的值为最小，根据圆外的点到圆上的点的最值问题可得当点O、P、F三点共线时，PF可取最小值，连接OF，交⊙O于点P，过点O作OH⊥AB于点H，如图所示： ∴，， ∴， ∴， ∴PF的最小值为， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查圆的最值问题及勾股定理，熟练掌握圆的最值问题及勾股定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$