专题突破4 空间几何体的截面（交线）问题 讲义-2025届高三数学一轮复习

空间几何体的截面（交线）问题 一、知识要点： （一）截面问题的理论依据： 1.确定平面的条件: ①不在同一直线上的三点确定一个平面； ②两条平行线确定一个平面。 2.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线。 3.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 4.如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。 5.如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行。 （二）作截面的三种常用方法 一是直接法，有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 二是作平行线法，解题关键是截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行，可借助线面平行的性质定理和面面平行的性质定理作出截面。 三是延长交线得交点，解题关键是截面上的点中至少有两个点在几何体的同一个面上，可通过由作延长线得到的交点辅助得出截面与立体几何图形的交点，进而得交线和截面图形。 （三）作截面的具体步骤： （1）找截点： 方式1：延长截面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截面顶点. 方式2：过一截面顶点作另外截面顶点连线的平行线，交几何体的棱于截面顶点. （2）连截线：连接同一平面内的两个顶点，成截面交线. （3）围截面：将各截面交线首尾相连，围成截面. （四）常见空间几何体的截面 1.正方体的基本截面: 用一个平面截正方体，可以得到的截面形状如下： 横截 竖截 斜截 正方形 正方形 如图所示 注意:正方体的斜截面不会出现直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形. 2.圆柱体的基本截面: 用一个平面截圆柱，可以得到的截面形状如下： 横截 竖截 斜截 圆形，如图1 矩形，如图2 如图3，4，5所示 二、题型： （一）判断截面的形状 1.已知在正方体中，，，分别是，，的中点，则过这三点的截面图的形状是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 2.已知正方体中，点、满足，则平面截正方体形成的截面图形为（ ） A. 六边形 B. 五边形 C. 四边形 D. 三角形 3.在正方体中，点分别为棱的中点，过点三点作该正方体的截面，则（    ） A．该截面多边形是四边形 B．该截面多边形与棱的交点是棱的一个三等分点 C．平面 D．平面平面 （二）交线长度问题 1.如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 2.已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（    ） A．的长度为 B．的长度为 C．的长度为 D．的长度为 3.已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________． 4．(2021年3月模拟评估卷理9题)已知三棱锥的侧棱都相等,侧棱的中点分别为,,,棱的中点为,平面．且,．若四面体的每个顶点都在球的球面上,则该球面与三棱锥侧面的交线总长为（ C ） A． B． C． D． 思维升华： 求解截面的交线长度问题，关键是准确找到截面与几何体相交的轨迹形状，突破口是找到截面与几何体的公共点的位置和变化轨迹。常见的轨迹形状为特殊四边形（正方形、平行四边形、菱形、梯形）的组合图形、圆周或圆弧、圆锥曲线的部分等。 （三）求截面的周长 1.如图，正方体的棱长为4，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是（        ）. A． B． C． D． 2.如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． （四）求截面的面积 1.在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱，E是BC的中点，F是棱上的点，且，过作平面，使得平面平面AEF，则平面截直四棱柱，所得截面图形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 2．已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 3．已知一正方体木块的棱长为4，点在棱上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（    ） A． B． C． D． 4.（多选）已知棱长为2的正方体的中心为，用过点的平面去截正方体，则（    ） A．所得的截面可以是五边形 B．所得的截面可以是六边形 C．该截面的面积可以为 D．所得的截面可以是菱形 （五）与截面有关的最值问题 1．如图，在正三棱锥中，底面边长为a，侧棱长为，点E，F分别为AC，AD上的动点，求截面周长的最小值和这时点E，F的位置．    2.已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E是线段BC的中点，过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．在直三棱柱中，，，过作该直三棱柱外接球的截面，所得截面的面积的最小值为 ． 4.（2024重庆渝中模拟预测）在三棱锥中，，且平面，过点作截面分别交于点，且二面角的平面角为，则所得截面的面积最小值为（    ） A． B． C． D．1 5．如图，在三棱锥中，平面平行于对棱，截面面积的最大值是 . 6．（多选）如图，有一个正四面体形状的木块，其棱长为.现准备将该木块锯开，则下列关于截面的说法中正确的是（    ）    A．过棱的截面中，截面面积的最小值为 B．若过棱的截面与棱（不含端点）交于点，则 C．若该木块的截面为平行四边形，则该截面面积的最大值为 D．与该木块各个顶点的距离都相等的截面有7个 思路升华： 求解截面的面积最值或范围问题的解题方法： （1）几何法：分析变化过程，找到满足条件的最值位置. （2）代数法：通过引入变量，将动态问题转化为关于变量的代数式，利用函数思想或不等式思想求最值。 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 空间几何体的截面（交线）问题 一、知识要点： （一）截面问题的理论依据： 1.确定平面的条件: ①不在同一直线上的三点确定一个平面； ②两条平行线确定一个平面。 2.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们相交于过此点的一条直线。 3.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 4.如果一条直线平行于一个平面，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就和交线平行。 5.如果两个平面平行，第三个平面和它们相交，那么两条交线平行。 （二）作截面的三种常用方法 一是直接法，有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面实际就是找交线的过程。 二是作平行线法，解题关键是截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某一个面平行，可借助线面平行的性质定理和面面平行的性质定理作出截面。 三是延长交线得交点，解题关键是截面上的点中至少有两个点在几何体的同一个面上，可通过由作延长线得到的交点辅助得出截面与立体几何图形的交点，进而得交线和截面图形。 （三）作截面的具体步骤： （1）找截点： 方式1：延长截面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截面顶点. 方式2：过一截面顶点作另外截面顶点连线的平行线，交几何体的棱于截面顶点. （2）连截线：连接同一平面内的两个顶点，成截面交线. （3）围截面：将各截面交线首尾相连，围成截面. （四）常见空间几何体的截面 1.正方体的基本截面: 用一个平面截正方体，可以得到的截面形状如下： 横截 竖截 斜截 正方形 正方形 如图所示 注意:正方体的斜截面不会出现直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形. 2.圆柱体的基本截面: 用一个平面截圆柱，可以得到的截面形状如下： 横截 竖截 斜截 圆形，如图1 矩形，如图2 如图3，4，5所示 二、题型： （一）判断截面的形状 1.已知在正方体中，，，分别是，，的中点，则过这三点的截面图的形状是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】利用平行画出截面，进而判断出正确答案. 【详解】分别取、、的中点、、，连接、、， 在正方体中，，，分别是，，的中点， ，，， 六边形是过，，这三点的截面图， 过这三点的截面图的形状是六边形． 故选：D 2.知正方体中，点、满足，则平面截正方体形成的截面图形为（ ） A. 六边形 B. 五边形 C. 四边形 D. 三角形 【答案】B 【分析】由题意，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，作出截面图形可得结论. 【详解】如图， 因为点、满足， 点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点， 延长与交于点，连接交于， 延长交于点，连接交于，连接， 则五边形为所求截面图形. 故选：B． 3.在正方体中，点分别为棱的中点，过点三点作该正方体的截面，则（    ） A．该截面多边形是四边形 B．该截面多边形与棱的交点是棱的一个三等分点 C．平面 D．平面平面 【答案】B 【分析】将线段向两边延长，分别与棱的延长线，棱的延长线交于，连分别与棱交于，可判断A；利用相似比可得，可判断B；证明平面即可判断C；通过证明平面，可判断D. 【解析】对于A，将线段向两边延长，分别与棱的延长线，棱的延长线交于， 连分别与棱交于，得到截面多边形是五边形，A错误； 对于B，易知和全等且都是等腰直角三角形，所以， 所以，即，点是棱的一个三等分点，B正确； 对于C，因为平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证， 因为平面，所以平面， 因为平面与平面相交，所以与平面不垂直，C错误； 对于D，易知，所以， 又，所以平面， 结合C结论，所以平面与平面不平行，D错误. 故选：B． （二）交线长度问题 1.如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【分析】在上取点，使得，在上取点，使得，则、，根据线面、面面平行的判定定理可证明平面平面，则点M的轨迹为线段，结合余弦定理计算即可求解. 【详解】由题意知，，在上取点，使得， 则且，所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面. 在上取点，使得， 有，所以，则， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，则点M的轨迹为线段. 在中，， 由余弦定理，得， 即点M的轨迹长度为. 故选：B 2.已知在正方体中，，点，，分别在棱，和上，且，，，记平面与侧面，底面的交线分别为，，则（    ） A．的长度为 B．的长度为 C．的长度为 D．的长度为 【答案】A 【分析】做出截面，确定线段，，由平行线分线段成比例，相似三角形的性质以及勾股定理即可得解. 【详解】如图所示， 连接并延长交的延长线于，连接并延长交于点， 交的延长线于点，连接，交于点，连接， 则即为，即为， 由，得，所以，， 由，得，则， 所以，故C，D项错误； 由，得， 又易知，得，所以， 所以，故A项正确，B项错， 故选：A. 点评：本题解决的关键在于利用平面的性质作出截面，从而得到为，为，由此得解. 3.已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以为球心，为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________． 解析：如图： 解析：取的中点为，的中点为，的中点为， 因为60°，直四棱柱的棱长均为2， 所以△为等边三角形，所以， <找到球在这个面的边界点（利用已知数据计算）>. ， 又四棱柱为直四棱柱， 所以平面，所以， 因为，所以侧面， 设为侧面与球面的交线上的点，则， 因为球的半径为，，所以， 所以侧面与球面的交线上的点到的距离为， 因为，所以侧面与球面的交线是扇形的弧， 因为，所以， 所以根据弧长公式可得. 故答案为：. 4．已知三棱锥的侧棱都相等,侧棱的中点分别为,,,棱的中点为,平面．且,．若四面体的每个顶点都在球的球面上,则该球面与三棱锥侧面的交线总长为（ C ） A． B． C． D． 【解析】如图所示： 连结,∵ ,,,,分别为各棱的中点,, ∴,∴点即为球的球心, ∵平面,∴球面与三棱锥侧面的交线总长为, 故选C． 思维升华： 求解截面的交线长度问题，关键是准确找到截面与几何体相交的轨迹形状，突破口是找到截面与几何体的公共点的位置和变化轨迹。常见的轨迹形状为特殊四边形（正方形、平行四边形、菱形、梯形）的组合图形、圆周或圆弧、圆锥曲线的部分等。 （三）求截面的周长 1.如图，正方体的棱长为4，E是侧棱的中点，则平面截正方体所得的截面图形的周长是（        ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作的平行线即可延展平面，则可得到截面，再求周长即可. 【详解】取中点，连接，, 中点为，E是侧棱的中点，,, 又在直角三角形中, , 正方体中， 四边形为平行四边形, , 即为正方体的截面. 在直角三角形中, 同理,则截面周长为, 故选：C. 2.如图所示，正四棱台中，上底面边长为3，下底面边长为6，体积为，点在上且满足，过点的平面与平面平行，且与正四棱台各面相交得到截面多边形，则该截面多边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先过点作于点，结合已知得，由棱台体积公式得，由勾股定理得，再求出的长，最终根据相似三角形对应边成比例即可得解. 【解析】如图所示， 过点作于点，因为，所以， 则四棱台的高为，则四棱台的体积为， 解得， 所以侧棱长为. 如图所示： 过于点，于点，连接， 由对称性可知，所以， 而，所以， 所以，同理， 分别在棱上取点，使得， 易得， 所以截面多边形的周长为. 故选：D. （四）求截面的面积 1.在直四棱柱中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱，E是BC的中点，F是棱上的点，且，过作平面，使得平面平面AEF，则平面截直四棱柱，所得截面图形的面积为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】A 【分析】根据四棱柱的几何性质以及面面平行的判定定理求解. 【解析】   如图，取的中点M，在上取一点H，使得， 连接，如上图， 则，平面，平面AEF， 平面平面； 即过点平行于平面AEF的平面截四棱柱的图形是三角形， 其中，， ， 故选：A. 2．已知正方体的棱长为为棱的中点，为侧面的中心，过点的平面垂直于，则平面截正方体所得的截面面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取的中点，由，证得，再由平面，证得，从而得到平面，同理证得，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到平面截正方体的截面为，进而求得截面的面积，得到答案. 【详解】如图所示， 取的中点，分别连接， 在正方形中，因为分别为的中点，可得， 所以，， 因为，所以，所以，即， 又因为分别为的中点，所以， 因为平面，平面，所以，所以， 又因为且平面，所以平面， 因为平面，所以，同理可证：， 又因为且平面，所以平面， 即平面截正方体的截面为， 由正方体的棱长为， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 在直角中，可得， 所以截面的面积为. 故选：D. 3．已知一正方体木块的棱长为4，点在棱上，且.现过三点作一截面将该木块分开，则该截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，在上取一点，使得，连接，则四边形为平行四边形，即平行四边形为所求的截面，利用余弦定理和同角的三角函数关系和三角形的面积公式求出，即可求解. 【详解】 如图，在上取一点，使得，连接， 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以与相交于且为的中点， 又在上，所以与相交于，且O平分，， 所以四点四点共面且四边形为平行四边形， 所以过三点的截面是平行四边形， ， ， ， 故截面面积为. 故选：A. 4.（多选）已知棱长为2的正方体的中心为，用过点的平面去截正方体，则（    ） A．所得的截面可以是五边形 B．所得的截面可以是六边形 C．该截面的面积可以为 D．所得的截面可以是菱形 【答案】BCD 【分析】结合平面的性质，分类讨论作出截面判断A、B，求解正六边形的面积判断C，根据平行四边形的边长相等判断D. 【详解】一个平面去截正方体，考虑从正方体的上底面开始截入， 不妨设上底面与截面的交线为线段，截取有两种情况， 第一种情况是两点分别在两对边上或两相邻边上，如图，    直线与相交于点，直线与相交于点， 由正方体性质及面面平行性质定理知截面为平行四边形. 第二种情况，如图，    直线与相交于点，直线与相交于点，直线与相交于点，与相交于点，直线与相交于点与相交于点， 易知所得截面为六边形，A错误，B正确. 当截面为正六边形时，正六边形的边长为，它的面积为，C正确. 当截面为平行四边形时，由对称性可知， 若四边形为菱形，则， 可得，可得， 可得或，可得或，D正确. 故选：BCD. （五）与截面有关的最值问题 1．如图，在正三棱锥中，底面边长为a，侧棱长为，点E，F分别为AC，AD上的动点，求截面周长的最小值和这时点E，F的位置．    【答案】见详解 【详解】    如图所示展开三棱锥得五边形，连接分别交于点， 则此时的周长最小为， 由题意易知，则， 且， 所以， 由， 故在分别为线段上的靠近C、D的一个四等分点时， 截面周长最小，最小值为. 2.已知球O是正三棱锥（底面是正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球，，，点E是线段BC的中点，过点E作球O的截面，则所得截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图，是在底面的射影，求出底面外接圆的半径和几何体外接球的半径，当截面垂直于时截面面积最小，求出截面圆的半径即得解. 【详解】如图：    是在底面的射影，由正弦定理得，的外接圆半径. 由勾股定理得棱锥的高设球的半径为， 则，解得， 所以，即与重合， 所以当过点E作球O的截面垂直于时，截面面积最小， 此时截面半径为，截面面积为.故选：A. 3．在直三棱柱中，，，过作该直三棱柱外接球的截面，所得截面的面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据题意直观想象三棱住的外接球位置，再利用球的截面性质可得当为所截圆的直径时截面面积最小，从而得解. 【详解】由直三棱柱可知，平面， 又，所以两两垂直， 设直三棱柱外接球的半径为R， 通过构造长方体可知该三棱柱的外接球与以为边长的长方体外接球相同； 过作该直三棱柱外接球的截面，当为所截圆的直径时截面面积最小， 因为， 则所求截面面积最小值为. 故答案为：. 4.在三棱锥中，，且平面，过点作截面分别交于点，且二面角的平面角为，则所得截面的面积最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】由二面角的定义可得，从而，设，由三角形的面积相等和基本不等式得到，再由三角形的面积公式即可求解. 【解析】过作，垂足为，连接，则由三垂线定理可得， ∴即为二面角的平面角， ∴，，所以， 设，则， 在三角形中，， 又，所以， 所以，时等号成立， 所以三角形的面积为， 故截面PEF面积的最小值为. 故选：B. 5．如图，在三棱锥中，平面平行于对棱，截面面积的最大值是 . 【答案】 【详解】由题设，面，又面，面面， 所以，同理可证，故， 又面，又面，面面， 所以，同理可证，故， 故为平行四边形，又，即，则为矩形， 若，则，又， 所以，， 又面积为， 所以，故当时. 故答案为：. 6．（多选）如图，有一个正四面体形状的木块，其棱长为.现准备将该木块锯开，则下列关于截面的说法中正确的是（    ）    A．过棱的截面中，截面面积的最小值为 B．若过棱的截面与棱（不含端点）交于点，则 C．若该木块的截面为平行四边形，则该截面面积的最大值为 D．与该木块各个顶点的距离都相等的截面有7个 【答案】ACD 【详解】设截面与棱的交点为， 对于A项，如图1，过棱的截面为，易知当为棱的中点时，,且，平面，故平面， 取的中点，连接，则， 又平面，，即是异面直线的公垂线，， 故此时的面积取得最小值，最小值为，正确；    对于B项，易知，故结合A项，可设， 在中，由余弦定理， 所以，即，B错误； 对于C项，如图2，当截面为平行四边形时，，， 由正四面体的性质可知，故，从而平行四边形为长方形. 设，则，所以长方形的面积， 当且仅当时，等号成立，正确；    对于D项，与该木块各个顶点的距离都相等的截面分为两类. 第一类：平行于正四面体的一个面，且到顶点和到底面距离相等，这样的截面有4个. 第二类：平行于正四面体的两条对棱，且到两条棱距离相等，这样的截面有3个. 故与该木块各个顶点的距离都相等的截面共有7个，D正确. 故选：ACD 思路升华： 求解截面的面积最值或范围问题的解题方法： （1）几何法：分析变化过程，找到满足条件的最值位置. （2）代数法：通过引入变量，将动态问题转化为关于变量的代数式，利用函数思想或不等式思想求最值。 15 学科网（北京）股份有限公司 $$