二项式定理 讲义-2025届高三数学一轮复习

二项式定理 知识回顾 1.二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝an＋ an－1b1＋…＋an－kbk＋…＋bn(n∈N*) 二项展开式的通项 Tk＋1＝an－kbk，它表示展开式的第k＋1项 二项式系数 (k＝0，1，…，n) 2.二项式系数的性质 （1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. （2）增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值. （3）各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为＋＋＋…＋＝2n. 【常用结论】 1.＋＋＋…＝＋＋＋…＝2n－1. 2.=＋. 题型一 二项展开式的通项及其应用 ★例1 1．在的二项展开式中含项的系数为（  ） A． B． C． D． 2．二项式的展开式中系数为无理数的项的个数为（  ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知的展开式中的系数为，的系数为，若，则 ． 题型二 二项式系数的性质与应用 ★例2 1.二项式的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则含的项是 ． 2.二项式的展开式中，系数最大项的是（  ） A．第项 B．第项和第项 C．第项 D．第项 题型三 展开式的系数和问题 ★例3 1.若，则（  ） A．1 B．513 C．512 D．511 2．若则（  ） A． B． C． D． 3.已知，则（  ） A． B． C． D． 题型四 两个多项式积的问题 ★例4 1．的展开式中常数项为 ．（用数字作答） 2．已知的展开式中的系数为，则实数（  ） A．2 B． C．1 D． 题型五 三项式的展开式问题 ★例5 1．展开式中不含y的项的系数和为64，则展开式中的常数项为 ． 2．已知二项式的展开式中含的项的系数为，则 ． 反馈练习 1．若二项式展开式中的第5项是常数项，则自然数n的值为 . 2．写出使“的展开式存在常数项”的n的一个取值 . 3．已知二项式的展开式中的系数为，则实数 . 4．在展开式中，含的项的系数是 .（用数字作答） 5．二项式的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则含的项是 . 6．若的展开式中第3项与第9项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（  ） A．第4项 B．第5项 C．第6项 D．第7项 7．在的展开式中，若二项式系数最大值为n，则（  ） A．180 B．165 C．120 D．55 8．的展开式中只有第5项的二项式系数最大，若展开式中所有项的系数和为256，则中的系数为（  ） A．1 B．4或1 C．4或0 D．6或0 9．若则（  ） A． B． C． D． 10．已知，则（  ） A． B． C． D． 11．已知，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 参考答案： 1．12 2．3（答案不唯一） 3． 4．100 5． 6．C 7．B 8．C 9．D 10．ABC 11．AD 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$