第五章 二次根式（单元重点综合测试，湘教版）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（湖南专用）

第五章 二次根式（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）在下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）使式子  有意义的x的取值范围是（      ） A．且 B． C． D． 3．（本题3分）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 6．（本题3分）与最简二次根式是同类二次根式，则（  ） A．2 B．3 C．6 D．11 7．（本题3分）如图数轴上有A、B、C、D四点，根据图中各点的位置，判断哪一点所表示的数与最接近(　  　) A．A B．B C．C D．D 8．（本题3分）下面的推导中开始出错的步骤是（    ） 因为，① ，② 所以.③ 所以.④ A．① B．② C．③ D．④ 9．（本题3分）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 10．（本题3分）先观察下列的计算，再完成习题： ；；根据你的猜想、归纳，运用规律计算：的结果为（   ） A．1 B．2014 C．2013 D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）计算： = 12．（本题3分）已知． 13．（本题3分）若和都是最简二次根式，则 ， ． 14．（本题3分）已知1≤x≤3，化简＝ ． 15．（本题3分）已知xy=3，那么的值为 ． 16．（本题3分）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 ． 17．（本题3分）如果最简根式和是同类二次根式，那么a，b的值为 ． 18．（本题3分）观察下列各式： ①；②；③ 根据你发现的规律填空： ； (n≥2，n为自然数). 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）计算 （1） （2） （3） （4） 20．（本题6分）已知y=. (1)求x、y的值； (2) 21．（本题8分）已知A＝ (1)化简A； (2)当x＝－1时，求A的值． 22．（本题8分）已知：，，求的值． 23．（本题9分）（）若、都是实数，且，求的立方根． （）若的整数部分为，小数部分为，求的值． 24．（本题9分）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失后经过的时间近似地满足如下的关系式：d＝7×(t≥12)．其中d代表苔藓的直径，单位是厘米；t代表冰川消失后经过的时间，单位是年． (1)计算冰川消失16年后苔藓的直径； (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 25．（本题10分）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题： 例1：====． 例2：=，=，= 利用以上结论解答以下问题： （1）= （2）应用上面的结论，求下列式子的值． ++++……+ （3）拓展提高，求下列式子的值． +++……+ 26．（本题10分）先化简，再求值：a+，其中a＝1007． 如图是小亮和小芳的解答过程． （1）　 　的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　 　； （3）先化简，再求值：a+2，其中a＝﹣2018． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 二次根式（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）在下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式．二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2，根据概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、，被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； B、，根指数为3，不是二次根式，不符合题意； C、，不能确定被开方数是否为非负数，不一定是二次根式，不符合题意； D、，能满足被开方数为非负数，故是二次根式，符合题意； 故选：D． 2．（本题3分）使式子  有意义的x的取值范围是（      ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据题意得出且，即可求解． 【详解】解：由题意可知：且， 解得且. 故选：A． 3．（本题3分）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根、平方根、立方根、二次根式的性质，根据算术平方根、平方根、立方根、二次根式的性质逐项分析即可得解，熟练掌握算术平方根、平方根、立方根、二次根式的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、，则A不符合题意； B、，则B不符合题意； C、，则C符合题意； D、，则D不符合题意； 故选：C． 4．（本题3分）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的加减法，以及二次根式的乘除法运算．根据二次根式的加减法法则以及二次根式的乘除法法则逐项分析即可． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意； 故选：B． 5．（本题3分）下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，最简二次根式的判断等知识点，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．注意：满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式． 先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A.，原式不是最简二次根式，故选项不符合题意； B.，原式不是最简二次根式，故选项不符合题意； C.，原式不是最简二次根式，故选项不符合题意； D.是最简二次根式，故选项符合题意； 故选：． 6．（本题3分）与最简二次根式是同类二次根式，则（  ） A．2 B．3 C．6 D．11 【答案】A 【分析】此题主要考查了同类二次根式，正确把握同类二次根式的定义是解题关键． 直接化简二次根式，进而利用同类二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得：． 故选：A． 7．（本题3分）如图数轴上有A、B、C、D四点，根据图中各点的位置，判断哪一点所表示的数与最接近(　  　) A．A B．B C．C D．D 【答案】C 【分析】先估算出，再根据不等式的性质，得到，即可得到答案，此题考查了无理数的估算，实数与数轴，不等式的性质，熟练掌握方法是解题关键． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点C表示的数与最接近， 故选：C． 8．（本题3分）下面的推导中开始出错的步骤是（    ） 因为，① ，② 所以.③ 所以.④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据算术平方根的非负性即可判断． 【详解】解：第②步中是负数，而是一个正数，二者并不相等， ∴第②步推导错误． 故选B． 【点睛】本题主要考查算术平方根的性质，熟练掌握平方根和算术平方根的正负性是解决本题的关键． 9．（本题3分）已知，，则x与y的大小关系为（　　） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的大小比较，解题的关键是熟练掌握二次根式的大小比较的方法和二次根式的运算法则．将、分别平方后，比较即可得． 【详解】解：∵，， ∴、， ∵， ∴． 故选C 10．（本题3分）先观察下列的计算，再完成习题： ；；根据你的猜想、归纳，运用规律计算：的结果为（   ） A．1 B．2014 C．2013 D． 【答案】C 【分析】此题考查了分母有理化，由题意得出规律，再根据得出的规律将原式化简即可得到结果． 【详解】解：∵；；， ∴得出规律， ∴ ， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）计算： = 【答案】 【详解】原式==． 【方法点睛】主要考查了二次根式的乘除法运算．二次根式的运算法则：乘法法则=（a≥0，b≥0）．除法法则=（a＞0，b≥0）． 12．（本题3分）已知． 【答案】4.491   【分析】由于观察与的关系,即. 【详解】因为, 所以. 【点睛】本题主要考查二次根式运算法则,解决本题的关键是要熟练掌握二次根式运算法则. 13．（本题3分）若和都是最简二次根式，则 ， ． 【答案】 1 2 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义解答即可. 【详解】根据题意得： 解得 故答案为：，． 14．（本题3分）已知1≤x≤3，化简＝ ． 【答案】2　 【分析】由1≤x≤3，得1-x≤0,3-x≥0, 根据=|a|,可将进行化简. 【详解】因为，1≤x≤3， 所以，1-x≤0,3-x≥0, 所以，=|1-x|+|3-x|=x-1+3-x=2 故答案为2 【点睛】本题考核知识点：二次根式的化简.解题关键点：熟记=|a|. 15．（本题3分）已知xy=3，那么的值为 ． 【答案】±2 【详解】分析：先化简，再分同正或同负两种情况作答． 详解：因为xy=3，所以x、y同号， 于是原式==， 当x>0，y>0时，原式==2； 当x<0，y<0时，原式==−2 故原式=±2. 点睛：本题考查的是二次根式的化简求值，能够正确的判断出化简过程中被开方数底数的符号是解答此题的关键. 16．（本题3分）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 ． 【答案】35 【分析】本题主要考查了二次根式的化简．根据题意可变形为，即可求解． 【详解】解：∵，是整数，n是正整数， ∴n的最小值为35． 故答案为：35 17．（本题3分）如果最简根式和是同类二次根式，那么a，b的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义及解二元一次方程组，解题的关键是：理解同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开放数相同的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义，根指数相同，被开方数相同列方程组求解即可． 【详解】解：最简根式和是同类二次根式， ， 解得：， 故答案是：． 18．（本题3分）观察下列各式： ①；②；③ 根据你发现的规律填空： ； (n≥2，n为自然数). 【答案】 【分析】根据算式的结果写出即可. 【详解】根据所给算式的结果可得： ； (n≥2，n为自然数). 故答案为 ；. 【点睛】本题考查了算术平方根，观察出分数的分子分母与整数的关系是解题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共66分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19．（本题6分）计算 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）   （2）（3）  （4） 【详解】试题解析：（1）利用二次根式乘法公式进行计算即可； （2）先把二次根式化简，然后再进行除法计算即可； （3）把各二次根式化简，再合并同类二次根式即可； （4）先利用多项式乘以多项式，再合并同类二次根式. 试题解析：（1） =； （2）； （3） = = （4） = = 20．（本题6分）已知y=. (1)求x、y的值； (2) 【答案】(1)x=0.5，y=4；(2). 【分析】（1）根据算术平方根非负数性质求出x,y；（2）把x,y代入，根据二次根式运算法则计算即可. 【详解】解：（1）由已知可得， , 所以x= 所以，y=4 (2) 当x=，y=4时 = 【点睛】考核知识点：二次根式运算.掌握二次根式运算法则即可. 21．（本题8分）已知A＝ (1)化简A； (2)当x＝－1时，求A的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】根据分式的混合运算法则进行化简得，再把x＝－1代入，把二次根式化简可得. 【详解】解：(1)A＝÷＋ ＝·＋ ＝·－ ＝－ ＝. (2)当x＝－1时， A＝＝＝＝2－2. 【点睛】本题考核知识点：分式的运算，二次根式的化简.解题关键点：熟练掌握分式的运算和二次根式的化简. 22．（本题8分）已知：，，求的值． 【答案】5 【详解】试题分析：先分母有理化求出a、b的值，再求出a2+b2 +7的值，代入求出即可． 试题解析：化简得：， ， ∴a+b=2，ab=1， ∵=(a+b)2-2ab+7= (2)2-2+7=25， 则原式＝． 点睛：本题主要考查的是有理化因式，能依据完全平方公式对所求的代数式进行变形是解题的关键. 23．（本题9分）（）若、都是实数，且，求的立方根． （）若的整数部分为，小数部分为，求的值． 【答案】（）的立方根为；（）的值为． 【详解】试题分析：（1）根据二次根式有意义的条件，可求出x的值，进而求出y的值，代入计算即可； （2）先求出a、b的值，代入计算即可． 试题解析：解：（）由题意可知，，，解得：，∴， ∴，； （）∵，∴，∴的整数部分为，小数部分为， ∴． 24．（本题9分）全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失后经过的时间近似地满足如下的关系式：d＝7×(t≥12)．其中d代表苔藓的直径，单位是厘米；t代表冰川消失后经过的时间，单位是年． (1)计算冰川消失16年后苔藓的直径； (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？ 【答案】（1）14cm； （2）冰川消失16年后苔藓的直径为14cm，冰川约是在37年前消失的． 【详解】试题分析： （1）把t=16代入计算即可； （2）把d=35代入解得t即可. 试题解析： (1)当t＝16时，（cm）； 答：冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米． (2)当d＝35时，，即t－12＝25，解得t＝37. 答：如果测得一些苔藓的直径是35厘米，冰川约是在37年前消失的． 25．（本题10分）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题： 例1：====． 例2：=，=，= 利用以上结论解答以下问题： （1）= （2）应用上面的结论，求下列式子的值． ++++……+ （3）拓展提高，求下列式子的值． +++……+ 【答案】（1）；（2）9；（3） 【分析】（1）类比题目中所给的方法，利用平方差公式解答即可；（2）根据题目中所给的算式，可得规律 ，根据规律把各式化简后合并即可解答；（3）根据题目中所给的方法，把每个式子化简后，再提取 后合并即可. 【详解】（1）==； （2）原式=+++…+， =﹣1， =10﹣1， =9； （3）原式=， =（）， =（﹣1+ ）， =． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，根据题目中所给的计算方法把各个二次根式化简是解决问题的关键． 26．（本题10分）先化简，再求值：a+，其中a＝1007． 如图是小亮和小芳的解答过程． （1）　 　的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　 　； （3）先化简，再求值：a+2，其中a＝﹣2018． 【答案】（1）小亮（2）=-a（a＜0）（3）2024. 【详解】试题分析：（1）根据二次根式的性质=|a|，判断出小亮的计算是错误的； （2）错误原因是：二次根式的性质=|a|的应用错误； （3）先根据配方法把被开方数配成完全平方，然后根据正确的性质化简，再代入计算即可. 试题解析：（1）小亮 （2）=-a（a＜0） （3）原式＝a+2＝a+2（3-a）＝6-a=6-（-2018）＝2024. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$