专题01 集合与充要条件-【中职专用】2025年对口升学数学二轮复习专项突破（河南专用）

专题01 集合与充要条件 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解集合与元素的概念，掌握元素与集合之间的关系及常用数集的字母表示，了解空集、有限集和无限集的含义 · 掌握集合的表示方法：列举法和描述法 · 掌握集合与集合之间的关系 · 熟练掌握集合的运算 考点预测 · 集合的概念 · 集合与集合间的关系 · 集合的运算 · 判断充分条件、必要条件及充要条件 · 理解充要条件、必要条件和充要条件的意义 要点自测 （一）集合的概念及表示方法 集合的相关概念 （1） 集合：一般地，把某些对象看成一个整体，就构成了集合. （2） 元素：构成集合的都叫作集合的元素. 集合用大写英文字母表示，元素用小写英文字母表示. 元素与集合的关系 （1） 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作________，读作“a属于A”； （2） 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作________，读作“a不属于A”. 集合中元素特征 __________、__________、无序性 集合的表示方法 __________、__________、韦恩图法 集合的分类 按元素的数目分类：________、有限集、________ 重点集合：数集、点集 常见数集符号 N（自然数集）、Z（______）、___（有理数集）、R（______）、_____（正整数集） 要点提醒 （1） 空集是有限集，空集是集合，不含任何元素; （2）用描述法表示集合时，在花括号中画一条竖线，竖线的左侧是元素的一般形式，竖线右侧是元素所具备的特征性质。要注意数集和点集的一般形式区别。 （二）集合之间的关系 关系 定义 表示方法 性质 子集 对于两个集合A和B，如果集合B的__________都是集合A的元素，那么集合B叫做集合A的子集. 或 ①任何一个集合是它本身的_________； ②空集是任何集合的； ③若A⊆B，B⊆C，则_________. 真子集 对于两个集合A和B，如果集合B是集合A的，并且集合A中不属于集合B，那么把集合B叫做集合A的真子集. A⫋B或 B⫋A ①空集是任何非空集合的_________； ②若A⫋B，B⫋C，则_________. 相等 如果两个集合的元素，那么我们就说这两个集合相等. 如果A=B，那么A⊆B且B⊆A. 要点提醒 （1） 含有n个元素的集合，有_____个子集，_____个真子集，_____个非空子集，_____个非空真子集. （2） 解集合关系的题目要注意空集和两个集合相等的情况. （三）集合的运算 运算 定义 表示方法 性质 交集 由集合A，B的所组成的集合，叫做A与B的交集，记作. （1）图示： （2）数学表达式： __________________________ ①A∩B=___________； ②A∩A=_______； ③A∩Ø=__________； ④如果A⊆B，那么A∩B=______. 并集 由集合A，B的所组成的集合，叫做A与B的并集记作. （1）图示：（2）数学表达式： __________________________ ①A∪B=___________； ②A∪A=_______； ③A∪Ø=__________； ④如果A⊆B，那么A∪B=______; 全集 如果一个集合含有我们所研究的各个集合的全部元素，在研究过程中，可以将这个集合叫做全集，一般用U来表示，所研究的各个集合都是这个集合的子集． U / 补集 如果集合A是全集U的一个子集，那么，由U中A的所有元素组成的集合叫做集合A在全集U中的补集，记作. （1）图示： （2）数学表达式： __________________________ ①A∪CUA=； ②A∩CUA=； ③CU(CUA)=； ④CUU=； ⑤CUØ=； 要点提醒 （1） 若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解.若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点是实心还是空心； （2） 记住一个重要的等价条件 （四）充要条件 要点 定义 充分条件 如果，那么p是q的充分条件. 必要条件 如果，那么p是q的必要条件. 充要条件 如果，那么p是q的充要条件. 要点提醒 判断充分必要的方法除去定义法，还有集合关系法：根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断，抓住“以大推小”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决问题. 考点突破 考点1 元素与集合，集合与集合的关系 · 【例1】已知集合，下列说法错误的( ) A． B．C． D． · 【例2】若集合，集合，则集合与集合的关系是( ) A． B． C． D． · 【例3】已知集合的真子集有7个，则______________ · 【突破训练】1、若集合，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 2、满足的集合的个数是_______________ 考点2 集合中元素的特征及集合的表示方法 · 【例4】设集合是18的全体约数组成的集合，则表示为______________ · 【例5】数集中的x不能取的数值的集合是（　　） A. B. C. D. 【突破训练】1、方程的解集为( ) .... 2、已知集合，，则集合中的元素的个数是( ) A．5 B．4 C．3 D.2 考点3 集合的运算 · 【例6】已知全集，集合，则 · 【例7】已知集合 ，，则 （ ） A、 B、 C、 D、 【突破训练】1、已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B的子集个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2、若集合，则满足的集合的个数为____________ 考点4 集合中含参数的问题 · 【例8】已知集合，，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 · 【例9】已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【突破训练】1、已知全集U={3,6,m2-m-1},A={ |3-2m| , 6 },={5},求实数m的值. 2、已知集合，，若，则实数的取值范围是． 考点5 充要条件的判定 · 【例10】“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 · 【突破训练】用充分条件、必要条件或充要条件填空： （1） “成等差数列”是“”的_____________; （2）“”是“”的_____________； （3）在中，“A = B”是“sinA = sinB”的_____________； （4）已知向量，则“”是“”的_____________. 模拟演练 一、选择题 1.已知集合，，则………………………（ ） A.B. C.D. 2.给出下列4个结论： ①任意一个集合都有子集；②Ø是任何集合的真子集； ③设A是非空集合，则A至少有一个真子集；④任何一个非空集合与空集的交集都是空集. 其中正确的个数是 ………………………………………………………………………………………（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.已知集合，，且,那么实数……………（ ） A.1 B.-1 C. D.1或0 4.设，则下列关系式正确的是……………………………………………（ ） A. B. C. D. 5.“”是“”的…………………………………………………………………………（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题 6.用列举法表示集合=_______________； 7.设则_______________； 8.设_______________； 9.设全集，，，则_______________； 10. “⫋”是“”的条件_______________ 三、解答题 11.设集合，，全集,且Ø，求实数的取值范围. 12. 已知集合{2x，x＋y}＝{7,4}，求整数x，y. 13.已知，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 14.设集合，，. （1）求a的值及A,B； （2）设全集，求. 15.已知集合，，若,求实数m的取值范围. $$专题01 集合与充要条件 ( 8 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 考纲解析 · 理解集合与元素的概念，掌握元素与集合之间的关系及常用数集的字母表示，了解空集、有限集和无限集的含义 · 掌握集合的表示方法：列举法和描述法 · 掌握集合与集合之间的关系 · 熟练掌握集合的运算 考点预测 · 集合的概念 · 集合与集合间的关系 · 集合的运算 · 判断充分条件、必要条件及充要条件 · 理解充要条件、必要条件和充要条件的意义 要点自测 （一）集合的概念及表示方法 集合的相关概念 （1） 集合：一般地，把某些 确定的 对象看成一个整体，就构成了集合. （2） 元素：构成集合的 所有元素 都叫作集合的元素. 集合用大写英文字母表示，元素用小写英文字母表示. 元素与集合的关系 （1） 如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A ，读作“a属于A”； （2） 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A ，读作“a不属于A”. 集合中元素特征 确定性 、 互异性 、无序性 集合的表示方法 列举法 、 描述法 、韦恩图法 集合的分类 按元素的数目分类： 空集 、有限集、 无限集 重点集合：数集、点集 常见数集符号 N（自然数集）、Z（整数集）、Q（有理数集）、R（实数集）、N*或N+（正整数集） 要点提醒 （1） 空集是有限集，空集是集合，不含任何元素; （2） 用描述法表示集合时，在花括号中画一条竖线，竖线的左侧是元素的一般形式，竖线右侧是元素所具备的特征性质。要注意数集和点集的一般形式区别。 （二）集合之间的关系 关系 定义 表示方法 性质 子集 对于两个集合A和B，如果集合B的任一个元素都是集合A的元素，那么集合B叫做集合A的子集. 或 ①任何一个集合是它本身的 子集 ； ②空集是任何集合的 子集 ； ③若A⊆B，B⊆C，则 A⊆C . 真子集 对于两个集合A和B，如果集合B是集合A的子集，并且集合A中至少有一个元素不属于集合B，那么把集合B叫做集合A的真子集. A⫋B或 B⫋A ①空集是任何非空集合的 真子集 ； ②若A⫋B，B⫋C，则 A⫋C . 相等 如果两个集合的元素完全相同，那么我们就说这两个集合相等. 如果A=B，那么A⊆B且B⊆A. 要点提醒 （1） 含有n个元素的集合，有 2n 个子集， 2n-1个真子集， 2n-1 个非空子集， 2n-2 个非空真子集. （2） 解集合关系的题目要注意空集和两个集合相等的情况. （三）集合的运算 运算 定义 表示方法 性质 交集 由集合A，B的相同元素所组成的集合，叫做A与B的交集，记作A∩B. （1）图示： （2）数学表达式： A∩B={x｜x∈A且 x∈B} ①A∩B= B∩A ； ②A∩A= A ； ③A∩Ø=Ø； ④如果A⊆B，那么A∩B= A . 并集 由集合A，B的所有元素所组成的集合，叫做A与B的并集记作A∪B ． （1）图示：（2）数学表达式： A∩B={x｜x∈A且 x∈B} ①A∪B= B∪A ； ②A∪A= A ； ③A∪Ø= A ； ④如果A⊆B，那么A∪B= B . 全集 如果一个集合含有我们所研究的各个集合的全部元素，在研究过程中，可以将这个集合叫做全集，一般用U来表示，所研究的各个集合都是这个集合的子集． U / 补集 如果集合A是全集U的一个子集，那么，由U中 不属于A的所有元素组成的集合叫做集合A在全集U中的补集，记作CUA． （1）图示： （2）数学表达式： CUA={x｜x∈U且 x∉A} ①A∪CUA= U ； ②A∩CUA=Ø； ③CU(CUA)= A ； ④CUU=Ø； ⑤CUØ= U ； 要点提醒 （1） 若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解.若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点是实心还是空心； （2） 记住一个重要的等价条件 （四）充要条件 要点 定义 充分条件 如果p⇒q ，那么p是q的充分条件. 必要条件 如果q⇒p，那么p是q的必要条件. 充要条件 如果p⇔q ，那么p是q的充要条件. 要点提醒 判断充分必要的方法除去定义法，还有集合关系法：根据成立时对应的集合之间的包含关系进行判断，抓住“以大推小”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决问题. 考点突破 考点1 元素与集合，集合与集合的关系 · 【例1】已知集合，下列说法错误的( ) A． B．C． D． 【答案】C 【解析】本题主要考查元素与集合关系，集合中有三个元素分别是，要注意的是，集合中元素可以是人事物，点数式等等，集合也可以为元素. · 【例2】若集合，集合，则集合与集合的关系是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】本题主要考查集合与集合关系，结合数轴，可得正确答案为C · 【例3】已知集合的真子集有7个，则______________ 【答案】3 【解析】本题主要考查集合子集个数。若集合中有个元素，则的子集个数为个，真子集的个数为个，所以由题可得，解得 · 【突破训练】1、若集合，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为方程无实数根，所以，故选D。 2、满足的集合的个数是_______________ 【答案】7个 【解析】因为，根据子集和真子集的定义，可知A中必含有两个元素，且可能还含中的1个、2个或3个，所以满足A集合的个数为（个）. 考点2 集合中元素的特征及集合的表示方法 · 【例4】设集合是18的全体约数组成的集合，则表示为______________ 【答案】 【解析】本题主要考查列举法表示集合。 · 【例5】数集中的x不能取的数值的集合是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】本题主要考查集合中元素的互异性，因此，且，解得，故选C 【突破训练】1、方程的解集为( ) .... 【答案】B 【解析】本题考查集合列举法及集合中元素互异性，解方程易知一元二次方程有两相等实数根3，故选B 2、已知集合，，则集合中的元素的个数是( ) A．5 B．4 C．3 D.2 【答案】C 【解析】依题意知Z可以等于，故选C 考点3 集合的运算 · 【例6】已知全集，集合，则 【答案】 【解析】依题得， · 【例7】已知集合 ，，则 （ ） A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】本题主要考查集合运算。因为，，所以 【突破训练】1、已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B的子集个数为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}， ∴A∩B＝{0，1}，则A∩B的子集个数为22＝4． 2、若集合，则满足的集合的个数为____________ 【答案】4 【解析】对于集合，由解得， 又∵，∴ 又∵，∴满足条件的集合可能为，，，，共个． 故答案为：4 考点4 集合中含参数的问题 · 【例8】已知集合，，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】因为，所以，所以或， 当时，即，则，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，或，当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，满足题意，所以，故选：D． · 【例9】已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】集合，. 要使，只需，解得：.故选：A 【突破训练】1、已知全集U={3,6,m2-m-1},A={ |3-2m| , 6 },={5},求实数m的值. 【答案】3 【解析】因为CUA={5}，所以5∈U但5∉A，所以m2-m-1=5，解得m=3或m=-2. 当m=3时，|3-2m|=3≠5，此时U={3，5，6}，A={3，6}，满足CUA={5}; 当m=-2时，|3-2m|=7≠5，此时U={3，5，6}，A={6，7}，不满足A⊆U. 综上可知实数m的值为3. 2、已知集合，，若，则实数的取值范围是． 【答案】 【解析】 又，解得，故实数的取值范围是 考点5 充要条件的判定 · 【例10】“”是“”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若可知，但是时，例如能满足；所以是充分不必要条件，故选A. · 【突破训练】用充分条件、必要条件或充要条件填空： （1） “成等差数列”是“”的_____________; （2）“”是“”的_____________； （3）在中，“A = B”是“sinA = sinB”的_____________； （4）已知向量，则“”是“”的_____________. 【答案】（1）充要条件；（2）充分不必要条件；（3）充要条件；（4）必要不充分条件 【解析】（1）若成等差数列，则，充分性成立；若，则成等差数列，必要性成立，故为充要条件； （2）若ac2>bc2，则c2>0，所以a>b充分性成立；若a>b，当c=0，则ac2>bc2不成立，必要性不成立，故为充分不必要条件； （3）在△ABC中，若A = B，则sinA = sinB，充分性成立；若sinA = sinB，只可能A = B，必要性成立，故为充要条件； （4）若，当方向相反且都不为时，，充分性不成立；若，则向量中至少有一个为或者同向，所以，必要性成立，故为必要不充分条件. 模拟演练 一、选择题 1.已知集合，，则………………………（ ） A.B. C.D. 【答案】A 【解析】本题考查交集的运算，可画出数轴，找出公共部分即可. 2.给出下列4个结论： ①任意一个集合都有子集；②Ø是任何集合的真子集； ③设A是非空集合，则A至少有一个真子集；④任何一个非空集合与空集的交集都是空集. 其中正确的个数是 ………………………………………………………………………………………（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】A 【解析】空集是任何集合的子集，所以①正确；空集是任何非空集合的真子集，所以②错误，③正确；由集合的运算可得任何一个非空集合与空集的交集都是空集，所以④正确. 3.已知集合，，且,那么实数……………（ ） A.1 B.-1 C. D.1或0 【答案】D 【解析】M={x|x-1=0}={1}，因为M∩N=N，所以N⊆M，则N=Ø或{1}， 当N=Ø时，a=0；N={1}时，a-1=0，a=1，故a=0或1. 4.设，则下列关系式正确的是……………………………………………（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】a=4=，<，所以元素a在集合A中，即a∈A. 5.“”是“”的…………………………………………………………………………（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由a>0⇒=a，但=|a|=，故a>0是=a的充分不必要条件. 二、填空题 6.用列举法表示集合=_______________； 【答案】{26,27,28,29,30,31,32,33} 【解析】描述法改用列举法表示集合时，要注意做到不重不漏. 7.设则_______________； 【答案】{(2,-2)} 【解析】A∩B={(x,y)|x+y=0}∩{(x,y)|x-y=4}={(x,y)|}={(2,-2)}. 8.设_______________； 【答案】 【解析】由题意可知x-2=-3或2x2+5x=-3，当x-2=-3时，x=-1，则x-2=2x2+5x=-1，不满足集合的互异性，故舍去；当2x2+5x=-3时， 9.设全集，，，则_______________； 【答案】a=2 【解析】由题意得a2+2a-3=5且|2a-1|=3，解得a=2. 10.“⫋”是“”的条件_______________ 【答案】充分不必要 【解析】N∪M=M ⇔N⊆M，故N⫋M是N∪M=M的充分不必要条件. 三、解答题 11.设集合，，全集,且Ø，求实数的取值范围. 【答案】m≥2. 【解析】A={x|x+m≥0}={x|x≥-m}，因为(CUA)∩B=Ø，所以-m≤-2，即m≥2. 12.已知集合{2x，x＋y}＝{7,4}，求整数x，y 【答案】x＝2，y＝5 【解析】由集合相等的定义知， 或， 解得或， 又x，y是整数，所以x＝2，y＝5. 13. 已知，. （1）若，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）当时，.. ∴ （2）. .且 实数的取值范围是. 14.设集合，，. （1）求a的值及A,B； （2）设全集，求. 【答案】（1）a=-5，A={2，}，B={2，-5}；（2）(CUA)∪(CUB)={-5，}. 【解析】（1）∵A∩B={2}，∴2∈A，∴8+a+2=0，得a=-5， ∴A={x|2x2-5x+2=0}={2，}，B={x|x2+3x-1=0}={2，-5} （2）U=A∪B={2，-5，}，∴CUA={-5}，CUB={}，∴(CUA)∪(CUB)={-5，}. 25.已知集合，，若,求实数m的取值范围. 【答案】[-4， - ] 【解析】因为A∪B=B，所以A⊆B，所以，即-4≤ m ≤ - . $$