22.1 二次函数的图象和性质 讲义 2024-2025学年人教版数学九年级上册

22.1 二次函数的图象和性质 内容 常考题型 重点01 二次函数的定义 选择题、填空题 重点02 二次函数的三种形式及相互转化 选择题、填空题 重点03 待定系数法求二次函数的解析式 选择题、填空题、解答题 难点01 二次函数图象和性质 选择题、填空题 难点02 二次函数图象的综合应用 解答题 易错点 二次函数图象的平移 选择题、填空题 ■重点01 二次函数的定义 攻克重点 一般地，形如（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数． 【例1】　（2024秋•姑苏区校级期中）下列函数中，是的二次函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据形如的函数称为是二次函数，逐项判断即可求解． 【解答】解：、，是的一次函数，不是二次函数，故选项错误，不符合题意； 、，是的二次函数，故选项正确，符合题意； 、，是的反比例函数，故选项错误，不符合题意； 、，不是的二次函数，故选项错误，不符合题意； 故选：． 【例2】　（2024秋•青县校级期中）下列函数关系中，是的二次函数的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用二次函数定义进行分析即可． 【解答】解：、当时，不是二次函数，故此选项不合题意； 、不是二次函数，故此选项不合题意； 、是二次函数，故此选项符合题意； 、化简后，不是二次函数，故此选项不合题意； 故选：． 【例3】　（2024秋•洛龙区校级月考）关于的函数是二次函数，则的值是 　　． 【答案】． 【分析】根据概念得，，求解即可． 【解答】解：由题意得：，， ； 故答案为：． 方法技巧 注意：二次函数的判断方法： ①函数关系式是整式； ②化简后自变量的最高次数是2； ③二次项系数不为0． ■重点02 二次函数的三种形式及相互转化 攻克重点 二次函数的解析式 （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）； （2）顶点式：（a，b，c是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； （3）交点式： （a≠0，是抛物线与x轴两交点的坐标，即一元二次方程的两个根）． 【例1】　（2024秋•昌平区期中）将函数化为顶点式，结果是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】把原式配方即可转化为顶点式． 【解答】解：，即． 故选：． 【例2】　（2024秋•新城区校级月考）用配方法将二次函数写成的形式为　　． 【分析】利用配方法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【解答】解： ， 故答案为：． 【例3】　（2024秋•绵阳月考）将二次函数写成的形式为 　　． 【答案】． 【分析】利用配方法把原式化为顶点式的形式即可． 【解答】解：， 将二次函数写成的形式为， 故答案为：． 方法技巧 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与y＝ax2（a≠0）的图象形状相同，位置不同，利用配方法，可将y=ax2+bx+c转化为顶点式． ■重点03 待定系数法求二次函数的解析式 攻克重点 （1）设函数解析式：根据已知条件设函数解析式； （2）找点：找函数图象上的点； （3）代入：把点代入函数解析式得到方程； （4）求解方程； （5）反代入：把求出的字母的值带入解析式． 【例1】　（2023秋•长沙县期末）一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设抛物线的表达式为，将代入上式，即可求解； 【解答】解：设抛物线的表达式为， 则抛物线表达式为， 将代入上式得，，解得， 故抛物线的表达式为． 故选：． 【例2】　（2024秋•桐城市校级月考）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，请确定抛物线的函数表达式． 【答案】． 【分析】先设抛物线的函数表达式为，把点代入解析式，求出的值，进而即可得到函数解析式． 【解答】解：抛物线的顶点坐标为， 可设抛物线的函数表达式为， 抛物线经过点， ， 解得：． 抛物线的函数表达式为． 【例3】　（2024秋•余姚市校级月考）已知二次函数顶点为且过点． （1）求此二次函数的解析式； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1）求此二次函数的解析式； （2）或． 【分析】（1）根据抛物线的顶点坐标，所以设此二次函数的解析式为，把点代入解析式即可解答． （2）先求得抛物线与轴的交点，即可求得自变量的取值范围． 【解答】解：（1）已知抛物线的顶点坐标为， 设此二次函数的解析式为， 把点代入解析式，得： ，即， 此函数的解析式为． （2）当时，， 解得或， 抛物线与轴的交点为，， 时，函数的图象位于轴的上方， 图象位于轴的上方的自变量的取值范围为或． 方法技巧 用待定系数法求函数解析式，需先明确函数的类型，如，已知函数为二次函数时，才可以设函数的解析式为y=ax2+bx+c． ■难点01 二次函数图象和性质 突破难点 1．二次函数的图象和性质 函数 y=ax2（a>0） y=ax2（a<0） 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （0，0） （0，0） 对称轴 y轴 y轴 增减性 x>0时，y随x的增大而增大； x<0时，y随x的增大而减小 x>0时，y随x的增大而减小； x<0时，y随x的增大而增大 最大（小）值 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 2．二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 函数 y=a（x-h）2+k（a>0） y=a（x-h）2+k（a<0） 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （h，k） （h，k） 对称轴 x=h x=h 增减性 x> h时，y随x的增大而增大； x<h时，y随x的增大而减小 x> h时，y随x的增大而减小； x<h时，y随x的增大而增大 最大（小）值 当x= h时，y最小值= k 当x= h时，y最大值= k 3．二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 函数 y=ax2+bx+c（a>0） y=ax2+bx+c（a<0） 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （， （，） 对称轴 x= x= 增减性 x>时，y随x的增大而增大； x<时，y随x的增大而减小 x>时，y随x的增大而减小； x<时，y随x的增大而增大 最大（小）值 当x= 时，y最小值= 当x= 时，y最大值= 【例1】　（2024秋•开鲁县校级期中）关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是　　 A．图象开口向下 B．当时，有最大值 C．当时，随的增大而减小 D．图象的顶点坐标为 【答案】 【分析】根据二次函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【解答】解：二次函数，， 开口向下，顶点坐标为；当时，有最大值；当时，随的增大而减小；图象的顶点坐标为； 选项错误，符合题意， 故选：． 【例2】　（2024秋•西乡塘区校级月考）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②为任意实数，则；③；④；⑤．其中正确结论的个数有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】 【分析】根据所给二次函数的图象，可得出，，的正负，再结合抛物线的对称性和增减性，对所给结论依次进行判断即可． 【解答】解：由所给图形可知， 抛物线的开口向下， 所以． 抛物线的对称轴在轴右侧， 所以， 所以． 因为抛物线与轴的交点在正半轴， 所以， 所以． 故①正确． 因为抛物线的开口向下，且对称轴为直线， 所以当时，函数取得最大值为， 则对于抛物线上的任意一点（横坐标为，其函数值不大于， 即， 所以． 故②正确． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 即． 故③正确． 由函数图象可知， 当时，函数值小于零， 所以， 又因为， 所以， 即． 故④正确． 因为抛物线对称轴为直线，且时函数值小于零， 所以当时，函数值小于零； 又因为当时，函数值大于零， 则，， 所以， 所以． 故⑤错误． 故选：． 【例3】　（2024秋•西湖区校级期中）二次函数，，是常数，图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④为任意实数）．其中正确的是　　（填写序号） 【答案】①③④． 【分析】根据所给二次函数的图象，可得出，，的正负，再结合抛物线的对称性、增减性以及二次函数与一元二次方程之间的关系，对所给说法依次进行判断即可． 【解答】解：由所给图形可知， ，，， 所以． 故①正确． 因为抛物线的对称轴为直线， 所以， 即． 因为当时，函数值小于零， 所以， 即， 整理得，． 故②错误． 方程的根可看成抛物线与直线图象交点的横坐标， 显然抛物线与直线有两个不同的交点， 所以方程有两个不相等的实数根． 故③正确． 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 所以当时，函数取得最大值， 则对于抛物线上的任意一点（横坐标为，其函数值不大于， 所以， 即． 故④正确． 故答案为：①③④． 方法技巧 抛物线的对称轴是直线， 顶点坐标是． ■难点02 二次函数图象的综合应用 突破难点 二次函数图象的画法 （1）列表：先取作为顶点的原点（0，0），然后在原点两侧对称取点； （2）描点：一般先描出y轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点； （3）连线：按照从左到右的顺序，用平滑的曲线将各点连接起来，注意曲线要出头． 列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势． 【例1】　（2024秋•武威期中）如图为抛物线，图象经过点．直线与抛物线交于，两点，点，在轴上． （1）求抛物线与直线的函数解析式； （2）求△的面积． 【答案】（1）抛物线的解析式为，一次函数解析式为； （2）15． 【分析】（1）把代入即可求出抛物线解析式，再求出，坐标，最后代入计算即可； （2）联立二次函数与一次函数的解析式，解方程组求出点坐标，再根据求解即可． 【解答】解：（1）把代入代入得， 解得， 抛物线的解析式为， 令，则， 解得， ，， 把代入得， 解得， 一次函数解析式为； （2）联立方程组， 解得或， ， ，， ， ． 【例2】　（2024秋•滨海新区校级月考）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）点坐标为 　　，点坐标为 　　； （2）抛物线顶点坐标为 　　； （3）当满足 　　时，； （4）若二次函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围是 　　． 【分析】（1）把代入抛物线的解析式先求解的值，再令，可得，再解方程即可； （2）把抛物线化为顶点式，从而可得答案； （3）根据函数图象，找出轴下方的函数图象，可得答案； （4）结合（3）中图象解答即可． 【解答】解：（1）抛物线与轴交于点， 把点代入，得 ． ， 抛物线为：， 令，则， ， 解得：，， ，； 故答案为：，； （2）， 抛物线的顶点坐标为：； 故答案为：； （3）观察图象得，当时，； 故答案为：； （4）由的图象可得：当过抛物线的顶点时，， 此时二次函数的图象与直线有1个交点， 二次函数的图象与直线有两个交点， 则的取值范围是． 故答案为：． 【例3】　（2023秋•西峡县期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，在的左侧），与一次函数的图象交于，两点． （1）求的值； （2）求的面积； （3）根据图象，直接写出当时的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）或． 【分析】（1）根据函数与方程的关系，当时，求解一元二次方程，即可得出抛物线与轴的两个交点，然后将点代入一次函数解析式即可确定的值； （2）先求两个函数的交点的坐标，把代入中，求解一元二次方程，即可确定点的坐标，然后结合图象，求三角形面积即可； （3）根据，，结合图象，即可确定的取值范围． 【解答】解：（1）当时， ， 解得：，， 抛物线与轴交于，． 直线经过点， ， ； （2）由（1）知， 联立得：， 整理得 解得：（舍，， 把代入，得， ， ； （3），， 当或时，抛物线在直线的上方， 当时，或． 方法技巧 1．二次函数y＝ax2＋k（a≠0）的图象是一条与y＝ax2（a≠0）的图象形状相同，顶点坐标为（0，k）的抛物线，因此画它的图象时，可以用描点法，也可以用平移法． 2．在二次函数中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|的大小决定抛物线的开口程度，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线开口越大． 3．抛物线（a≠0）图象的五点作图法 利用配方法将二次函数（a≠0）化为顶点式（a≠0）．确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点（0，c）以及与（0，c）关于对称轴对称的点（2h，c），与x轴的交点（x1，0）（x2，0）．若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点． ■易错点01 二次函数图象的平移 直击易错点 解析式 y=a（x+m）2+n（a、m、n都是常数，a≠0） 分情况讨论 m>0，n>0 m>0，n<0 m<0，n>0 m<0，n<0 变换过程 由y=ax2向左平移|m|个单位，向上平移|n|个单位 由y=ax2向左平移|m|个单位，向下平移|n|个单位 由y=ax2向右平移|m|个单位，向上平移|n|个单位 由y=ax2向右平移|m|个单位，向下平移|n|个单位 【例1】　（2024秋•硚口区期中）将抛物线平移后得到抛物线，正确的平移方式是　　 A．向右移动3个单位长度，向上移动1个单位长度 B．向左移动3个单位长度，向上移动1个单位长度 C．向右移动3个单位长度，向下移动1个单位长度 D．向左移动3个单位长度，向下移动1个单位长度 【答案】 【分析】原抛物线顶点坐标为，平移后抛物线顶点坐标为，由此确定平移的方式． 【解答】解：原抛物线解析式为， 该抛物线的顶点坐标是， 抛物线的顶点坐标是， 平移的方法可以是：将抛物线向左平移3个单位，再向下平移1个单位． 故选：． 【例2】　（2024秋•翁源县期中）将抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得到的抛物线为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【解答】解：将抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得到的抛物线为，即， 故选：． 【例3】　（2024秋•武威期中）将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的函数解析式为 　　． 【答案】． 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可． 【解答】解：根据“左加右减，上加下减”的规律知： 二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后所得抛物线解析式为：，即． 故答案为：． 方法技巧 左加右减，上加下减． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.1 二次函数的图象和性质 内容 常考题型 重点01 二次函数的定义 选择题、填空题 重点02 二次函数的三种形式及相互转化 选择题、填空题 重点03 待定系数法求二次函数的解析式 选择题、填空题、解答题 难点01 二次函数图象和性质 选择题、填空题 难点02 二次函数图象的综合应用 解答题 易错点 二次函数图象的平移 选择题、填空题 ■重点01 二次函数的定义 攻克重点 一般地，形如（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别表示函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项．一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数． 【例1】　（2024秋•姑苏区校级期中）下列函数中，是的二次函数的是　　 A． B． C． D． 【例2】　（2024秋•青县校级期中）下列函数关系中，是的二次函数的是　　 A． B． C． D． 【例3】　（2024秋•洛龙区校级月考）关于的函数是二次函数，则的值是 　　． 方法技巧 注意：二次函数的判断方法： ①函数关系式是整式； ②化简后自变量的最高次数是2； ③二次项系数不为0． ■重点02 二次函数的三种形式及相互转化 攻克重点 二次函数的解析式 （1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）； （2）顶点式：（a，b，c是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； （3）交点式： （a≠0，是抛物线与x轴两交点的坐标，即一元二次方程的两个根）． 【例1】　（2024秋•昌平区期中）将函数化为顶点式，结果是　　 A． B． C． D． 【例2】　（2024秋•新城区校级月考）用配方法将二次函数写成的形式为　　． 【例3】　（2024秋•绵阳月考）将二次函数写成的形式为 　　． 方法技巧 二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与y＝ax2（a≠0）的图象形状相同，位置不同，利用配方法，可将y=ax2+bx+c转化为顶点式． ■重点03 待定系数法求二次函数的解析式 攻克重点 （1）设函数解析式：根据已知条件设函数解析式； （2）找点：找函数图象上的点； （3）代入：把点代入函数解析式得到方程； （4）求解方程； （5）反代入：把求出的字母的值带入解析式． 【例1】　（2023秋•长沙县期末）一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为　　 A． B． C． D． 【例2】　（2024秋•桐城市校级月考）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点，请确定抛物线的函数表达式． 【例3】　（2024秋•余姚市校级月考）已知二次函数顶点为且过点． （1）求此二次函数的解析式； （2）当时，求的取值范围． 方法技巧 用待定系数法求函数解析式，需先明确函数的类型，如，已知函数为二次函数时，才可以设函数的解析式为y=ax2+bx+c． ■难点01 二次函数图象和性质 突破难点 1．二次函数的图象和性质 函数 y=ax2（a>0） y=ax2（a<0） 图象 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （0，0） （0，0） 对称轴 y轴 y轴 增减性 x>0时，y随x的增大而增大； x<0时，y随x的增大而减小 x>0时，y随x的增大而减小； x<0时，y随x的增大而增大 最大（小）值 当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0 2．二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质 函数 y=a（x-h）2+k（a>0） y=a（x-h）2+k（a<0） 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （h，k） （h，k） 对称轴 x=h x=h 增减性 x> h时，y随x的增大而增大； x<h时，y随x的增大而减小 x> h时，y随x的增大而减小； x<h时，y随x的增大而增大 最大（小）值 当x= h时，y最小值= k 当x= h时，y最大值= k 3．二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 函数 y=ax2+bx+c（a>0） y=ax2+bx+c（a<0） 开口方向 向上 向下 顶点坐标 （， （，） 对称轴 x= x= 增减性 x>时，y随x的增大而增大； x<时，y随x的增大而减小 x>时，y随x的增大而减小； x<时，y随x的增大而增大 最大（小）值 当x= 时，y最小值= 当x= 时，y最大值= 【例1】　（2024秋•开鲁县校级期中）关于二次函数的图象与性质，下列结论错误的是　　 A．图象开口向下 B．当时，有最大值 C．当时，随的增大而减小 D．图象的顶点坐标为 【例2】　（2024秋•西乡塘区校级月考）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②为任意实数，则；③；④；⑤．其中正确结论的个数有　　 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例3】　（2024秋•西湖区校级期中）二次函数，，是常数，图象的对称轴是直线，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①；②；③方程有两个不相等的实数根；④为任意实数）．其中正确的是　　（填写序号） 方法技巧 抛物线的对称轴是直线， 顶点坐标是． ■难点02 二次函数图象的综合应用 突破难点 二次函数图象的画法 （1）列表：先取作为顶点的原点（0，0），然后在原点两侧对称取点； （2）描点：一般先描出y轴一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点； （3）连线：按照从左到右的顺序，用平滑的曲线将各点连接起来，注意曲线要出头． 列表选取自变量x值时常以0为中心，选取便于计算、描点的整数值，描点连线时一定要用光滑曲线连接，并注意变化趋势． 【例1】　（2024秋•武威期中）如图为抛物线，图象经过点．直线与抛物线交于，两点，点，在轴上． （1）求抛物线与直线的函数解析式； （2）求△的面积． 【例2】　（2024秋•滨海新区校级月考）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）点坐标为 　　，点坐标为 　　； （2）抛物线顶点坐标为 　　； （3）当满足 　　时，； （4）若二次函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围是 　　． 【例3】　（2023秋•西峡县期末）如图，二次函数的图象与轴交于点，在的左侧），与一次函数的图象交于，两点． （1）求的值； （2）求的面积； （3）根据图象，直接写出当时的取值范围． 方法技巧 1．二次函数y＝ax2＋k（a≠0）的图象是一条与y＝ax2（a≠0）的图象形状相同，顶点坐标为（0，k）的抛物线，因此画它的图象时，可以用描点法，也可以用平移法． 2．在二次函数中，a的符号决定抛物线的开口方向，|a|的大小决定抛物线的开口程度，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛物线开口越大． 3．抛物线（a≠0）图象的五点作图法 利用配方法将二次函数（a≠0）化为顶点式（a≠0）．确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点（0，c）以及与（0，c）关于对称轴对称的点（2h，c），与x轴的交点（x1，0）（x2，0）．若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点． ■易错点01 二次函数图象的平移 直击易错点 解析式 y=a（x+m）2+n（a、m、n都是常数，a≠0） 分情况讨论 m>0，n>0 m>0，n<0 m<0，n>0 m<0，n<0 变换过程 由y=ax2向左平移|m|个单位，向上平移|n|个单位 由y=ax2向左平移|m|个单位，向下平移|n|个单位 由y=ax2向右平移|m|个单位，向上平移|n|个单位 由y=ax2向右平移|m|个单位，向下平移|n|个单位 【例1】　（2024秋•硚口区期中）将抛物线平移后得到抛物线，正确的平移方式是　　 A．向右移动3个单位长度，向上移动1个单位长度 B．向左移动3个单位长度，向上移动1个单位长度 C．向右移动3个单位长度，向下移动1个单位长度 D．向左移动3个单位长度，向下移动1个单位长度 【例2】　（2024秋•翁源县期中）将抛物线先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，所得到的抛物线为　　 A． B． C． D． 【例3】　（2024秋•武威期中）将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，所得到的函数解析式为 　　． 方法技巧 左加右减，上加下减． 学科网（北京）股份有限公司 $$